Table Of ContentIIka Agricola I Thomas Friedrich
Vektoranalysis
Mathematik
Analysis Band 1 und 2
von Ehrhard Behrends
Einführung in die Komplexe Analysis
von Wolfgang Fischer und Ingo Lieb
Analysis 1 bis 3
von Otto Forster
Übungsbuch Analysis 1 und 2
von Otto Forster
Gewöhnliche Differentialgleichungen
von Lars Grüne und Oliver Junge
Lehrbuch der Analysis Teil 1 und 2
von Harro Heuser
Variationsrechnung
von Hansjörg Kielhöfer
Differentialgeometrie
von Wolfgang Kühnel
I
Ilka Agricola Thomas Friedrich
Vektoranalysis
Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
STUDIUM
11
VIEWEG+
TEUBNER
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Prof. Dr. habil. IIka Agricola
Philipps-Universität Marburg
Fachbereich Mathematik und Informatik
Hans-Meerwein-Str. / Campus Lahnberge
35032 Marburg
[email protected]
Prof. Dr. sc. Thomas Friedrich
Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Unter den Linden 6
10099 Berlin
[email protected]
Die erste Auflage des Buches erschien unter dem Titel "Globale Analysis".
1. Auflage 2001
2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+ Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow
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von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1016-8
Vorwort zur zweiten Auflage
Zu unserer Freude hat sich nun, einige Jahre nach dem ersten Erscheinen dieses
Buches, eine Gelegenheit zu einer zweiten, überarbeiteten und erweiterten Auflage
ergeben. Bei dieser Gelegenheit haben wir eine Reihe kleinerer Korrekturen vor
genommen, fast alle Bilder neu erstellt, sowie den - wie wir meinen - passenderen
neuen Titel" Vektoranalysis" ausgewählt. Inhaltliche Ergänzungen wurden u. a. in
der Differentialgeometrie (Kapitel 5) sowie der Elektrodynamik (Kapitel 9) vorge
nommen; wir denken, dass diese Passagen dadurch interessanter und vollständiger
geworden sind.
Wir danken den zahlreichen Lesern der ersten Auflage, die auf Ungenauigkeiten
und mögliche Verbesserungen hingewiesen haben. Natürlich freuen wir uns auch
in Zukunft über Hinweise und Anregungen, die wir auf der neuen Internetseite des
Buches sammeln werden:
http://www.mathematik.uni-marburg.de;-agricola/vektoranalysis.html
Zudem danken wir Heike Pahlisch und Monika Teubner für ihr gewissenhaftes
Korrekturlesen des gesamten Manuskripts.
Marburg und Berlin, im Januar 2010
Ilka Agricola
Thomas Friedrich
Vorwort zur ersten Auflage
Das vorliegende Buch beabsichtigt, den Leser in die Welt der Differentialformen
einzuführen und zugleich diejenigen Themen der Analysis, Differentialgeometrie
und der Mathematischen Physik zu behandeln, in denen Formen besonders wichtig
sind. Es entstand nach zahlreichen Vorlesungen, welche der zweite Autor seit Be
ginn der 80er Jahre an der Humboldt-Universität zu Berlin über Analysis für Stu
denten des zweiten und dritten Semesters sowie über Differentialgeometrie für das
zweite und dritte Studienjahr gehalten hat. In den Jahren von 1998 bis 2000 unter
richteten beide Autoren gemeinsam die zwei Grundkurse mit jeweils vier Stunden
Vorlesung und zwei Stunden Übung. Studenten der Mathematik und Physik waren
unsere Hörer und gaben den Anlass, die mit Differentialformen zusammenhängen
den Anfangsgründe der Mathematik und Physik geschlossen darzustellen. Beson
deren Wert wurde in den Lehrveranstaltungen auf die Übungsaufgaben gelegt,
von denen der Leser eine Auswahl am Ende jedes Kapitels findet. Das Buch kann
sowohl begleitend zu einer Vorlesung als auch zur Gestaltung von Seminaren her
angezogen werden.
Wir setzen beim Leser nur die Kenntnisse voraus, die er in einem Jahr des Stu
diums der Mathematik oder anderer Naturwissenschaften erwirbt. Dabei handelt
es sich zunächst um die lineare Algebra. Im ersten Kapitel des Buches legen wir
nochmals die im Kontext der Differentialformen benötigten Aspekte der multili
nearen Algebra dar. Die größeren Vorkenntnisse beziehen sich auf die analytische
Bildung des Lesers. Die Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler im
euklidischen Raum Rn, die Integralrechnung (Riemannsches Integral), die Trans
formationsformel des Integrals sowie die Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für
Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen sind der Stoff, der im Verlauf ei
nes Studienjahres erworben wird. Einen solchermaßen vorbereiteten Leser haben
wir im Auge, den wir nunmehr in die Vektoranalysis, die Pfaffschen Systeme, die
Differentialgeometrie der Kurven und Flächen im euklidischen Raum, in die Lie
Gruppen und homogenen Räume, die symplektische Geometrie und Mechanik, die
statistische Mechanik und Thermodynamik und letztlich in die Elektrodynamik
begleiten wollen.
Im zweiten Kapitel entwickeln wir die Differential- und Integralrechnung für Dif
ferentialformen, die auf offenen Mengen des euklidischen Raumes definiert sind.
viii Vorwort zur ersten Auflage
Das zentrale Resultat ist die Stokessche Formel, die das Integral des äußeren Dif
ferentials einer Differentialform über eine singuläre Kette in ein Integral der Form
selbst über den Rand der Kette verwandelt. Im Kern ist dies der weitgehend verall
gemeinerte sog. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Differentiation
und Integration sind zueinander inverse Operationen. Geschichtlich war es ein lan
ger Entwicklungsprozess, an dessen Ende die Einsicht stand, dass eine Reihe wich
tiger Integralformeln der Vektoranalysis einen gemeinsamen Hintergrund haben:
Sie können durch Spezialisierung der allgemeinen Stokesschen Fbrmeln gewonnen
werden. Wir zeigen dies im Rahmen des zweiten Kapitels anhand der zweidimensio
nalen Greenschen Formel, des klassischen Satzes von Stokes sowie der Cauchyschen
Integralformeln für komplex-differenzierbare Funktionen. Des Weiteren beweisen
wir unter Verwendung der Stokessehen Formeln und des Weierstraßschen Appro
ximationssatzes den Fixpunktsatz von Brouwer.
Im dritten Kapitel schränken wir die möglichen Integrationsbereiche dahingehend
ein, dass wir nur "glatte" Ketten betrachten. Auf diesen kann eine Differential
rechnung für Funktionen und Fbrmen entwickelt werden, man nennt sie Mannig
faltigkeiten. Obgleich wir nur Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums
betrachten, sind die Darlegungen dieses Abschnitts so angelegt, dass sie für jede
Rlemannsche Mannigfaltigkeit zutreffen. Wir besprechen die Orientierbarkeit einer
Mannigfaltigkeit, deren Volumenform, die Divergenz von Vektorfeldern sowie den
Gradienten und den Laplace-Operator von Funktionen. Aus der Stokessehen For
mel ergeben sich die weiteren klassischen Integralformeln im Kontext der Riemann
schen Geometrie (Gauß-Ostrogradski-Formel, erste und zweite Greensche Formel)
sowie ein Beweis des Satzes vom Igel. Ein Abschnitt über die Lie-Ableitung einer
Differentialform führt uns auf die Interpretation der Divergenz eines Vektorfeldes
als Maß für die Volumenverzerrung seines Flusses. Die Integralformeln benutzen
wir zur Lösung des Dirichlet-Problems für die Laplace-Gleichung auf der Vollkugel
des euklidischen Raums und beim Studium der Eigenschaften harmonischer funk
tionen in ]Rn. Für diese beweisen wir u. a. das Maximumprinzip und den Satz von
Liouville. Abschließend diskutieren wir den auf Formen einer Riemannschen Man
nigfaltigkeit wirkenden Laplace-Operator sowie die Hodge-Zerlegung einer Diffe
rentialform. Sie ist eine Verallgemeinerung einer auf Helmholtz zurückgehenden
Aufspaltung eines Vektorfeldes mit kompaktem Träger in ]R3 in die Summe eines
Gradientenvektorfeldes und eines divergenzfreien Vektorfeldes. Im letzten Kapitel
werden wir den Helmholtz-Satz im Rahmen der Elektrodynamik beweisen.
Neben dem Satz von Stokes ist das Integrabilitätskriterium von Frobenius ei
ne der grundlegenden Aussagen der Theorie der Differentialformen. Eine geo
metrische Distribution (Pfaffsches System) besteht aus einer glatten Auswahl k
dimensionaler Unterräume in den Tangentialräumen einer n-dimensionalen Man
nigfaltigkeit. Geometrische Distributionen können als Nullstellenmengen linear
unabhängiger l-Formen beschrieben werden. Gesucht sind k-dimensionale Unter
mannigfaltigkeiten, deren Tangentialräume an jeder Stelle mit der geometrischen
Distribution übereinstimmen. Der Satz von Frobenius löst diese Frage vollständig
Vorwort zur ersten Auflage ix
und ist ein grundlegendes Werkzeug zur Integration gewisser Systeme partieller
Differentialgleichungen erster Ordnung. Im vierten Kapitel führen wir einen rein
analytischen Beweis des Frobenius-Satzes und verwenden diesen später in den Ab
schnitten über Flächentheorie, in der symplektischen Geometrie sowie beim Stu
dium vollständig integrabier Systeme.
Das fünfte Kapitel ist der Differentialgeometrie von Kurven und Flächen im eukli
dischen Raum gewidmet. Wir besprechen die Krümmung und die Windung einer
Kurve, die Frenet-Fbrmeln und beweisen den Fundamentalsatz der Kurventheorie.
Danach wenden wir uns einigen speziellen Kurventypen zu und beenden diesen ein
leitenden Abschnitt mit einem Beweis der Fenchel-Ungleichung. Sie besagt, dass
die totale Krümmung einer geschlossenen Raumkurve mindestens 27r beträgt. Die
Flächentheorie behandeln wir im Sinne von Cartan unter Verwendung eines be
gleitenden Repers. Zunächst diskutieren wir die Strukturgleichungen einer Fläche
und beweisen unter Anwendung des Frobenius-Satzes den Fundamentalsatz der
Flächentheorie. Diesen formulieren wir bezogen auf ein an die Fläche angepas
stes Reper und den sich daraus ergebenden 1-Formen. Wir gehen anschließend zur
tensoriellen Beschreibung der Flächentheorie über. Die erste und die zweite Grund
form einer Fläche sowie die in den Gauss- und Codazzi-Mainardi-Gleichungen zum
Ausdruck kommenden Beziehungen zwischen den beiden Grundformen sind dabei
die wichtigsten Aussagen. Den bereits bewiesenen Fundamentalsatz formulieren
wir ein zweites Mal in dieser tensoriellen Beschreibung der Flächentheorie. Zahl
reiche Beispiele (Rotationsflächen, Graphen, Betragsflächen analytischer Funktio
nen, deren Real- und Imaginärteilflächen) illustrieren die differentialgeometrische
Behandlung von Flächen im euklidischen Raum. Das Studium der Norrnalenabbil
dung einer Fläche führt auf die Gauflsche Krümmung, welche nach dem Theorema
Egregium von Gauß eine Größe der inneren Geometrie ist. Unter Verwendung des
Satzes von Stokes beweisen wir die Gauß-Bonnet-Formel und eine auf Steiner
Minkowski zuriickgehende, analoge Integralformel für die mittlere Krümmung ei
ner kompakten, orientierten Fläche. Eine wichtige Klasse von Flächen sind die Mi
nimalflächen. Deren Normalenabbildung ist konform und diese Beobachtung führt
auf die sog. Weierstraß-Formeln. Sie beschreiben die Minirnalfläche lokal durch zwei
holomorphe Funktionen. Es folgt das Studium der geodätischen Linien auf Flächen,
die Integration des geodätischen Flusses unter Verwendung erster Integrale sowie
die Untersuchung von Abbildungen zwischen Flächen. Am Ende des fünften Kapi
tels geben wir einen Ausblick auf die Geometrie pseudo-Riemannscher Mannigfal
tigkeiten höherer Dimension und wenden uns insbesondere Einstein-Räumen sowie
Räumen konstanter Krümmung zu.
Symmetrien spielen in Geometrie und Physik eine fundamentale Rolle. Im sechs
ten Kapitel führen wir in die Theorie der Lie-Gruppen und homogenen Räume
ein. Wir besprechen die grundlegenden Eigenschaften einer Lie-Gruppe, ihrer Lie
Algebra sowie die Exponentialabbildung. Danach konzentrieren wir uns auf den
Beweis der Tatsache, dass jede abgeschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe selbst
Lie-Gruppe ist und definieren im Faktorraum eine Mannigfaltigkeitsstruktur. Auf
x Vorwort zur ersten Auflage
diese Weise entstehen viele bekannte Mannigfaltigkeiten als homogene Räume. Mit
Hinblick auf die folgenden Anwendungen in der Mechanil< studieren wir die adjun
gierte Darstellung einer Lie-Gruppe näher.
Neben der Rlemannschen ist die symplektische Geometrie eine wesentliche Säule
der Differentialgeometrie und besonders mit Hinblick auf die Hamiltonsche For
mulierung der Mechanik relevant. Beispiele symplektischer Mannigfaltigkeiten er
geben sich aus Kotangentialbündeln beliebiger Mannigfaltigkeiten oder aus den
Orbits der koadjungierten Darstellung einer Lie-Gruppe. Wir beweisen zunächst
den Satz von Darboux, welcher besagt, dass alle symplektischen Mannigfaltigkeiten
lokal äquivalent sind. Danach zeigen wir den Satz von Noether und interpretieren
diesen als die Momentenabbildung Hamiltonscher Wirkungen von Lie-Gruppen
auf symplektischen Mannigfaltigkeiten. Sorgfaltig besprechen wir vollständig in
tegrierbare Hamilton-Systeme. Unter Verwendung des Frobenius-Satzes beweisen
wir einen Algorithmus zum Auffinden der Winkel- und Wirkungskoordinaten di
rekt aus den ersten Integralen der Hamilton-Funktion. Im Abschnitt 7.5 skizzieren
wir die Formulierungen der Mechanik nach Newton, Lagrange und Hamilton. Ins
besondere kehren wir nocbmals zum Satz von Noether im Rahmen der Lagrange
Mechanik zurück, welcher u. a. bei der Integration des geodätischen Flusses pseudo
Rlemannscher Mannigfaltigkeiten zur Anwendung ko=t. In den Übungsaufgaben
des siebten Kapitels findet der Leser eine Reihe der bekanntesten mechanischen
Systeme wieder.
In der statistischen Mechanik werden Teilchen durch ihre Aufenthaltswahrschein
lichkeit im Raum beschrieben. Ihr Gegenstand sind daher die Bewegungen sta
tistischer Zustände in einem Hamilton-System. Wir führen die Energie und die
Informationsentropie statistischer Gleichgewichtszustände ein. Danach charakte
risieren wir die Gibbsschen Zustände als diejenigen maximaler Informationsen
tropie bei festgelegter Energie und beweisen analog, dass die mikrokanonische
Verteilung das Maximum an Entropie unter allen Zuständen mit feststehendem
Träger realisiert. Mittels der Gibbsschen Zustände ordnen wir einem von zusätzli
chen Parametern abhängigen Hamilton-System ein thermodynamisches System im
Gleichgewichtszustand zu, welches die Postulate der Thermodynamik erfüllt. Wir
besprechen die Rolle des Drucks sowie die der freien Energie. Eine Reihe von Bei
spielen, etwa das ideale Gas, Festkörper und Kreisprozesse, beenden dieses achte
Kapitel.
Das neunte Kapitel ist der Elektrodynamik gewidmet. Ausgehend von den Max
wellschen Gleichungen, formuliert in der Gestalt der Feldstärkevektoren sowie un
ter Verwendung der dualen 1-Formen, behandeln wir zunächst das statische elek
tromagnetische Feld. Wir beweisen die entsprechende Lösungsformel für die inho
mogene Laplace-Gleichung im dreidimensionalen Raum und erhalten damit neben
einer Beschreibung des elektrischen und des magnetischen Feldes im statischen
Fall zugleich einen Beweis des bereits erwähnten Helmholtz-Satzes. Danach wen
den wir uns elektromagnetischen Feldern im Vakuum zu. Hier beweisen wir die
Vorwort zur ersten Auflage xi
Lösungsformeln für das Cauchy-Problem der Wellengleichung in den Dimensionen
zwei und drei. Das Kapitel schließt mit einer relativistischen Formulierung der
Maxwellsehen Gleichungen im Minkowski-Raum und einer eingehenden Bespre
chung der Lorentz-Kraft.
Wir danken Frau Heike Pahlisch für ihre umfangreiche Arbeit und ihren Einsatz
bei der Herstellung des Buchtextes sowie der Bilder. Ohne sie wäre eine so schnelle
Publikation des vorliegenden Buches nicht denkbar gewesen. Den Hörern unserer
Lehrveranstaltungen in den Jahren von 1998 bis 2000 danken wir für zahlreiche
Hinweise, die zur Ergänzung und Verbesserung des Textes geführt haben. Insbe
sondere Herr Dipl.-Math. Uli Krähmer hat uns in vielen Kapiteln auf notwendige
Korrekturen hingewiesen. Nicht zuletzt danken wir Frau M. A. Claudia Frank für
die Griindlichkeit, mit der sie das gesamte Manuskript unter sprachlichem Ge
sichtspunkt durchgelesen und verbessert hat.
Berlin, im November 2000
Ilka Agricola
Thomas Friedrich
