Table Of ContentOtto Forster | Thomas Szymczak
Übungsbuch zur Analysis 2
Otto Forster | Thomas Szymczak
Übungsbuch
zur Analysis 2
Aufgaben und Lösungen
7., aktualisierte Auflage
STUDIUM
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Prof. Dr. Otto Forster
Ludwig-Maximilians-Universität München
Mathematisches Institut
Theresienstraße 39
80333 München
[email protected]
Dr. Thomas Szymczak
[email protected]
1. Auflage1995
2., überarbeitete Auflage1997
2 Nachdrucke
3., durchgesehene Auflage 2003
1 Nachdruck
4., überarbeitete Auflage 2005
5., durchgesehene Auflage 2006
6., aktualisierte Auflage 2008
7.,aktualisierte Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach
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Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1253-7
V
Vorwort zur ersten Auflage
DervorliegendeBandstelltdenzweitenTeileinesU¨bungsbucheszurAnalysis
dar.
WieimerstenBandistdasBuchineinenAufgaben–undLo¨sungsteilunter-
gliedert.DieAufgabenstammenvorwiegendausdemBuch Analysis2“ von
”
O.Forster,jedochauchdiezusa¨tzlichenAufgabensetzenstofflichnichtmehr
Wissenvoraus.
Die Lo¨sungen zu den einzelnen Aufgaben sind weitgehend sehr ausfu¨hrlich
dargestelltundandieBu¨cher Analysis1“und Analysis2“(imfolgendenmit
” ”
An.1undAn.2zitiert)vonO.Forsterangelehnt,sodaßsieauchohnezusa¨tz-
licheLiteraturzuverstehensind.IstzueinerAufgabekeineLo¨sungenthalten,
so wurde sie, je nach Schwierigkeitsgrad, mit einer ausfu¨hrlichen Anleitung
versehen.
SicherlichwirddiesesBuchnichtfehlerfreiseinundzueinigenAufgabengibt
esku¨rzerebzw.elegantereLo¨sungen,dochichhoffe,daßderLesermitdiesem
BuchnichtdenSpaßverliert,selbstmathematischeAufgabenzulo¨sen.Denn
mansolltesichinderRegel,bevormaneineLo¨sungzueinerAufgabeineinem
Buchnachliest,ausgiebigmitihrbescha¨ftigthabenundversuchthaben,selbst
eineLo¨sungzufinden.
Schließlichmo¨chteichnocheinigeDanksagungenaussprechen:
• HerrnProfessorO.Forster,dermitseinenBu¨chernzurAnalysisdieses
Bucherstmo¨glichgemachthat.
• HerrnProfessorDr.W.Ku¨hnel,beidemichdieGrundvorlesungenzur
Analysisgeho¨rthabe.
• Fu¨rdieMithilfebeimKorrekturlesendankeichHerrnKu¨hnundHerrn
Westermann.
• DemVieweg–VerlagundinsbesondereFrauSchmickler–Hirzebruchfu¨r
dieHerausgabedesBuches.
Dinslaken,Februar1995 ThomasSzymczak
VI
Vorwortzur2.Auflage
In der vorliegenden zweiten Auflage wurden einige Lo¨sungen vereinfacht.
Weiter wurden diejenigen Aufgaben, zu denen Lo¨sungen bzw. Hinweise im
2.Teilvorhandensind,imAufgabenteilmiteinemSternversehen.
Rostock,Ma¨rz1997 ThomasSzymczak
Vorwortzur4.Auflage
Nachdem der Band Analysis 2 mit der 6. Auflage eine umfassende Neube-
arbeitungerfahren hat,wurdeauchdasvorliegendeU¨bungsbuchu¨berarbeitet
undderNeuauflagederAnalysis2angepasst.Einigefru¨hereU¨bungsaufgaben
sindjetztindenHaupttextderAnalysis2aufgenommen;dafu¨rkamenandere
AufgabenundLo¨sungenhinzu.
April2005 OttoForster
ThomasSzymczak
Vorwortzur7.Auflage
Fu¨r die 7. Auflage wurden bekannt gewordene Druckfehler korrigiert sowie
einige neue Aufgaben und Lo¨sungen hinzugefu¨gt. Außerdem wurden einige
Lo¨sungenvereinfacht.
Februar2011 OttoForster
VII
Inhaltsverzeichnis
I.Aufgaben
§1. TopologiemetrischerRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Grenzwerte.Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§3. Kompaktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§4. KurvenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§5. PartielleAbleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§6. TotaleDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§7. Taylor–Formel.LokaleExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§8. ImpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§10. Integrale,dievoneinemParameterabha¨ngen . . . . . . . . . 18
§11. ElementareLo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§12. Existenz–undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§13. LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§14. Differentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 25
§15. LineareDgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . 28
§16. Systemevonlin.Dgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . 30
II.Lo¨sungen
§1. TopologiemetrischerRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§2. Grenzwerte.Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§3. Kompaktheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§4. KurvenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§5. PartielleAbleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§6. TotaleDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§7. Taylor–Formel.LokaleExtrema . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§8. ImpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§9. Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§10. Integrale,dievoneinemParameterabha¨ngen . . . . . . . . . 82
§11. ElementareLo¨sungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§12. Existenz–undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . 100
§13. LineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§14. Differentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 110
§15. LineareDgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . 127
§16. Systemevonlin.Dgl.mitkonstantenKoeffizienten . . . . . . 137
Literaturverzeichnis 147
Teil I
Aufgaben
3
§1. TopologiemetrischerRa¨ume
Aufgabe1A.∗ AufRwerdeeineMetrikδdefiniertdurch
δ(x,y):=arctan|x−y|.
Manzeige,dassδdieAxiomeeinerMetrikerfu¨lltunddassdieoffenenMengen
bzgl.dieserMetrikdieselbensindwiebzgl.deru¨blichenMetrik
d(x,y)=|x−y|.
Aufgabe1B. EsseiX dieMengeallerkomplexerZahlenfolgen.Manzeige,
dassdurch
d((a ),(b )):=∑∞ 1 · |ai−bi| ((a ),(b )∈X)
n n 2i+1 1+|a −b| n n
i=0 i i
eineMetrikaufX definiertwird.
Aufgabe1C. (Vierecksungleichung).
Essei(X,d)einmetrischerRaumunda,b,c,d∈X.Danngilt
|d(a,b)−d(c,d)|≤d(a,c)+d(b,d).
Aufgabe1D.∗ SeienA,B⊂RbeliebigeTeilmengen.Manzeige:
◦ ◦ ◦
a) (A×B) =A×B,
b) A×B=A×B.
Aufgabe1E.∗ SeienA,B⊂RbeliebigeTeilmengen.Manzeige,dassfu¨rden
RandvonA×B⊂R2gilt
∂(A×B)=(∂A×B)∪(A×∂B).
∗
Aufgabe 1 F. Man zeige, dass in einem metrischen (oder topologischen)
RaumdieVereinigungendlichvielerundderDurchschnittbeliebigvielerab-
geschlossenerMengenwiederabgeschlossenist.
∗ZudenmiteinemSternversehenenAufgabenfindensichLo¨sungenimLo¨sungsteil
O. Forster, T. Szymczak, Übungsbuch zur Analysis 2,
DOI 10.1007/978-3-8348-8140-3_1,
© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
4 Aufgaben
∗
Aufgabe1G. Manbeweise:
a) EineTeilmengeY einestopologischenRaumesX istgenaudannoffen,
wennY∩∂Y =0/.
b) EineTeilmengeY einestopologischenRaumesX istgenaudannabge-
schlossen,wenn∂Y ⊂Y.
∗
Aufgabe1H. EsseiX einebeliebigeMenge.Dannwirddurch
(cid:2)
0, fallsx=y,
d(x,y):=
1, fallsx(cid:9)=y,
aufXeineMetrikdefiniert(dheißttrivialeMetrikaufX).Manzeige,dassjede
TeilmengevonX bzgl.dieserMetrikzugleichoffenundabgeschlossenist.
Aufgabe1I. EsseiX einmetrischerRaumundA,BzweiTeilmengenvonX.
ManzeigefolgendeAussagen:
(cid:3) (cid:4)
◦ ◦ ◦
a) A =A⊂A⊂A=A.
b) Die Vereinigung aller offenen Teilmengen von X, die auch Teilmenge
◦
von A sind, ist gleich A. Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teil-
mengenvonX,welcheAumfassen,istgleichA.
◦ ◦
c) IstA⊂B,soauchA⊂BundA⊂B.
◦ ◦ ◦
d) A∩B=(A∩B) , A∪B=A∪B.
◦ ◦ ◦
e) A∪B⊂(A∪B) , A∩B⊃A∩B. Gilti.a.auchGleichheit?
Aufgabe1J.∗ AufderMengeZderganzenZahlenwerdefolgendeTopologie
eingefu¨hrt:OffeneMengensindaußer0/ undZalleTeilmengenU⊂Z,sodass
Z(cid:2)U endlich ist. Man zeige, dass die Axiome einer Topologie erfu¨llt sind,
aberdasHausdorffscheTrennungs-Axiomnichtgilt.
§2. Grenzwerte.Stetigkeit
Aufgabe2A.∗ Seien f,g:X −→RzweistetigeFunktionenaufdemmetri-
schenRaumX.Fu¨rx∈X werdedefiniert
ϕ(x):=max(f(x),g(x)), ψ(x):=min(f(x),g(x)).
§2. Grenzwerte.Stetigkeit 5
Manzeige,dassdieFunktionenϕ,ψ:X−→Rstetigsind.
Aufgabe2B. Essei f :R2−→Rdefiniertdurch
⎧
⎪⎨(cid:9) xy , falls(x,y)(cid:9)=(0,0),
f(x,y):= |x|+y2
⎪⎩
0, falls(x,y)=(0,0).
Manpru¨fe,ob f in(0,0)stetigist.
Aufgabe2C.∗ Manzeige,dassderVektorraumC[a,b]allerstetigenFunktio-
nen f :[a,b]−→RaufdemIntervall[a,b]⊂RmitderSupremums–Norm
(cid:12)f(cid:12):=sup{|f(x)| : x∈[a,b]}
vollsta¨ndigist.
Aufgabe2D.∗ AufdemVektorraumC1[a,b]allereinmalstetigdifferenzier-
barenFunktionen f :[a,b]−→RwerdefolgendeNormeingefu¨hrt:
(cid:12)f(cid:12) :=sup{|f(x)|+|f(cid:13)(x)| : x∈[a,b]}.
C1
a) Manzeige,dassC1[a,b]mitdieserNormvollsta¨ndigist.
b) Manzeige:DieAbbildung
D:C1[a,b]−→C[a,b], f (cid:14)−→ f(cid:13),
wirdstetig,wennmanC1[a,b]mitder(cid:12)(cid:12) –NormundC[a,b]mitder
C1
Supremums–Normversieht.
Aufgabe2E. (HilbertscherFolgenraum).
Es sei p ∈ [1,∞[. Weiter sei (cid:2) der Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen
p
(xi)i∈Nmit (cid:10) (cid:11)
∞ 1/p
∑|x|p <∞.
i
i=0
Dannwirddurch (cid:10) (cid:11)
∞ 1/p
(cid:12)(xn)(cid:12)(cid:2)p:= ∑|xi|p
i=0
