Table Of ContentDieter MOlier-Wichards
Transformationen und Signale
Transformationen
und Signale
Von Prof. Dr. rer. nat. Dieter Muller-Wichards
Fachhochschule Hamburg
EI3
B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig 1999
Prof. Dr. rer. nat. Dieter MOlier-Wichards
Geboren 1946 in BOdelsdorfISchleswig-Holstein. Von 1967 bis 1972 Studium der
Mathematik, Physik und Informatik mit anschlieBender Assistententatigkeit bis
1977 an der Universitat Kiel. 1976 Promotion in Angewandter Mathematik. Von
1977 bis 1989 wiss. Mitarbeiter der Deutschen Forschungs-und Versuchsanstalt
fOr Luft-und Raumfahrt (DLR) in Gottingen (1981 bis 1989 als Rechenzentrumslei
ter). 1986 einjahriger Aufenthalt als Gastwissenschaftler am IBM T. J. Watson
Research Center in Yorktown Heights, N.Y. Von 1989 bis 1992 wiss. Mitarbeiter
des Instituts fOr Supercomputing und Angewandte Mathematik des Wissen
schaftlichen Zentrums Heidelberg der IBM (1990 bis 1992 als Leiter der Abteilung
Ingenieurwissenschaftliche Anwendungen). Seit 1992 Professor fOr Mathematik
am Fachbereich Elektrotechnik und Informatik der FH Hamburg.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Mliller-Wichards, Dieter:
Transformationen und Signale / von Dieter MOller-Wichards. - Stuttgart
; Leipzig: Teubner, 1999
ISBN-13: 978-3-519-02742-3 e-ISBN-13: 978-3-322-80107-4
001: 10.1007/978-3-322-80107-4
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung
auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver
lages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fOr Vervielfaltigungen, Obersetzungen,
Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen System en.
© 1999 B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig
Vorwort
Dieses Buch wendet sich in erster Linie an Studenten der Elektrotechnik und
Technischen Informatik im zweiten Studienjahr. Es kann auch fUr solche Stu
denten der Mathematik von Nutzen sein, die sich fiir die Verwendung von
Transformationen bei der Bearbeitung von kontinuierlichen und diskreten Zeit
signalen interessieren.
Es entstand als Begleittext zur Vorlesung Mathematische Methoden und zu
Teilen der Vorlesung Numerische Methoden fiir Studierende der Elektrotechnik
an der Fachhochschule Hamburg.
In dem vorliegenden Text haben wir auf die Behandlung stochastischer Si
gnale verzichtet und uns auf deterministische Signale beschriinkt.
Das Schwergewicht der Darstellung liegt bei der Begriindung der mathema
tischen Methoden mit dem Ziel, dem angehenden Ingenieur ein verstiindliches
und zuverliissiges mathematisches Werkzeug in die Hand zu geben. Die Dar
stellung ist im wesentlichen elementar, d.h. sie verwendet in erster Linie Eigen
schaften unendlicher Reihen, Ergebnisse der Differential- u. Integralrechnung
und solche der Linearen Algebra aus dem 1. Studienjahr.
An einigen wenigen Stellen (etwa bei der Begriindung der Tatsache, dafi
die trigonometrischen Funktionen ein vollstiindiges Funktionensystem bilden)
benutzen wir Ergebnisse der (Lebesgue'schen) Integrationstheorie.
Bei der Diskussion der Anwendung der Hilbert-Transformation im Rahmen
der Amplitudenmodulation werden Ergebnisse der Funktionentheorie (d.h. der
Theorie holomorpher bzw. analytischer Funktionen in der komplexen Ebene)
verwendet.
Fiir die Entwicklung der Impulsmethode, fiir die Beschreibung von Spektren
periodischer Funktionen im rahmen der Fourier-Transformation, fUr eine kon
sistente Beschreibung kontinuierlicher zeitunabhiingiger linearere Systeme und
fiir die Formulierung des Abtasttheorems erweist sich die EinfUhrung von ver
allgemeinerten Funktionen (sog. Distributionen) als sinnvoll und notwendig.
Bei der Erweiterung der Fourier-Transformation auf Distributionen geniigt
es fUr die Begriindung des Kalkiils, sich auf die punktweise Konvergenz der
Funktionale auf der Menge der Testfunktionen zu beschriinken (und auf Ste
tigkeitsbetrachtung der Funktionale zu verzichten). Dieser Verzicht erkliirt sich
aus dem Bemiihen, die Darstellung so weit wie moglich elementar zu halten.
die Reihenfolge der im vorliegenden Text angesprochenen Themen ergibt
sich im Grofien und Ganzen aus den Erfordernissen an einen organischen
mathematischen Aufbau. Die Folge ist, dafi manche Themen - wie etwa das
Gibbs'sche Phiinomen oder die Autokorrelation - an verschiedenen Stellen des
Textes behandelt werden, je nachdem ob es sich dabei urn periodische oder
nichtperiodische Signale handelt.
6
Meinem Kollegen Peter Gerdsen mochte ich fiir seine Anregung zur Behand
lung einseitiger Spektren von amplitudenmodulierten Signalen danken.
Mein besonderer Dank gilt meinem Kollegen Heinz SudhOlter, der mir so
zusagen den roten Faden fUr dieses Buch in die Hand gegeben hat.
Hamburg im Dezember 1998 Dieter Miiller-Wichards
Inhaltsverzeichnis
o
Einleitung 11
1 Fourier-Reihen 19
1.1 Eigenschaften und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.1 Reelle und komplexe Darstellung der Fourier-Reihe 21
1.1.2 Symmetrie... 26
1.1.3 Differentiation. 27
1.1.4 OptimaliUit.. 29
1.2 Konvergenzsatze ... 36
1.2.1 Der Satz von Dirichlet 39
1.2.2 Das Gibbs'sche Phanomen 55
1.2.3 Konvergenz im quadratischen Mittel 58
1.2.4 GleichmaBige Konvergenz 64
1.3 Faltung und Korrelation . 66
2 Die Fourier-Transformation 73
2.1 Die Fourier-Transformation ..... 76
2.2 Korrespondenzen und Rechenregeln . 77
2.2.1 Ahnlichkeit und Verschiebung 78
2.2.2 Symmetrie........... 82
2.3 Glattheit u. Abklingverhalten der Transformierten . 83
2.3.1 Differentiationssatze ............ . 86
2.4 Parsevalsche Gleichung und inverse Transformation 90
2.5 Andere Formen der Fourier- Transformation . . . 105
2.6 Faltungssatz und zeitinvariante lineare Systeme . 106
2.6.1 Kreuz-und Autokorrelation . .112
2.6.2 Das Gibbs'sche Phanomen .... .113
3 Erweiterung der Fourier-Transformation 119
3.1 Distributionen .............. . .119
8 Inhaltsverzeichnis
3.1.1 Fourier-Transformation von Distributionen . . . . . . . . 124
3.1.2 Zeitinvariante lineare Systeme und die erweiterte
Fourier-Transformation. . . . . . . . . . . . . 128
3.1.3 Schwache Ableitung u. Differentiationssatze . 128
3.1.4 Weitere Rechenregeln. . . . . . . . . 132
3.1.5 Impulsmethode............. . 134
3.2 Schwache Konvergenz von Distributionen . . . . 137
3.2.1 Das Spektrum periodischer Funktionen . 138
3.2.2 Periodische Spektren . . . . . . . . . . . 141
3.2.3 Die Fourier-Transformierte der Sprungfunktion . . 146
3.2.4 Die Fourier-Transformierte eines Impulskammes . 150
3.3 Das Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . 153
3.4 Abtastung mit realen Impulsen .... · 164
3.4.1 Puls-Amplituden-Modulation 1 · 164
3.4.2 Puls-Amplituden-Modulation 2 .166
4 Diskrete und schnelle Fourier-Transformation 171
4.1 Die diskrete Fourier-Transformation. . . . . . . . . . . . . 171
4.1.1 Fourier-Koeffizienten und Abminderungsfaktoren . 174
4.1.2 Datenverdichtung (Upsampling) . . . . . . .. . . . 180
4.1.3 Trigonometrische Interpolation fiir reelle Stiitzwerte. . 182
4.1.4 Die diskrete Fourier-Transformation. . 186
4.2 Die schnelle Fourier-Transformation ...... . · 191
4.2.1 Der Sande-Tukey Algorithmus ..... . · 192
4.2.2 Der Algorithmus von Cooley und Tukey .203
4.2.3 Die schnelle Faltung .......... . .207
5 Die Laplace-Transformation 209
5.1 Einige wichtige Eigenschaften ................... 212
5.2 Grenzwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.3 Laplace-Transformation und gewohnliche Differentialgleichungen 226
5.3.1 Lineare Differentialgleichungen 1. und 2.0rdnung mit
konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . 226
5.3.2 Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . 233
5.4 Systeme und Differentialgleichungen . . 234
5.4.1 Sprungantwort . 235
5.4.2 Impulsantwort. . 236
5.4.3 Frequenzgang. . 238
5.4.4 Stabilitat ... . 240
5.5 Anwendung; Filterentwurf .240
Inhaltsverzeichnis 9
5.5.1 Butterworth-Filter . . . . . . . . . . . . . .241
5.5.2 Tschebyscheff-Filter ............ . .243
5.6 Zusarnmenschaltung und Zerlegung von Systemen .246
6 Die Z-Transformation 251
6.1 Zeitdiskrete Signale und zeitdiskrete Systeme . . 251
6.1.1 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . 255
6.2 Die Z-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . 258
6.2.1 Eigenschaften der Z-Transformation. . . 260
6.2.2 Differenzengleichung und Ubertragungsfunktion . 265
6.2.3 Diskrete zyklische Faltung fiir nichtrekursive Systeme . 268
6.2.4 Stabilitiit ........... . 271
6.3 Frequenzgang und Sprungantwort . . . 274
6.4 Nachbildung kontinuierlicher Systeme . 275
6.4.1 Impulsinvariante Nachbildung . 276
6.4.2 Sprunginvariante Nachbildung . 277
6.4.3 Bilineare Substitution . 280
6.4.4 Fourier-Ansatz .. . 282
7 Die Hilbert-Transformation 285
7.1 Konjugierte Funktionen und die Hilbert-Transformation. . 285
7.1.1 Anwendung: Frequenzmodulation .297
7.1.2 Das Spektrum kausaler Signale .. . . 298
7.2 Holomorphe Transformationen . . . . . . . . . 300
7.2.1 Anwendung: Amplitudenmodulation . 308
8 Anhang 311
8.1 Losungen der Aufgaben . .311
9 Literaturverzeichnis 315
10 Index 317
KapitelO
Einleitung
Die im vorliegenden Buch behandelten Transformationen dienen der Beschrei
bung der Eigenschaften von kontinuierlichen und diskreten Signalen und des
Verhaltens von kontinuierlichen und diskreten Systemen.
Das Ausgangssignal eines zeitunabhangigen linearen Systems (kontinuierlich
oder diskret) kann im Zeit bereich als Faltung des Eingangssignals mit der Im
pulsantwort des Systems dargestellt werden. Urn die Berechnung des Faltungs
integrals (oder dessen diskrete Version) zu vermeiden, geht man haufig den
Weg, Eingangssignal und Impulsantwort der Laplace-Transformation (bei kon
tinuierlichen) bzw. der Z-Transformation (bei diskreten Systemen) zu unter
werfen, beide Transformierte miteinander zu multiplizieren und anschlieBend
das Produkt zuriickzutransformieren. Grundlage fUr diese Vorgehensweise ist
der fUr beide Transformationen giiltige Faltungssatz zusammen mit der ein
deutigen Umkehrbarkeit beider Transformationen.
Offenbar beschreibt die Transformierte der Impulsantwort das Verhalten
des Systems vollstandig. Man bezeichnet sie als Ubertragungsfunktion des Sy
stems. Ubertragungsfunktionen sind auf Teilmengen der komplexen Ebene de
finiert (bei kontinuierlichen Systemen auf Halbebenen, bei diskreten auf Kreis
ringen).
Andererseits lassen sich zeitunabhangige lineare Systeme typischerweise
durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (fiir kon
tinuierliche) bzw. durch entsprechende Differenzengleichungen (fUr diskrete
Systeme) beschreiben. Die zugehOrigen Ubertragungsfunktionen lassen sich
direkt aus den Differential- bzw. Differenzengleichungen ablesen und erwei
sen sich als rationale Funktionen. Da die Transformierte des Eingangssignals
ebenfalls haufig eine rationale Funktion ist, gelingt die Riicktransformation in
der Regel mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung, denn die Originalfunktionen
der bei dieser Zerlegung im Bildbereich auftretenden Terme sind vollstandig
D. Müller-Wichards, Transformationen und Signale
© B.G. Teubner Stuggart · Leipzig 1999
12 Kapitel O. Einleitung
bekannt.
Da diskrete Systeme leichter zu bauen sind als kontinuierliche, ist es von
Interesse zu untersuchen, inwieweit und in welchem Sinne sich das Verhalten
kontinuierlicher Systeme durch diskrete nachbilden laBt. Es zeigt sich, daB eine
solche Nachbildung nur partiell gelingt (impulsinvariante bzw. sprunginvarante
Nachbildung). Eine andere Strategie del' Nachbildung beruht auf del' Beobach
tung, daB ein kontinuierliches System sich als Zusammenschaltung von Inte
gratoren (I-Gliedern) darstellen lafit. Del' mathematische Hintergrund diesel'
Beobachtung besteht in del' Partialbruchzerlegung del' Ubertragungsfunktion
des Systems. Die in del' Zerlegung auftretenden arithmetischen Operationen
Addition, Multiplikation und Division von Termen lassen sich im wesentlichen
als Parallel-, Hintereinander-und Riickkopplungsschaltung von Elementarbau
steinen interpretieren (wobei die Terme die Ubertragungsfunktionen del' Ele
mentarbausteine darstellen).
Diskretisiert man nun den Integrator durch eine numerische Naherung (z.B.
mit del' Sehnentrapezregel als Differenzengleichung geschrieben) und ersetzt
man in del' Ubertragungsfunktion des kontinuierlichen Systems die Ubertra
gungsfunktion ~ des Integrators durch die Ubertragungsfunktion del' nume
rischen Naherung, so erhalt man die Ubertragungsfunktion eines nachbilden
den diskreten Systems (bilineare Substitution). Bei diesel' 'Substitution' gehen
stabile Systeme in stabile Systeme uber. Dabei heiBt ein System stabil, wenn
zu beschrankten Eingangssignalen stets beschrankte Ausgangssignale gehoren.
Die Stabilitat eines (kontinuierlichen oder diskreten) Systems laBt sich durch
die Lage del' Poistellen del' Ubertragungsfunktion bzw. durch absolute Inte
grierbarkeit (absolute Summierbarkeit bei diskreten Systemen) del' Impulsant
wort beschreiben.
Fur viele Zwecke besonders wichtig ist das Frequenzverhalten eines Systems.
Dieses laBt sich folgendermaBen skizzieren: die Antwort des Systems auf eine
harmonische Schwingung einer bestimmten Frequenz ist (jedenfalls im einge
schwungenen Zustand) eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz, aller
dings mit i.a. veranderter Amplitude und Phase. Amplitude und Phase des
Ausgangssignals lassen sich zu einem komplexen Faktor zusammenfassen, del'
von del' Frequenz abhangt. Die so deflnierte Funktion del' Frequenz wird als
Frequenzgang des Systems bezeichnet. Es stellt sich heraus, daB del' Frequenz
gang bei stabilen Systemen existiert und daB dann del' Frequenzgang eines
kontinuierlichen Systems gerade gleich del' Ubertragungsfunktion auf del' ima
ginaren Achse ist. Gleichzeitig lafit sich del' Frequenzgang als Spektrum del'
Impulsantwort interpretieren. Das Spektrum des Ausgangssignals ergibt sich
dann als Produkt des Spektrums des Eingangssignals mit dem Frequenzgang.
Diese Aussage beruht auf dem Faltungssatz fur die Fourier-Transformation.
