Topological phases and polaron physics in ultra cold quantum gases

386 Pages·2015·13.64 MB·English

by  Fabian Grusdt

Topological phases and polaron physics
in ultra cold quantum gases
Dissertation
Fabian Grusdt
Vom Fachbereich Physik der Technischen Universit¨at Kaiserslautern zur Erlangung
des akademischen Grades ”Doktor der Naturwissenschaften” genehmigte Dissertation
Betreuer: Prof. Dr. Michael Fleischhauer
Zweitgutachter: Prof. Dr. Eugene Demler
Datum der wissenschaftlichen Aussprache:
15. April 2015
D 386

Gewidmet den wichtigsten Lehrern
und Betreuern w¨ahrend meiner Schulzeit:
Anton P¨opperl
Matthias Schweinberger
Rudolf Lehn

Contents
Abstract 7
Kurzfassung 10
I Topological States of Interacting Bosons 13
1 Introduction 15
1.1 Summary and Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Fundamental Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Topological order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 (Abelian) topological invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 Non-Abelian topological invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.4 The Hofstadter-Bose-Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Topology in the Superlattice Bose Hubbard Model 43
2.1 Outline and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Superlattice Bose Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Hard-core bosons and chiral symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Bulk phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Topological order in the superlattice Bose Hubbard model . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Topological edge states in the superlattice Bose Hubbard model . . . . . . . . . 49
2.4.1 Failure of the bulk-boundary correspondence . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.2 Generalized bulk-boundary correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.3 Experimental considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.4 Relation to Majorana fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Extended superlattice Bose Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.1 Model and bulk phases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.2 Symmetry-protected topological classification of Mott insulators . . . . 60
2.5.3 Topological excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Thouless pump classification of inversion-symmetric models in one dimension . 67
2.7 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Realization of Fractional Chern Insulators in the Thin-torus Limit 73
3.1 Outline and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 Relation to the thin-torus-limit of the Hofstadter-Hubbard model . . . . 75
3.2.2 Possible experimental implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Topology in the non-interacting system – Thouless pump . . . . . . . . . . . . 79
5
6 CONTENTS
3.4 Interacting topological states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.1 Grand-canonical phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.2 Harmonic trapping potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Topological classification and fractional Thouless pump . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1 1+1D model and fractional Thouless pump . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.2 1D model and SPT CDW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Fractional Quantum Hall E↵ect with Rydberg Interactions 87
4.1 Summary and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.1 Rydberg dressing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 Rydberg-interaction pseudopotentials in the LLL . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Ground state for small blockade radii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1 Ground states at ⌫ = 1/2 and ⌫ = 1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 Ground states at small fillings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.3 Correlated Wigner crystal of composite particles . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 E↵ects of finite blockade radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Bubble crystal at small fillings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.2 Large filling – indications for cluster liquids . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 Summary and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5 Topological Growing Scheme for Laughlin States 103
5.1 Outline and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Growing quantum states with topological order . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Protocol – continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5 Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6 Protocol – lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6.1 Buckyball-Hofstadter-Bose-Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6.2 Numerical Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6.3 Possible experimental realizations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.7 Outlook – Beyond Laughlin states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
II Interferometry-based Detection of Topological Invariants 117
6 Introduction 119
6.1 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Fundamental Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2.1 Interferometric Measurement of Topological Invariants . . . . . . . . . . 121
6.2.2 Z2 topological invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7 Interferometric Measurement of Z2 Topological Invariants 127
7.1 Outline and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Interferometric measurement of the Z2 invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.1 Discontinuity of time-reversal polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2.2 The twist scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.3 The Wilson loop scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
CONTENTS 7
7.2.4 Relation between Wilson loops and TRP . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.3 Twist scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.3.1 Interferometric sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.3.2 Dynamical-phase-free sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3.3 Experimental realization and limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.3.4 Formal definition and calculation of cTRP . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3.5 Example: Kane-Mele model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.4 Wilson loop scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4.1 TR Wilson loops and their phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.4.2 Zak phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.4.3 Experimental realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.5 Summary and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8 Interferometric Measurement of Many-Body Topological Invariants 151
8.1 Outline and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 Theoretical Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2.1 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.2.2 Strong coupling approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2.3 TP invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2.4 Topological invariants: general considerations . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2.5 Strong coupling external TP invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.3 Integer Chern insulators and Integer Quantum Hall e↵ect . . . . . . . . . . . . 160
8.3.1 Topological invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.3.2 TP in the Hofstadter Chern insulator - single hole approximation . . . . 163
8.3.3 Solution in strong coupling approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.3.4 Interacting fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.3.5 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.6 TP in the integer quantum Hall e↵ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.4 Fractional Quantum Hall e↵ect and Fractional Chern Insulators . . . . . . . . . 170
8.4.1 Topological invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.4.2 Fractional Chern insulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.4.3 Fractional quantum Hall e↵ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.4.4 Experimental considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.5 Mott insulators and symmetry protected topological order . . . . . . . . . . . . 174
8.5.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.5.2 Polaron transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.5.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.5.4 Approximate descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.6 Conclusions and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
III Polaron Physics with Ultra Cold Atoms 185
9 Introduction 187
9.1 Summary and Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.2 Fundamental Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2.1 Polaron Hamiltonian for Impurities in a BEC . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2.2 Experimental Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.2.3 The Lee-Low-Pines Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8 CONTENTS
9.2.4 Weak-coupling or Mean-Field Polaron Theory . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.2.5 Strong-coupling polaron theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10 RF Spectra of Fr¨ohlich Polarons in a BEC 209
10.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.2 RF spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.2.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.2.2 Formulation as a non-equilibrium problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.3 Time-dependent MF theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.3.1 Equations of motion – Dirac’s variational principle . . . . . . . . . . . . 213
10.4 Discussion of RF spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.4.1 Leading-order expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.4.2 Universal high-energy RF tail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.5 Non-equilibrium polaron dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11 Weak-coupling theory of polaron Bloch oscillations in optical lattices 219
11.1 Summary and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.2 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.2.1 Derivation from microscopic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.2.2 Time-dependent Lee-Low-Pines transformation in the lattice . . . . . . 225
11.3 Weak-coupling Theory of Lattice Polarons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.3.1 Mean-field polaron wavefunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.3.2 Results: equilibrium properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11.4 Polaron Bloch Oscillations and Adiabatic Approximation . . . . . . . . . . . . 230
11.4.1 Time-dependent variational wavefunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.4.2 Adiabatic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.4.3 Polaron trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.5 Non-Adiabatic Corrections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.5.1 Impurity dynamics beyond the adiabatic approximation . . . . . . . . . 233
11.5.2 Beyond wavepacket dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.6 Polaron Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.6.1 General observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.6.2 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
11.6.3 Semi-analytical current-force relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.6.4 Insu�ciencies of the phenomenological Esaki-Tsu model . . . . . . . . . 241
12 All-coupling Theory of the Fr¨ohlich Polaron 245
12.1 Summary and Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
12.2 Fr¨ohlich Model and RG coupling constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
12.2.1 Towards the supersonic regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.3 Renormalization Group Formalism for the Fr¨ohlich model . . . . . . . . . . . . 250
12.3.1 Dimensional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
12.3.2 Formulation of the RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.4 Polaron Groundstate Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.4.1 Logarithmic UV Divergence of the polaron energy . . . . . . . . . . . . 257
12.4.2 Regularization of the Polaron Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.5 Other Groundstate Polaron Properties – Derivation. . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.5.1 Polaron Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.5.2 Phonon Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
CONTENTS 9
12.5.3 Quasiparticle weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12.6 Other Groundstate Polaron Properties – Results . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.6.1 Solutions of RG flow equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.6.2 Polaron Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.6.3 Phonon Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.6.4 Quasiparticle weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13 Dynamical RG for Intermediate-coupling Fr¨ohlich Polarons 269
13.1 Formulation of the dynamical RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13.1.1 Phonon number and momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13.1.2 Time-dependent overlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.2 Results: Spectral Function of the Fr¨ohlich Polaron . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.3 Results: Dynamics of polaron formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
IV Appendices 287
A Quantization of the fractional part of the charge on the edge 289
B Exact diagonalization in the lowest Landau level 293
C Proof of the Wilson loop formula for the Z2 invariant 295
D Bloch oscillation’s equations of motion 297
E Non-universal Franck-Condon factor phases 299
F TR invariant non-adiabatic two-band dynamics 301
G Hofstadter TP in the polaron frame 305
H Measurement of TP invariant in the Hofstadter problem 309
H.0.1 E↵ect of driving terms on impurity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
H.0.2 Exact treatment of driving terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
I Lowest Chern band projection 313
J Impurity-boson interactions in a lattice 315
K Static MF polarons in a lattice 317
L Impurity density in the lab frame 319
M Adiabatic wavepacket dynamics 321
N Discussion and extension of the analytical current-force relation 323
O Alternative derivation of polaron current 325
P Renormalized impurity mass 327
10 CONTENTS
Q Polaron Properties from RG 329
Q.1 Polaron phonon number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Q.2 Polaron momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Q.3 Quasiparticle weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
R Alternative Check of the RG – Kagan-Prokof’ev theory 333
R.1 Simplified Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
R.2 Relation to Kagan and Prokof’ev theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
R.2.1 Kagan-Prokof’ev theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
R.2.2 Polaron Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
R.2.3 Application to polaron case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
R.3 Comparison with RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
R.4 Results: Kagan-Prokof’ev versus RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
R.4.1 Polaron mass term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
R.4.2 Polaron energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
R.5 Asymptotic solutions of Kagan-Prokof’ev theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
R.5.1 UV asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
R.5.2 IR asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
S Summary of the dRG 341
S.1 Time-dependent observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
S.2 Time-dependent overlap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
T Time-dependent overlap – MF versus dRG 345
Publications 347
Bibliography 350
Thanks to... 377