Stellenwertverständnis im Zahlenraum bis 100: Theoretische und empirische Analysen

254 Pages·2017·5.67 MB·German

by  Marina Fromme (auth.)

Marina Fromme
Stellenwertverständnis
im Zahlenraum bis 100
Theoretische und
empirische Analysen
Stellenwertverständnis im Zahlenraum
bis 100
Marina Fromme
Stellenwertverständnis
im Zahlenraum bis 100
Theoretische und empirische Analysen
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Christiane Benz
und Prof. Dr. Sebastian Wartha
Marina Fromme
Gütersloh, Deutschland
Dissertation der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe, 2015
ISBN 978-3-658-14774-7 ISBN 978-3-658-14775-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-14775-4
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Geleitwort

Das vorliegende Buch thematisiert ein zugleich zentrales und vergleichsweise
wenig erforschtes Konstrukt der Mathematikdidaktik: Das Stellenwertverständnis.
Zahlreiche Veröffentlichungen, auch Lehrpläne und Curricula nehmen darauf
Bezug, indem sie entweder ein tragfähiges Stellenwertverständnis als notwendige
Voraussetzung für den Aufbau von flexiblen Zahlvorstellungen und
Rechenstrategien oder ein mangelndes Stellenwertverständnis als Symptom für
besondere Schwierigkeiten beim Rechnen nennen. Während mathematisch klar
definiert ist, was unter dem (dezimalen) Stellenwertsystem verstanden werden
kann, liegt keine eindeutige Beschreibung von „Stellenwert- verständnis“ vor. Die
Autorin Marina Fromme nähert sich dieser äußerst anspruchsvollen Aufgabe von
zwei Seiten: Einerseits analysiert sie die Literatur der letzten Jahrzehnte und
systematisiert theoretische und empirische Forschungsergebnisse, um hieraus ein
theoretisches Modell zu generieren. Andererseits entwickelt sie auf der Grundlage
des Modelles ein diagnostisches Instrumentarium, das sie an 93 Kindern der 2. und
3. Jahrgangsstufe in Form von halbstandardisierten Interviews einsetzt. Über
umfassende Analysen zu allen relevanten Teilaspekten stellt sie Bearbeitungs-
prozesse und Fehler präzise und umfassend dar. Die Forschungsfragen, die auch in
Form von theoretisch begründeten Hypothesen formuliert sind, werden mit Hilfe
der Analysen und daraus stringent abgeleiteten Interpretationen untersucht. Mit
einer Definition von Stellenwertverständnis, einer Ausschärfung der theoretischen
Fundierung von „Verstehen“ und einem für weitere Forschungs- und
Entwicklungsarbeiten sehr gut nutzbarem Überblick über falsche, informelle und
elaborierte Prozesse zu Teilkompetenzen von Stellenwertverständnis schließt die
Arbeit.
Das vorliegende Buch richtet sich einerseits an die fachdidaktische Forschungs-
und Entwicklungsarbeit, da umfangreiche Detailanalysen zu Teilaspekten eines
Stellenwertverständnisses vorgestellt und interpretiert werden, andererseits an alle,
die an mathematischen Denkprozessen interessiert sind. Die vorgestellten
Analysen geben einen vertieften Einblick in arithmetische Denkprozesse und
Hürden beim Aufbau von Zahlvorstellungen.

Sebastian Wartha & Christiane Benz
Danksagung

Nach dieser langen intensiven Zeit der Auseinandersetzung mit einem Thema,
das häufig besprochen, aber wenig ergründet wurde, habe ich eins verstanden:
Man muss viel gelernt haben, um über das, was man nicht weiß, fragen zu
können. Jean-Jacques Rousseau
Nicht nur für die Ermöglichung zur Forschung in diesem hochinteressanten
Thema bedanke ich mich bei meinem Doktorvater Prof. Dr. Sebastian Wartha,
sondern auch für das Wecken meines Interesses für die Forschung. Besonders
danke ich für die wegweisenden Ideen, aber auch für die Freiheit, die er mir
während des Forschungsprojektes gewährte und mir trotzdem jede erdenkliche
Unterstützung bei meinen großen und kleinen Sorgen bei der Planung,
Durchführung und Auswertung meiner Arbeit zukommen ließ. Ohne sein
großes Vertrauen und die konstruktiven Ratschläge wäre diese Arbeit nie
entstanden. Mein herzlicher Dank gilt auch Prof. Dr. Christiane Benz. Sie
gewährte mir wertvolle Unterstützung, hatte immer ein offenes Ohr für Fragen
und ließ mich an ihrem großen Wissensschatz teilhaben. Vielen Dank für die
stets optimalen Bedingungen für selbständiges Arbeiten und die herzliche und
respektvolle Art der Betreuung.
In besonderer Weise danke ich den Lehrerinnen und Lehrern sowie den Eltern,
die diese Untersuchungen ermöglicht haben. Und damit komme ich nun zu den
zentralen Personen, die wesentlich zu meinem thematischen Verständnis
beigetragen haben. Herzlichen Dank an alle Schülerinnen und Schülern, die
sich die Mühe gegeben haben mir zu erklären wie sie mit Zahlen umgehen.
Darüber hinaus geht mein Dank für Unterstützung an die Pädagogische
Hochschule Karlsruhe, die dieses Forschungsprojekt vorangebracht hat. Damit
möchte ich auch den Hilfskräften danken, die wertvolle Arbeit für dieses
Projekt geleistet haben.
Ein großes Dankeschön gebührt auch allen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern
des Instituts, die mich in Höhen und Tiefen unterstützt und durch fachliche
Gespräche in meiner Arbeit inspiriert haben. Vielen Dank für das tolle
Arbeitsklima, das zu meiner Motivation beigetragen hat.
Neben diesen Menschen, deren Einfluss sich direkt in den Kapiteln dieser
Arbeit wiederspiegelt, möchte ich mich bei Personen außerhalb meines
Arbeitsfeldes bedanken. Die kontinuierliche Unterstützung meiner Eltern,
meines Mannes und meiner Freundinnen und Freunde ist für mich nicht durch
Gold aufzuwiegen; ihnen ist diese Arbeit gewidmet.

Schloß Holte- Stukenbrock, April 2016 Marina Fromme
Inhaltsverzeichnis
Geleitwort .................................................................................................................. V
Danksagung ............................................................................................................ VII
Abbildungsverzeichnis .......................................................................................... XIII
Tabellenverzeichnis ................................................................................................ XV
1. Einleitung ............................................................................................................... 1
2. Begriffsklärung: Stellenwert – Verständnis ........................................................... 3
2.1 Mathematische Definition von dezimalem Stellenwertsystem ........................... 3
2.2 Ausgewählte Theorien zur Klärung von Verständnis in der
mathematikdidaktischen Forschung ................................................................... 4
2.2.1 Netzwerk von Informationsbestandteilen................................................ 5
2.2.2 Grundvorstellungen ................................................................................ 6
2.2.3 Subjektive Erfahrungsbereiche ............................................................... 8
2.2.4 Zwischenfazit und Ausblick ................................................................. 10
3. Stellenwertverständnis als Gegenstand empirischer Forschung .......................... 11
3.1 Studien zur Beschreibung und Entwicklung von Stellenwertverständnis ......... 11
3.1.1 Research and Development Related to Learning About Numerals for
Whole Numbers, Ashlock (1978) ......................................................... 12
3.1.2 Encouraging thinking in mathematics, Kamii (1982) ............................ 15
3.1.3 A developmental theory of number understanding, Resnick (1983) ...... 17
3.1.4 Understanding of Numeration in Primary School, Bednarz & Janvier
(1982)................................................................................................... 20
3.1.5 Parts, Wholes, and Place Value: A Developmental View, Ross (1989)
& Ergänzung durch Ross (1985) .......................................................... 23
3.1.6 Children's Conceptual Structures for Multidigit Numbers and Methods
of Multidigit Addition and Subtraction, Fuson, Wearne, Hiebert,
Murray, Human, Oliver, Carpenter & Fennema (1997) ........................ 25
3.1.7 Zwischenfazit ....................................................................................... 28
3.2 Studien zu Auswirkungen von Stellenwertverständnis und Zusammenhängen 30
3.2.1 Instruction, Understanding, and Skill in Multidigit Addition and
Subtraction, Hiebert & Wearne (1996) ................................................. 31
3.2.2 An investigation of the relationship between young children’s
understanding of the concept of place value and their competence at
mental addition, Thompson & Bramald (2002) .................................... 33
3.2.3 Training in Place-Value Concepts Improves Children’s Addition
Skills, Ho & Cheng (1997) ................................................................... 35
X Inhaltsverzeichnis
3.2.4 Zwischenfazit ....................................................................................... 36
3.3 Studien zum Einfluss von Zahlwortsystemen auf Stellenwertverständnis ........ 36
3.3.1 Comparisons of children’s cognitive representation of number: China,
France, Japan, Korea, Sweden, and the United States, Miura,
Okamoto, Kim, Chang, Steere, & Fayol (1994) .................................... 37
3.3.2 Whorf reloaded – Language effects on non-verbal number processing
in 1st grade – a trilingual study, Pixner, Möller, Hermanova, Nürk und
Kaufmann (2011) ................................................................................. 39
3.3.3 Zwischenfazit ....................................................................................... 39
3.4 Zusammenfassung und Übersicht ...................................................................... 40
4. Theoretische Darstellung der arithmetischen Inhalte zur Beschreibung von
Stellenwertverständnis .......................................................................................... 43
4.1 Arithmetische Inhalte als Bestandteile zum Stellenwertverständnis ................. 43
4.1.1 Zahlrepräsentation: Zahlzeichen ........................................................... 44
4.1.2 Zahlrepräsentation: Zahlwort................................................................ 45
4.1.3 Zahlrepräsentation: Zahldarstellung ..................................................... 49
4.1.4 Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip im ZR 100 ......................... 51
4.1.5 Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen .................................... 53
4.1.6 Zwischenfazit ....................................................................................... 56
4.2 Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis ....................................................... 57
4.2.1 Zählen (bis 9 bzw. 12) .......................................................................... 57
4.2.2 Strukturieren ........................................................................................ 58
4.2.3 Nutzen der Teil-Ganzes-Beziehung ...................................................... 58
4.2.4 Bündeln ................................................................................................ 60
4.3 Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis und Zwischenfazit ........ 61
4.4 Anwendungsbereiche von Stellenwertverständnis ............................................. 62
5. Typische Fehler, problematische Prozesse und Einflussfaktoren für
Stellenwertverständnis .......................................................................................... 65
5.1 Fehler und problematische Prozesse innerhalb einer Zahlrepräsentation .......... 65
5.1.1 Zahlwort ............................................................................................... 65
5.1.2 Zahlzeichen .......................................................................................... 66
5.2 Fehler und problematische Prozesse beim Übersetzen zwischen
Zahlrepräsentationen ........................................................................................ 67
5.2.1 Materialspezifische Fehler .................................................................... 67
5.2.2 Materialunspezifische Fehler ................................................................ 68
5.3 Fehler repräsentationsübergreifend .................................................................... 70
5.4 Zusammenfassung .............................................................................................. 72
6. Formulierung der Forschungsfragen .................................................................... 75
Inhaltsverzeichnis XI
7. Empirische Untersuchung im Bereich Stellenwertverständnis im
Querschnittdesign ................................................................................................. 79
7.1 Methode .............................................................................................................. 79
7.2 Stichprobe ........................................................................................................... 80
7.3 Durchführung der Interviews ............................................................................. 81
7.4 Auswertung der Interviews ................................................................................ 82
7.5 Auswertungen der empirischen Ergebnisse ....................................................... 83
7.5.1 Empirische Ergebnisse: Anwendungsbereich von SWV ....................... 85
7.5.2 Empirische Ergebnisse: Zahlzeichen .................................................... 96
7.5.3 Empirische Ergebnisse: Zahlwort ....................................................... 102
7.5.4 Empirische Ergebnisse: Zahldarstellung ............................................. 128
7.5.5 Empirische Ergebnisse: Stellenwertprinzip und Bündelungsprinzip ... 132
7.5.6 Empirische Ergebnisse: Übersetzungen zwischen
Zahlrepräsentationen .......................................................................... 155
7.5.7 Empirische Ergebnisse: Vorkenntnisse zum Stellenwertverständnis ... 194
8. Gesamtinterpretation der Ergebnisse.................................................................. 205
8.1 Beschreibung markanter Aspekte zum Stellenwertverständnis ....................... 205
8.1.1 Zahlendreher – repräsentationsübergreifend ....................................... 205
8.1.2 Zehner – als Begriff und in der Zahlvorstellung ................................. 207
8.1.3 Differenzierung semantischer und syntaktischer Ebene ...................... 209
8.1.4 Qualität von Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen und
dessen Zusammenhang mit der Vorkenntnis Strukturieren ................. 210
8.2 Zuordnung der aufgetretenen Fehler zu möglichen Ursachen ......................... 212
8.3 Mögliche Beschreibung von Stellenwertverständnis für den deutschen
Sprachraum ..................................................................................................... 217
8.3.1 Beschreibung auf empirischer Basis ................................................... 218
8.3.2 Mögliche Definition von Stellenwertverständnis ................................ 221
8.3.3 Begründung der Theoriewahl zum Verständnisbegriff........................ 222
8.3.4 Entwicklung von Stellenwertverständnis ............................................ 224
9. Zusammenfassung und Ausblick........................................................................ 233
10. Literaturverzeichnis .......................................................................................... 237
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 2-1: Grundvorstellungskreislauf ................................................................................. 6
Abbildung 3-1: Unterschiedliche Repräsentationssysteme für Zahlen ....................................... 13
Abbildung 3-2: Zehnersystem, konstruiert auf das Einersystem ................................................ 15
Abbildung 3-3: Frühestes Stadium von dezimalem Wissen ...................................................... 18
Abbildung 3-4: theoretisches Bezugssystem ............................................................................... 21
Abbildung 3-5: Einfluss des Zahlwortsystems auf die Zahlvorstellung ..................................... 37
Abbildung 4-1: Zahlrepräsentationen mit Beispielen für Repräsentationstypen ........................ 44
Abbildung 4-2: Zwei Informationen in einem Zahlzeichen ........................................................ 44
Abbildung 4-3: Äquivalenz unterschiedlicher Bündelungszuständen ........................................ 52
Abbildung 4-4: Zahlrepräsentationen im Zusammenhang zum SW und BP ............................. 53
Abbildung 4-5: Übersetzungen zwischen Zahlrepräsentationen ................................................. 54
Abbildung 4-6: Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis ...................................... 62
Abbildung 5-1: Beispiel für Fehler an der Stellenwerttafel ........................................................ 69
Abbildung 7-1: Analogienutzung bei schriftlich bestellten Rechenaufgaben ............................. 94
Abbildung 7-2: ausgelassene „Schnapszahlen“ beim Weiterzählen ab 76 (bis 100) ................ 103
Abbildung 7-3: Häufigkeitsverteilung 8 Zehner oder 60 Einer ................................................ 124
Abbildung 7-4: Sophies Verschriftlichung am Zahlenstrahl ..................................................... 128
Abbildung 7-5: Häufigkeiten der Angaben zur Anzahl enthaltener Zehner ............................. 153
Abbildung 7-6: Begriff Zehner im Modell ................................................................................ 154
Abbildung 7-7: Häufigkeitsverteilung der Zweitklässler - Zahlzeichen in Zahlwort ............... 157
Abbildung 7-8: Übersetzung von Zahlzeichen in Zahlwort ...................................................... 160
Abbildung 7-9: Häufigkeitsverteilung - Übersetzung Zahlwort in Zahlzeichen ....................... 162
Abbildung 7-10: Punktefeld ...................................................................................................... 195
Abbildung 7-11: Mögliche Strukturen im Punktefeld ............................................................... 196
Abbildung 7-12: Gesamtüberblick über alle verwendeten Strukturen ...................................... 197
Abbildung 7-13: Häufigkeiten von Strukturfehlern beim Strukturieren am Punktefeld ........... 198
Abbildung 7-14: Bündelung 24 Plättchen (Leon) ..................................................................... 201
Abbildung 7-15: Bündelung 24 Plättchen (Sophie) .................................................................. 201
Abbildung 8-1: Fehlerkategorisierung: Übersetzung kanonische ZD und ZZ .......................... 213
Abbildung 8-2: Fehlerkategorisierung: Übersetzung kanonische ZD und ZW ........................ 214
Abbildung 8-3: Fehlerkategorisierung: Bündelungsprinzip ..................................................... 215
Abbildung 8-4: Fehlerkategorisierung: Stellenwertprinzip ....................................................... 215
Abbildung 8-5: Modell zur Beschreibung von Stellenwertverständnis .................................... 219
Abbildung 8-6: Beschreibung: Sophies Entwicklungszustand von Stellenwertverständnis ..... 227
Abbildung 8-7: Beschreibung: Leons Entwicklungszustand von Stellenwertverständnis ........ 228