RANGKUMAN MATERI KELAS X SMK Tahun Ajaran 2010 / 2011

85 Pages·2014·1.46 MB·Indonesian

RANGKUMAN MATERI
KELAS X SMK
Tahun Ajaran 2010 / 2011
MATERI 1
OPERASI BILANGAN REAL
Bilangan adalah suatu gagasan, ide, bersifat abstrak yang dapat memberi
keterangan tentang banyaknya anggota suatu himpunan.
 Macam-Macam Bilangan
1. Bilangan Asli : Himpunan semua bilangan asli A={1,2,3,...}
2. Bilangan Cacah : Himpunan semua bilangan cacah C={0,1,2,3,...}
3. Bilangan Bulat : Himpunan semua bilangan bulat B={...,-3,-2,-1, 0,1,2,3,...}

4. Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan

a & b bulat dan b 0. Himpunan bilangan rasional

Q={x= , a, b B, b 0}. Maka, bilangan rasional meliputi semua bilangan

bulat, pecahan sejati, dan pecahan tidak sejati (campuran).

Jika a > b : , , , ... (pecahan tak sebenarnya)

= 2 , = 1 , = -2 (pecahan campuran)

Jika a < b : , , , ... (pecahan murni)

Jika a = b : , , ... (bilangan bulat)

5. Bilangan Irasional : Bilangan yang lambangnya tidak dapat dinyatakan
sebagai bilangan pecahan atau bukan bilangan rasional dengan notasi I = {x|x
bilangan irasional} , misalnya √ , √ , √ , ... ; √ , √ , ... ; log 2, log 3, log 12,
e =2,7128...,
6. Bilangan Real (nyata) : Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional
yang dilambangkan dengan huruf R. Dapat dinyatakan bahwa bilangan real
meliputi semua bilangan bulat, pecahan, dan semua bilangan irasional dengan
notasi R = {x|x Q I }
7. Bilangan Imaginer (khayal) : Bilangan dari hasil penaksiran akar yang
kemungkinan menghasilkan bilangan yang tidak nyata (imaginasi), misal √ ,
√ , √ , ...dst. dengan notasi i = √ , maka
i2 = (√ )2 = -1
i3 = i2 x i = -1 x i = -i
i4 = (√ 4) = 1 ...dst.
8. Bilangan Kompleks : Gabungan bilangan nyata dan bilangan khayal atau
semesta dari dari semua bilangan yang dinyatakan dengan x + yi
x = bilangan nyata dan y = bilangan khayal. Notasi bilangan kompleks yaitu
K={ x + yi | x, y R, i = √ }. Contoh bilangan kompleks :
-3 + 2i dengan -3 sebagai bilangan bulat dan 5i sebagai bilangan khayal
9. Himpunan bilangan lainnya :
 Himpunan bilangan ganjil (bilangan yang tidak habis dibagi dengan 2) =
{1,3,5,...}
 Himpunan bilangan genap (bilangan yang habis dibagi dengan 2) =
{2,4,6,...}
 Himpunan bilangan prima (bilangan yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu
angka 1 dan bilangan itu sendiri) = {2,3,5,7,...}
 Himpunan bilangan tersusun (bilangan asli yang bukan bilangan prima) =
{1,4,6,8,9,...}
Rangkuman Kelas X 1
 Himpunan bilangan komposit (bilangan yang memiliki lebih dari 2 faktor) =
{4,6,8,9,...}
 Himpunan bilangan kuadrat (bilangan hasil dari penguadratan suatu
bilangan) = {1,4,9,16,25,...}

 Ikhtiar Bilangan
Kompleks
(K)
Khayal
Nyata (R)
(IM)
Irasional Rasional
(I) (Q)
Pecah (P) Bulat (B)
Negatif
Murni Campuran Cacah (C)
(B - )
Nol Asli (A)
Ganjil Prima
Genap Komposit

Kompleks
Asli
Cacah
Bulat dan
Pecahan
Rasional dan
Irasional
Real
Gambar Diagran Venn Ikhtiar Bilangan

 Operasi hitung bilangan bulat
1. Penjumlahan
Jika a dan b bilangan asli, maka :
 (-a)+(-b) = -(a+b)
(-225.136)+(-751.661) = -(225.136+751.661)
= -976.797
Rangkuman Kelas X 2
 a+(-b) = a-b, dengan a>b
756.220+(-136.112) = 756.220-136.112
= 620.108
 (-a)+b = -(a-b), dengan a>b
(-556.785)+57.461 = -(556.785-57.461)
= -499.324
 a+(-b) = -(b-a), dengan a<b
76.105+(-89.157) = -(89.157-76.105)
= -13.052
 (-a)+b = b-a, dengan a<b
(-796.884)+901.844 = 901.844-796.884
= 104.960
Sifat penjumlahan bilangan bulat :
 Komutatif : a+b = b+a
275.116+(-546.113) = (-546.113)+ 275.116
= -270.997
 Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c)
(116.176+717.221)+(-93.110) = 116.176+[717.221+(-93.110)]
= 740.287
 Unsur Identitas : a+(-a) = 0
54.329+(-54.329) =0

2. Pengurangan
Jika a dan b bilangan asli, maka :
 a-b = a+(-b)
795.012-656.773 = 795.012+(-656.773)
= 138.239
 a-b = (a+c)-(b+c)
931.765-87.164 = (931.765+11.074)-( 87.164+11.074)
= 844.601
 a-(b+c) = (a-b)-c
385.714-(10.213+54.168) = (385.714-10.213)- 54.168
= 321.333
 (a+b)-c = a+(b-c)
[856.771+(-31.249)]-21.200 = 856.771+[(-31.249)-21.200]
= 804.322
Sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan tidak bisa diterapkan pada
pengurangan. Contoh :
 Komutatif : a-b b-a
56.738-79.150 79.150-56.738
-22.142 22.142
 Asosiatif : (a-b)-c a- (b-c)
(99.109-10.001)-35.765 99.109-(10.001-35.765)
-53.343 53.343
3. Perkalian
Perkalian merupakan penjumlahan yang berganda, dapat dinyatakan
sebagai berikut : axb = b+b+b+... contoh :5x3 = 3+3+3+3+3 = 15. Pada
bentuk axb = c ,notasi perkalian (x) atau ( ) dengan a : pengali, b : bilangan
yang dikalikan, dan c : hasil kali.
Jika a dan b bilangan asli, maka :
Rangkuman Kelas X 3
 axb = bxa  -axb = - (axb)
561x957 = 957x561 -583x736 = -(583x736)
= 486.877 = -429.088
 ax(-b) = -(axb)  -ax(-b) = +(axb)
732x(-915) = -(732x915) -287x(-117)= +(287x117)
= -669.780 = 33.579
Sifat perkalian bilangan bulat :
 Komutatif : axb = bxa
(-751)x516 = 516x(-751)
= -337.516
 Asosiatif : ax(bxc) = (axb)xc
-115x(731x289) = [(-115)x731]x289
= -24.294.785
 Distributif : ax(b+c) = (axb)+(axc)
237x(516+714) = (237x516)+( 237x714)
= 291.510
 Tertutup (anggota perkalian masih dalam satu jenis bilangan) : axb B ,
contoh : (137)x571 = -78.227

 Unsur Identitas : 1xa = ax1 = a dan ax = 1(kebalikan atau invers a

terhadap perkalian)
Bentuk perkalian yang perlu diketahui :
1. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2
2. (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-2ab+b2
3. (a-b)(a+b) = a2-b2
4. a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
5. a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
6. a4-b4 = (a2+b2)(a2-b2)
7. (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
8. (a-b-c)2 = a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc
4. Pembagian
Jika a dan b bilangan bulat dengan b 0, maka :

a:b = m dapat ditulis dalam bentuk pecahan = m , maka a = mxb

Sifat pembagian bilangan bulat :
 ax(b:c) = (axb):c

ax =

 (axb):(pxq) = (a:p)x(b:q)

= x

 a:(b:c) = ax(c:b)
= ax

 a:b = (axp):(bxp)

= , p 0

 a:b = (a:p):(b:p)

= , p 0

 (a:b):p = (a:b)x(1:p)

= x

Rangkuman Kelas X 4
 (a+b):p = (a:p)+(b:p)

= +

 (a-b):p = (a:p)-(b:p)

= -

 ap:aq = ap-q
= ap-q

 (a:b)p = ap:bp
( )p =

 Operasi Hitung Bilangan Pecahan
1. Penjumlahan dan Pengurangan

 =

+ = =

 =

= = =

sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan sama dengan
penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
2. Perkalian dan Pembagian

 x =

x = =

 : = x =

: = x = = = 1

sifat perkalian dan pembagian bilangan pecahan sama dengan penjumlahan
dan pengurangan bilangan bulat.
Terdapat 3 cara penulisan pecahan, yaitu :

1. Pecahan Biasa (pecahan murni), dengan a>b

2. Pecahan Desimal, dibagi menjadi 3 bentuk :
 Terbatas : 0,5
 Tidak Terbatas : 0,5876564...
 Berulang (Repeten) : 0,555... atau 0,5
Operasi bilangan pecahan desimal :
1. Penjumalahan
0,8945+0,0835+ 0,65 = 1,628
0,8945
0,0835
0,65 +
1,628 lebih baik memakai cara bersusun, karena lebih cermat, jangan lupa
disejajarkan pada tanda koma.
2. Pengurangan
1-0,09824-0,524 = 0,37776

1
0,09824 -
Rangkuman Kelas X 5
0,90176
0,524 -
0,37776 pada operasi pengurangan bersusun harus dikerjakan per
langkah tidak dianjurkan langsung semua untuk memperkecil kesalahan hitung.
3. Perkalian
6,894x7,03 = 48,46482

6,894
7,03 x
20682
0000
48258 +
48,46482 pada operasi perkalian bersusun, tanda koma hasil
perkalian diletakan sesuai dengan jumlah bilangan dibelakang koma pada
pengali dan bilangan yang dikalikan.
4. Pembagian
86,35 : 0,025 = 3.454
3454
25 86350
75 -
113
100 -
135
125 -
100
100 -
0 pada operasi pembagian bersusun, pembagi harus
dalam bentuk bulat, tidak boleh terdapat koma.

Pemfaktoran aljabar
Contoh :

1. = = (x-2)

x-2
x-3 x2-5x+6
x2-3x -
-2x+6
-2x+6 –
0

2. = x2–7x+28
Harus ditambah 0x
x2–7x+28 untuk melengkapi
X+4 x3-3x2+0x+112 urutan pangkat
x3+4x2 -
-7x2+0x
-7x2-28x -
28x+112
28x+112-
0
Rangkuman Kelas X 6
3. Pecahan Prosen adalah bilangan rasional yang berpenyebut 100.

Lambang dari prosen adalah % . Contoh : = x 100%= 45% ;

= x100% = % =14 % diusahakan dalam membuat bilangan prosen

menggunakan bentuk pecahan.
 Konversi pecahan biasa ke desimal ke prosen

= 0,125 = 0,125 x 100% =12,5 %

0,125
8 10
8 –
20
16 –
40
40 –
0
 Konversi pecahan biasa ke prosen ke desimal

= x 100% = 60% = = 0,6

 Konversi desimal ke pecahan biasa
 0,24 =

 0,333... =

x = 0,333...
10x = 3,333... Berulang pada
x = 0,333...- bilangan ke-I ,
9x = 3 jadi dikali 10

x = =

 2,3181818...

x = 2,3181818...
Berulang pada
1000x = 2318,1818...
bilangan ke-III , jadi
10x = 23,1818...-
dikali 1000
990x = 2295

x = = = 2

 Konversi prosen ke pecahan biasa

78% =

 Perbandingan dan Skala
1. Perbandingan (Rasio)
Adalah membandingkan 2 besaran sejenis pada umumnya dinyatakan dengan
bilangan. Misalnya membandingkan ukuran pensil yang masing-masing 20 cm
dan 15 cm. Perbandingannya dapat dinyatakan sebagai berikut :
1. 20 cm : 15 cm
2. 20 cm lawan 15 cm

3. 20 cm / 15 cm atau = (baca: 4 banding 3, perbandingan pada

umumnya dinyatakan dalam nilai yang terkecil)

Perbandingan ada 2 macam :
a. Perbandingan Senilai : 2 perbandingan yang nilainya sama.
Rangkuman Kelas X 7
Misal : 3 / 7 senilai dengan 24 / 56
Contoh : perbandingan jarak dan waktu. Semakin jauh jarak, semakin lama
pula waktunya.
Jika mobil A dapat menempuh jarak 200 km dengan waktu 120 menit.
Berapa waktu yang mobil B yang butuhkan untuk menempuh jarak 100 km?

Jawab : =

=

Waktu B x 200 km = 100 km x 120 menit

Waktu B =

Waktu B = 60 menit
Berarti rumus perbandingan senilai : =

b. Perbandingan Berbalik Nilai : 2 perbandingan yang nilainnya saling
berbalikan.
Misal : 2/5 dengan 5/2
Contoh : kecepatan dengan waktu. Semakin tinggi kecepatan, maka semakin
singkat waktu.
Jika mobil A dapat menempuh jarak tertentu dengan kecepatan 60km/jam
dengan waktu 120 menit. Berapa kecepatan yang mobil B yang butuhkan
untuk menempuh jarak yang sama dalam waktu 180 menit ?

Jawab : =

=

Kecepatan B x 180 menit = 120 menit x 60 km/jam

Kecepatan B =

Kecepatan B = 40 km/jam
Berarti rumus perbandingan berbalik nilai : =

Contoh variable perbandingan :
 Senilai : banyaknya barang yang dibeli & harganya; lama menabung &
jumlah tabungan; jarak & waktu; gas, kenaikan temperatur (volume
tetap) & tekanannya.
 Berbalik Nilai : gerak beraturan, kecepatan, & waktunya; jumlah seluruh
cicilan, & sisa hutang; kecepatan & waktu; jumlah pekerja & lama selesai
proyek; gas, kenaikan tekanan (suhu tetap) & volumenya.
2. Skala
Adalah perbandingan jarak/panjang pada peta dengan jarak/panjang
sebenarnya.
Ada 2 macam skala, yaitu :
1. Skala Diperbesar (biasanya untuk menggambarkan komponen
mesin/alat-alat elektronika yang berukuran kecil atau sangat kecil.
Misalnya, 20 : 1 artinya 20 satuan mewakili 1 satuan pada ukuran

sebenarnya, atau 1 satuan mewakili mewakili ukuran sebenarnya)

Contoh soal :
Pada gambar sarang semut yang berskala 100:1 memiliki diameter 50cm
pada gambar. Berapa mm diameter sarang semut sesungguhnya!
Jawab :
Rangkuman Kelas X 8
Skala 100:1 artinya 100cm mewakili 1cm ukuran sebenarnya.

Diameter sarang semut sesungguhnya : =0,5cm=5mm

2. Skala Diperkecil (biasanya untuk menggambarkan peta, luas lahan atau
rumah yang berukuran luas. Misalnya, 1 : 1000 artinya 1 cm pada peta
mewakili 1000 cm pada ukuran sebenarnya)
Contoh soal :
Pada gambar yang berskala 1:500 akan dibangun sebuah rumah dengan
ukuran pada gambar panjang 24cm dan lebar 20cm. Berapa meterkah
luas rumah sesungguhnya ?
Jawab :
Skala 1:500 artinya 1cm mewakili 500cm ukuran sebenarnya.
Panjang rumah sesungguhnya : 24cmx500 = 12.000cm
Lebar rumah sesungguhnya : 20cmx500 = 10.000cm
Luas rumah sesungguhnya : 12.000cmx10.000cm
: 120mx100m
: 12.000m2

 Operasi bilangan berpangkat
Operasi bilangan berpangkat berdasarkan perkalian berganda.
Misalnya, 43 = 4x4x4. Secara umum : ap =a x a x a x a x ... dengan a=bilangan
pokok, p=pangkat (eksponen), dan ap=bilangan berpangkat.
Sifat-sifat bilangan berpangkat :
1. ap x aq = ap+q
22 x 25 = 2x2x2x2x2x2x2
= 22+5
= 27
= 128
2. ap:aq = ap-q
= = 37-4 = 33 = 27

3. (ap)q = apq
 3(2p5q4r3)5 = 3(25p25q20r15)
= 3(32p25q20r15)
= 96p25q20r15
 = 210 = 1024 Jika pangkatnya berpangkat, maka pangkatnya
dipangkatkan terlebih dahulu
4. (axb)n = an x bn
(2x5)3 = 23 x 53
= 8 x 125
= 1000
Pangkat 0
a0 = 1 dengan a 0 dan 0p=0 dengan p 0
contoh soal :
30 = 1 , 10000 =1

Pangkat Negatif
a-n =

contoh soal :
Rangkuman Kelas X 9