Programación lineal y aplicaciones : Ejercicios resueltos

216 Pages·1998·37.56 MB·Spanish

by  Sixto Ríos Insua

PROGRAMACIÓN LINEAL
PROGRAMACIÓN LINEAL
YA PLICACIONES.
YA PLICACIONES.
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos
Este libro contiene una colección de ejercicios resueltos de PL con sus
extensiones y aplicaciones a problemas de planificación, gestión,
distribución ... en áreas como la Economía, la Ingeniería, o la
Administración, que reflejan la experiencia de los autores en la enseñanza
y aplicaciones de estas técnicas en los últimos diez años .
.
La obra se caracteriza porque no sólo dedica atención a los algoritmos
de solución, sino también al proceso de construcción de modelos e
interpretación, que constituyen un apartado tan importante o aun más que
el anterior debido a que la disponibilidad actual de software puede
convertir la obtención de una solución en un proceso automatizado.
Todos los capítulos incluyen al principio un breve resumen de los
problemas que se tratan, as{ como de los conceptos y algoritmos más
1
importantes que se utilizan en su desarrollo. Además, cada ejercicio lleva
un título para que resulte más sencilla su clasificación e identificación.
i
El libro va dirigido a profesionales y alumnos de Facultades~ _
Matemáticas y Ciencias Económicas y Empresariales, así como Escuel?J de
Ingenieros, en las que se esrudjan técnicas de Investigación Operativa.
ISBN: 970·15·0362-7
1
Sixto Ríos Insua -David Ríos Insua
1
Alfonso Mateos -Jacinto Martín
~ - A A~·
f1 Alfa~~ega
Grupo Editor ilb. Alfaomega V
Programación Lineal
y Aplicaciones
Ejercicios resueltos
Sixto Ríos lnsua1
David Ríos lnsua12
•
Alfonso Mateas Caballero,
Jacinto Martín Jiménezl
Grupo de Análisis de Decisiones
1 Departamento de Inteligencia artificial
Facultad de Informática
Universidad Politécnica de Madrid
2 Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnología
Universidad Rey Juan Carlos
Programación Lineal y Aplicaciones. Ejercicios resueltos
Q Sixto Rlos lnsua, David Rlps lnsua, Alfonso Mateos Caballero,
Jacinto Martín Jiménez
.ISBN 84-7897-284-6, edición original publicada por RA-MA Editorial,
MADRJD, España Derechos re~ervados Q RA-MA &liiorial
MARCAS COMERCIALES: RA-MA ha intentado a lo largo de este libro
distinguir las marcas registradas de los términos descriptivos, siguiendo el
estilo d~ mayúsculas que utiliza el fabricante, sin intención de infringir la INDICE
marca y sólo en beneficio del propietario de la misma.
Primera edición: Alfaomega Grupo Editor, Colombia, julio 1998
Primaa reimpresión: Alfaomega Grupo Editor, Colombia, enero 2000
Segunda reimpresión: Alfaomega Grupo Editor, México, mayo 2006
PROLOGO. . . ............... . vii
@ 1998ALFAOi\'lEGA GRUPO EDITOR, S.A. de C.V.
Pitágoras 1139, Col. Del Valle, 03100 México, D.F.
l. CONSTRUCCION DE MODELOS 1
Miembro de la Cámara Nacional de la industria Editorial Mexicana
Registro No. 2317
2. RESOLUCION DE PROGRAMAS LINEALES 51
Internet: http://www.alfaomega.com.nu:
E-mail: [email protected]
3. DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD . 123
ISBN 970-15-0362-7
4. TRANSPORTE Y ASIGNACION . .193
Derechos reservados.
Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicación
en lengua española han sido legalmente transferidos al editor. Prohibida su 5. OPTIMIZACION EN REDES . 261
reproducción parcial o total por cualquier medio sin penniso por escrito del
propietario de los derechos del copyright.
6. PROGRAMACION ENTERA . 321
NOTA li\lPORTANTE 7. PROGRAMACION LINEAL ~ULTIOBJETIVO . 371
La información contenida en esta obra tiene un fin exclusivamente didáctico
y, por lo tanto, no está previsto su aprovechamiento a nivel profesional o
industrial. Las indicaciones técni~y'Jlrogramll$ i.ncluidos, han ~ido elaborados
con gran cuidado por el aut~r y r~p~pducidos paj9 e~ri~t~ npn,nas de'contról.
BIBLIOGRAFIA ... . 415
ALFA OMEGA GRUPO EDITOR, S.A. de C.V. no seiájurídicamente respon
sable por: mores u omisiones; daños y perjuicios que se pudieran atribuir al uso
de la información comprendida en este libro, ni por la utilización indebida que INDICE ANALITICO . 419
pudi~ra dársele.
Edición autorizada para venta en tvl<!xico y todo el contin~nte americano
lmp reso en México-Printed in Mexico
J
1
PROLOGO
La Programación Lineal (PL) es una de las técnicas de modelización y reso
lución de problemas más utilizadas en la Investigación Operativa. Se refiere a
. la modelización y resolución de problemas de toma de decisiones, en los que las
variables de decisión se relacionan mediante restricciones lineales y La función de
evaluación de la decisión, o función objetivo, es lineal en las variables de decisión.
La historia de la PL es relativamente reciente, teniendo un desarrollo im
portante a partir de la Segun~a Guerra Mundial, en que recibe su nombre a
partir del planteamiento y resolución de problemas de asignación de recursos en
tre diferentes actividades. Las aplicaciones posteriores a otros problemas fueron
numerosas, constituyendo hoy los modelos de PL una de las herramientas más
utilizadas e importantes de los métodos cuantitativos de gestión y planificación.
Un hito fundamental en su desarrollo fue la introducción por Dantzig, en 1947,
del método del símplex, que permite resolver cualquier problema de programa
ción lineal. Con la aparición de los ordenadores electrónicos y la posibilidad de
resolver problemas de mayor tamaño, este algoritmo fue posteriormente mejorado
para ganar eficiencia desde el punto de vista computacional. Incluso, en tiempos
más recientes, se han introducido otros métodos alternativos de resolución.
Las aplicaciones de la PL son variadas como se muestra en la colección de
ejercicios de este libro y, debido a su éxito, su utilización ha sobrepasado el
ámbito de Departamentos de Investigación Operativa, llegando a convertirse en
una herramienta útil de planificación en muchas áreas. La PL puede ser una
gran ayuda tanto en problemas con los que sólo nos enfrentamos una vez como
en otros que correspondan a actividades que deben repetirse de forma sistemática.
En cada caso, el decisor debe organizar los distintos recursos para alcanzar cierto
objetivo, usualmente La. ma.'Ónl.Ízación de beneficios o minimización de pérdida;¡.
viii PROGRAMACION LINEAL Y APLICACIONES: EJERCICIOS RESUELTOS @RA-MA PROLOGO ix
Este libro se dedica a los modelos de PL y aplicaciones derivadas de ésta. Todos los capítulos tienen al principio un breve resumen de los problemas que
Nos hemos propuesto dedicar atención no sólo a los algoritmos de solución sino, se tratan, así como de los conceptos y algoritmos más importantes que se utilizan
muy especialmente, al proceso de construcción de modelos e interpretación de en su desarrollo. Esto permitirá al lector tener una idea clara de los ejercicios que
su solución, que constituyen un apartado tao importante o aún más que el an se estudian en el capítulo. Además, se ha titulado cada ejercicio para. encuadrarlo
terior. Aunque con el software disponible en la actualidad la obtención de una y así hacer más sencilla su identificación. Algunos de los ejercicios corresponden a
solución se convierte en un proceso automatizado, no hemos querido olvidarnos los propuestos en exámenes y prácticas de la asignatura Investigación Operativa
de que para una. buena parte de los estudiosos también resultará beneficiosa la de Cuarto Curso de la Facultad de Informática de la Universidad Politécnica de
exposición detallada de los pasos de los métodos utilizados, al menos en algún Madrid, recogiendo nuestra experiencia en la enseñanza de esta materia durante
ejercicio, evitando un tratamiento de caja negra.. En general, el estudio del libro los últimos diez años.
requiere seguir la ordenación dada en los capítulos, ya que el conocimiento de las Durante todo este tiempo hemos contado con los consejos y discusiones de
herramientas y conceptos de cada. capítulo serán convenientes para los posteriores. numerosos compañeros y estudiaotes-.de la FI/UPM, destacando la ayuda presta
El Capítulo 1 muestra mediante aplicaciones variadas el proceso de modeliza da por Joaquín Fernández. Sixto Ríos, pionero de estas técnicas en nuestro país,
ción o construcción de programas lineales. Muchas veces admitirán varias formu proporcionó abundantes consejos en la preparación de este texto.
laciones como problemas matemáticos, unas mejores que otras, pero éste es un El procesamiento se ha hecho en ~'!EX. en los sistemas del Departamento de
problema del que no nos hemos ocupado aquf. En el Capítulo 2 se estudia el pro . Inteligencia Artificial de la Universidad Politécnica de Madrid. Los cálculos de
ceso de solución de programas lineales, comenzando con el procedimiento gráfico soluciones se han realizado con los programas QSB+ y QS, sugiriéndose al lector
para. fijar las ideas pásicas y, posteriormente, pasando a la solución analítica basa el empleo de algún sistema similar para la realización de las tareas más tediosas
da en el método del símplex y sus variantes y extensiones. El Capítulo 3 estudia de cálculo.
los importantes problemas de dualidad y análisis de sensibilidad, que constituyen
SRl
un complemento fundamental de la. solución del problema. El Capítulo 4 se de
DRI
dica a los problemas de transporte y asignación, y diversas extensiones. Aunque
AM
pueden considerarse modelos particulares de la PL, existen algoritmos de solución
JR
especificas que permiten alcanzar una solución más eficientemente. El Capítulo
Boadilla del Monte, julio de 1997
5 describe problemas de optimización y decisión en redes. Entre los primeros se
encuentran, entre otros, los del camino mínimo y más largo, flujo sobre una red
y árbol de máximo alcance. Los segundos se refiere a problemas de planificación
y control de proyectos, que se representan con redes CPM, PERT y Roy. Mu
chos de estos modelos admiten una modelización como programas lineales, tal
vez con variables enteras, sin embargo resulta ventajosa. la aplicación de métodos
de solución específicos. El Capítulo 6 estudia problemas lineales con algunas o
todas las variables enteras. Además de detallar procedimientos de solución de
la Programación Entera, buena parte de los ejercicios conllevan la construcción
de un modelo como en el capítulo inicial. Finalmente, el Capítulo 7, extiende
el enfoque tradicional de los inicios de la PL, en que únicamente se considera
ba un objetivo de optimización, al caso de la programación multiobjetivo, que
constituye un enfoque de modelización más realista. Se muestran varios proce
dimientos de solución, siendo algunos de ellos extensión directa de los utilizados
en el caso uniobjetivo.
\
\
CAPITULO 1
CONSTRUCCION DE MODELOS
Comenzamos revisando las ideas básicas del proceso de construcción de modelos
- de Programación Lineal. La modelización o construcción de modelos es una fase
importante en la resolución cuantitativa de cualquier problema. La modelización
es una tarea no.s encilla que exige un esfuerzo importante de comunicación entre
el analista o investigador operativo y el decisor, para intentar representar lo más
fielmente posible la realidad del problema en estudio.
Los modelos de Programación Lineal se incluyen en la clase más general de
los modelos de optimización, en los que se optimiza una función de las variables
de decisión, denominada función objetivo, sujeta a un conjunto de limitaciones
o restricciones sobre las variables de decisión. La formulación general de un
problema de optimización es
max z = J(x¡, ... , Xn)
s.a
=
9j(X¡, ... , Xn) ~O, j 1, ..., m
donde fes la función objetivo, (x1, ... , Xn) son las variables de decisión y tenemos
unas restricciones caracterizadas por las desigualdades sobre 9t. ..., 9m· En el caso
de la programación lineal, la función objetivo y las restricciones son lineales en
las variables de decisión. La función objetivo se expresará. en la forma
f(x¡, ... , Xn) = C¡X¡ t · · · t CnXn = c1x.
y las restricciones
r
CAPITULO l. CONSTRUCCION DE MODELOS 3
2 PROCRAMACION LINEAl. Y APLICACIONES: EJERCICIOS RESUELTOS @RA-MA
C'?. Las refinerías están dotadas de dos tipos d~ tecnologías. La
?t
1 crudos, y - utiliza en cada sesión de destilación 7 umdades d~ C¡ ~ 12
....
o, en notación matricial, tecneol ogta nueva T~ . d G d p S'de S. Con la tecnologta antigua
d aro productr 8 umdades e 6 e Y . S
1
Ax~ b, T:. :~ ~btienen en cada destilación 10 unidades de G' 7 de p y -l de ' con ~n
donde e es el vector de coeficientes del objetivo, A es la matriz de coeficientes asto de 10 unidades de C't y 8 de c2· ' ·,. ' . mes se deben
tecnológicos, b es el vector de términos a la derecha o constantes y x el de variables g Estudios de demanda permiten estimar que para el pr:;~mo 1700 de. S 'La
de decisión. producir al menos 900 unidades de G, 3~0 de p y entrede 200~ unidades .. Los,
El esquema básico que seguirá este capítulo, en el que los problemas se mode disponibilidad de crudo C't e~ de 1400 umdades y de c2
lizan como Lineales, consistirá en definir primero las variables de decisión, después beneficios por unidad produc1da son
las restricciones y, finalmente, la función objetivo a optimizar.
--G-as-ol-in-a--~G~P~'s'
La modelización comenzará por definir las variables de decisión, que repre
Beneficio/u 4 6 7
sentan las variables sobre las que el decisor tiene control y que se suponen conti
.·
nuas. Se representarán algebraicamente en la forma x x2, ... o bien con nombres
1, ~;.:~::.~·::m~·;.~;;;~;:~:,~~~:;;;;:~; :¡7;~::~;·~:~:;;¡;1~~:~::
específicos que faciliten su identificación. Representarán productos o bienes a
producir, almacenar o vender, disponibilidad o adquisición de materias primas, ...
sea el máximo.
Puede haber problemas en los q'ue resulta posible la definición alternativa de va
riables y una elección cuidadosa será determinante para la posterior resolución del
modelo construido, que consistirá en la asignación a éstas de unos determinados Solución 1 tividades
fi"ando las variables de decisión. Observemos que as ac
valores numéricos. ' Comenzesamta'o~nt~resada la compañía son el número de destilaciones con cada tec-
El siguiente paso será el reconocimiento de las restricciones y su construcción. en que • d · "6
• Por tanto definimos las variables de wst n
Las restricciones representan limitaciones o requisitos y definirán las decisiones no 1o gta. . '
admisibles, es decir, la región factible del problema. Podrán ser de la forma de x = número de destilaciones con Tn
desigualdades y/ o igualdades, según representen el deseo de no exceder cierto xl = número de destt" l act.o nes con T.a . . ..
2
valor especifico (~), no descender por debajo de tal valor k) o ser igual a él Tenemos res t n.c ct.o n es debidas a las limitaciones en la dtsporubiltdad de ambos
(=). tipos de crudos. Para C1
Finalmente, se construirá la función objetivo, que representará alguna canti
[(7 unidades de Ct x Xt de~t~l~ciones) + (10 de C't x X2)] ~-
dad que desea maximizar el decisor {beneficio, renta, eficacia, producción, ... ) o
. ~ [dispombthdad de C¡J,
bien minimizar (coste, tiempo, inventario,. .. ). En algunos casos, las restricciones
y /o el objetivo se modelizarán inicialmente como funciones no lineales, que pos
es decir,
teriormente se convertirán en lineales introduciendo transformaciones adecuadas.
Se desarrollarán algunas aplicaciones de la programación lineal a problemas
clásicos como los de regresión lineal y parabólica, factibilidad de sistemas de Análogamente, para G2 f
ecuaciones lineales, solución no trivial de un sistema homogéneo y aproximación 12x1 + 8x2 ~ 2000.
· .· · T y x destilaciones
de un sistema de ecuaciones inconsistente. 1
Además, sabemos que si se producen X¡ destt acton~s co~ n . 2 ~
con Ta los product~sobtenid~s son
EJERCICIOS 8x1 + 10x2 unidades de G
+ unidades de P
6x 1x2
1
1. Destilación de crudos. Una compañía de petróleos produce en sus refinerías 5x,·+ ü2 unidades de S
gasóleo {G), gasolina sin plomo (P) y gasolina súper (S) a partir de dos tipos de
4 PROGRAMACION LINEAL
y APLICACIONES: EJERCICIOS RESUELTOS
e RA-MA CAPITULO L CONSTRUCCION DE MODELOS .;
De los estudios d d
e emanda, podemos establecer las restricciones de vitamina B y 30 de e, y, a lo sumo, 14 de vitamina D. La tabla nos da el
8x¡ + 10x2 ~ 900 (demanda de G) número de unidades de las distintas vitaminas por unidad de alimento consumido
6x1 + 7x2 ~ 300 (demanda de P) para seis alimentos eleg·idos, denominados 1, 2, 3, 4, 5, 6, asi como su coste por
unidad
5x 1 + 4x2 S 1700 }
5x + 4x > 800 (demanda de S) Vitaminas Coste por
1 2 e
Alimentos A B D unidad
Como es obvio h - - o
, ay que anadrr la condición de no negatividad 1 1 l 1 10
2 1 2 1 o 14
3 o 1 2 o 12
Xj ~ 0, j == 1, 2. 4 3 1 o 1 18
Observemos que pod .' 5 2 1 2 o 20
a val?res enteros. Si~'::~:arse que las variables de .decisión deben restringirse 6 1 o 2 16
fraccJonales, ya que ést go, en .el proceso de destilación se permiten valores
El ob. t· e puede realizarse parcialmente Se desea construir un modelo de programación lineal para conocer la cantidad de
,Je Ivo es maxim' l b . . cada alimento que hay que prepara-r y que satisfaga los requisitos propuestos con
IZar e eneficJO B del producto destilado. Este es
B-[b fi' . coste mínimo.
. +[ b enefi-cio deen·eP CxIO podr u-ni.d·, ad de G x uw.d ades producidas de G] +
. pro uccion de PJ + [beneficio de S x producción de S] Solución
es dectr, Definimos las variables de decisión x¡, que representan la cantidad de alimento '
=
i 1, ... , 6, que se utiliza para la élieta. Las restricciones son consecuencia de los
requisitos vitamínicos exigidos a la dieta, que son
B : 4 (8x¡ + 10x2) + 6 (6x, + 7x2) + 7 (5x¡ + 4x )
- 103x¡ + 110x2. 2 26 S X¡+ x2 + 3x4 + 2x5 + X6 S 32 (vitamina A)
Por tanto ' e1 programa lin~al es X1 + 2X2 + X3 + X4 + X5 ~ 25 (vitamina B)
x2 + 2x3 + 2xs + 2x6 ~ 30 (vitamina e)
max B = 103x¡ + llOx Xl + X4 + X6 S 14 (vitamina D)
2
s.a con X¡~ Op arai = 1, ... ,6.
-7x¡ + l0x2 S 1400 La función objetivo, de la forma de minimización, representa el coste total de
· 12x, + 8x2 S 2000 la dieta, que es
8x¡ + 10x2 ~ 900- e= lOXt + 14X2 + 12X3 + l8X4 + 20xp + 16xs.
6x1 + 7x'2 ~ 300 ·
5x, + 4x2 S 1700 Por tanto, el programa lineal consiste en determinar (x1,x?,XJ,x4,xs,xs) E 1R.6
tal que
~5x¡ + 4x2 ~ 800
e =
min lOx, + 14x2 + 12x3 + l8x4 + 20xs + 16xs
X¡,X2 ~ 0
s.a
o X¡+ x2 + 3x4 + 2xs + X5 S 32
2. Problema de 1 . X¡+ X2 + 3x4 + 2X5 + X5 ~ 26
de· -cos·t e mínimo eo na udnioest ad. eEtef!r mut~n cden tro de ·n ·u trición se desea obtener la dieta X¡+ 2X2 + X3 + X4 + X5 ~ 25
dm'n os que van a as~. s tt.r a campame at os dr equmtos vitamínicos para un grupo de x2 + 2x3 + 2x5 + 2x6 ~ 30
~eta debe contener ent 26 3 n. os e verano. El especialista estima que la x, +x4 +xs S14
re y 2 unzdades de vitamina A, al me~os 25 unidades Xi ~ 0, i = 1, ... , 6. o
6 PROCRAMACION LINEAL Y APLICACIONES: EJERCICIOS RESUELTOS ©RA-MA
CAPITULO l. CONSTRUCCION 08 M008LOS 7
3. Producción de gasolinas. Una compañía de petróleos produce tres tipos
- Acuerdos sobre el crudo A (barriles)
de gasolinas: Súper, Normal y Euro. Se obtienen por mezcla de tres calidades
de crudos (A,B,C) que contienen tres componentes (1,2,3). La participación de XAS + XAN + XAE 2: 2500
estos componentes en la compos·ición de cada crudo es
- Demandas qe gasolinas Súper y Normal (barriles)
Componentes
Cr-udos 1 2 3 X.4S + XBS + XCS 2: 2000, XAN + XBN + XCN 2: 2500
A 80% lO% 5%
B 45% 30% 20%
e 30% 40% 25% - Composición de las gasolinas
Las especificaciones de los tres tipos de gasJtinas son .80xAs + .45xas·+ .30xcs ~ .60 (xAs + xas + xcs)
.lOxAS + .30xss + .40xcs:::; .25 (xAs + xss + xcs) } Súper
l 2 3 .05xAs + .20xas + .25xcs 2: .10 (xAs + xas + xcs)
Súper ;::: 60% :::; 25% ;::: 10%
Normal ;::: 50% :::; 30% :::; 15%
Justificamos la primera restricción observando que .80xAS + .45xas + .30xcs
Euro ~40% ~35% ;::: 20%
representa la contribución del componente 1 en la producción de Súper, que
Los costes por barril de crudos A, B y C son 650, 500 y 450 ptas, respectivamente. deberá ser, al menos, el60% de la producción total de Súper que es XAS + xas +
El presupuesto diario de compra es de 50 millones de ptas; la disponibilidad dia xcs- Análogamente, se tienen el resto de restricciones sobre la composición.
ria de crudos B y C se limita respecti·uamente, a 3000 y 7000 barriles. Ciertos
1 .80XAN + .45XBN + .3ÜXCN 2: .50 (XAN + XBN + XCN) }
acuerdos obligan a comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las deman
.lÜXAN + .30XBN + .40xcN ~ .30 (XAN + XBN + XCN) Normal
das de gasolina Súper y Normal son de 2000 y 2500 ban'iles diarios, que deben
+ + + +
.05XAN .2ÜXBN .25XcN:::; .15 (x.4N XBN XCN).
satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro. 1
(,
Formular un modelo de programación lineal que dé respuesta al problema plan
.80xAE + .45xse + .30xcs :::; .40 (xAE + xse + xce) }
teado por la compañía.
:.10xAE + .30xae + .40xce 2: .35 (xAE + xae + xce) Euro
Solución .05XAE + .20XBE + .25XCE 2: .20 (XAB + XBE + XCE)
Consideramos las variables de decisión medidas en barriles/día
- NQ negatividad de las variables de decisión
=
Xij cantidad de crudo tipo i dedicado a gasolina tipo j
donde i = A,-B,f) y j = S, N, E (S=Súper, N=Normal, E=Euro). Las restric- · Xij;::: o, i = A,B,C, j =S, N, E
ciones se deben a:
La función objetivo corresponde a la cantidad de gasolina Euro que se desea
- Limitaciones en el presupuesto (ptas) maximizar, y tiene la expresión
650(xAs + xA.N + XAE) + 500(xss + xaN + xse)+
E= X;tE +xaE +xce
+450(xcs + xcN + xce) ~ 50 x lO 6
- Disponibilidad de los crudos By C (barriles)
XBS + XBN + XBE ~ 3000, XCS + XCN +X CE:::; 7000
8 PROGRAMACION LINEAL; Y APLICACIONES: EJERCICIOS RESUELTOS ©RA-MA CAPITULO l. CONSTRUCC!ON DE MODELOS 9
Por tanto, el programa lineal queda 1 Precio uenta
Combinado Especificación (ptasfl)
max E= XAE+xss+xcE No más del 50% de M
s. a H No más del20% de P 100
No menos del10% deL
650(XAS t XAN t XAE) t 500(XBS t XBN t XBs)+
+450(xcs + xcN + xcs) ~50 x 106 40% de N
G 35% deL 120
XBS t XBN t XBE ~ 3000 25% de P
XCS t XCN t XCE ~ 7000
XAS t XAN t XAE ~ 2500 La demanda de los distintos ztLmos es grande, por lo qtLe se espera vender toda la
X,.¡s t XBS t XCS ~ 2000 producción. Por cada kg de frtLta, se produce tLn litro del correspondiente zumo.
XAN t XBN t XCN ~ 2500 Determinar los niveles de prodtLcción de los siete zumos, de manera qtLe se tenga
.20xAs- .15xss - .30xcs 2: O beneficio máximo en el periodo entrante.
+ +
- - .15xAs .05xss .15xcs ~O
- .05xAs + .lOxss + .15xcs ~O Solución
.30XAN-.05XBN - .20XcN ~ 0 Observemos que los recursos son las cinco clases de fruta, y que l~s productos son,
- .20XAN t .10XcN ~ 0 además de los zumos obtenidos directamente de éstas, los dos combinados. Una
-.10XAN t .05XBN t .10xcN ~ 0 posible definición de las variables de decisión consiste en considerar las posibles
.4ÜXAE t .05XBE- .10xcE ~ 0 combinaciones recursos-productos. Así, se tendrán 11 variables de decisión que
+
-.25xAE-.05xss .05xcE ~O denotamos
-.15XAE + .05xcE ~O·
Xij ~o, i = A,B,C, j =S, N, E
o
donde XN N es la cantidad de naranjas utilizac\a para hacer zumo de naranja, XNG
la cantid~ de naranjas utilizadas para ei cdmbinado de zumo de tipo G, ... Las
4. Elaboración de zumos. Una empresa. de alimentación prodtLce ztLmos de
restricciones se deben a:
pera, naranja, limón, tomate, manzana, además de otros dos tipos denominados
H y G qtLe son combinados de algunos de los anteriores. La disponibilidad de fruta
- Limitaciones en la disponibilidad de recursos
para el periodo próximo, así como los costes de producción y los precios \/de venta
:
para los zumos, vienen dados en la tabla XNN t XNG ~ 32000
Xpp t Xpfl t XPG ~ 25000
Disponibilidad Coste Precio venta
XLL t XLH t XLG ~ 21000
Fruta máxima (kg) (ptasfkg) (ptas/1)
Naranja (N) 32000 94 129 XTT ~ 18000
Pera (P) 25000 87 125 XMtllf t XMH ~ 27000
Limón (L) 21000 73 110
Tomate (T) 18000 47 88 - Especificaciones para el combinado H
Manzana (M) 27000 68 97
XMH ~ .5(XMH tXPH tXLH)
Las especificaciones y precios de venta de los combinados vienen dados en la tabla XpFJ ~ .2 (XtvfH tXpFJ t Xc,H}
XLH 2: .10 (XMH t XPH t XLH)
• l