Presque réductibilité des cocycles quasi-périodiques de classe Gevrey 2

0.28 MB·French

by  Claire Chavaudret

Presque-réductibilité des cocycles quasi-périodiques
de classe Gevrey 2
Claire Chavaudret
Institut de Mathématiques de Jussieu
0
1
1 Introduction
0
2

n 1.1 Présentation du résultat
a
J
Soit n 1, d 1,ω Rd et 0 < κ < 1,τ > max(1,d 1). Supposons que ω est
2 ≥ ≥ ∈ −
1 diophantien de constante κ et d’exposant τ, c’est-à-dire que

]
S κ
D m Zd 0 , m,ω (1)
∀ ∈ \{ } |h i| ≥ m τ
. | |
h
t On peut aussi supposer sans perte de généralité que sup ω 1. On note Td := Rd/Zd
a | i| ≤
m le tore et 2Td := Rd/(2Zd) le double tore.
[
Définition: Soit une algèbre de Lie, G le groupe de Lie associé à et A : 2Td .
1 G G → G
Le cocycle quasi-périodique associé à A est la fonction X : 2Td R G telle que pour
v
× →
1 tous (θ,t) 2Td R,
1 ∈ ×
9
1
d
1. Xt(θ) = A(θ +tω)Xt(θ); X0(θ) = Id (2)
dt
0
0
1
On dit que c’est un cocycle constant si A est constante.
:
v
i
X Remarque: Le terme quasi-périodique vient du fait que A est la fonction enveloppe
r d’une fonction quasi-périodique. En effet, pour tout θ 2Td, t A(θ + tω) est une
a ∈ 7→
fonction quasi-périodique.
Un cocycle constant est toujours de la forme t etA.
7→
Définition: Soit r > 0. Soit E un sous-ensemble de gl(n,C). Notons CG,2(2Td,E) (resp.
r
CG,2(Td,E)) les fonctions de classe Gevrey deux de paramètre r sur 2Td (resp. Td) à
r
valeurs dans E, c’est-à-dire les fonctions f C (2Td,E) (resp. C (Td,E)) telles qu’il
∞ ∞
∈
existe C > 0 tel que pour tout α = (α ,...,α ) Nd,
1 d
∈
sup ∂αf(θ) Cr 2α(α!)2 (3)
− | |
| | ≤
θ 2Td
∈
1
où on a noté α! = α !...α !. Notons f la norme Gevrey de f, c’est-à-dire
1 d r
|| ||
1
f = sup r2α sup ∂αf(θ) (4)
r | |
|| || (α!)2 || ||
α Nd θ 2Td
∈ ∈
Notation : Pour toute fonction f C1(2Td,C), on notera pour tout θ 2Td
∈ ∈
d
∂ f(θ) = f(θ+tω) (5)
ω t=0
dt |
la dérivée de f dans la direction ω.
Définition: Soit une algèbre de Lie et G le groupe de Lie associé à . Soient r,r > 0
′
et A,B CG,2(2TGd, ). On dit que A et B sont conjugués dans CG,2(G2Td,G) s’il existe
∈ r G r′
Z CG,2(2Td,G) tel que pour tout θ 2Td,
∈ r′ ∈
∂ Z(θ) = A(θ)Z(θ) Z(θ)B(θ)
ω
−
Si B est constante en θ, on dit que A est réductible dans CG,2(2Td,G), ou réductible par
r′
Z à B.
Remarque: Soit X le cocycle quasi-périodique associé à A. La fonction A est réductible
par Φ à A si et seulement si
0
(t,θ), Xt(θ) = Φ(θ +tω) 1etA0Φ(θ) (6)
−
∀
La réductibilité équivaut aussi au fait que l’application de 2Td Rn dans lui-même :
×
θ θ+ω
(7)
v 7→ X1(θ)v
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
soit conjuguée à une application χ telle que
dχ θ ¯1
(8)
dθ v ≡ 0
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Le but de cet article est de montrer que pour
G = GL(n,C),GL(n,R),SL(n,R),Sp(n,R),O(n),U(n)
au voisinage d’un cocycle constant, tout cocycle de classe Gevrey 2 de paramètre r à
valeurs dans G est presque-réductible dans ∪r′>0CrG′,2(2Td,G).
Nous allons prouver le théorème suivant, pour G parmi les groupes mentionnés ci-dessus
et l’algèbre de Lie associée à G :
G
2
Théorème 1.1 Soit 0 < r 1, A , F CG,2(Td, ). Il existe ǫ < 1 ne dépendant
≤ ∈ G ∈ r G 0
que de n,d,κ,τ,A,r tel que si
F ǫ
r 0
|| || ≤
alors pour tout ǫ > 0, il existe r > 0,A¯ ,F¯ CG,2(2Td, ), Z CG,2(2Td,G) tels que
ǫ ǫ ǫ ∈ rǫ G ǫ ∈ rǫ
pour tout θ 2Td,
∈
∂ Z (θ) = (A+F(θ))Z (θ) Z (θ)(A¯ (θ)+F¯ (θ))
ω ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ
−
où
– A¯ est réductible dans CG,2(2Td,G),
ǫ rǫ
– F¯ ǫ,
|| ǫ||rǫ ≤ 1
– et Z Id 2ǫ2.
|| ǫ − ||rǫ ≤ 0
De plus, en dimension 2 ou si G = GL(n,C) ou U(n), Z ,A¯ ,F¯ sont continus sur Td.
ǫ ǫ ǫ
1.2 Généralisations et conséquences
Le théorème 1.1 dit qu’au voisinage d’un cocycle constant, tous les cocycles sont presque-
réductibles au sens où ils sont arbitrairement proches d’un cocycle réductible, ce qui
signifie que la réductibilité est un phénomène prédominant. Cependant, si la réductibi-
lité implique la presque-réductibilité, l’inverse n’est pas vrai : il existe des cocycles non
réductibles même proches d’un cocycle constant.
L’intérêt de la notion de presque-réductibilité est qu’un cocycle presque réductible a une
dynamique connue sur un temps très long.
Le théorème 1.1 est en fait vrai si l’on suppose F dans une classe plus grande que
CG,2(Td, ), à savoir les fonctions de CG,2(2Td, ) vérifiant certaines "bonnes propriétés
r G r G
de périodicité" par rapport à la matrice A.
En dimension 2 ou si est complexe, ce résultat peut se reformuler comme un théorème
G
de densité des cocycles réductibles au voisinage des cocycles constants :
Théorème 1.2 Soit = gl(n,C),u(n),gl(2,R),sl(2,R) ou o(2). Soit 0 < r 1 et
G ≤
A ,F CG,2(Td, ). Il existe ǫ ne dépendant que de r,n,d,κ,τ,A tel que si
∈ G ∈ r G 0
F ǫ
r 0
|| || ≤
alors pour tout ǫ > 0 il existe r > 0,H Cω(Td, ) réductible dans CG,2(Td, ) et tel que
ǫ ∈ rǫ G rǫ G
A+F H ǫ
|| − ||rǫ ≤
3
1.3 Résultats déjà connus
Un résultat comparable pour les cocycles lisses à valeurs dans les groupes compacts avait
été obtenu par R. Krikorian dans [9] (th.5.1.1). Dans le cas d’un cocycle au-dessus d’une
rotation du cercle, le contrôle de l’analyticité est bien meilleur (voir par exemple [1]) car
il est alors possible d’utiliser des méthodes globales. Nous considérons ici le cas d’un tore
de dimension quelconque. La méthode KAM que nous allons utiliser ici avait déjà produit
des résultats de réductibilité en mesure totale pour des cocycles à valeurs dans SL(2,R)
([6], [7]).
Unrésultat analogueauthéorème 1.1danslecadredescocycles analytiques àvaleursdans
GL(n,R)avaitdéjàétédémontrédans[4]parL.H.Eliasson;onsereporteraégalementàsa
généralisationdans[3].Notonsbien,cependant,ladistinctionsuivante:lethéorème1.1est
un résultat de presque réductibilité faible, c’est-à-dire que le paramètre peut tendre vers
0;ilen est de même pour lethéorème d’Eliasson dans lecas des fonctions analytiques ([4])
où le rayon d’analyticité peut tendre vers 0. Dans le cas des fonctions analytiques, on peut
obtenir unrésultat depresque réductibilité forte([3]),c’est-à-dire oùle rayond’analyticité
reste strictement positif à la limite. Mais la question de la presque réductibilité forte dans
le cas des fonctions Gevrey reste ouverte.
Notons que, comme dans [4] et [3], la perte de périodicité dans le théorème 1.1 est inévi-
tabledansungrouperéeldedimension plusgrandeque2.Lanotionde"bonnespropriétés
de périodicité" a pour but de s’assurer qu’un seul doublement de période suffit. Le cadre
symplectique introduit de nouvelles contraintes pour éliminer les résonances, par rapport
au cadre réel, mais ces contraintes n’ont pas de conséquences sur la construction de la
fonction de renormalisation, ce qui explique que l’on n’ait pas plus de perte de périodicité
que dans le cadre GL(n,R). Ainsi, comme dans [2], un seul doublement de période suffit
dans le cas d’un groupe symplectique réel.
1.4 Plan de l’article
La preuve des théorèmes 1.1 et 1.2 reprend à peu près le même schéma de démonstra-
tionquedans[4];ils’agitd’une preuve paritérationdetypeKAM.Envoici lesprincipales
étapes :
– Construction d’une renormalisation Φ d’ordre N (proposition 4.2) pour N N 0
∈ \{ }
bien choisi.
Notons qu’en dimension 2, Φ est telle que pour toute fonction H continue sur Td,
ΦHΦ 1 est continue sur Td.
−
– Résolution de l’équation homologique (proposition 5.2) : si A˜ a un spectre vérifiant
˜
certaines conditions diophantiennes et que F est une fonction qui a certaines bonnes
propriétés de périodicité relatives à A˜, alors il existe une solution X˜ de l’équation
∂ X˜ = [A˜,X˜]+F˜N; Xˆ˜(0) = 0
ω
4
qui a les mêmes propriétés de périodicité que F˜; elle prend ses valeurs dans la même
algèbre de Lie que F˜. De plus, elle vérifie une bonne estimation quitte à perdre un
peu de régularité.
– Lemme inductif (proposition 6.6) : Si F˜ CG,2(2Td, ) a certaines propriétés de
˜ ∈ r G
périodicité (relatives à A), si
∂ Ψ = A¯Ψ ΨA˜
ω
−
et F¯ = ΨF˜Ψ 1, alors il existe Z CG,2(2Td,G) telle que
− ∈ r′
∂ Z = (A¯+F¯)Z Z(A¯ +F¯ ) (9)
ω ′ ′
−
où A¯ est réductible, F¯ est beaucoup plus petit que F¯, Z est proche de l’identité et
′ ′
Ψ 1F¯ Ψ a des propriétés de périodicité relatives à A analogues à celles de F˜.
′− ′ ′ ′
L’estimation de F¯ dépend de F˜ F˜N, de la fonction de renormalisation Φ, et de
′
−
la solution X˜ de l’équation homologique.
– Itération du lemme inductif (théorème 7.2) : On itèrera le lemme 6.6 grâce à un
lemme numérique (lemme 7.1), pour réduire arbitrairement la perturbation.
Remarque: La fonction de renormalisation se construit selon le même principe que
dans [4].
1.5 Notations
On notera .,. le produit scalaire euclidien complexe, avec la convention qu’il est an-
h i
tilinéaire en la deuxième variable. Pour tout opérateur linéaire M, on notera M son
∗
adjoint, égal à la transposée de M dans le cas où M est réel. On notera aussi M la
partie nilpotente de M, c’est-à-dire : si M = PAP 1 avec A en forme normale de JorNdan,
−
et si A représente la partie diagonale de A, alors M = P(A A )P 1. Pour simpli-
D D −
fier l’écriture, si A : 2Td GL(n,C), on notera A 1 Nla fonction−θ A(θ) 1. Pour tout
− −
→ 7→
m = (m ,...,m ) 1Zd, on notera m = m + + m . On désignera par J la
1 d ∈ 2 | | | 1 | ··· | d |
0 Id
matrice J = − .
Id 0
(cid:18) (cid:19)
2 Bonnes propriétés de périodicité
Commençons par introduire quelques définitions. La notion de trivialité par rapport à une
décomposition permettra d’expliciter plus facilement les fonctions de renormalisation;
les bonnes propriétés de périodicité ont déjà été introduites dans [4] et permettent de
s’assurer, dans le cas réel, qu’un seul doublement de période est nécessaire à l’itération
du lemme inductif.
5
2.1 Décompositions invariantes
Définition: = L ,...,L est une décomposition de Cn si Cn = L .
L { 1 R} j j
Définition: Soient , des décompositions de Cn. On dit que esLt plus fine que si
′ ′
L L L L
pour tout L , il existe L tel que L L ; on dit que est strictement plus fine
′ ′ ′
∈ L ∈ L ⊂ L
que si est plus fine que et = .
′ ′ ′
L L L L 6 L
Définition: Soit A gl(n,C); on dit que = L ,...,L est une A-décomposition, ou
1 s
∈ L { }
décompositionA-invariante,sic’estunedécompositiondeCn etquepourtouti,AL L .
i i
⊂
Les L sont les sous-espaces de .
i
L
Remarque: Une A-décomposition est toujours moins fine que la décomposition en sous-
espaces propres généralisés. Ainsi, si deux matrices A et A ont la même décomposition
′
en sous-espaces propres généralisés, alors une A-décomposition est une A-décomposition.
′
Notation : Soit une A-décomposition. Pour tout L , on note σ(A ) le spectre de
L
L ∈ L |
A restreint au sous-espace L.
Définition: Soit κ′ 0. On notera A,κ′ l’unique A-décomposition telle que pour tous
≥ L L
L = L′ , α σ(AL) et β σ(AL′) α β > κ′ et qu’aucune A-décomposition
6 ∈ L ∈ | ∈ | ⇒ | − |
strictement plus fine que n’a cette propriété.
L
Définition: Soit A gl(n,C). On note la décomposition de Cn qui est l’ensemble des
A
∈ L
sous-espaces propres généralisés de A.
Remarque: On fera attention au fait que n’est pas forcément identique à . En
A A,0
L L
général est plus fine.
A
L
Définition: Soit une décomposition de Cn. Pour tout u Cn, il existe une unique
L ∈
décomposition u = u avec u L pour tout L . Pour tout L , on appelle
L L L ∈ ∈ L ∈ L
projection sur L relative∈Là , et on note P , l’application définie par P u = u .
P L LL LL L
Remarque: Soit A gl(n,C) et κ > 0. Si est une A-décomposition moins fine que
′
∈ L 1
A,κ′, alors on a le lemme suivant, tiré de [4], appendice, lemme A :
L
Lemme 2.1 Il existe une constante C 1 ne dépendant que de n telle que tout sous-
0
≥
espace L vérifie
∈ L
n(n+1)
1+ A
|| PLL ||≤ C0 ||κ N || (10)
(cid:18) ′ (cid:19)
1. Le lemme A de [4] donne en fait une estimation en fonction de A , mais il apparaît clairement
dans sa démonstration que l’estimation ne dépend en fait que de AN.|| ||
6
Par la suite, on notera toujours C cette constante fixée dans le lemme 2.1.
0
Définition: Une (A,κ,γ)-décomposition est une A-décomposition telle que pour
′
L
tout L , la projection sur L relative à vérifie l’estimation
∈ L L
γ
1+ A
|| PLL ||≤ C0 ||κ N || (11)
(cid:18) ′ (cid:19)
Remarque: Pour A gl(n,C), on a toujours A = P AP . En particulier, si
∈ L,L′ LL LL′ L
∈L
est une A-décomposition, alors A = P AP .
L LL LL P
∈L
Définitions: Soit une décompositPion.
– On dit que Lest une décomposition réelle si pour tout L , L¯ ;
L ∈ L ∈ L
– On dit que est une décomposition symplectique si c’est une décomposition de Cn
L
avec n pair et que pour tout L , il existe un unique L tel que L,JL = 0.
′ ′
∈ L ∈ L h i 6
– On dit que est une décomposition unitaire si pour tout L = L , L,L = 0.
′ ′
L 6 ∈ L h i
Remarque:
– Si A est une matrice réelle, alors pour tout κ′ 0, A,κ′ est une décomposition
≥ L
réelle.
– Pour tout L, il existe au moins un L tel que L,JL = 0. Cela vient de la non-
′ ′
h i 6
dégénérescence de la forme symplectique .,J. .
h i
– Si A sp(n,R), alors toute A-décomposition moins fine que est une décom-
A,0
∈ L L
position symplectique réelle. En effet, soient L,L tels que L,JL = 0; soient
′ ′
∈ L h i 6
v L,v L des vecteurs propres de A tels que v,Jv = 0 et λ,λ leurs valeurs
′ ′ ′ ′
∈ ∈ h i 6
propres associées. Alors
¯
λ v,Jv = Av,Jv = v,A Jv = v,JAv = λ v,Jv (12)
′ ′ ∗ ′ ′ ′ ′
h i h i h i −h i − h i
¯
et comme v,Jv = 0, alors λ = λ.
′ ′
h i 6 −
– Si A U(n), alors toute décomposition moins fine que est une décomposition
A,0
∈ L
unitaire.
2.2 Trivialité et bonnes propriétés de périodicité par rapport à
une décomposition
Définition: Soit une décomposition de Cn. On dit qu’une fonction Ψ est triviale par
L
rapport à s’il existe m , L 1Zd, tels que pour tout θ 2Td,
L { L ∈ L} ⊂ 2 ∈
Ψ(θ) = e2iπ mL,θ P (13)
h i LL
L
X∈L
Définition: On dit que la fonction Ψ est triviale s’il existe une décomposition telle que
L
Ψ est triviale par rapport à .
L
Remarque:
7
– Si Ψ est triviale par rapport à et que est plus fine que , alors elle est triviale
′
L L L
par rapport à .
′
L
– Si Φ,Ψ : 2Td GL(n,C) sont triviales par rapport à , alors le produit ΦΨ est
→ L
trivial par rapport à .
L
– Si Φ est triviale par rapport à une A-décomposition , alors pour tout θ 2Td,
L ∈
[A,Φ(θ)] = 0.
Lemme 2.2 Soit une décomposition réelle de Cn, m , L 1Zd et Ψ définie par
L { L ∈ L} ⊂ 2
Ψ(θ) = e2iπ mL,θ P (14)
h i LL
L
X∈L
Alors Ψ est réelle si et seulement si pour tout L, m = m . De plus, si Ψ est réelle,
L L¯
−
alors Ψ est à valeurs dans SL(n,R).
Pour la démonstration, se reporter à [3], lemme 1.2.
Remarque: Toutefonctiontriviale parrapportàunedécomposition unitaireest unitaire.
En effet, soit une décomposition unitaire, Φ triviale par rapport à et L,L . Alors
′
L L ∈ L
pour tout u ,v ,
′
∈ L ∈ L
Φ(θ)u,Φ(θ)v = e2iπhmL,θiu,e2iπhmL′,θiv = u,v (15)
h i h i h i
Lemme 2.3 Soit une décomposition symplectique réelle et m ,L une famille
L
L { ∈ L}
d’éléments de 1Zd. Soit Ψ = e2iπ mL,. P . Alors Ψ est à valeurs dans Sp(n,R) si et
2 L h i LL
seulement si ∈L
P
– pour tout L, m = m
L L¯
−
– et si L,JL′ = 0, alors mL = mL′.
h i 6
Démonstration: Se référer à [3], lemme 1.3.
Définissons les propriétés de périodicité.
Définition: Soit une décomposition de Cn. On dit que F C0(2Td,gl(n,R)) a de
L ∈
bonnes propriétés de périodicité par rapport à s’il existe Φ triviale par rapport à telle
L L
que Φ 1FΦ soit continue sur Td.
−
Pour préciser la famille (m ) qui définit Φ, on dira que F a de bonnes propriétés de
L
périodicité par rapport à et (m ).
L
L
Remarque:
– Si F C0(2Td,gl(n,R)) a de bonnes propriétés de périodicité par rapport à une
∈
décomposition et que Φ est triviale par rapport à , alors ΦFΦ 1 a de bonnes
−
L L
propriétés de périodicité par rapport à .
L
– Si est une décomposition de Cn qui est plus fine que et que F a de bonnes pro-
′
L L
priétés de périodicité par rapport à , alors F a de bonnes propriétés de périodicité
L
par rapport à .
′
L
– Soit une décomposition de Cn et (m ) une famille d’éléments de 1Zd. Si
F ,FL C0(2Td,gl(n,R)) ont de bonnesLprLo∈pLriétés de périodicité par rappo2rt à
1 2
∈ L
et (m ), alors le produit F F a de bonnes propriétés de périodicité par rapport à
L 1 2
et (m ).
L
L
8
3 Généralités sur les fonctions de classe Gevrey deux
Remarque:
– Pourtous0 < r′ < r,onal’inclusionCrG,2(2Td,G) ⊂ CrG′,2(2Td,G)et|| f ||r′≤|| f ||r.
– Pourf,g CG,2(2Td, ),ona fg f g (voirparexemple[11],appendice).
∈ r G || ||r ≤ || ||r|| ||r
Lemme 3.1 Pour tout m Zd et tout r > 0, la fonction θ e2iπ m,θ vérifie
′ h i
∈ 7→
e2iπhm,.i r′ e2π|m|r′2 (16)
|| || ≤
Démonstration: Pour tout α Nd et tout θ Td,
∈ ∈
r2α r2α
′ | | ∂α(e2iπ m,θ ) ′ | | 2πm αj
h i j
(α!)2 | | ≤ (α!)2 | |
j
Y (17)
(r′2 | 2πmj |)αj e2πmj r′2 = e2πmr′2 (cid:3)
| | | |
≤ (α !)2 ≤
j
j j
Y Y
Remarque: Ceci implique que les fonctions analytiques sur un r-voisinage du tore ou du
double tore sont Gevrey deux de paramètre r;
4 Fonction de renormalisation
Rappelons un lemme de [3] permettant de construire une fonction de renormalisation à
l’ordre N :
Proposition 4.1 Soit A et N N. Soit
∈ G ∈
κ
κ = (18)
′′
n(8N)τ
Il existe une fonction Φ triviale par rapport à A,κ′′ et à valeurs dans G telle que
L
1. pour tout r 0,
′
≥
n(n+1) n(n+1)
1+ A 1+ A
Φ r′ nC0 || N|| e4πNr′, Φ−1 r′ nC0 || N|| e4πNr′
| | ≤ κ | | ≤ κ
(cid:18) ′′ (cid:19) (cid:18) ′′ (cid:19)
(19)
2. Si A˜ est définie par
θ 2Td, ∂ Φ(θ) = AΦ(θ) Φ(θ)A˜ (20)
ω
∀ ∈ −
9
alors
˜
A A 4πN (21)
|| − || ≤
et A˜ a un spectre DCN(κ ,τ).
ω ′′
3. Si = gl(n,C) ou u(n), Φ est définie sur Td.
G
Définition: On appellera la fonction Φ construite dans la proposition 4.1 une renor-
malisation de A d’ordre N.
Cette fonction vérifie une bonne estimation en norme Gevrey, comme le montre la propo-
sition suivante :
Lemme 4.2 Soit N 2,A gl(n,C) et Φ une renormalisation de A d’ordre N. Alors
≥ ∈
Φ vérifie, pour tout r , l’estimation en norme Gevrey
′
n(n+1)
1+ A
Φ r′ nC.C0 || N|| e4πr′2N (22)
|| || ≤ κ
(cid:18) ′′ (cid:19)
où C ne dépend que de d, et de même pour Φ 1. De plus, si = o(n) ou u(n), alors
−
G
Φ r′ nCe4πr′2N (23)
|| || ≤
et de même pour Φ 1.
−
Démonstration: Pour tout m Zd et tout r > 0, d’après le lemme 3.1,
′
∈
e2iπhm,.i r′ Ce2πr′2|m| (24)
|| || ≤
où C ne dépend que de d. Donc
||Φ||r′ ≤ || PLLA,κ′′ || || e2iπhmL,.i ||r′
L∈XLA,κ′′
≤ C || PLLA,κ′′ || e2πr′2|mL| (25)
L∈XLA,κ′′
C PLA,κ′′ e4πr′2N
≤ || L ||
L∈XLA,κ′′
or d’après le lemme 2.1,
n(n+1)
1+ A
|| PLLA,κ′′ ||≤ C0 ||κ N || (26)
(cid:18) ′′ (cid:19)
des’toùde(2n2o).rmSieG1,esdt’ooù(n()23o)u.u(cid:3)(n), alors LA,κ′′ est une décomposition unitaire et donc PLLA,κ′′
10