Table Of ContentAdvances in Numerical Mathematics
Olaf Steinbach
Numerische Naherungsverfahren
fur elliptische Randwertprobleme
Advances in Numerical Mathematics
Editors
Hans Georg Bock
Wolfgang Hackbusch
Mitchell Luskin
Rolf Rannacher
Olaf Steinbach
Numerische Naherungs
verfahren fur elliptische
Randwertprobleme
Finite Elemente und
Randelemente
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Priv.-Doz. Dr. Olaf Steinbach
Geboren 1967 in Rochlitz (Sachsen). Studium der Mathematik an der TU Karl-Marx-Stadt (Chemnitz),
Diplom 1992. Von 1992 bis 1996 wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universitat Stuttgart, Promotion
1996. Von 1996 bis 2003 wissenschaftlicher Assistent, seit 2003 Oberassistent am Institut fOr An
gewandte Analysis und Numerische Simulation an der Universitat Stuttgart, Habilitation 2001.
1998 - 2000 langere Arbeitsaufenthalte an der University of New South Wales in Sydney, der Texas
A&M University in College Station und der University of Texas in Austin. 1m Wintersemester 2001/02
Vertretung einer C4-Professur fOr Numerische Mathematik an der TU Chemnitz, im Sommersemester
2002 Gastprofessor an der Johannes Kepler Universitat Linz.
E-Mail: [email protected]
Homepage: http://www.ians.uni-stuttgart.de/LstAngMath/St ei nbachl
1. Auflage November 2003
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© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
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Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-519-00436-3 e-ISBN-13: 978-3-322-80054-1
DOl: 10.1007/978-3-322-80054-1
Vorwort
Dieses Lehrbuch entstand auf der Grundlage von Vorlesungen zur Numerik ellip
tischer partieller Differentialgleichungen, welche ich mehrmals vor allem an der
Universitat Stuttgart, aber auch an der Technischen Universitat Chemnitz und
an der Johannes Kepler Universitat Linz gehalten habe. Die Kapitel 1-4, 8, 9,
11 und 13 eignen sich fUr eine vierstiindige Einfiihrung in die Finite Element
Methode, die Kapitell-8, 10, 12 und 13 behandeln die Grundlagen der Randele
mentmethode, welche ebenfalls im Rahmen einer vierstiindigen Vorlesung gelesen
werden kannen,. Kapitel14 gibt einen Uberblick zu schnellen Randelementmetho
den im Rahmen einer zweistiindigen Vorlesung. Dariiberhinaus ist das Buch auch
zum Selbststudium geeignet.
Das Lehrbuch ist konzipiert als eine einheitliche Einfiihrung in die Finite Ele
ment Methode (FEM) und in die Randelementmethode (BEM), zwei der heu
te am haufigsten verwendeten numerischen Diskretisierungsverfahren zur nahe
rungsweisen Lasung von elliptischen Randwertproblemen. Wahrend zur FEM eine
Vielzahl von verschiedener Lehrbuchliteratur zur Verfiigung steht, gibt es bisher
nur wenige Biicher zu einer math'ematisch fundierten Einfiihrung in Randelement
methoden.
Ausgangspunkt fUr die Finite Element Methode ist die Variationsformulierung des
Randwertproblems. Die Definition eines konformen endlichdimensionalen Ansatz
raumes erfordert dann eine geeignete Unterteilung des Rechengebietes in finite
Elemente. Der Vorteil der FEM besteht in einer nahezu universellen Einsetzbar
keit. 1m Gegensatz dazu erfordert die Randelementmethode die explizite Kenntnis
einer Fundamentallasung, welche eine Transformation der partiellen Differential
gleichung in eine Randintegralgleichung ermaglicht. Deren numerische Lasung
erfordert dann nur noch eine Unterteilung des Randes in Raridelemente. Die Ein
satzgebiete der Randelementmethode liegen vor allem in der Behandlung von
partiellen Differentialgleichungen mit (stuckweise) konstanten Koeffizienten und
in der Lasung von Randwertproblemen in unbeschrankten Gebieten. Ein weiterer
Vorteil der direkten Randelementmethode liegt in der unmittelbaren Berechnung
der vollstandigen Cauchy-Daten, die bei vielen Anwendungsproblemen die eigent
lichen ZielgraBen darstellen. Bei der FEM kannen diese durch eine Formulierung
mit Lagrange-Multiplikatoren und der Lasung als Sattelpunktproblem explizit
bestimmt werden. Durch die Verkniipfung beider Diskretisierungsverfahren via
6 Vorwort
Gebietszerlegungsmethoden konnen die Vorteile beider Methoden optimal mit
einander kombiniert werden.
Fiir elliptische Randwertprobleme konnen beide Diskretisierungsverfahren ein
heitlich beschrieben und analysiert werden. Nach einer Beschreibung der in die
sem Buch behandelten Randwertprobleme werden die spater benotigten Funktio
nenraume eingefiihrt. Daran anschlieBend werden Variationsmethoden zur Losung
von Operatorgleichungen unter Einbeziehung von Nebenbedingungen behandelt.
Dies schlieBt die Formulierung mit Lagrange-Multiplikatoren als Sattelpunkt
problem ein. Die Variationsformulierung der betrachteten Randwertprobleme ist
einerseits Grundlage fiir die Finite Element Methode, andererseits Vorausset
zung fiir die Analyse der Randintegraloperatoren. 1m AnschluB an die Bestim
mung von Fundamentallosungen werden Randintegraloperatoren eingefiihrt und
deren Eigenschaften wie Beschranktheit und Elliptizitat abgeleitet. Fiir verschie
dene Randwertprobleme werden dann unterschiedliche Randintegralgleichungen
zur Bestimmung der fehlenden Cauchy-Daten formuliert und auf ihre eindeutige
Losbarkeit untersucht. Nach einer abstrakten Betrachtung von Diskretisierungs
verfahren fiir elliptische Variationsprobleme werden die dafiir benotigten endlich
dimensionalen Ansatzraume konstruiert und die zugehorigen Approximationsei
genschaften bewiesen. 1m AnschluB daran werden die Finite Element Methode
und verschiedene Randelementmethoden zur Losung gemischter Randwertproble
me formuliert und die Eigenschaften der endlich-dimensionalen Ersatzprobleme
untersucht. Fiir die Losung der resultierenden linearen Gleichungssysteme werden
geeignete vorkonditionierte Iterationsverfahren diskutiert. Die dabei verwendete
allgemeine Vorkonditionierungsstrategie beinhaltet neb en der Vorkonditionierung
mit Integraloperatoren auch eine hierarchische Multilevel-Vorkonditionierung.
Die Galerkin-Diskretisierung von Randintegraloperatoren fiihrt auf vollbesetz
te Steifigkeitsmatrizen. Deshalb werden schnelle Randelementmethoden beschrie
ben, die eine fast optimale Komplexitat zur Speicherung und zur Matrix-Vektor
Multiplikation ergeben. AbschlieBend werden Gebietszerlegungsmethoden zur Be
handlung von partiellen Differentialgleichungen mit springenden Koeffizienten,
zur Kopplung verschiedener Diskretisierungsverfahren und zur Parallelisierung
behandelt.
An dieser Stelle mochte ich mich herzlich bedanken bei W. L. Wendland fiir die
langjahrige Forderung und Unterstiitzung. Viele Ergebnisse unserer gemeinsamen
Arbeit sind in dieses Buch eingeflossen. Mein besonderer Dank gilt J. Breuer und
G. Of fiir das sorgfaltige Korrekturlesen des Manuskripts und die vielen Hinweise
zur Verbesserung des Textes. AuJ3erdem danke ich Herrn J. WeiB und dem Verlag
sowie den Herausgebern dieser Reihe fiir die stets freundliche Zusammenarbeit.
Stuttgart, Oktober 2003 Olaf Steinbach
Inhalt
1 Randwertprobleme 11
1.1 Potentialgleichung. .... 11
1.2 Lineare Elastostatik . . .. 15
1.2.1 Ebene Elastizitatstheorie . 19
1.2.2 Inkompressibles Materialverhalten . 21
1.3 Stokes-System. . . . .... 22
2 Funktionenraume 25
2.1 Die Raume Ck(O), Ck,I«O) und Lp(O) ... 25
2.2 Verallgemeinerte Ableitungen und Sobolev-Raume . 28
2.3 Eigenschaften von Sobolev-Raumen . . 31
2.4 Distributionen und Sobolev-Raume . 35
2.5 Sobolev-Raume auf Mannigfaltigkeiten 41
3 Variationsmethoden 46
3.1 Operatorgleichungen .... .. .. 46
3.2 Elliptische Operatoren . .. . ..... 50
3.3 Operatoren und Stabilitatsbedingungen . 52
3.4 Gleichungen mit Nebenbedingungen . 55
3.5 Sattelpunktprobleme ... 57
4 Variationsformulierungen von Randwertproblemen 63
4.1 Potentialgleichung. . . . . . . . . . . 63
4.1.1 Dirichlet-Randwertproblem ... . . 65
4.1.2 Dirichlet-Problem und Sattelpunkt-Formulierung 68
4.1.3 Neumann-Randwertproblem. 70
4.1.4 Gemischte Randbedingungen 73
4.1.5 Robin-Randbedingungen. 75
4.2 Lineare Elastostatik .... 75
4.2.1 Dirichlet-Randwertproblem 79
4.2.2 Neumann-Randwertproblem. 81
4.2.3 Gemischte Randbedingungen 83
4.3 Stokes-Problem. ... 83
8 Inhalt
5 Fundamentallosungen partieller Differentialoperatoren 89
5.1 Laplace-Operator.. 90
5.2 Lineare Elastostatik . 96
5.3 Stokes-Problem ... 100
6 Randintegraloperatoren 106
6.1 Newton-Potential ... 106
6.2 Einfachschichtpotential........ 112
6.3 Adjungiertes Doppelschichtpotential . 114
6.4 Doppelschichtpotential . . . . . . . . 118
6.5 Hypersinguliirer Integraloperator .. 121
6.6 Eigenschaften der Randintegraloperatoren 130
6.6.1 Elliptizitiit des Einfachschichtpotentials . 132
6.6.2 Elliptizitiit des hypersinguliiren Integraloperators 137
6.6.3 Steklov-Poincare-Operator ............ 141
6.6.4 Kontraktionseigenschaft des Doppelschichtpotentials . 142
6.6.5 Abbildungseigenschaften 146
6. 7 Lin~are Elastostatik . 149
6.8 Stokes-System..... 158
7 Randintegralgleichungen 161
7.1 Dirichlet-Randwertproblem 162
7.2 Neumann-Randwertproblem 165
7.3 Gemischte Randbedingungen . 169
7.4 Robin-Randbedingungen ... 171
7.5 Randwertprobleme im AuBenraum 172
8 Naherungsmethoden fUr Variationsprobleme 174
8.1 Galerkin-Bubnov-Verfahren . . 174
8.2 Approximation der Linearform . 177
8.3 Approximation des Operators 178
8.4 Galerkin-Petrov-Verfahren. 180
8.5 Sattelpunktprobleme 182
9 Finite Elemente 187
9.1 Referenzelemente 187
9.2 Formfunktionen. 195
9.3 Ansatzriiume .. 200
9.4 Quasi-Interpolationsoperatoren 209
10 Randelemente 212
10.1 Referenzelemente 212
10.2 Ansatzriiume .. 215
Inhalt 9
11 Finite Element Methoden 226
11.1 Dirichlet-Randwertproblem .... . 226
11.2 Neumann-Randwertproblem .... . 235
11.3 FEM mit Lagrange-Multiplikatoren . 238
12 Randelementmethoden 245
12.1 Dirichlet-Randwertproblem 245
12.2 Neumann-Randwertproblem 256
12.3 Gemischte Randbedingungen . 263
12.4 Robin-Randbedingungen . . . 269
13 Vorkonditionierte Iterationsverfahren 271
13.1 Das Verfahren konjugierter Gradienten ...... . 271
13.2 Eine allgemeine Vorkonditionierungsstrategie ... . 279
13.2.1 Eine Anwendung bei Randelementmethoden 282
13.2.2 Eine Multilevel-Vorkonditionierung in der FEM 286
13.3 Losungsverfahren fur Sattelpunktprobleme . . . . . . . 299
14 Schnelle Randelementmethoden 307
14.1 Hierarchische Cluster-Methoden . 308
14.2 Approximation der Steifigkeitsmatrix . 312
14.2.1 Darstellung mit Taylor-Reihen 316
14.2.2 Reihendarstellung der Fundamentallosung 320
14.2.3 Adaptive Cross-Approximation 324
14.3 Wavelets ...................... . 331
15 Gebietszerlegungsmethoden 346
Literatur 353
Index 360
Kapitell
Randwertprobleme
Die mathematische Beschreibung vieler technischer und physikalischer Prozesse,
wie z.B. die Warmeleitung in festen Korpern, die Deformation elastischer Korper,
die Stromung von Fllissigkeiten und Gasen sowie die Beschreibung elektrischer
und magnetischer Felder fiihrt auf partielle Differentialgleichungen, die durch
geeignete Randbedingungen zu erganzen sind.
In diesem Kapitel werden einfache Modellbeispiele fUr stationare Randwertpro
bleme mit selbstadjungierten partiellen Differentialoperatoren zweiter Ordnung
beschrieben. Als einfachstes Beispiel fiir einen skalaren Differentialoperator dient
die Potentialgleichung, wahrend als System zunachst die Gleichungen der linea
ren Elastostatik betrachtet werden. 1m inkompressiblen Grenzfall kann daraus
auch das Stokes-System abgeleitet werden.
1.1 Potentialgleichung
Sei n c IRd (d = 2,3) ein beschranktes, einfach zusammenhangendes Gebiet mit
hinreichend glattem Rand r = an, auf dem fast liberal! der auBere Normalen
vektor l1(X), x E r, gegeben ist. Betrachtet werden selbstadjungierte lineare
partielle Differentialoperatoren zweiter Ordnung, die flir x E n durch
a [ a ]
L a.
(Lu)(x) := - d aji(x)~U(x) (1.1)
i,j=l XJ Xl
beschrieben werden konnen. Hierbei ist u(x) eine skalare reelle Funktion und die
Koeffizienten aji(x) sind hinreichend glatte Funktionen. Ohne Einschrankung der
Allgemeinheit wird vorausgesetzt, daB aij(x) = aji(x) flir aIle i, j = 1, ... , d und
alle x E n erflillt ist. Anwendungen flir den Diiferentialoperator (1.1) finden sich
zum Beispiel in der stationaren Warmeleitung, der Berechnung elektrostatischer
Felder, sowie der Modellierung idealer Stromungen.
O. Steinbach, Numerische Näherungsverfahren für elliptische Randwertprobleme
© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
