Mecanica Analítica - Angelfire

453 Pages·2001·1.52 MB·Portuguese

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MECANICA ANALITICA
Nivaldo A. Lemos
Departamento de F´ısica
Universidade Federal Fluminense
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VERSAO PRELIMINAR
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Dedicado `as minhas filhas
Cintia, Luiza e Beatriz

iii
Physical laws should have mathematical beauty.
Paul Adrien Maurice Dirac
Poets say science takes away from the beauty of the stars −
mere globs of gas atoms. I too can see the stars on a desert night,
and feel them. But do I see less or more? The vastness of the
heavens stretches my imagination. A vast pattern − of which I am
a part. It does not do harm to the mystery to know a little about
it. Far more marvellous is the truth than any artists of the past
imagined it. What men are poets who can speak of Jupiter if he
were a man, but if he is an immense spinning sphere of methane
and ammonia must be silent?
Richard Phillips Feynman

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PREFACIO
Lend me your ears and I’ll sing you a song,
And I’ll try not to sing out of key.
With a Little Help From My Friends
John Lennon & Paul McCartney
A mecˆanica anal´ıtica ´e o alicerce da f´ısica te´orica. O grandioso edif´ıcio da teoria
quˆantica foi erigido sobre a base da mecˆanica anal´ıtica, particularmente na forma devida
a Hamilton. A mecˆanica estat´ıstica e as teorias de campos das part´ıculas elementares
s˜ao fortemente marcadas por elementos estruturais extra´ıdos da mecˆanica cl´assica. Al´em
disso, o vertiginoso desenvolvimento das teorias do caos e dos sistemas dinˆamicos em geral
promoveuumrenascimentodamecˆanicacl´assicanasu´ltimasd´ecadasdos´eculoXX.Assim,
o estudo de praticamente qualquer ramo da f´ısica atual requer uma forma¸c˜ao s´olida em
mecˆanica anal´ıtica, a qual, por si s´o, continua sendo de enorme importˆancia por suas
aplica¸c˜oes em engenharia e na mecˆanica celeste .
Ao longo de duas d´ecadas, de forma intermitente, o autor vem ministrando a dis-
ciplina de mecˆanica anal´ıtica no curso de gradua¸c˜ao em F´ısica da Universidade Federal
Fluminense. O presente texto, fruto dessa experiˆencia e de uma atra¸c˜ao ininterrupta pelo
assunto, destina-se a estudantes de gradua¸c˜ao que tenham passado por um curso inter-
medi´ario de mecˆanica num n´ıvel compar´avel ao de Symon (1971) ou Marion & Thornton
(1995). Quantoaospr´e-requisitosmatem´aticos, oscursosusuaisdec´alculodeumaev´arias
vari´aveis, equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e ´algebra linear s˜ao suficientes.
A mecˆanica anal´ıtica ´e uma disciplina de car´ater eminentemente matem´atico. As-
sim, sem descurar dos aspectos f´ısicos, procuramos manter um padr˜ao razo´avel de rigor
matem´atico na exposi¸c˜ao. A maior concess˜ao nesse campo ´e o emprego de quantidades in-
finitesimais, que consideramos pedagogicamente aconselh´avel numa primeira apresenta¸c˜ao
aoestudantedasno¸c˜oesdedeslocamentovirtualedefam´ıliascont´ınuasdetransforma¸c˜oes.
Evitamos sobrecarregar o texto com resultados matem´aticos auxiliares, exceto quando
pareceu poss´ıvel integr´a-los com certa naturalidade ao desenvolvimento do formalismo.
Alguns teoremas, de uso mais geral e frequ¨ente, est˜ao provados nos apˆendices; nos demais
casos, referimo-nos a textos matem´aticos onde eles est˜ao demonstrados de forma precisa.
Entendemos que a progressiva substitui¸c˜ao de argumentos heur´ısticos por procedimentos
matematicamente rigorosos est´a em sintonia com as tendˆencias da f´ısica te´orica atual, cuja
linguagem matem´atica vem se tornando crescentemente sofisticada e rigorosa.
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O aparato matem´atico da mecˆanica anal´ıtica´e muito rico e permite o primeiro contato
do estudante com t´ecnicas e conceitos largamente empregados nos mais variados ramos da
F´ısica, por´em no contexto de uma teoria cl´assica, no qual a intui¸c˜ao ´e um guia relativa-
mente seguro. No¸c˜oes como as de operador linear, autovalor, autovetor, grupo e ´algebra
de Lie surgem naturalmente, aplicadas a situa¸c˜oes mais f´aceis de visualizar. O alto grau de
generalidade do formalismo da mecˆanica anal´ıtica serve para desenvolver no estudante a
capacidade de abstra¸c˜ao, t˜ao necess´aria para tornar poss´ıvel compreender as teorias f´ısicas
contemporˆaneas. Como observa V. I. Arnold, numerosas teorias matem´aticas modernas,
com as quais est˜ao associados alguns dos maiores nomes da hist´oria da Matem´atica, devem
sua existˆencia a problemas de mecˆanica. Apesar de conscientes dos grandes desenvolvi-
mentos matem´aticos recentes, nos quais m´etodos geom´etricos e topol´ogicos desempenham
um papel crucial, adotamos a abordagem tradicional por julg´a-la mais adequada a um
primeiro curso de mecˆanica anal´ıtica. Uma vez adquirida a forma¸c˜ao b´asica, o leitor es-
tar´a apto a enveredar pelos caminhos mais dif´ıceis da dinˆamica qualitativa (Arnold 1976;
Thirring1997). OslivrosrecentesdeScheck(1994)edeJos´e&Saletan(1998)possibilitam
uma transi¸c˜ao mais suave do tratamento convencional `a formula¸c˜ao altamente matemati-
zada da teoria dos sistemas dinˆamicos em linguagem geom´etrica, essencial para a an´alise
de problemas de estabilidade e sistemas ca´oticos.
A mecˆanica anal´ıtica ´e muito mais do que uma mera reformula¸c˜ao da mecˆanica new-
toniana, e os seus m´etodos n˜ao foram concebidos primordialmente para facilitar a resolu-
¸c˜ao de problemas mecˆanicos espec´ıficos. Tentamos deixar isso claro pondo em relevo as
propriedades de simetria e invariˆancia e os aspectos estruturais da mecˆanica. Os livros
de Goldstein (1980) e Landau & Lifchitz (1966), nos quais o autor aprendeu mecˆanica
anal´ıtica, exerceram grande influˆencia na elabora¸c˜ao do texto.
Nossa exposi¸c˜ao caracteriza-se por um grande nu´mero de exemplos resolvidos, obje-
tivando torn´a-la acess´ıvel aos estudantes t´ıpicos. Ao mesmo tempo, pretendemos que o
texto seja estimulante e desafiador aos melhores estudantes. A bibliografia relativamente
extensa, com a men¸c˜ao a livros avan¸cados e a artigos publicados em peri´odicos, v´arios
deles bastante recentes, tem por fito excitar a curiosidade do leitor e deixar claro que a
mecˆanica cl´assica n˜ao ´e pe¸ca de museu nem constitui um cap´ıtulo encerrado da F´ısica.
Pelo contr´ario, o seu poder de encantamento n˜ao parece diminuir com a passagem do
tempo e ainda h´a muitos problemas dignos de investiga¸c˜ao, alguns deles monumentais
como o problema da estabilidade do sistema solar, o qual permanece sem resposta con-
clusiva. Com o intuito de fazer contato com aplica¸c˜oes modernas, resolvemos incluir uma
introdu¸c˜aoaossistemashamiltonianoscomv´ınculosemvirtudedesuagrandeimportˆancia
naf´ısicate´oricaatual, apesardeserumt´opicocomumgraudedificuldadeacimadam´edia.
Neste mesmo esp´ırito, discutimos com alguma profundidade o tratamento do tempo como
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vari´avel canoˆnica e as teorias com tempo parametrizado, o que se justifica pela amplas
aplica¸c˜oes na teoria quˆantica da gravita¸c˜ao em geral, e na cosmologia quˆantica em parti-
cular.
Os exerc´ıcios salpicados ao longo dos cap´ıtulos s˜ao parte insepar´avel da exposi¸c˜ao, e
todo estudante s´erio deve procurar resolvˆe-los ao topar com eles. Os problemas no fim
de cada cap´ıtulo servem, em sua maioria, como ilustra¸c˜oes e extens˜oes da teoria exposta
no texto principal. H´a certos problemas, no entanto, que introduzem id´eias ou t´ecnicas
novas, algumas delas frutos de trabalhos de pesquisa relativamente recentes. Os resultados
de alguns problemas s˜ao empregados em exemplos, problemas ou no corpo do texto de
cap´ıtulos subsequ¨entes.
Se conseguirmos transmitir ao leitor um pouco do que h´a de fascinante neste belo
ramo da F´ısica e, assim, estimul´a-lo a prosseguir trilhando caminhos mais elevados, nosso
objetivo ter´a sido plenamente atingido.
Niter´oi, setembro de 2000 Nivaldo A. Lemos

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Indice
1 DINAˆMICA LAGRANGIANA 7
1.1 Princ´ıpios da Mecˆanica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 V´ınculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Deslocamentos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Princ´ıpio de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Coordenadas Generalizadas e Equa¸c˜oes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Aplica¸c˜oes das Equa¸c˜oes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 For¸cas de V´ınculo no Caso Holˆonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Potenciais Generalizados e Fun¸c˜ao de Dissipa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . 39
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 PRINC´IPIO VARIACIONAL DE HAMILTON 49
2.1 Rudimentos do C´alculo das Varia¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Nota¸c˜ao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Princ´ıpio de Hamilton e Equa¸c˜oes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Princ´ıpio de Hamilton no Caso N˜ao-Holˆonomo . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Propriedades de Simetria e Leis de Conserva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6 Conserva¸c˜ao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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