Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Klausur- und Ubungsaufgaben: Uber 600 Aufgaben mit ausfuhrlichen Losungen zum Selbststudium und zur Prufungsvorbereitung

586 Pages·2009·5.106 MB·German

by  Lothar Papula (auth.)

Lothar Papula
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Klausur- und Übungsaufgaben
Das sechsbändige Lehr- und Lernsystem Mathematik für Ingenieure und
Naturwissenschaftlerumfasst neben dem Buch mit Klausur- und Übungs-
aufgaben die folgenden Bände:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1
Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium
Mit 493 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und
Technik sowie 307 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2
Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium
Mit 377 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und
Technik sowie 310 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3
Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik,
Fehler- und Ausgleichsrechnung
Mit 549 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und
Technik sowie 285 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen
Mathematische Formelsammlung
für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Mit zahlreichen Abbildungen und Rechenbeispielen
sowie einer ausführlichen Integraltafel
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler –
Anwendungsbeispiele
Aufgabenstellungen aus Naturwissenschaft und Technik
mit ausführlichen Lösungen
www.viewegteubner.de
Lothar Papula
Mathematik für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
Klausur- und
Übungsaufgaben
Über 600 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen
zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung
3., durchgesehene und erweiterte Auflage
Mit 293 Abbildungen
STUDIUM
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
1. Auflage 2004
2., durchgesehene und erweiterte Auflage 2007
3., durchgesehene und erweiterte Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat: Thomas Zipsner | Gabriele McLemore
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von jedermann benutzt werden dürften.
Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden
Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Bilder: Graphik & Text Studio Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing
Satz: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Tˇeˇsínská Tiskárna, a.s., Tschechien
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Czech Republic
ISBN 978-3-8348-0609-3
V
Vorwort
Entwicklung und Erwerb der Fa¨higkeit, die im Grundstudium vermittelten mathematischen Kennt-
nisse auf Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu ko¨nnen,
sind ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und somit zugleich auch Voraussetzung fu¨r ein er-
folgreiches Studium. Dieses Ziel ist aber nur erreichbar durch sta¨ndiges und intensives Training
((cid:2)ben), zumal die Defizite der Studienanfa¨nger in den Grundlagenfa¨chern wie Mathematik nach wie
vor enorm sind.
Die vorliegende Sammlung entha¨lt u¨ber 600 ausfu¨hrlich und vollsta¨ndig gelo¨ste (cid:2)bungs- und Klau-
suraufgaben und bietet dem Studienanfa¨nger Hilfestellung und Unterstu¨tzung auf dem Wege zum
genannten Ziel. Dieses Buch ermo¨glicht
(cid:2) als sta¨ndiger Begleiter zur Vorlesung das intensive Einu¨ben und Vertiefen des Vorlesungs-
stoffes,
(cid:2) eine gezielte und optimale Vorbereitung auf die Pru¨fungen und Klausuren des Grundstudiums
(cid:2) und eignet sich in besonderem Maße zum Selbststudium.
Die Lo¨sung der Aufgaben wird dabei Schritt fu¨r Schritt vorgefu¨hrt, der Lo¨sungsweg ist damit leicht
nachvollziehbar. Alle verwendeten Regeln werden genannt und erkla¨rt, wobei besondere Sorgfalt auf
die elementaren Rechenschritte gelegt wird. Denn die ta¨gliche Arbeit mit den Anfangssemestern
bringt es immer wieder zu Tage: Die gro¨ßten Probleme treten meist im Bereich der Elementarma-
thematik auf (Wer kann heutzutage noch fehlerfrei mit Logarithmen, Wurzeln und Potenzen umge-
hen? Wie werden eigentlich Bru¨che addiert?). Daher werden in diesem Buch auch die beim Lo¨sen
einer Aufgabe auftretenden elementarmathematischen Probleme behandelt und alle no¨tigen Rechen-
schritte besprochen.
Welche Stoffgebiete wurden beru¨cksichtigt?
Die Auswahl der Stoffgebiete ist auf die Mathematikvorlesungen im Grundstudium abgestimmt.
Zahlreiche der u¨ber 600 Aufgaben sind dabei anwendungsorientiert formuliert und beschreiben ein-
fache Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik. Beru¨cksichtigt wurden folgende Gebiete:
(cid:2) Funktionen und Kurven (cid:2) Gewo¨hnliche Differentialgleichungen
(cid:2) Differentialrechnung (cid:2) Laplace-Transformationen (im Zusammenhang mit
linearen Differentialgleichungen)
(cid:2) Integralrechnung
(cid:2) Vektorrechnung
(cid:2) Taylor- und Fourier-Reihen
(cid:2) Lineare Algebra
(cid:2) Partielle Differentiation
(cid:2) Mehrfachintegrale
Vera¨nderungen gegenu¨ber der 2. Auflage
Es wurden weitere Aufgaben aufgenommen.
VI Hinweise fu¨r den Benutzer
Ein Wort des Dankes ...
... an Frau Ivonne Voirin und Herrn Stefan Koob (beide studierten an der Fachhochschule Wiesba-
den Maschinenbau) fu¨r zahlreiche wertvolle Hinweise,
... an Herrn Ewald Schmitt vom Vieweg-Verlag fu¨r die hervorragende Unterstu¨tzung bei der Erstel-
lung dieses Werkes,
... an Herrn Ho¨lzer und Herrn Wunderlich vom Druck- und Satzhaus „Thomas Mu¨ntzer“ fu¨r diesen
ausgezeichneten mathematischen Satz.
Wiesbaden, im Sommer 2008 Lothar Papula
Hinweise fu¨ r den Benutzer
(cid:2) Die (cid:2)bungs- und Klausuraufgaben sind kapitelweise durchnummeriert.
(cid:2) Zu Beginn eines jeden Kapitels bzw. Abschnitts finden Sie Hinweise auf das Lehrbuch
„Mathematik fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler“ (Band1––3) sowie auf die Mathemati-
sche Formelsammlung des Autors. Hier ko¨nnen Sie die zum Lo¨sen der Aufgaben beno¨tigten
mathematischen Hilfsmittel nachlesen und gegebenenfalls nacharbeiten. Beachten Sie auch die
weiteren nu¨tzlichen Informationen.
(cid:2) Die vollsta¨ndige Lo¨sung der jeweiligen Aufgabe finden Sie direkt im Anschluss an die Auf-
gabenstellung. So wird la¨stiges Bla¨ttern vermieden.
(cid:2) Folgen Sie meiner Empfehlung:
Versuchen Sie zuna¨chst, die Aufgaben selbst zu lo¨sen (Lo¨sungsteil vorher abdecken). Skizzen
erleichtern dabei in vielen Fa¨llen den Lo¨sungsweg. Vergleichen Sie dann Ihre Lo¨sung mit der
angegebenen Lo¨sung. Sollten Sie bei einem Zwischenschritt „ha¨ngen bleiben“, so greifen Sie auf
die vorgegebene Lo¨sung zuru¨ck und versuchen einen neuen Start. Denn auch aus Fehlern lernt
man.
(cid:2) Verwendete Abku¨rzungen
Bd. 1 ! Band 1 des Lehr- und Lernsystems „Mathematik fu¨r Ingenieure und Naturwissen-
schaftler“
FS ! Mathematische Formelsammlung
Dgl ! Differentialgleichung
LGS ! Lineares Gleichungssystem
VII
Inhaltsverzeichnis
A Funktionen und Kurven
.................................................. 1
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ...................................... 1
2 Gebrochenrationale Funktionen.......................................................... 9
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen .................................. 19
4 Exponential- und Logarithmusfunktionen .............................................. 33
5 Hyperbel- und Areafunktionen .......................................................... 41
6 Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung ..................................... 46
7 Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten .......................................... 53
B Differentialrechnung
......................................................... 61
1 Ableitungsregeln ........................................................................... 61
1.1 Produktregel .......................................................................... 61
1.2 Quotientenregel ....................................................................... 64
1.3 Kettenregel ............................................................................ 67
1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln ......................................... 72
1.5 Logarithmische Ableitung ........................................................... 77
1.6 Implizite Differentiation .............................................................. 80
1.7 Differenzieren in der Parameterform ................................................ 83
1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten .................................................. 86
2 Anwendungen .............................................................................. 89
2.1 Einfache Anwendungen in Physik und Technik .................................... 89
2.2 Tangente und Normale ............................................................... 95
2.3 Linearisierung einer Funktion ....................................................... 106
2.4 Kru¨mmung einer ebenen Kurve ..................................................... 108
2.5 Relative Extremwerte, Wende- und Sattelpunkte ................................... 112
2.6 Kurvendiskussion ..................................................................... 120
2.7 Extremwertaufgaben ................................................................. 131
2.8 Tangentenverfahren von Newton .................................................... 142
2.9 Grenzberechnung nach Bernoulli und de L’Hospital ............................... 146
C Integralrechnung
............................................................... 151
1 Integration durch Substitution ........................................................... 151
2 Partielle Integration (Produktintegration) .............................................. 161
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion
durch Partialbruchzerlegung des Integranden ......................................... 168
4 Numerische Integration ................................................................... 175
5 Anwendungen der Integralrechnung .................................................... 180
5.1 Fla¨cheninhalt, Fla¨chenschwerpunkt, Fla¨chentra¨gheitsmomente .................... 180
5.2 Rotationsko¨rper
(Volumen, Mantelfla¨che, Massentra¨gheitsmoment, Schwerpunkt) ................. 186
5.3 Bogenla¨nge, lineare und quadratische Mittelwerte ................................. 196
5.4 Arbeitsgro¨ßen, Bewegungen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) .......... 203
D Taylor- und Fourier-Reihen
............................................ 208
1 Potenzreihenentwickungen ................................................................ 208
1.1 Mac Laurin’sche und Taylor-Reihen ................................................ 208
1.2 Anwendungen ........................................................................ 220
2 Fourier-Reihen ............................................................................. 235
E Partielle Differentiation
.................................................... 247
1 Partielle Ableitungen ...................................................................... 247
2 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) .................................. 263
3 Implizite Differentiation ................................................................... 268
4 Totales oder vollsta¨ndiges Differential einer Funktion
(mit einfachen Anwendungen) ........................................................... 272
5 Anwendungen .............................................................................. 281
5.1 Linearisierung einer Funktion ....................................................... 281
5.2 Lineare Fehlerfortpflanzung ......................................................... 285
5.3 Relative Extremwerte ................................................................ 290
5.4 Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen ............................ 294
F Mehrfachintegrale
............................................................. 301
1 Doppelintegrale ............................................................................ 301
1.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten ....................................... 301
1.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten ................................................ 318
2 Dreifachintegrale ........................................................................... 334
2.1 Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten ...................................... 334
2.2 Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten ........................................... 341
Inhaltsverzeichnis IX
G Gewo¨hnliche Differentialgleichungen
............................ 357
1 Differentialgleichungen 1.Ordnung ..................................................... 357
1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen .................................. 357
1.2 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution ......................... 365
1.3 Lineare Differentialgleichungen ..................................................... 375
1.4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .................... 381
1.5 Exakte Differentialgleichungen ...................................................... 393
2 Lineare Differentialgleichungen 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten ......... 401
2.1 Homogene lineare Differentialgleichungen ......................................... 401
2.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen ........................................ 405
3 Integration von Differentialgleichungen 2.Ordnung durch Substitution ........... 425
4 Lineare Differentialgleichungen ho¨herer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 429
4.1 Homogene lineare Differentialgleichungen ......................................... 429
4.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen ........................................ 433
5 Lo¨sung linearer Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation 440
5.1 Lineare Differentialgleichungen 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten ....... 440
5.2 Lineare Differentialgleichungen 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten ....... 447
H Vektorrechnung
................................................................. 452
1 Vektoroperationen ......................................................................... 452
2 Anwendungen .............................................................................. 465
I Lineare Algebra
................................................................. 489
1 Matrizen und Determinanten ............................................................ 489
1.1 Rechenoperationen mit Matrizen .................................................... 489
1.2 Determinanten ........................................................................ 497
1.3 Spezielle Matrizen .................................................................... 511
2 Lineare Gleichungssysteme ............................................................... 531
3 Eigenwertprobleme ........................................................................ 553
1
A Funktionen und Kurven
Hinweise fu¨r das gesamte Kapitel
Ku¨rzen eines gemeinsamen Faktors wird durch Grauunterlegung gekennzeichnet.
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.5
Formelsammlung: Kapitel III.4
Zerlegen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) in Linearfaktoren:
a) y ¼ (cid:3)2x3 þ 20x2 (cid:3) 24x (cid:3) 144
A1
b) y ¼ 2x4 þ 12x3 (cid:3) 44x þ 30
c) y ¼ 3x5 þ 3x4 (cid:3) 36x3 (cid:3) 36x2 þ 81x þ 81
d) y ¼ x5 þ 4x4 þ 4x3 (cid:3) 6x2 (cid:3) 37x (cid:3) 30
Lo¨sungsweg: Durch Probieren eine Nullstelle bestimmen, dann das Polynom mit Hilfe des Horner-Schemas reduzie-
ren. Das Verfahren so lange wiederholen, bis man auf eine quadratische Gleichung sto¨ßt, aus der man die restlichen
Nullstellen erha¨lt. Fehlen Potenzen (ist also das Polynom unvollsta¨ndig), so sind im Horner-Schema die entsprechenden
Koeffizienten gleich Null zu setzen.
a) Eine Nullstelle liegt bei x ¼ (cid:3)2; das Polynom ist vollsta¨ndig:
1
(cid:3)2 20 (cid:3)24 (cid:3)144
x ¼ (cid:3)2 4 (cid:3)48 144
1
(cid:3)2 24 (cid:3)72 0 ) 1. reduziertes Polynom: (cid:3)2x2 þ 24x (cid:3) 72
Restliche Nullstellen: (cid:3)2x2 þ 24x (cid:3) 72 ¼ 0 j : ð(cid:3)2Þ ) x2 (cid:3) 12x þ 36 ¼ 0 )
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
x2=3 ¼ 6 (cid:4) 36 (cid:3) 36 ¼ 6 (cid:4) 0 ¼ 6 (cid:4) 0 ¼ 6
Nullstellen: x ¼ (cid:3)2; x ¼ 6; x ¼ 6
1 2 3
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y ¼ (cid:3)2ðx þ 2Þðx (cid:3) 6Þðx (cid:3) 6Þ ¼ (cid:3)2ðx þ 2Þðx (cid:3) 6Þ2