Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Thomas Westermann
Mathematik
für Ingenieure mit Maple
Bandl:
Differential- und Integralrechnung für Funktionen
einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung,
Komplexe Zahlen, Funktionenreihen
4., neu bearbeitete Auflage
Mit 250 Abbildungen und Skizzen, 270 durchgerechneten Beispielen
und 250 Übungsaufgaben
4y Springer
Professor Dr. Thomas Westermann
Fachhochschule Karlsruhe - Hochschule für Technik
Postfach 2440
76012 Karlsruhe
[email protected]
Hompage zum Buch:
www./iome./h-Ä:ar/sra/ze.de/~weth0002/buecher/bandl/start.htm
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
ISBN 3-540-22208-1 Springer Berlin Heidelberg New York
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der
Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der
Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung
in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine
Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den
Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutsch-
land vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich
vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechts-
gesetzes.
Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media
springer.de
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2002, and 2005
Printed in Germany
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN,
VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr
für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls
für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen
Fassung hinzuzuziehen.
Umschlag-Entwurf: Design & Production, Heidelberg
Satz: Reproduktionsfertige Druckvorlage des Autors
Gedruckt auf säurefreiem Papier 7/3020 Rw 5 43 210
Vorwort zur 4. Auflage
Für die 4. Auflage wurde ein neues Kapitel "Motivierende Problemstellungen"
aufgenommen. In diesem Einführungskapitel werden mc/tf-mathematische Frage-
stellungen erläutert und hierzu die mathematischen Themen aufgezeigt, die not-
wendig sind, um das physikalische Gesetz zu formulieren sowie um zur Lösung
des Problems zu gelangen.
Mit dem Symbol A wird auf Stellen besonders hingewiesen, die man anfäng-
lich oftmals falsch bearbeitet, übersieht oder nicht beachtet. Das Layout und der
Seitenumbruch wurde optisch besser an den Inhalt angepasst und die neue Recht-
schreibung eingeführt.
Um den Preis des Lehrbuchs gegenüber den ersten Auflagen aufrecht halten zu
können, musste auf die CD-ROM verzichtet werden. Der Inhalt befindet sich nun
zum Herunterladen unter dem Reiter Download auf der Homepage zum Buch:
http://www.home.fh-karlsruhe.de/~weth0002/buecher/bandl/start.htm
Neben der CD-ROM sind dort weitere Informationen und Ergänzungen zugänglich,
wie z.B.
• alle Worksheets, die im Text beschrieben sind, inclusive aller erstellten MAPLE-
Prozeduren;
• viele zusätzliche MAPLE-Prozeduren zur Visualisierung mathematischer Be-
griffe;
• zukünftige Updates der Worksheets;
• Pascal-Quellprogramme zu den numerischen Algorithmen;
• die Lösungen aller Aufgaben;
• zusätzliche Kapitel und Ergänzungen, die in der Buchform der 4. Auflage des
Gesamtumfangs wegen nicht mehr eingebunden werden konnten.
Im Text verweisen die folgenden Symbole auf diese zusätzliche Informationen:
Extras im Web: Dieser Button weist in der Regel auf Prozeduren hin, die
sich auf der Homepage zum Buch befinden, im Text aber nicht ausführlich
beschrieben oder abgedruckt sind.
/Q Dieser Button weist auf eine MAPLE-Animation hin. Diese Animation kann
&s durch Öffnen des zugehörigen Worksheets gestartet werden.
Mein Dank gilt Herrn Richard von Scientific Computers und Waterloo Maple Inc.,
die mir MAPLE9 zur Verfügung gestellt haben sowie Frau Hestermann-Beyerle
vom Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit.
Karlsruhe, im Juni 2004 Thomas Westermann
Vorwort zur 3. Auflage
Für die vorliegende 3. Auflage wurden im wesentlichen die MAPLE-Beschreibun-
gen an MAPLE8 angepaßt. Um auch zukünftig mit neuen MAPLE-Versionen
Schritt halten zu können, werden Updates der elektronischen Arbeitsblätter (Work-
sheets) unter
http://www. home.fli-karlsruhe. de/~weth0002/buecher/bandl/start. htm
unter der Angabe des Paßwortes (ISBN-Nummer dieses Buches) abrufbar sein.
Mein Dank gilt Herrn Richard von Scientific Computers und Waterloo Maple Inc.,
die mir MAPLE8 zur Verfügung gestellt haben sowie Frau Hestermann-Beyerle
vom Springer-Verlag für die angenehme Zusammenarbeit.
Karlsruhe, im Juni 2002 Thomas Westermann
Vorwort zur 2. Auflage
Die positiven und ermutigenden Zuschriften haben uns bewogen, das Konzept,
die Darstellung sowie die Inhalte für diese Neuauflage nahezu unverändert zu
belassen. Allerdings wurden zahlreiche MAPLE-Ausarbeitungen ergänzt, Visua-
lisierungen neu erstellt und sämtliche MAPLE-Beschreibungen an MAPLEÖ an-
gepaßt. Textverbesserungen wurden vorgenommen, weitere Anwendungsbeispiele
eingefügt und Druckfehler beseitigt. Der Grundidee folgend, mathematische Be-
griffe zu visualisieren, um sie greifbarer zu machen, und den interaktiven Gebrauch
des Buches zu fördern, wurde die CD-ROM völlig neu und benutzerfreundlicher
gestaltet. ... Mein Dank gilt M. Hainz, der die Worksheets neu gestaltet hat, sowie
Scientific Computers, die mir MAPLEÖ zur Verfügung gestellt haben.
Karlsruhe, im Juni 2000 Thomas Westermann
Vorwort zur 1. Auflage
Dieses zweibändige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Übungen zur Ma-
thematik und Physikalischen Simulation für Ingenieure des Studienganges Sen-
sorsystemtechnik an der Fachhochschule Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle
Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften, da auch Themengebiete ein-
bezogen sind, die nicht bzw. nicht in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung
behandelt wurden.
Die Themengebiete sind so aufbereitet, daß Studenten sie auch im Selbststudium
leicht bearbeiten können. Im ersten Band sind mehr als 450 Beispiele ausführlich
durchgerechnet und zusätzlich 260 Aufgaben mit Lösungen angegeben. Wichtige
Formeln und Lehrsätze werden deutlich hervorgehoben, um die Lesbarkeit des
Buches zu erhöhen. Mehr als 300 Abbildungen und Skizzen tragen dem Lehr-
buchcharakter Rechnung.
Vorwort zur 1. Auflage VÜ
Die stürmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik
erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisori-
entiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Rüstzeug vermittelt wird, mit
diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu können. Die Computeralgebra-Systeme
haben den mathematischen Alltag eines Ingenieurs grundlegend erweitert und be-
reichert. Sie werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum Rech-
nen mit Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter Sachverhalte.
Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modellierung und das
systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem Lehrbuch wird dieser
neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System MAPLE in
die Mathematikausbildung mit einbezogen.
Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand pra-
xisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit MAPLE umgesetzt, was sich in vielen
Animationen niederschlägt. Auf mathematische Beweise wird fast gänzlich ver-
zichtet und einer anschaulich prägnanten Sprechweise den Vorzug gegenüber einer
mathematisch exakten Formulierung gegeben.
Um den ständig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problem-
lösungen zu berücksichtigen, wurden zwei Kapitel zur rechnerischen Lösung von
Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die numerischen
Algorithmen sind als Pascal-Quellprogramme auf der beigelegten CD-ROM ent-
halten, können aber von etwas geübten Programmierern leicht in jede andere höhe-
re Sprache umgesetzt werden.
Das vorliegende Buch wurde vollständig in ETßX unter dem Textverarbeitungs-
programm Scientific WorkPlace erstellt. Ohne die engagierte Mithilfe und Mitar-
beit vieler bereitwilliger Helfer wäre das Buch in seiner vorliegenden Form nicht
möglich gewesen. Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth
und Frau Raviol für die präzise und fehlerfreie Erstellung des L¥TgX-Quelltextes
mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler für die exzellente
Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie
sich vorgestellt hat, und dem teilweise mühevollen Einbinden auch der MAPLE-
Bilder in das KTgX-System sowie Herrn A. Käppiein für die Bereitstellung des
^TjÄ-Styles. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme und
reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle.
Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken,
die mit viel Verständnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und tatkräftig
unterstützt hat.
Karlsruhe, im Juni 1996 Thomas Westermann
Hinweise zum Gebrauch dieses Buches
Das gesamte Werk ist in zwei Bände und jeder Band in einzelne Kapitel aufge-
teilt. Die Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen. Nicht immer
ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus späteren Kapiteln vorwegzunehmen und
zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem
Block zu bearbeiten, wurde dabei stärkere Priorität als der mathematischen Strenge
beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines Vorlesungszyklus muss sich nicht
an die im Buch gewählte Reihenfolge halten, einzelne Kapitel können auch auf-
gesplittet werden.
Dieses Buch ist ein Lehrbuch über Mathematik und kann ohne Rechner zum
Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prüfungsvorbereitung heran-
gezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Schönheit der Mathematik
und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und Ausarbeitungen mit
dem Computeralgebra-System MAPLE unverzichtbar. Nur wenn eine Animation
als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis zum Tragen.
Darstellung: Neu eingeführte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zumeist
in einer Definition fett spezifiziert. Lehrsätze, wichtige Formeln und Zusammen-
fassungen sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet. Am Ende eines
jeden Kapitels befinden sich Aufgaben, deren Lösungen auf der Homepage zum
Buch angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wird eine anwen-
dungsorientierte Problemstellung vorangestellt und anschließend auf die allgemei-
ne mathematische Struktur übergegangen. Die Thematik wird dann innerhalb der
Mathematik bearbeitet und anhand von mathematischen Beispielen erläutert. Ne-
ben der Behandlung der Problemstellungen mit MAPLE werden aussagekräftige
Anwendungsbeispiele diskutiert.
A weist auf besondere Stellen im Text hin, die man anfänglich oftmals übersieht
oder nicht beachtet.
Beispiele: Die zahlreichen Beispiele sind für den Zugang zu den Themengebieten
unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung sollten möglichst
die mathematischen Beispiele eigenständig bearbeitet werden. Wer dieses Werk als
Nachschlagewerk benutzt kann sich an den durchgerechneten Beispielen sowie an
den eingerahmten Definitionen, Sätzen und Zusammenfassungen orientieren.
Aufgaben: Alle Übungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit
den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen zu bearbeiten. Die Lösungen zu den
Aufgaben befinden sich als pdf-Fi\t auf der Homepage zum Buch und können dort
geöffnet oder auf dem eigenen Rechner gespeichert werden.
Hinweise zum Gebrauch dieses Buches IX
MAPLE: Dieses Buch kann auch als eine themengebundene Einführung in die
Anwendung von MAPLE in der Mathematik gesehen werden, da sämtliche The-
mengebiete des Buches mit MAPLE bearbeitet werden. Alle MAPLE-Befehle sind
im Text fett hervorgehoben; die MAPLE-Syntax erkennt man an der Eingabeauf-
forderung ">" zu Beginn einer Zeile. Diese MAPLE-Zeilen sind im Textstil Sans
Serif angegeben und können direkt in MAPLE eingegeben werden. Die MAPLE-
Ausgabe erscheint im Formelmodus. Am Ende jedes Kapitels steht eine Zusam-
menfassung der verwendeten Befehle.
Homepage zum Buch: Alle MAPLE-Ausarbeitungen sind auf der Homepage zum
Buch
http://www.home.fh-karlsruhe.de/~weth0002/buecher/bandl/start.htm
als elektronische Arbeitsblätter (Worksheets) enthalten, so dass der interessierte Le-
ser die im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeänderten Beispielen
erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozeduren hin-
gewiesen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen
Zusammenhänge aufzeigen:
Extras im Web: Dieser Button weist in der Regel auf Prozeduren hin, die
sich auf der Homepage zum Buch befinden, im Text aber nicht ausführlich
beschrieben oder abgedruckt sind.
Dieser Button weist auf eine MAPLE-Animation hin. Diese Animation kann
durch Öffnen des zugehörigen Worksheets gestartet werden.
Durch eine benutzerfreundliche Menueführung soll die interaktive Benutzung der
Worksheets sowohl zum Lösen von mathematischen Problemen als auch zum ex-
perimentieren mit mathematischen Begriffen gefördert werden (—> Anhang B).
Inhaltsverzeichnis
Motivierende Problemstellungen 1
§1. Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers 3
§2. Scheinwerferproblem 5
§3. Filterschaltung 7
§4. Magnetische Feldstärke stromdurchflossener Leiter 9
§5. Vierpolschaltung 11
Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme 13
§1. Mengen 13
§2. Natürliche Zahlen 16
2.1 Peanosche Axiome 16
2.2 Vollständige Induktion 17
2.3 Geometrische Summenformel 20
2.4 Permutationen 21
2.5 Der binomische Lehrsatz 22
§3. Mathematische Beweismethoden 23
§4. Reelle Zahlen 25
4.1 Zahlenmengen und Operationen 25
4.2 Die Rechengesetze für reelle Zahlen 26
4.3 Potenzrechnen 28
4.4 Logarithmen 29
4.5 Anordnung der reellen Zahlen 30
§5. Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE 32
5.1 Gleichungen 32
5.2 Ungleichungen 35
§6. Lineare Gleichungssysteme 36
6.1 Ein Einführungsbeispiel 36
6.2 Begriffsbildung und Notation 38
6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen 39
§7. Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE 45
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 49
Aufgaben zu Kapitel I 50
Kapitel II: Vektorrechnung 53
§1. Vektoren im ]R2 54
1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 54
1.2 Addition zweier Vektoren 55
1.3 Die Länge (der Betrag) eines Vektors 55
1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren 57
1.5 Geometrische Anwendung 60
XÜ Inhaltsverzeichnis
§2. Vektoren im R3 62
2.1 Rechenregeln für Vektoren 62
2.2 Projektion eines Vektors 65
2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren 66
2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren 70
§3. Vektorrechnung mit MAPLE 72
§4. Geraden und Ebenen im R3 75
4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden 75
4.2 Lage zweier Geraden zueinander 76
4.3 Abstandsberechnung zu Geraden 78
4.4 Vektorielle Darstellung von Ebenen 81
4.5 Lage zweier Ebenen zueinander 83
4.6 Abstandsberechnung zu Ebenen 85
4.7 Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene ... 87
§5. Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE 89
§6. Vektorräume 96
6.1 Vektorrechnung im R™ 96
6.2 Vektorräume 98
6.3 Linearkombination und Erzeugnis 101
6.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 103
6.5 Basis und Dimension 106
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 110
Aufgaben zu Kapitel II 111
Kapitel III: Matrizen und Determinanten 117
§1. Matrizen 117
1.1 Einführung, spezielle Matrizen 117
1.2 Rechenoperationen für Matrizen 119
1.3 Inverse Matrix 122
1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE 126
1.5 Lineare Abbildungen 129
1.6 Anwendungsbeispiele 130
§2. Determinanten 133
2.1 Einführung 133
2.2 Rechenregeln für zweireihige Determinanten 134
2.3 n-reihige Determinanten 136
2.4 Anwendungen von Determinanten 140
§3. Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen 142
3.1 Lineare Gleichungssysteme, Rang 142
3.2 Anwendungen 147
Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 149
Aufgaben zu Kapitel III 151
