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Equações diferenciais parciais,
métodos de Fourier
e variáveis complexas
Z69m Zill, Dennis G.
Matemática avançada para engenharia 3 [recurso eletrônico] /
Dennis G. Zill, Michael R. Cullen ; tradução Fernando Henrique
Silveira. – 3. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman,
2009.
Editado também como livro impresso em 2009.
Contém: gráfi cos, desenhos e tabelas.
ISBN 978-85-7780-599-0
1. Matemática. 2. Equações diferenciais. 3. Variáveis
complexas. I. Cullen, Michael R. II. Título.
CDU 517.9
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
Loyola Marymount University Ex-Professor da Loyola Marymount University
Tradução:
Fernando Henrique Silveira
Doutor em Engenharia Elétrica pela UFMG
Consultoria, supervisão e revisão técnica desta edição:
Antonio Pertence Júnior
Professor Titular de Matemática da Faculdade de Sabará/MG
Membro efetivo da SBM
Versão impressa
desta obra: 2009
2009
Obra originalmente publicada sob o título Advanced Engineering Mathematics
ISBN 9780763745912
Jones and Bartlett Publishers, Inc.
40 Tall Pine Drive
Sudbury, MA 01776, U.S.A.
Copyright © 2006 by Jones and Bartlett Publishers
All Rights Reserved.
Capa: Rogério Grilho, arte sobre capa original
Leitura fi nal: Théo Amon
Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk
Editoração eletrônica: Techbooks
Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à
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É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte,
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SÃO PAULO
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IMPRESSO NO BRASIL
PRINTED IN BRAZIL
Prefácio da
Terceira Edição
Ao contrário de um curso de cálculo ou equações diferenciais, para os quais o con-
teúdo do curso é bastante padronizado, o conteúdo de um curso intitulado “mate-
mática para engenharia” pode variar consideravelmente entre instituições acadêmi-
cas diferentes. Um livro de Matemática Avançada para Engenharia é, portanto, um
compêndio de muitos tópicos matemáticos, todos relacionados pelo fato de serem
necessários ou úteis em cursos e carreiras subsequentes em ciência e engenharia. Li-
teralmente não existem limites para a quantidade de tópicos a serem incluídos em um
texto como esse. Consequentemente, este livro representa a opinião do autor, neste
momento, com relação ao conteúdo da matemática para engenharia.
Conteúdo do livro
Para a flexibilidade na seleção dos tópicos, a obra está dividida em três volumes.
Será possível observar que acreditamos que a espinha dorsal da matemática relacio-
nada à ciência/engenharia se refere a teoria e aplicações de equações diferenciais
parciais e ordinárias.
Volume 1
Equações Diferenciais Elementares
Os seis capítulos desse volume constituem um breve curso completo de equações
diferenciais elementares.
Volume 2
Vetores, Matrizes e Cálculo Vetorial
O Capítulo 1, Vetores, e o Capítulo 3, Cálculo Vetorial, incluem muitos dos tópicos
usualmente abordados no terceiro semestre de um curso de cálculo: vetores geométri-
cos, funções vetoriais, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais dupla e tripla,
integrais de superfície, teorema de Green, teorema de Stokes e o teorema da divergên-
cia. O Capítulo 2, Matrizes, é uma introdução aos sistemas de equações algébricas, de-
terminantes e álgebra matricial com ênfase especial naqueles tipos de matrizes que são
úteis para a solução de sistemas de equações diferenciais lineares. Seções a respeito de
criptografia, códigos de correção de erro, o método dos mínimos quadrados e modelos
comportamentais discretos são apresentados como aplicações de álgebra matricial.
vi Prefácio
Volume 3
Parte 1: Sistemas de Equações Diferenciais
Os dois capítulos dessa parte são Sistema de Equações Diferenciais Lineares e Sis-
temas de Equações Diferenciais Não Lineares. No Capítulo 1, sistemas de equações
de primeira ordem lineares são resolvidos utilizando os conceitos de autovalores e
autovetores, diagonalização e por meio de uma função matricial exponencial. No
Capítulo 2, conceitos de estabilidade são apresentados utilizando duas aplicações:
fluxo de fluido em um plano e o movimento de um glóbulo em um fio.
Parte 2: Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
No Capítulo 3, Funções Ortogonais e Séries de Fourier, são destacados os tópicos
fundamentais sobre conjuntos de funções ortogonais e expansões de funções em ter-
mos de uma série infinita de funções ortogonais. Esses tópicos são então utilizados
nos Capítulos 4 e 5, nos quais problemas de valor de contorno em coordenadas re-
tangular, polar, cilíndrica e esférica são resolvidos usando o método da separação de
variáveis. No Capítulo 6, Método da Transformada Integral, problemas de valor de
contorno são resolvidos por meio das transformadas integrais de Laplace e Fourier.
Parte 3: Análise Complexa
Os capítulos dessa parte abrangem os conceitos básicos de números complexos por
meio de aplicações de mapeamentos conformes na solução do problema de Dirichlet.
Esse material por si só poderia facilmente servir como um curso introdutório de três
meses em variáveis complexas.
Principais características do livro
• O texto foi totalmente modernizado de modo a dotar engenheiros e cientistas com
as habilidades matemáticas necessárias para os desafios tecnológicos atuais.
• Novos projetos de engenharia e ciência, contribuições dos melhores matemáti-
cos, foram adicionados. Esses projetos estão amarrados a tópicos matemáticos
no texto.
• Diversos novos problemas foram adicionados. Além disso, muitos conjuntos
de exercícios foram reorganizados e, em alguns casos, completamente rees-
critos de modo a seguir o fluxo de desenvolvimento na seção e para melhor
facilitar a atribuição da tarefa a ser feita em casa. Os conjuntos de exercícios
também refletem uma maior ênfase em conceitos.
• Como na segunda edição, existe uma ênfase extensiva em equações diferen-
ciais como modelos matemáticos. A idéia de um modelo matemático está in-
dicada ao longo do texto, e as construções e armadilhas de diversos modelos
são discutidas.
Projeto do texto
Como pode ser facilmente observado, o livro tem um formato grande e é colorido,
tornando-o mais prazeroso de ler e aprender. Todas as figuras possuem textos expli-
cativos. Mais Observações e anotações nas margens foram adicionadas ao longo do
texto. Cada capítulo tem uma página de abertura que inclui uma lista de conteúdo
e uma introdução ao material abordado naquele capítulo. Exercícios de revisão são
apresentados ao final de cada capítulo. As respostas dos problemas ímpares selecio-
nados estão na parte final do livro.
Prefácio vii
Suplementos
Os professores que adotarem a obra terão acesso ao material suplementar. Esses
professores devem acessar o site www.bookman.com.br e entrar na Área do Pro-
fessor. Lá encontrarão o Manual de Soluções (em inglês) e lâminas de Power Point
(em português).
Agradecimentos
Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas que generosamente cederam o tempo
das suas agendas ocupadas para fornecer os projetos que aparecem antes do texto
principal:
Anton M. Jopko, Departamento de Física e Astronomia, McMaster University
Warren S. Wright, Departamento de Matemática, Loyola Marymount
University
Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas por suas informações e sugestões para
o aprimoramento em relação às edições anteriores e das versões preliminares da nova
edição:
Sonia Henckel, Texas Tech University
Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo
Jeff Dodd, Jacksonville State University
Victor Elias, University of Western Ontario
Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology
William Criminale, University of Washington
Stan Freidlander, Bronx Community College
Herman Gollwitzer, Drexel University
Robert Hunt, Humboldt State University
Ronald Guenther, Oregon State University
Noel Harbertson, California State University
Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania
A tarefa de compilar um texto desse tamanho foi, para dizer o mínimo, demo-
rada e difícil. Durante o processo no qual centenas de páginas manuscritas foram
passadas por muitas mãos, indubitavelmente alguns erros ocorreram. Peço descul-
pas antecipadas por isso e certamente gostaria de saber de algum erro que possa ser
corrigido. Enviem todas as correções via e-mail para o meu editor Tim Anderson
em [email protected].
Dennis G. Zill
Los Angeles
Sobre a Capa
Quando o viaduto de Millau foi aberto para o tráfego em 16 de dezembro de 2004,
ele foi saudado como o mais alto do mundo. Ele se localiza no Vale Rhone na Fran-
ça e atravessa o largo vale do rio Tarn, próximo da conhecida vila de Millau.
A ponte de aço e concreto, estaiada por múltiplos cabos, é constituída por oito
vãos. Mais de 43 mil toneladas de aço foram utilizadas na construção dos deques de
contenção, das torres e dos pilares temporários utilizados durante a construção. O
pilar mais alto mede 342 m, o que a torna 21,34 m mais alta do que a torre Eiffel com
a sua antena.
O viaduto de Millau é celebrado como um trabalho de arte assim como uma rea-
lização de engenharia fora de série. Seu aspecto aberto e arejado 271,6 m acima do
rio Tarn oferece vistas espetaculares para os passageiros que cruzam os seus 2.574,4
m de comprimento. Durante os meses do verão, mais de 28 mil veículos cruzam por
dia essa ligação norte-sul entre Paris e o Mediterrâneo.
Quando o arquiteto britânico Norman Foster projetou a ponte, ele queria dar a
ela um aspecto arejado e flexível. “A delicadeza de uma borboleta”, dizia Foster. Ela
tem que “se fundir com a natureza. Os pilares teriam que se parecer quase orgânicos,
como se tivessem crescido a partir da terra”.
O presidente da França, Jacques Chirac, proclamou: “Essa inauguração excep-
cional entrará para a história industrial e tecnológica”. Ele elogiou os projetistas e
construtores da ponte por criar “uma maravilha de arte e arquitetura” – um novo
emblema da engenharia civil da França.
Sumário
Projeto para a Seção 5.3 O átomo de hidrogênio 13
Projeto para a Seção 6.4 A desigualdade da incerteza em processamento de
sinais 16
Projeto para a Seção 6.4 Difração de Fraunhofer por uma abertura circular 18
Projeto para a Seção 7.2 Instabilidades de métodos numéricos 20
Capítulo 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 23
1.1 Teoria preliminar 24
1.2 Sistemas lineares homogêneos 31
1.2.1 Autovalores reais distintos 32
1.2.2 Autovalores repetidos 35
1.2.3 Autovalores complexos 39
1.3 Solução por diagonalização 44
1.4 Sistemas lineares não homogêneos 47
1.4.1 Coeficientes indeterminados 47
1.4.2 Variação de parâmetros 50
1.4.3 Diagonalização 52
1.5 Exponencial de matriz 55
Capítulo 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares 61
2.1 Sistemas autônomos 62
2.2 Estabilidade de sistemas lineares 68
2.3 Linearização e estabilidade local 77
2.4 Sistemas autônomos como modelos matemáticos 86
2.5 Soluções periódicas, ciclos limites e estabilidade global 94
10 Sumário
Capítulo 3 Funções Ortogonais e Séries de Fourier 105
3.1 Funções ortogonais 106
3.2 Séries de Fourier 111
3.3 Séries de Fourier do co-seno e do seno 116
3.4 Série complexa de Fourier 123
3.5 Problema de Sturm-Liouville 127
3.6 Séries de Bessel e Legendre 134
3.6.1 Série de Fourier-Bessel 135
3.6.2 Série de Fourier-Legendre 138
Capítulo 4 P roblemas de Valor de Contorno em Coordenadas
Retangulares 142
4.1 Equações diferenciais parciais separáveis 143
4.2 Equações clássicas e problemas de valor de contorno 147
4.3 Equação do calor 152
4.4 Equação de onda 155
4.5 Equação de Laplace 160
4.6 PVCs não homogêneos 165
4.7 Expansões em séries ortogonais 172
4.8 Série de Fourier em duas variáveis 176
Capítulo 5 P roblemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de
Coordenadas 181
5.1 Problemas em coordenadas polares 182
5.2 P roblemas em coordenadas polares e coordenadas cilíndricas: Funções de
Bessel 187
5.3 Problemas em coordenadas esféricas: Polinômios de Legendre 193
Capítulo 6 Método da Transformada Integral 198
6.1 Função erro 199
6.2 Aplicações da transformada de Laplace 200
6.3 Integral de Fourier 208
6.4 Transformadas de Fourier 213
6.5 Transformada rápida de Fourier 219
Capítulo 7 Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais 230
7.1 Equação de Laplace 231
7.2 A equação do calor 236
7.3 A equação de onda 242
