Llu´ıs Antoni Santaló i Sors

34 Pages·2002·0.5 MB·English

LAGACETADELA RSME,Vol. 5.1 (2002), Pa(cid:19)gs. 73{106 73
IN MEMORIAM LLU(cid:19)IS SANTALO(cid:19)
Llu(cid:19)(cid:16)s Antoni Santalo(cid:19) i Sors
por
A. Revento(cid:19)s Tarrida
El d(cid:19)(cid:16)a 22 de noviembre, a los 90 an~os de edad, murio(cid:19) en Argentina el
gran matema(cid:19)tico Llu(cid:19)(cid:16)s Antoni Santalo(cid:19) i Sors, ma(cid:19)ximo exponente de la
Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral, gran pedagogo y divulgador cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co, personalidad
degranvalorhumano,conma(cid:19)sde250publicaciones,entreelloslibroscon
gran in(cid:13)uencia en nuestra comunidad matema(cid:19)tica, como su Geometr(cid:19)(cid:16)a
Proyectiva. Vayan estas l(cid:19)(cid:16)neas como pequen~o anticipo a los homenajes
que merece.1
GIRONA
Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19) nace en Girona, el 9 de octubre de 1911.
Concretamente en el nu(cid:19)mero 15 de la plaza de Sant
Pere. Es el cuarto hijo de Silvestre Santalo(cid:19) Pavorell
y Consol Sors Llach. Por orden de edad sus tres her-
manos mayores son: Neus, Marcel y Joan y los tres
menores Dolors, Xavier y Mar(cid:19)(cid:16)a.
HacepocoMar(cid:19)(cid:16)ameexplicabaqueyadepequen~o,
y obviamente en plan de broma, le pasaban la mano
por la cabeza para que les inspirara su ciencia, pues
era reconocida su capacidad para los estudios.
Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19) empieza a estudiar en el \Grup Es-
colar", donde su padre era maestro. Pasa despu(cid:19)es al
1Agradecimientos: Agradezco a La Gaceta de la RSME el haber pensado en m(cid:19)(cid:16) para
esteart(cid:19)(cid:16)culo. Cuandosemepropusopens(cid:19)eenseguidaenellibrodeXavierDura(cid:19)n[D]queyo
hab(cid:19)(cid:16)a le(cid:19)(cid:16)do recientemente. Habl(cid:19)e con (cid:19)el, uno de los ma(cid:19)s reconocidos periodistas cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)cos
de nuestro pa(cid:19)(cid:16)s y casualmente ex-alumno m(cid:19)(cid:16)o en su licenciatura de qu(cid:19)(cid:16)micas, quien me
dio todo tipo de facilidades para usar su libro. Agradezco tambi(cid:19)en la colaboracio(cid:19)n de los
Profesores ClaudiAlsina,EduardoGallego, AntonioMart(cid:19)(cid:16)nezNaveirayGilSolanesqueme
han ayudado en diversos aspectos del art(cid:19)(cid:16)culo. Tambi(cid:19)en mi agradecimiento a los profesores
Sebastia(cid:18)Xambo(cid:19)yJoanJosepCarmonaquehanhechounarevisio(cid:19)ndetalladadeunaprimera
versio(cid:19)n delmismo.
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Instituto del que guardo(cid:19) siempre un profundo recuerdo. Xavier Dura(cid:19)n [D] co-
menta una conversacio(cid:19)n con Santalo(cid:19) en la que (cid:19)este recuerda las pra(cid:19)cticas de
meteorolog(cid:19)(cid:16)a que realizaban en el propio Instituto con el profesor de F(cid:19)(cid:16)sica,
sen~or Camps, y en la que tambi(cid:19)en recuerda con agrado a su primer profesor
de matema(cid:19)ticas, Lorenzo Gonza(cid:19)lez Calzada.
Coincide entre otros con los futuros grandes historiadores Jaume Vicens
Vives y Santiago Sobrequ(cid:19)es Vidal.
Alos16an~osmarchaaestudiaraMadrid.Parecequein(cid:13)uyeenladecisio(cid:19)n
su padre, pensando que para doctorarse o hacer oposiciones tendra(cid:19) que ir a
Madrid y lo mejor es que conozca el entorno. Se aloja en la famosa Residencia
de Estudiantes, en la calle Pinar, en la que ya hab(cid:19)(cid:16)an estado anteriormente
su t(cid:19)(cid:16)o Miquel y su hermano Marcel, que realizo(cid:19) la carrera de Matema(cid:19)ticas.
La idea de Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19) era estudiar Ingenier(cid:19)(cid:16)a de Caminos, pero pronto
decide estudiar tambi(cid:19)en Matema(cid:19)ticas. En la Facultad de Matema(cid:19)ticas tiene
profesores que in(cid:13)uira(cid:19)n decisivamente en (cid:19)el, principalmente Julio Rey Pastor
y Esteve Terradas. Dos grandes intelectuales. Dos grandes matema(cid:19)ticos. Los
dos han sido profesores en Argentina y esto in(cid:13)uira(cid:19) decisivamente en la vida
de Santalo(cid:19).
Compaginando los estudios con el servicio militar obtiene la Licenciatura
en 1934. Rey Pastor y Terradas le aconsejan ir a Hamburgo hacia donde parte
aquel mismo an~o 1934 con una beca de la Junta. Para ello debe renunciar a
su reci(cid:19)en encontrado trabajo como profesor de Instituto. Alla(cid:19) le recibira(cid:19) un
conocido de Rey Pastor, el geo(cid:19)metra Wilhelm Blaschke.
MeimpresionapensarenaquelreducidogrupodeestudiantesdeBlaschke,
no ma(cid:19)s de 10, pero entre ellos <Santalo(cid:19) y Chern! Por aquel entonces Blaschke
empiezaaestudiarlasprobabilidadesgeom(cid:19)etricasiniciandoas(cid:19)(cid:16)loque(cid:19)elmismo
llamar(cid:19)(cid:16)a Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral. Recoge los resultados en una serie de art(cid:19)(cid:16)culos
numerados con el t(cid:19)(cid:16)tulo comu(cid:19)n de Integral Geometrie. El nu(cid:19)mero 4 es de
Santalo(cid:19). En 1936 publica su tesis doctoral sobre este tema [S9] apadrinada
por Pedro Pineda. Estando de vacaciones en Madrid empieza la Guerra Civil.
Como en tantos casos, unas perspectivas largamente deseadas que quedaban
rotas para siempre.
Santalo(cid:19) volvio(cid:19) a Girona y de all(cid:19)(cid:16) fue destinado a aviacio(cid:19)n, en el ej(cid:19)ercito
republicano,concretamente enLosAlca(cid:19)zares,cercadeCartagena.Delasnotas
que toma nacera(cid:19) su primer libro [S157] y un inter(cid:19)es por la aviacio(cid:19)n que se
plasma en [S182], [S184] y [S192].
Pasa otro per(cid:19)(cid:16)ododela guerraen la Escuela deAviacio(cid:19)n Militar deBarce-
lona,dirigidaporJosepCanudas,yacon el gradodecapita(cid:19)n. De all(cid:19)(cid:16) suunidad
se retirar(cid:19)(cid:16)a, pasando brevemente por Girona y Navata, hacia el exilio.
Una de estas casualidades curiosas de la vida, segu(cid:19)n explica Xavier Dura(cid:19)n
en su libro [D], citando al propio Canudas, es que siendo Consejero Primero
de la Generalitat el t(cid:19)(cid:16)o de Santalo(cid:19), Miquel Santalo(cid:19), se crearon por decreto
que (cid:19)el mismo (cid:12)rmo(cid:19) en 1933, los Servicios de Aerona(cid:19)utica, no disponiendo
dicho servicio de ningu(cid:19)n avio(cid:19)n. Posteriormente se compro(cid:19) una avioneta y se
LAGACETA 75
encargo(cid:19) al citado Josep Canudas la direccio(cid:19)n de la escuela por la que pasar(cid:19)(cid:16)a
posteriormente el sobrino de Miquel, Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19).
Cofundador de Esquerra Republicana de Catalunya, Alcalde de Girona,
Consejero de la Generalitat, Ministro, Diputado, Vicepresidente de la Cortes,
Miquel Santalo(cid:19) no tuvo ma(cid:19)s remedio que exilarse. Murio(cid:19) en M(cid:19)exico. No es de
extran~ar, pues, que hoy podamos encontrar en Girona la calle Miquel Santalo(cid:19)
y la calle Llu(cid:19)(cid:16)s Santalo(cid:19).
Una vez en Francia, Santalo(cid:19) es ingresado en el campo de concentracio(cid:19)n
de Argelers. Segu(cid:19)n Xavier Dura(cid:19)n [D] Santalo(cid:19) no recuerda co(cid:19)mo escapo(cid:19) de este
campo.DesdeColliureescribeaReyPastoryaBlaschke pidiendoayuda.Sabe
por su familia que a Girona no puede volver.
A pesar del acogimiento de Blaschke y debido a la situacio(cid:19)n pol(cid:19)(cid:16)tica en
Alemania, noparecelo ma(cid:19)ssensato volver aHamburgo.Pero el propioBlasch-
ke escribe a E(cid:19)lie Cartan, que invita inmediatamente a Santalo(cid:19) a impartir unas
conferencias en el Instituto Henri Poincar(cid:19)e de Par(cid:19)(cid:16)s. Una vez en Par(cid:19)(cid:16)s es de-
tenido y es el propio Cartan quien acude a la ca(cid:19)rcel para liberarlo. Las con-
ferencias se celebran los d(cid:19)(cid:16)as 25, 28 y 30 de marzo de 1939, en el nu(cid:19)mero 11
de la calle Pierre Curie. El tema era obviamente la geometr(cid:19)(cid:16)a integral y las
probabilidades geom(cid:19)etricas.
Con todo ello tambi(cid:19)en hab(cid:19)(cid:16)a contestado asu carta Rey Pastor, envia(cid:19)ndole
dinero para el pasaje hacia Argentina. Pero problemas con el visado le im-
ped(cid:19)(cid:16)an marchar. Segu(cid:19)n Dura(cid:19)n [D] fue Terradas quienintercedio(cid:19) con un obispo
para que el visado fuese expedido. Finalmente se embarca en Burdeos.
ARGENTINA
El 12 de octubre de 1939, Santalo(cid:19) llega a Buenos Aires. Alla(cid:19) lo recibe,
en representacio(cid:19)n de Rey Pastor, Manuel Balanzat, posteriormente coautor y
buen amigo de Santalo(cid:19), [S161] y [S172].
Rey Pastor se ocupa de todo y le obtiene una plaza en Rosario, provincia
de Santa Fe. En aquel momento se crea el Instituto de Matema(cid:19)ticas de la
Universidad del Litoral, dirigido por Beppo Levi, ver [S206], y con Santalo(cid:19)
como subdirector.
Se integra ra(cid:19)pidamente en los c(cid:19)(cid:16)rculos de exilados y emigrantes, llegando
asersecretario del CentreCatala(cid:18) de Rosario. En 1945 se casa con Hilda Rossi,
personaque le apoyara(cid:19) durante toda su vida,nacionaliza(cid:19)ndose posteriormente
argentino. En 1947 nace su primera hija Mar(cid:19)(cid:16)a In(cid:19)es, Tessi.
Me viene ahora a la memoria una de mis primeras conversaciones con
Santalo(cid:19), cuando le pregunt(cid:19)e por alla(cid:19) el an~o 1985 estando (cid:19)el impartiendo un
cursoenlaUniversidaddeBarcelona,sobrelaposibilidaddevolveraCatalun~a.
Me contesto(cid:19) que su vida estaba en Argentina, sus hijos, sus nietos,... Pero
un sentimiento de an~oranza se adivinaba en sus palabras. Fue por entonces
cuando me pregunto(cid:19) que texto de Geometr(cid:19)(cid:16)a Proyectiva recomendar(cid:19)(cid:16)a yo a
mis alumnos. Yo le dije: el \Santalo(cid:19)", y supongo que penso(cid:19) que quer(cid:19)(cid:16)a quedar
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bien con (cid:19)el, pero era verdad y ha pasado mucho tiempo y sigo pensando lo
mismo.
Los an~os 1948-49 los pasa, con Hilda y Tessi en Princeton, con una beca
de la fundacio(cid:19)n Guggenheim. Tambi(cid:19)en imparte un curso en Chicago, invitado
por M.H. Stone, quien hab(cid:19)(cid:16)a estado previamente con Santalo(cid:19) en Argentina.
Como constato(cid:19) Claudi Alsina muchos an~os despu(cid:19)es, Santalo(cid:19) dejo(cid:19) una huella
imborrable a su paso por Chicago. En el Institute for Advanced Studies de
Princeton coincide con Einstein.
DeregresoaArgentina,en1949,seincorporaalaUniversidaddeLaPlata,
capital de la provincia de Buenos Aires. Nace su segundahija Alicia. Dirige su
primeratesis:Propiedades in(cid:12)nitesimalesdecurvasysuper(cid:12)ciesenespaciosde
curvatura constante.Autora:LeticiaVarela.ParticipaenlaComisio(cid:19)nNacional
de Energ(cid:19)(cid:16)a Ato(cid:19)mica (CNEA), da clases en la Escuela Superior T(cid:19)ecnica del
Ej(cid:19)ercito, investiga, viaja,... manteniendo siempre un ritmo de trabajo intenso
por no decir fren(cid:19)etico. Nace su tercera hija Claudia.
El hecho de pertenecer a la CNEA le permite viajar a Par(cid:19)(cid:16)s y de paso
acercarse, por primera vez desde el exilio, a Girona. Deb(cid:19)(cid:16)a ser hacia el 1955,
ya que pertenecio(cid:19) a la CNEA en el per(cid:19)(cid:16)odo 1952-57. Lamentablemente no
volvio(cid:19) a ver a su madre, que hab(cid:19)(cid:16)a muerto en 1947.
En 1957 es nombrado profesor Titular de la Facultad de Ciencias Exactas
y Naturales de la Universidad de Buenos Aires.
Empiezan los primeros reconocimientos pu(cid:19)blicos a su trayectoria: Primer
PremioNacionaldeCultura,1954;PremiodelaSociedadCient(cid:19)(cid:16)(cid:12)caArgentina,
1959; Ingreso en la Academia Nacional de Ciencias Exactas y Naturales, 1960.
En Buenos Aires se consolida la fama de Santalo(cid:19) como gran docente.
Dedica muchos esfuerzos en pensar sobre la ensen~anza de la matema(cid:19)tica. Une
un conocimiento profundo del tema con la capacidad de explicar las cosas de
manerasencilla. Consiguehacerfa(cid:19)cil lo dif(cid:19)(cid:16)cil.Tieneuncuidadoespecialhacia
los alumnos. Intenta modi(cid:12)car la manera tradicional de explicar. \Inventa"
los tutores, para relacionar la ensen~anza de la matema(cid:19)tica con aspectos de la
personalidad del alumno, deseos, vocacio(cid:19)n, formacio(cid:19)n, etc.
RECONOCIMIENTOS MA(cid:19)S IMPORTANTESEN ESPAN~A
Este apartado deber(cid:19)(cid:16)a empezar con aquellas palabras de que ma(cid:19)s vale
tarde que nunca.
Acad(cid:19)emico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias Exactas,
(cid:15)
F(cid:19)(cid:16)sicas y Naturales de Madrid, 1955.
Acad(cid:19)emico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias y Artes de
(cid:15)
Barcelona, 1970.
Miembro del Comit(cid:19)e Cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co de la revista Stochastica de la UPC.
(cid:15)
LAGACETA 77
Doctor Honoris Causa por la Universitat Polit(cid:18)ecnica de Catalunya, 14
(cid:15)
de julio de 1977. Presentado por Enric Trillas.
MiembroCorrespondientedel’Institutd’EstudisCatalans,21dediciem-
(cid:15)
bre de 1977.
Premio Pr(cid:19)(cid:16)ncipe de Asturias de Investigacio(cid:19)n Cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)ca. 1983.
(cid:15)
MedallaNarc(cid:19)(cid:16)sMonturiolalaCi(cid:18)enciayalaTecnologia delaGeneralitat
(cid:15)
de Catalunya, 1984.
Doctor Honoris Causa por la Universitat Auto(cid:18)noma de Barcelona, 13 de
(cid:15)
junio de 1986. Presentado por Joan Girbau, celebra(cid:19)ndose el acto en el
Ayuntamiento de Girona.
Doctor Honoris Causa por la Universidad de Sevilla, 1990. Presentado
(cid:15)
por Jos(cid:19)e Luis Vicente. Promovido por Gonzalo Sa(cid:19)nchez Va(cid:19)zquez, presi-
dente de la Federacio(cid:19)n de Sociedades de Profesores de Matema(cid:19)ticas de
Espan~a, amigo personal de Santalo(cid:19).
Condecorado con la Medalla de la Universidad de Valencia, 23 de sep-
(cid:15)
tiembre de 1993. Recogida por su hija Tessi.
Creu de Sant Jordi, de la Generalitat de Catalunya, 1994.
(cid:15)
EncomiendadeAlfonsoX(ElSabio)concedidaporelReyJuanCarlosy
(cid:15)
entregada por el Embajadorde Espan~a en Argentina. Dicha encomienda
fue una propuesta de Enric Trillas. 1996.
Socio de honor de la Real Sociedad Matema(cid:19)tica Espan~ola, 22 de enero
(cid:15)
de 1999.
La Universitat de Girona crea el 27 de julio de 2000 la Ca(cid:19)tedra Santalo(cid:19).
(cid:15)
DirigidaporCarlesBarcelo(cid:19) iVidal.Lohacepu(cid:19)blicoelRectordelaUdG,
Josep Maria Nadal, ante una de las hijas de Santalo(cid:19), el 21 de septiembre
de2000 en la Facultad deCienciasExactas, Ingenier(cid:19)(cid:16)a yAgrimensurade
la UniversidadNacional de Rosario (Argentina), con motivo de la Sesio(cid:19)n
Conmemorativa del 60 Aniversario del Instituto de Matema(cid:18)tica \Beppo
Levi".
Socio de honor de la Societat Catalana de Matema(cid:18)tiques, 19 diciembre
(cid:15)
2000.
GEOMETR(cid:19)IA INTEGRAL
Unaspocaspalabrasparadescribirelcampodelamatema(cid:19)ticaquecautivo(cid:19)
a Santalo(cid:19).
78 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS
La Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral proviene de las probabilidades geom(cid:19)etricas. Tiene
sus ra(cid:19)(cid:16)ces pues en el famoso problema de la aguja de Bu(cid:11)on, que aparece en
Essai d’arithm(cid:19)etique morale, 1777, y en las fo(cid:19)rmulas de Crofton, de aproxima-
damente 1868, en On the theory of local probability.
Simpli(cid:12)cando un poco, el problema aparece cuando al intentar escribir el
cociente entre casos favorables y casos posibles nos encontramos con que hay
in(cid:12)nitas posibilidades, por ejemplo in(cid:12)nitas posiciones de la aguja de Bu(cid:11)on
sobre le plano.
Estas posiciones se pueden parametrizar e identi(cid:12)car nuevamente como
puntosdelplanodemaneraquetenemostantasposicionescomopuntos,y>qu(cid:19)e
ma(cid:19)s natural que usar el a(cid:19)rea para medir, o \contar", el nu(cid:19)mero de puntos?
ComodiceSantalo(cid:19)en[S171]:para aplicar la idea de probabilidad a elemen-
tos dados al azar que son objetos geom(cid:19)etricos (como puntos, l(cid:19)(cid:16)neas, geod(cid:19)esicas,
conjuntos congruentes, movimientos o a(cid:12)nidades), es necesario primeramente
de(cid:12)nir una medida para tales conjuntos de elementos.
Parece que Santalo(cid:19) tenga en la cabeza las paradojas de Bertrand (cu(cid:19)al es
la probabilidad de que una cuerda trazada al azar sobre el c(cid:19)(cid:16)rculo de radio 1
sea mayor que p3), que provienen de utilizar, de manera algo escondida, dife-
rentes maneras de medir. Diferentes maneras de interpretar la palabra \azar".
Poincar(cid:19)e fue el primero en aclarar expl(cid:19)(cid:16)citamente este punto (H. Poincar(cid:19)e,
Calcul des probabilit(cid:19)es, Gauthier-Villars, 1912).
El geo(cid:19)metra se siente atra(cid:19)(cid:16)do por el inter(cid:19)es geom(cid:19)etrico en s(cid:19)(cid:16) mismo de las
preguntasqueplanteanlasprobabilidadesgeom(cid:19)etricas,yabordalosproblemas
olvidando o prescindiendo de si detra(cid:19)s hay o no un concepto de probabilidad.
La discusio(cid:19)n de qu(cid:19)e medida hay que elegir esta(cid:19) relacionada con el gru-
po que determina la geometr(cid:19)(cid:16)a del problema en el sentido del programa de
Erlangen de Klein. Por esto en los trabajos de Santalo(cid:19) hay tantos grupos de
Lie.
Dice Santalo(cid:19) que la basede la Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral esta(cid:19) formadaporcuatro
palabras: probabilidades, medida, grupos y geometr(cid:19)(cid:16)a.
De hecho algunos de los resultados ma(cid:19)s importantes de Santalo(cid:19) provie-
nen de medir directamente en el grupo. Hablando de manera imprecisa, ser(cid:19)(cid:16)a
como identi(cid:12)car todas las posiciones de una (cid:12)gura en el plano con los movi-
mientos que llevan una (cid:12)gura inicial (cid:12)jada a cada una de las posiciones. Las
fo(cid:19)rmulas que entonces aparecen se llaman fo(cid:19)rmulas cinema(cid:19)ticas, para recoger
esta idea de movimiento, aunque el grupo no sea espec(cid:19)(cid:16)(cid:12)camente el grupo de
movimientos.
Santalo(cid:19), au(cid:19)n en Hamburgo, obtuvo en dimensio(cid:19)n dos unos primeros resul-
tados que dar(cid:19)(cid:16)an lugar a la llamada fo(cid:19)rmula cinema(cid:19)tica.
En Rn la fo(cid:19)rmula cinema(cid:19)tica se debe a S.S. Chern (S.S. Chern; On the
kinematic formula in the Euclidean space of n dimensions, Amer. J. Math. 45,
1944, 744-752).
Pararecordarla fo(cid:19)rmulacinema(cid:19)tica fundamentaldeSantalo(cid:19)paraespacios
no euclidianos daremos la expresio(cid:19)n en dimensiones 2 y 3 ya que la fo(cid:19)rmula
LAGACETA 79
general es algo distinta segu(cid:19)n la dimensio(cid:19)n sea par o impar [S171] (obs(cid:19)ervese
la belleza de las siguientes fo(cid:19)rmulas):
Para n= 2:
(cid:31)(D0 D1)dK1 = ((cid:15)K)F0F1 +2(cid:25)(F1(cid:31)0+F0(cid:31)1)+L0L1
Z \ (cid:0)
D0\D16=;
Para n= 3:
2
(cid:31)(D0 D1)dK1 = 8(cid:25) (V1(cid:31)0+V0(cid:31)1)+2(cid:25)(F0M1 +F1M0)
Z \
D0\D16=;
donde D0;D1 son dominios con borde regular en el espacio no euclidiano de
curvatura(cid:15)K; (cid:15)= 0; 1;L;F;V;M denotanlongitud,a(cid:19)rea,volumeneintegral
(cid:6)
de la curvatura media respectivamente, y (cid:31) es la caracter(cid:19)(cid:16)stica de Euler.
Sorprendentemente el caso n= 3 es el u(cid:19)nico en que la fo(cid:19)rmula cinema(cid:19)tica
no depende de la curvatura del espacio.
Me gustar(cid:19)(cid:16)a destacar tambi(cid:19)en la fo(cid:19)rmula de Santalo(cid:19) sobre la medida de
rectas hiperbo(cid:19)licas. En [S36] demuestra
dG =coshpdp d(cid:18)
donde p es la distancia de la geod(cid:19)esica, o recta hiperbo(cid:19)lica, a un origen pre(cid:12)-
jado y (cid:18) es el a(cid:19)ngulo que (cid:19)esta distancia forma con una direccio(cid:19)n pre(cid:12)jada. La
notacio(cid:19)n dG proviene de \diferencial de geod(cid:19)esicas". Es lo que debemos inte-
grar para obtener la medida de geod(cid:19)esicas. Dejo como ejercicio demostrar que
la anterior expresio(cid:19)n es invariante por isometr(cid:19)(cid:16)as hiperbo(cid:19)licas. Por ejemplo los
ca(cid:19)lculos anteriores en el modelo de Poincar(cid:19)e son bastante complicados. Pero
Santalo(cid:19) no trabaja en el modeloysiempresuastucia le permitesalirairoso sin
demasiados ca(cid:19)lculos. Un d(cid:19)(cid:16)a me dijo: Libra(cid:19)me del matema(cid:19)tico que no calcula.
Y es que para tener habilidad para esquivar ca(cid:19)lculos primeramente se debe
haber calculado.
A partir de aqu(cid:19)(cid:16) demuestra que en el caso hiperbo(cid:19)lico se tiene la siguiente
fo(cid:19)rmula, formalmente igual al caso euclidiano:
(cid:27)dG = (cid:25)F
Z
G(cid:1)C6=;
do(cid:19)nde (cid:27) es la longitud de una cuerda arbitraria de un cuerpo convexo C de
a(cid:19)rea F, y la integral esta(cid:19) extendida a las geod(cid:19)esicas que cortan el convexo.
Santalo(cid:19) dirigio(cid:19) doce tesis doctorales en la Facultad de ciencias Exactas y
NaturalesdelaUniversidaddeBuenosAires:L.Varela(1952),A.Ayub(1955),
R. Luccioni(1963), C.Conton (1973), R. Noriega (1976), G. Keilhauer(1980),
G. Birman (1980), F. Guti(cid:19)errez (1985), V. Molter (1985), L. Gysin (1987), F.
A(cid:11)entranger (1988) y A. Berenice (1988), todas ellas en el a(cid:19)rea de Geometr(cid:19)(cid:16)a
y especialmente en Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral.
80 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS
INFLUENCIA EN ESPAN~A
Pido disculpas anticipadas por las posibles omisiones en este apartado de
autores espan~oles. Agradecer(cid:19)e puntualizaciones.
El primero que siguio(cid:19) de una forma directa a Santalo(cid:19) fue el profesor E.
Vidal Abascal, en Santiago de Compostela, en las d(cid:19)ecadas 50-60, resaltando
su trabajo sobre la fo(cid:19)rmula de Steiner en espacios de curvatura constante [7].
Destaquemos tambi(cid:19)en [6], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17].
De hecho, segu(cid:19)n comenta A.M. Naveira, la relacio(cid:19)n entre Santalo(cid:19) y Vidal
provienedelosan~ostreinta cuandocoincideenMadridconelhermanodeSan-
talo(cid:19), probablemente Marcel, qui(cid:19)en los presenta. En 1967, Santalo(cid:19) asiste al II
Coloquio Internacional de Geometr(cid:19)(cid:16)a Diferencial de Santiago de Compostela,
dando all(cid:19)(cid:16) la de(cid:12)nicio(cid:19)n de curvaturas totales absolutas que tanta importancia
tuvieron posteriormente en estereolog(cid:19)(cid:16)a. En 1978 asiste tambi(cid:19)en en Santiago
al homenaje a E. Vidal en motivo de su jubilacio(cid:19)n, impartiendo la conferencia
inaugural del IV International Colloquium on Di(cid:11)erential Geometry.
Volviendo a la d(cid:19)ecada de los 50 encontramos la aportacio(cid:19)n del profesor J.
Sancho de San Roma(cid:19)n, que trabaja en temas de Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral antes de
dedicarse al a(cid:19)lgebra, [1], [2], [3], [4], [5], as(cid:19)(cid:16) como E.G. Rodeja [14].
Para hacernos una idea destaquemos la fo(cid:19)rmula de Vidal que generaliza
la fo(cid:19)rmula de Steiner:
sen((cid:26)pk)
L = 2(cid:25) Fpksen((cid:26)pk)+Lcos((cid:26)pk)
(cid:26)
pk (cid:0)
donde L;F son respectivamente la longitud y a(cid:19)rea de una curva sobre una
super(cid:12)ciedecurvaturaconstantekyL eslalongituddeotracurvaadistancia
(cid:26)
(cid:26) de la anterior.
Tambi(cid:19)en el profesor A.M. Naveira, en su etapa en Valencia, continua los
problemasdegeometr(cid:19)(cid:16)aintegraldeSantalo(cid:19)obteniendoimportantesresultados.
Destaquemos por ejemplo [27], [28], [53], [54], [55], [56], o los resultados
obtenidos con A. Tarr(cid:19)(cid:16)o, profesora de la Universidad de A Corun~a, en [57],
[58] y [59].
Por ejemplo, se estudian las densidades de subespacios lineales de Cn. Se
obtienen fo(cid:19)rmulas del tipo
dP dP1 dP2r = n(cid:0)rdP(Lr) dP1(Lr) dP2r(Lr) dLr
^ ^(cid:1)(cid:1)(cid:1)^ 4 ^ ^(cid:1)(cid:1)(cid:1)^ ^
do(cid:19)nde P;P1;:::;P2r son 2r +1 puntos del subespacio holomorfo Lr, que ge-
neralizan fo(cid:19)rmulas de Blaschke al caso de subespacios holomorfos.
A su estela, tenemos los trabajos de S. Segura Gomis y M.A. Herna(cid:19)ndez
Cifresobreconjuntos completos dedesigualdadesenlos quecierranconjeturas
anteriores de Santalo(cid:19), establecidas en [S106]. Ver por ejemplo [48], [49], [50],
[52] y la solucio(cid:19)n a las conjeturas de [S106] en [51].
LAGACETA 81
Concretamente, si tenemos un cuerpo convexo del espacio y llamamos V
al volumen, F al a(cid:19)rea, y M la curvatura media total entonces se cumple
2 2
M 4(cid:25)F; F 3VM:
(cid:21) (cid:21)
El problema que plantea Santalo(cid:19) en [S106], y que llamamos sistemas comple-
tos de desigualdades, consiste en saber si dados tres nu(cid:19)meros reales V;F;M
cumpliendo las anteriores desigualdades, existe un cuerpo convexo que los tie-
ne como volumen, a(cid:19)rea y curvatura media total respectivamente. De hecho
en (cid:19)este caso falta otra desigualdad y el problema general sigue abierto. En
[S106] Santalo(cid:19) estudia este tipo de problemas en el plano. En [51] Segura y
Herna(cid:19)ndez demuestran por ejemplo que
2 2 4 2 4
(4R d )d 4! R
(cid:0) (cid:20)
y dan un sistema completo de desigualdades que involucran d;! y R (d =
dia(cid:19)metro, ! = amplitud, R = circunradio).
Au(cid:19)nenValenciadestaquemoslaaportacio(cid:19)ndeVicente Miquelquienjunto
con A. Borisenko estudia la curvatura total de hipersuper(cid:12)cies convexas en el
espacio hiperbo(cid:19)lico, [33].
La relacio(cid:19)n con los geo(cid:19)metras de Barcelona proviene de la conferencia
que imparte en el First International Symposium on Statistics en Noviembre
de 1983, [S147]. Me plantea en una servilleta la conjetura sobre los convexos
hiperbo(cid:19)licos [26].
El hecho de que Santalo(cid:19) asistiese a este Symposium en Barcelona, organi-
zado por E. Bonet, M. Mart(cid:19)(cid:16) y A. Prat, proviene probablemente de la buena
relacio(cid:19)n que tuvo con la Universitat Polit(cid:18)ecnica de Catalunya, en la que es-
taba Pere Pi Calleja, matema(cid:19)tico muy relacionado con Rey Pastor, y de la
iniciativa demostrada por los tambi(cid:19)en matema(cid:19)ticos E. Bonet y E. Trillas, a
la postre buenos amigos de Santalo(cid:19). De hecho, C. Alsina, E. Bonet y E. Tri-
llas, junto con Miguel de Guzman, mantuvieron desde los an~os 70 un contacto
permanente con Santalo(cid:19).
En 1977 Santalo(cid:19) ya hab(cid:19)(cid:16)a estado en Barcelona presidiendo el Comit(cid:19)e
Cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)co y como conferenciante en el Primer Congreso Internacional de Ma-
tema(cid:19)ticas al servicio del Hombre.
EnOctubrede1984seinauguraelCentredeRecercaMatema(cid:18)tica(C.R.M.)
con un curso de Santalo(cid:19) sobre Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral en el plano af(cid:19)(cid:16)n, realizado
en la Universidad de Barcelona, del que distribuye una notas [S145].
Mientras tanto Eduardo Gallego y el autor de (cid:19)este art(cid:19)(cid:16)culo cierran la
conjetura de Santalo(cid:19) y Ya(cid:19)n~ez, expuesta en [S126], sobre convexos hiperbo(cid:19)licos
[26].Vertambi(cid:19)en [25],[35],[34].Actualmente Gil Solaneshaobtenidotambi(cid:19)en
interesantes resultados [36].
Destaquemos por ejemplo que en contraste con la situacio(cid:19)n euclidiana se
demuestra en [36] que el comportamiento asinto(cid:19)tico del cociente
(dia(cid:19)metro=longitud) para convexos que tienden a llenar el plano hiperbo(cid:19)lico
82 LLU(cid:19)IS ANTONI SANTALO(cid:19) I SORS
toma cualquier valor del intervalo [0;1=2] ( en el caso euclidiano esta(cid:19) acotado
inferiormente por 1=(cid:25)).
En Noviembre de 1991 Santalo(cid:19) imparte un curso en Girona invitado por
J.M. Terricabras dentro de la Ca(cid:19)tedra Ferrat(cid:19)e Mora, de la Universidad de
Girona.AsistimosentreotrosF.A(cid:11)entranger,L.M.Cruz-Orive,A.M.Naveira,
E. Gallego, C. Alsina, E. Trillas, Ortiz y X. Gual. De entonces procede la que
ser(cid:19)(cid:16)a fruct(cid:19)(cid:16)fera relacio(cid:19)n cient(cid:19)(cid:16)(cid:12)ca entre X. Gual y L.M. Cruz-Orive.
FernandoA(cid:11)entrangeresunalumnodeSantalo(cid:19)deorigenHispano-Alema(cid:19)n,
que pasaun tiempo en Barcelona, publicandoincluso en la revista la Universi-
dad Auto(cid:19)noma [30], aunque su carrera transcurre en Alemania [20], [29], [30],
[31]. Una an(cid:19)ecdota curiosa es la siguiente: el primer art(cid:19)(cid:16)culo que dio Santalo(cid:19)
a Fernando fue nuestro art(cid:19)(cid:16)culo [26], de manera que en su primer viaje a Bar-
celona y estando en casa de sus familiares, pregunto(cid:19) como podr(cid:19)(cid:16)a conectar
con matema(cid:19)ticos de Barcelona. Esto era muy fa(cid:19)cil para sus familiares pues un
primo suyo que viv(cid:19)(cid:16)a en la casa de al lado, en el mismo jard(cid:19)(cid:16)n,era matema(cid:19)tico
y se lo podr(cid:19)(cid:16)a decir. E(cid:19)ste primo era yo, me vinieron a buscar y <cua(cid:19)l no fue la
sorpresa de Fernando cuando nos presentaron!
En la l(cid:19)(cid:16)nea ma(cid:19)s aplicada de la estereolog(cid:19)(cid:16)a destaca el profesor L.M. Cruz-
Orive y su escuela de Berna. Actualmente en Santander y junto con el alumno
de A.M. Naveira, Ximo Gual Arnau, continua trabajando intensamente en
aplicaciones de la geometr(cid:19)(cid:16)a integral. De X. Gual destaquemos los art(cid:19)(cid:16)culos
[37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46], algunos de ellos conjuntos
con A.M. Naveira y A. Tarr(cid:19)(cid:16)o. Actualmente X. Gual desarrolla su labor en
la Universidad Jaume I de Castello(cid:19)n. De L.M. Cruz-Orive destaquemos [21],
[22], [23], [24], [32].
Para explicar un poco qu(cid:19)e es la estereolog(cid:19)(cid:16)a recurramos al propio San-
talo(cid:19). Veamos que dice en [S171], pag. 282, sobre estereolog(cid:19)(cid:16)a: Consideremos
part(cid:19)(cid:16)culas convexas distribuidas en E3. La determinacio(cid:19)n de la medida de dis-
tribucio(cid:19)n de estas part(cid:19)(cid:16)culas a partir de la medida de distribucio(cid:19)n de sus sec-
ciones con (cid:12)guras aleatorias de forma conocida (e.g., un cuerpo convexo, un
cilindro, un plano, una banda, o una l(cid:19)(cid:16)nea) es uno de los problemas ba(cid:19)sicos
de la llamada estereolog(cid:19)(cid:16)a, la cual es un campo intermedio relacionando disci-
plinas tan disparatadamente dispares como biolog(cid:19)(cid:16)a, mineralog(cid:19)(cid:16)a, metalurgia y
geometr(cid:19)(cid:16)a. Elias ha propuesto la siguiente de(cid:12)nicio(cid:19)n: La estereolog(cid:19)(cid:16)a trata con
un conjunto de m(cid:19)etodos para la exploracio(cid:19)n del espacio tri-dimensional cuando
so(cid:19)lo es posible conocer secciones bi-dimensionales a trav(cid:19)es de cuerpos so(cid:19)lidos
o sus proyecciones. Los principales m(cid:19)etodos de la estereolog(cid:19)(cid:16)a esta(cid:19)n fuerte-
mente relacionados a la geometr(cid:19)(cid:16)a integral, como veremos en este cap(cid:19)(cid:16)tulo con
algunos t(cid:19)(cid:16)picos ejemplos.
Paracerrarestaseccio(cid:19)nderelacio(cid:19)nconmatema(cid:19)ticosespan~olesrecordemos
tambi(cid:19)en su curso sobre Geometr(cid:19)(cid:16)a Integral en la Universidad Complutense de
Madrid en febrero de 1982.