Lectii de Analiz˘a Matematic˘a

205 Pages·2013·0.83 MB·Romanian

Lec¸tii de Analiz˘a Matematic˘a
Georgescu Constantin
2
Cuprins
Prefa¸t˘a 7
1 No¸tiuni preliminare 9
1.1 Elemente de logic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Mul¸timi ¸si func¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Mul¸timi indexate ¸si ¸siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Rela¸tii binare. Mul¸timi ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Monotonia func¸tiilor ¸si a ¸sirurilor . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Mul¸timea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Mul¸timea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Numere cardinale. Mul¸timi num˘arabile . . . . . . . . . . . . . 24
2 Structuri fundamentale ale analizei matematice 29
2.1 Spa¸tii topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Defini¸tii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Analiza topologic˘a a unei mul¸timi . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Convergen¸t˘a ¸si continuitateˆın spa¸tii topologice . . . . 32
2.2 Spa¸tii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Defini¸tii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Mul¸timi specifice spa¸tiilor metrice . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Convergen¸t˘a ¸si continuitateˆın spa¸tii metrice . . . . . . 36
2.2.4 Principiul contrac¸tiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Spa¸tii cu m˘asur˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Defini¸tii ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 M˘asura Lebesqueˆın Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 S¸iruri de numere reale 45
3.1 S¸iruri de numere reale; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Moduri de prezentare a unui ¸sir . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Clase de ¸siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 S¸iruri monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3
4 CUPRINS
3.3.2 S¸iruri m˘arginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 S¸iruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.4 S¸iruri fundamentale (Cauchy) de numere reale . . . . . 61
4 Serii numerice 63
4.1 No¸tiuni generale despre serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Opera¸tii cu serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Criterii de convergen¸t˘a pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1 Criterii de convergen¸t˘a pentru serii cu termeni oarecare 67
4.3.2 Criterii de convergen¸t˘a pentru serii cu termeni pozitivi 69
5 S¸iruri ¸si serii de func¸tii 79
5.1 S¸iruri de func¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 S¸ir de func¸tii; mul¸time de convergen¸t˘a . . . . . . . . . 79
5.1.2 Convergen¸ta simpl˘a; convergen¸ta uniform˘a . . . . . . . 79
5.1.3 Criterii de convergen¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.4 Transferul de m˘arginire, continuitate, derivabi-litate ¸si
integrabilitate de la un ¸sir de func¸tii la limita sa . . . . 84
5.2 Serii de func¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.1 Defini¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.2 Criterii de convergen¸t˘a uniform˘a pentru serii . . . . . . 86
5.2.3 Transferul de continuitate, derivabilitate ¸si integrabil-
itate pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.4 Cazuri particulare de serii de func¸tii . . . . . . . . . . 88
6 Func¸tii de mai multe variabile reale 97
6.1 Defini¸tii ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Limita ¸si continuitatea func¸tiilor de mai multe variabile . . . . 97
6.2.1 Convergen¸ta ¸sirurilorˆın Rn . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.2 Limita func¸tiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . 99
6.2.3 Continuitatea func¸tiilor de mai multe variabile . . . . . 103
6.3 Derivate par¸tiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4 Diferen¸tiabilitatea func¸tiilor de mai multe variabile . . . . . . 110
6.5 Interpretare economic˘a
a derivatelor par¸tiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.6 Derivatele ¸si diferen¸tialele func¸tiilor compuse . . . . . . . . . . 120
6.7 Formula lui Taylor pentru func¸tii de mai multe variabile . . . 126
6.8 Extremele func¸tiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . 129
6.8.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.8.2 Extreme cu leg˘aturi (condi¸tionate) . . . . . . . . . . . 137
CUPRINS 5
7 Extinderi ale integralei Reimann 143
7.1 Integrala Riemann - Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2 Integrale improprii (generalizate) . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2.1 Criterii de convergen¸t˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3.1 Defini¸tii ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3.2 Propriet˘a¸ti ale integralelor cu parametru . . . . . . . . 158
7.3.3 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . 163
7.4 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8 Calculul integralelor multiple 171
8.1 Calculul integralelor duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2 Calculul integralelor triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.3 Schimb˘ari de variabileˆın integrale multiple . . . . . . . . . . . 180
9 Teste de autoevaluare ¸si evaluare 183
9.1 Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.2 Test de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6 CUPRINS
Prefa¸t˘a
Abordarea ¸stiin¸tific˘a actual˘a a fenomenelor tehnice, economice ¸si ¸stii¸tifice
tot mai complexe, impune o preg˘atire matematic˘a superioar˘a ¸si riguroas˘a, a
celor chema¸ti s˘a se ocupe de analiza acestor fenomene.
Prezentulcurs,Lec¸tii de Analiz˘a Matematic˘a seadreseaz˘astuden¸tilor
din primul an de la facult˘a¸tile cu profil tehnic, economic¸si o pot utiliza cu fo-
los ¸si studen¸tii facult˘a¸tilor de matematic˘a. Cuprinde con¸tinutul matematic,
de baz˘a conform cu programa analitic˘a actual˘a.
ˆ
Ingeneralno¸tiunileprezentatesuntˆınso¸titedeexerci¸tiicompletrezolvate.
Se prezint˘a de asemenea un test de autoevaluare, constˆand din exerci¸tii com-
plet rezolvate ¸si un test de evaluare, care cuprinde exerci¸tii nerezolvate ce se
pot rezolva u¸sor de cel care a parcursˆıntreaga lucrare.
Autorul mul¸tume¸ste, ˆın mod deosebit, celor care ¸si-au adus contribu¸tia
lor cu gˆandul, cu vorba sau cu fapta, la apari¸tia acestei lucr˘ari.
Mul¸tumim de asemenea, celor care vin cu sugestii pentru ˆınbun˘at˘a¸tirea
acestei lucr˘ari.
Autorul
Pite¸sti octombrie 2006
7
8 CUPRINS
Capitolul 1
No¸tiuni preliminare
1.1 Elemente de logic˘a
1.1 Defini¸tie. Un enun¸t despre care se cunoa¸ste c˘a este adev˘arat sau fals,
ˆıns˘a nu ¸si una ¸si alta simultan, se nume¸ste propozi¸tie.
Vom nota propozi¸tiile cu p,q,r,... ¸si mul¸timea propozi¸tiilor cu P.
Pe mul¸timea P definim aplica¸tia v : P → {0,1},
{
1, dac˘a p este adev˘arat˘a;
v(p) = ,
0, dac˘a p este fals˘a.
numit˘a func¸tia valoare de adev˘ar. Tot pe mul¸timea propozi¸tiilor se de-
finescunelefunc¸tiispecialenumiteoperatori logici. Astfelavemoperatorii:
a)nega¸tie: k : P → P, ∀p ∈ P, kp (se cite¸ste non p sau nega¸tia lui p)
este o propozi¸tie adev˘arat˘a cˆand p este fals˘a ¸si fals˘a cˆand p este adev˘arat˘a.
b) disjunc¸tie: ∨ : P ×P → P (∨ se cite¸ste 00sau00)
c) conjunc¸tie: ∧ : P ×P → P (∧ se cite¸ste 00¸si00)
d) implica¸tie: →: P ×P → P (→ se cite¸ste 00implic˘a00)
e) echivalen¸t˘a: ↔: P ×P → P (↔ se cite¸ste 00echivalent00).
Cu ajutorul acestor operatori logici, din propozi¸tii simple p,q,... se pot
forma propozi¸tii compuse. De exemplu, dac˘a p,q,∈ P, form˘am propozi¸tia
kp (non p), p ∨ q (p sau q), p ∧ q (p ¸si q), p → q (p implic˘a q), p ↔ q (p
echivalent cu q. Valorile de adev˘ar ale acestor propozi¸tii sunt dateˆın tabelul
urm˘ator:
p q kp p∨q p∧q p → q p ↔ q p → q d≡ef kp∨q
1 1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1 1 1
9
10 Capitolul1. No¸tiunipreliminare
Propozi¸tia p → q se mai cite¸ste 00dac˘a p atunci q00, iar propozi¸tia p ↔ q
se mai cite¸ste 00 p dac˘a ¸si numai dac˘a q00.
Dac˘a propozi¸tia p → q este adev˘arat˘a, vom scrie p ⇒ q ¸si vom spune c˘a
p este o condi¸tie suficient˘a pentru q sau c˘a q este condi¸tie necesar˘a
pentru p. Altfel spus propozi¸tia care implic˘a se nume¸ste condi¸tie suficient˘a
pentru propozi¸tia implicat˘a, iar propozi¸tia implicat˘a se nume¸ste condi¸tie
necesar˘a. pentru propozi¸tia care implic˘a.
Dac˘a propozi¸tia p ↔ q este adev˘arat˘a, vom scrie p ⇔ q ¸si vom citi c˘a p
este condi¸tie necesar˘a ¸si suficient˘a pentru q ¸si invers.
Opropozi¸tiecompus˘a,careesteadev˘arat˘aoricarearfivaloariledeadev˘ar
ale propozi¸tiilor componente, se nume¸ste tautologie.
1.2 Propozi¸tie: Fie p,q ∈ P. Atunci avem tautologiile:
a) p ↔ p (legea reflexivit˘a¸tii);
b) p∨p; p∧p ↔ p (legea idempoten¸tei) - comutativitate;
c) p∨(kp) (principiul ter¸tiului exclus) - asociativitate;
d) kkp ↔ p (principiul dublei nega¸tii) - distributivitate;
}
k(p∨q) ↔ (kp)∧(kq)
e) (principiul dualit˘a¸tii) - Legile lui De Mor-
k(p∧q) ↔ (kp)∨(kq)
gan;
f) (p → q) ↔ (kp → kq) (legea contrapozi¸tiei,) de aceast˘a lege depind
demonstra¸tiile prin reducere la absurd (reductio ad absurdum).
1.3 Defini¸tie. O propozi¸tie care depinde de una sau mai multe variabile
se nume¸ste predicat (func¸tia propozi¸tional˘a). El se noteaz˘a p(x) (predicate
unare), p(x,y) (predicate binare), p(x,y,z) (ternare),...
Pe lˆang˘a operatori logici men¸tiona¸tiˆın matematic˘a mai intervin al¸ti oper-
atori dintre care cei mai importan¸ti sunt cuantificatorul univeral (notat
cu∀¸sisecite¸ste00oarecaresauoricare00)¸sicuantificatorul existen¸tial (no-
tat ∃ ¸si se cite¸ste 00exist˘a00). Cu ajutorul acestor doi cuantificatori, dintr-un
predicat unar p(x), putem forma propozi¸tii noi. De exemplu
(∀x) p(x),( se cite¸ste ,,oricare ar fi x, p(x)”);
(∃x) p(x),( se cite¸ste ,,exist˘a x, a.ˆı. p(x)”);
¸si tautologiile, care sunt tot propozi¸tii
(∀x)p(x) ⇒ ∃x)p(x);
k(∀x,p(x)) ⇒ (∃x),kp(x);
k(∃x,p(x)) ⇒ (∀x),kp(x).