Table Of ContentAndreas Jahr
Joachim Berger
Klausurentrainer
Technische Mechanik
Aufgaben und ausführliche Lösungen
zu Statik, Festigkeitslehre und Dynamik
4. Auflage
Klausurentrainer Technische Mechanik
(cid:2)
Andreas Jahr Joachim Berger
Klausurentrainer Technische
Mechanik
Aufgaben und ausführliche Lösungen zu
Statik, Festigkeitslehre und Dynamik
4., überarbeitete Auflage
AndreasJahr JoachimBerger
FB4Maschinenbau Mettmann,Deutschland
HochschuleDüsseldorf
Düsseldorf,Deutschland
ISBN978-3-658-14782-2 ISBN978-3-658-14783-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-14783-9
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Vorwort
AlsichvonmeinemLehrerundFreund,JoachimBerger,unddemVerlaggefragtwurde,
obichInteressehätte,dasBuchKlausurtrainerTechnischeMechanikindernächstenAuf-
lageweiterzuführen,empfandichdiesalsEhre,derichgernnachkommenwollte.Joachim
Berger fühlte sich, gezeichnet durch Krankheit, nicht mehr in der Lage, sein Lieblings-
werkweiterzuführen.EinigeDiskussionen undAbstimmungenkonnteich nochmitihm
vornehmen,bevorerimJuni2012verstarb.IchbleibeihminDankbarkeitundZuneigung
fürimmerverbunden.
HinweiseundTipps
Wie in den vorherigen Auflagen werden insbesondere in der Statik zeichnerische Lö-
sungenderKlausuraufgabenangegeben,aberdierechnerischenWegevorgezogen.Auch
wenndieZeichnerischenLösungenfürdasVerständnisunddieSchnelligkeithäufigVor-
teile aufweisen, so ist ihre Allgemeingültigkeit eingeschränkt. Heutige leistungsfähige
Computer-ProgrammehelfenrichtigaufgestellteGleichungensicherzulösen.
DaswesentlicheAugenmerkistdaheraufdierichtigenGleichungenundGleichungs-
systemezurichten.HierzuistinderRegeleineSkizzenotwendig,inderallebekannten
undunbekanntenGrößen,wieKräfte,Momente,GeschwindigkeitenundBeschleunigun-
geneingetragenwerdensollen.IhreRichtungenwerdenambestendurcheinevektorielle
Darstellungfestgelegt.
DieSkizzensindzurbesserenÜbersichtundPlatzeinteilungmeistnichtmaßstäblich,
sondern nur qualitativ und teilweise auch plakativ dargestellt, damit die wesentlichen
Merkmale möglichst deutlich erkennbar sind. Braucht man konkrete zeichnerische Er-
gebnisse,somusseineeigenemaßstäblicheZeichnungangefertigtwerden.
OhneSkizzeunddiedarinfestgelegtenRichtungenundVorzeichenisteineRechnung
wertlos, da die mechanischen Größen im Wesentlichen vorzeichen- sowie richtungsbe-
haftet oder wirkungsliniengebunden (Kräfte) sind. Besonders wichtig sind die Skizzen
der von der UmgebungfreigemachtenSysteme (Freikörperbild),diezum Aufstellen der
Gleichgewichtsbedingungen oder der Bewegungsgleichungenmit Hilfe von d’Alembert
notwendigsind.
V
VI Vorwort
EinezeichnerischeLösungkannauchzurKontrolleundzurVerbesserungderVorstel-
lungdienen.
DierechnerischeLösunghatweiterhindenwesentlichenVorteil,dasssiekoordinaten-
behafteteWerteliefert,diewiederumanweitereProgramme,wiez.B.FEM-Programme
übergebenwerdenkönnen.
In den Klausuren werden teilweise noch Aufgaben gestellt, deren rechnerische Auf-
lösung relativ aufwendig ist. Meist wird dann in einer Klausur nur die Aufstellung der
notwendigen Ansätze und Gleichungen für die Unbekannten ohne deren Ausrechnung
verlangt.
Aufschlussreichundanschaulichistes,amEndeeinerRechnungnochmalsalleEinzel-
teileeinesSystemsinFormeiner„Explosionsskizze“mitsämtlichenwirksamenKräften
undMomentenvonHandherauszuzeichnen.DannkannmandieFunktionderKonstrukti-
onbessererkennen,dieBeanspruchungderBauteileleichtererfassenunddieAnschauung
kannzurPlausibilitätsprüfung herangezogenwerden.DabeimussjedeseinzelneBauteil
fürsichimGleichgewichtsein.DurchdasnochmaligeÜberdenkenderProblematikmög-
lichstinBegleitungmitHandskizzenunddurchdenVergleichmitähnlichentechnischen
Erfahrungenwird dasingenieurmäßigeDenkengeschultundauchdasso wichtigeSkiz-
zierengeübt.
Wenn man mit vektoriellen Größen arbeitet, achte man darauf, strikt zu trennen zwi-
schendersymbolischenRechnung,beiderz.B.dieSummeallerVektorenmitpositiven
Vorzeichnen gleich Null ist (Kräfte und Momentein der Statik) oder gleich der Summe
derTrägheitsgrößen(MassemalBeschleunigung,MassenträgheitsmomentmalWinkelbe-
schleunigunginderDynamik).SobaldmandiekoordinatenbehaftetenWerte(Komponen-
ten) einsetzt, müssen diese mit den Vorzeichen versehen werden, die die Vektorkompo-
nenten im gewählten Koordinatensystem besitzen. Die vorzeichenbehafteten Ergebnisse
zeigendann,obdieunbekanntenVektorenindieskizzierteRichtungzeigenoderentge-
gengesetzt.Wennnichtandersangegeben,sollbeiebenenProblemeneinrechtshändiges,
kartesischesKoordinatensystemangenommenwerden,beidemdiepositivey-Achseho-
rizontalnachrechts,diepositivey-Achsevertikalnachobenundfolgerichtigdiez-Achse
nachvornezeigt,ausderPapierebenehinaus.
Die Zahlenrechnungen werden zur Vereinfachung meist (wenn keine Zweifel beste-
hen)ohneEinheitendurchgeführtundauf2StellennachdemKommabeschränkt.Sollen
Vergleichsrechnungen weitestgehend übereinstimmen, sind manchmal mehr Stellen zur
Vermeidungbzw. Reduzierungvon Rundungsfehlernnötig. Erst beim Endergebniswird
dieEinheitmitdemZahlenwertangegeben.Um denEinflussdereinzelnenGrößenbes-
ser zu erkennen und um aus den Endformeln Schlussfolgerungen für die Praxis ziehen
zu können,solldieRechnungmöglichstmitallgemeinen Zahlensymbolen(Buchstaben)
durchgeführtwerdenundkonkreteZahlenerstamSchlusseingesetztwerden.
GewichtskräftesindnurbeidenKörpernzuberücksichtigen,beideneneigenseinGe-
wicht angegeben ist. Alle anderen Körper sind als gewichtslos bzw. als vergleichsweise
vonvernachlässigbaremGewichtanzusehen.MitReibungs-bzw.Haftungskräfteninden
BerührungsflächenvonKörpernsollnurdanngerechnetwerden,wenndieentsprechenden
Vorwort VII
Koeffizienten angegeben sind. Andernfalls sollen die Flächen als glatt, d.h. reibungslos
angenommenwerden.
ZurVorbereitungaufeineKlausurrateich,früheinenZeitplanzuerstellen,nachdem
maningemischterReihenfolgeeigeneÜbungs-undKlausuraufgabensowiedieausdie-
semBuch,zunächstalleine,dannmitKommilitonenunddannwiederalleine,zuletztauf
Schnelligkeit,durcharbeitet.NutzenSieihreSprechstundenzuRückfragen,dannwerden
SieErfolghaben.
Die 4. Auflage wurde wieder um dreineue Aufgabenergänzt,zwei aus dem Bereich
FestigkeitslehreundeineausderDynamik.IchbedankemichfürdieAnregungenunddie
BetreuungdurchHerrnDipl.-Ing.ThomasZipsnerunddenVerlagSpringerVieweg.
Neuss,imSommer2016 AndreasJahr
Inhaltsverzeichnis
1 Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Freimachen,Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dreigelenkbogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Fachwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.5 HaftungundReibunganebenenFlächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.6 HaftungundReibungangekrümmtenFlächen(Seilreibung) . . . . . . . . 100
1.7 Schnittgrößen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.8 RäumlicheSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
1.9 VirtuelleArbeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.10 StabilitätvonGleichgewichtslagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.11 AufgabenzurSelbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2 Festigkeitslehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.1 SpannungundVerformungbeiLängsbeanspruchung,HookeschesGesetz 181
2.2 MohrscherSpannungskreis,SpannungeninfolgeInnendrucks . . . . . . . 195
2.3 SpannungundVerformungbeiBiegungundTorsion. . . . . . . . . . . . . 209
2.4 EinfachstatischunbestimmteBalkensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2.5 Flächenträgheitsmomente,SteinerscherSatz,schiefeBiegung . . . . . . . 291
2.6 SchubspannungendurchQuerkräftebeiderBiegung. . . . . . . . . . . . . 312
2.7 TorsiondünnwandigerProfile,BredtscheFormeln . . . . . . . . . . . . . . 320
2.8 KnickenvonStäben,Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
2.9 AufgabenzurSelbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
3.1 Kinematik,geradlinigeBewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
3.2 KrummlinigeBewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
3.3 EulerscherGeschwindigkeits-undBeschleunigungssatz . . . . . . . . . . 361
3.4 DynamischesGrundgesetz,Prinzipvond’Alembert . . . . . . . . . . . . . 369
3.5 PrinzipdervirtuellenArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
3.6 Arbeitssatz,Impuls-undDrallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
IX
X Inhaltsverzeichnis
3.7 Stoßvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
3.8 Relativbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
3.9 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
3.10 AufgabenzurSelbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Statik 1
1.1 Freimachen,Gleichgewichtsbedingungen
S1 Motorplatte
Ein elektrischer Getriebemotor 2 mit Hohlwelle wird auf eine Welle gesteckt, welche
in einer Platte 1 gelagert ist (Bild S 1). Auf die Welle und damit auf den Motor wirkt
das Reaktionsmoment M. Der Motor ist auf der Platte 1 mit der Wellenachse im Punkt
A drehbar gelagert und über die Momentenstütze im Lager B. Aufgrund des vertikalen
LanglochesinderMomentenstützekönneninBnurhorizontaleKräfteübertragenwerden.
Momentenstütze
B Motor 2 B
G G
A
r A
M
M
h Platte 1
a
y C c d D Welle y
(cid:2)
+
x z
Bild S 1
Gegeben
G D 150N; M D 80Nm; r D 80mm; h D 150mm; a D 70mm; c D 75mm;
d D175mm
©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 1
A.Jahr,J.Berger,KlausurentrainerTechnischeMechanik,DOI10.1007/978-3-658-14783-9_1
