Table Of ContentVorlesungsreihe aus dem Wintersemester 2011/12 und
dem Sommersemester 2012
Homologische Algebra
Prof.Dr. Helmut Zöschinger
geTEXt von Viktor Kleen
Inhaltsverzeichnis
I. Kategorien 2
II. Funktoren 10
III. Exaktheit 18
IV. Homologie 30
V. Auflösungen 37
VI. Abgeleitete Funktoren 46
VII. TorR(A,B) 56
n
VIII. Extn(A,B) 65
R
IX. M–reguläre Folgen 72
X. Der lokale Fall 78
I. Kategorien
Eine Kategorie ist ein 4-Tupel (Ob( ),Mor,K,I) mit folgenden Eigenschaften:
C C
Ob( ) ist eine Klasse von sogenannten Objekten A,B,C,....
• C
Mor ordnet jedem Paar (A,B) von Objekten eine Menge Mor(A,B) von sogenann-
•
ten Morphismen zu (statt α Mor(A,B) schreibt man auch α: A B), so dass
∈
aus Mor(A,B) Mor(C,D) = stets folgt A = C und B = D.
∩ 6 ∅
K ordnet jedem Tripel (A,B,C) von Objekten eine Abbildung
•
Mor(A,B) Mor(B,C) Mor(A,C),(α,β) βα
×
zu, so dass für alle α Mor(A,B), β Mor(B,C) und γ Mor(C,D) folgt, dass
∈ ∈ ∈
γ(βα) = (γβ)α (Assoziativität).
I ordnet jedem Objekt A ein Element 1 Mor(A,A) zu, mit α1 = α = 1 α für
A A B
• ∈
alle α: A B (Identität).
Ein α: A B heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus β: B A gibt
mit βα = 1 und αβ = 1 . In diesem Fall ist auch β ein Isomorphismus und β ist durch
A B
α eindeutig bestimmt und wird auch mit α−1 bezeichnet.
Ein α: A B heißt Monomorphismus, wenn aus αf = αg mit f,g: C A stets
folgt f = g.
Ein α: A B heißt Epimorphismus, wenn aus fα = gα mit f,g: B C stets
folgt f = g.
Beispiele.
(i) Man hat eine Kategorie Men aller Mengen, für die die Objekte die Klasse aller
Mengen, die Morphismen alle Abbildungen A B, K die Hintereinanderausfüh-
rung von Abbildungn undI die identischen Abbildungen sind. Hier sind Monomor-
phismen genau die injektiven Abbildungen, Epimorphismen genau die surjektiven
Abbildungen und Isomorphismen genau die bijektiven Abbildungen.
(ii) Man hat die Kategorie Top aller topologischen Räume und aller stetigen Abbil-
dungen. Hier sind die Monomorphismen genau die stetigen und injektiven Abbil-
dungen, aber nicht jede bijektive stetige Abbildung ist ein Isomorphismus. Ist X
eine Menge mit zwei Topologien T ( T , so ist α: (X,T ) (X,T ),x x
1 2 2 1
ein Epimorphismus und ein Monomorphismus, aber kein Isomorphismus.
(iii) SeiR einRing.EinR-LinksmodulisteinPaar(A,m),worinAeineabelscheGrup-
pe ist und m: R A A,(r,a) ra eine Abbildung mit folgenden Eigenschaf-
×
ten:r(a+b) = ra+rb,(r+s)a = ra+sa,r(sa) = (rs)aund1a = afüraller,s R
∈
und a,b A. Die Objekte der Kategorie R-Mod sind R-Linksmoduln, die Mor-
∈
phismen alle R-linearen Abbildungen α: A B, d.h. α(a +a ) = α(a )+α(a )
1 2 1 2
2
und α(ra) = rα(a) für alle r R und a ,a ,a A. Hier sind Monomorphismen
1 2
∈ ∈
genau die injektiven R-linearen Abbildungen, Epimorphismen genau die surjekti-
ven R-linearen Abbildungen und Isomorphismen genau die bijektiven R-linearen
Abbildungen.
(iv) Manhat dieKategorieRin allerRingeundRinghomomorphismen. Hiersindnicht
alle Epimorphismen surjektiv, denn zum Beispiel ist die Inklusion α: Z Q ein
Epimorphismus aber nicht surjektiv, denn für f,g: Q T mit fα = gα folgt
f(1/s)g(s) = f(1/s)f(s) = 1(0 = s Z),d.h.f(1/s) = f(1/s)g(s)g(1/s) = g(1/s)
6 ∈
für alle 0 = s Z. Also folgt f(r/s) = g(r/s) für alle r/s Q, also f = g.
6 ∈ ∈
Ein α: A B heißt zerfallender Monomorphismus, wenn es ein ρ: B A gibt
mit ρα = 1 . Dann ist α ein Monomorphismus und ρ heißt eine Retraktion (oder ein
A
Linksinverses) von α.
Entsprechend heißt α zerfallender Epimorphismus, wenn es ein σ: B A gibt mit
ασ = 1 . Dann ist α ein Epimorphismus und σ heißt ein Schnitt (oder Rechtsinverses)
B
von α.
Lemma 1. In R-Mod gilt:
α: A B ist genau dann ein zerfallender Monomorphismus, wenn α ein Mono-
• morphismus ist und im(α) ⊕ B.
⊂
α: A B ist genau dann ein zerfallender Epimorphismus, wenn α ein Epimor-
• phismus ist und ker(α) ⊕ A.
⊂
Beweis. Sei zuerst α: A B ein zerfallender Monomorphismus, d.h. ρα = 1 für ein
A
geeignetes ρ: B A. Dann ist im(α) ker(ρ) = B, denn es ist b = αρ(b)+(b αρ(b))
⊕ −
für alle b B und α(a) ker(ρ) impliziert 0 = ρα(a) = a.
∈ ∈
Ist umgekehrt im(α) Y = B, so ist die Abbildung ρ: B A,b a mit b =
α(a)+y wohldefiniert, d⊕enn ist b = α(a′)+y′, so ist α(a′) = α(a) und y′ = y, also a′ = a,
R-linear und ein Linksinverses von α.
Ein Objekt N einer Kategorie heißt Nullobjekt, wenn für alle Objekte A von gilt
C C
Mor(A,N) = 1 = Mor(N,A) . Für jedes Paar A,B ist dann 0A := A N B
| | | | B
ein ausgezeichnetes Element und es gilt 0Af = 0X für alle f: X A, entsprechend
B B
g0A = 0A für alle g: B C. Für ein zweites Nullobjekt N′ gilt automatisch N′ = N,
B C ∼
denn mit α: N N′ und β: N′ N folgt βα = 1N und αβ = 1N′, und man
erhält dieselben „Nullmorphismen“, denn mit 0′A = A N′ B erhält man ein
B
kommutatives Diagramm
3
N
A B
N′
d.h. 0A = 0′A.
B B
Beispiele. Die Kategorien Men, Top und Rin haben kein Nullobjekt, die Kategorie
R-Mod sehr wohl.
Sei (Ai)i∈I eine Familie von Objekten einer Kategorie . Ein Objekt A Ob( ) mit
C ∈ C
einer Familie (πi: A Ai)i∈I von Morphismen heißt Produkt der Ai, wenn es zu jeder
Familie (fi: X A)i∈I genau einen Morpismus f: X A gibt mit πif = fi für alle
i I:
∈
A
f
πi
X A
i
fi
A ist dann bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und man schreibt A = A : Ist A′
i∈I i
ein weiteres Produkt der A , π′: A′ A , so existieren kommutative Diagramme
i i i Q
A A
f g
πi πi
A′ A A′ A
π′ i π′ i
i i
für dadurch eindeutig bestimmte f und g, und π fg = π für alle i I liefert fg = 1 ,
i i A
∈
ebenso gilt gf = 1 .
A
Dualheißt(εi: Bi B)i∈I einKoprodukt,wenneszujederFamilie(gi: Bi Y)i∈I
genau einen Morphismus g: B Y gibt mit gε = g für alle i I. Die Eindeutigkeit
i i
∈
von B bis auf Isomorphie folgt wie oben und man schreibt B = B .
i∈I i
Satz 1. In der Kategorie R-Mod existieren Produkte und Kopro`dukte.
Beweis. Sei (Ai)i∈I eine Familie von R-Moduln. Definiert man A = (ai)i∈I: ai Ai
{ ∈ }
und (a )+(b ) = (a +b ), r(a ) = (ra ), so ist A ein R-Linksmodul und die Abbildungen
i i i i i i
πj: A Aj,(ai) aj sind R-linear. Dann ist (πi: A Ai)i∈I ein Produkt der Ai,
denn zu (fi: X Ai)i∈I ist f: X A,x (fi(x))i∈I R-linear sowie πif = fi für
4
alle i I, und bei einer zweiten Lösung, d.h. g: X A mit π g = f für alle i I,
i i
∈ ∈
folgt π g(x) = π f(x) für alle i I und x X, also g(x) = f(x) für alle x X.
i i
∈ ∈ ∈
FürdasKoproduktseiB = (a ) A: fast alle a = 0 .DannistB einR-Linksmodul,
i i
{ ∈ }
nämlich ein Untermodul von A, und mit den R-linearen Abbildungen εi(ai) = (δijai)i∈I
ist(εi: Ai B)i∈I einKoproduktderAi.Dennzu(gi: Ai Y)i∈I istdieAbbildung
g: B Y,(a ) g (a ) sinnvoll und R-linear sowie gε = g für alle i I. Ist
i i∈I i i i i
∈
h: B Y ein zweiter R-Homomorphismus mit hε = g für alle i I, folgt für alle
P i i ∈
(a ) B, dass
i
∈
h((a )) = h ε (a ) = hε (a ) = g (a ) = g((a )).
i i i i i i i i
(cid:16)Xi∈I (cid:17) Xi∈I Xi∈I
In der Kategorie R-Mod verstehen wir unter A immer den oben konstruierten
i∈I i
Modul A und unter A immer den Untermodul B A. Sind alle A = M, schreibt
i∈I i Q ⊂ i
man für A auch MI und für A auch M(I).
i∈I i ` i∈I i
Ein kommutatives Quadrat
Q `
f
D B
g β
A C
α
in einer Kategorie heißt Faserprodukt (pullback) von α und β, wenn es zu jedem
C
kommutativen Quadrat
f′
X B
g′ β
A C
α
genau ein δ: X D gibt mit fδ = f′ und gδ = g′. Wieder ist D bis auf Isomorphie
eindeutig bestimmt: Ist auch
f′
D′ B
g′ β
A C
α
ein Faserprodukt von α und β, so existiert δ: D′ D mit gδ = g′ und fδ = f′ und
δ′: D D′ mit g′δ′ = g und f′δ′ = f. Es folgt fδδ′ = f und gδδ′ = g, also wegen der
Eindeutigkeit δδ′ = 1D. Ebenso ist δ′δ = 1D′.
5
Lemma 2. Ist
f
D B
g β
A C
α
ein Faserprodukt in , so gilt:
C
(i) Ist α ein Monomorphismus, so auch f.
(ii) Genau dann ist β = αϕ für ein ϕ: B A, wenn f ein zerfallender Epimorphis-
mus ist.
(iii) Ist α ein Isomorphismus, so auch f.
Beweis.
(i) Sei fu = fv für gewisse u,v: X D. Dann ist in
X fu=fv
u
v f
D B
gu
g β
A C
α
alles kommutativ, aber auch gv = gu, denn in αgv = βfv = βfu = αgu kann man
α kürzen. Also ist v = u.
(ii) Sei zuerst β = αϕ mit ϕ: B A. Man hat
B 1B
δ
f
D B
ϕ
g β
ϕ
A C
α
Also existiert ein δ: B D mit gδ = ϕ und fδ = 1 . Umgekehrt folgt aus
B
fσ = 1 , dass β = βfσ = α(gσ).
B
(iii) f ist ein Monomorphismus nach 1 und fσ = 1 nach 2, da β = α(α−1β). Damit
B
folgt fσf = f, also σf = 1 .
D
6
Dual heißt ein kommutatives Quadrat
f
D B
g β
A C
α
Fasersumme, wenn es zu jedem kommutativen Quadrat
f
D B
g β′
A Y
α′
genau einen Morphismus γ: C Y gibt mit γα = α′ und γβ = β′. Wieder ist C bis
auf Isomorphie eindeutig bestimmt und in jeder Fasersumme gilt:
(i) Ist f ein Epimorphismus, so auch α.
(ii) Genau dann ist g = ϕf für ein ϕ: B A, wenn α ein zerfallender Monomorphis-
mus ist.
(iii) Ist f ein Isomorphismus, so auch α.
Satz 2. In der Kategorie R-Mod existieren Faserprodukte und Fasersummen.
Beweis. Zu
B
β
A C
α
definiert man P = (a,b) A B: α(a) = β(b) mit den Projektionen f: P B,
{ ∈ × }
g: P A. Dann ist P ein R-Modul, f und g R-linear sowie βf = αg. Zu
f′
X B
g′ β
A C
α
ist δ: X P,x (g′(x),f′(x)) sinnvoll, R-linear, sowie fδ = f′ und gδ = g′. Für
eine zweite Lösung δ : X P mit fδ = f′ und gδ = g′ folgt mit δ (x) = (a,b), dass
1 1 1 1
f′(x) = b und g′(x) = a, also δ = δ.
1
7
Zu
f
D B
g
A
definiert man S = A B/ (g(x), f(x)): x D , sowie β: B S,b (0,b) und
× { − ∈ }
α: A S,a (a,0). Dann ist S ein R-Modul, die α und β sind R-linear, sowie
αg = βf und
f
D B
g β
A S
α
ist eine Fasersumme.
Folgerung 1. Für ein kommutatives Quadrat
f
D B
g β
A C
α
in R-Mod betrachten wir folgende Eigenschaft:
( ) Zu α(a) = β(b) gebe es stets ein x D mit g(x) = a und f(x) = b.
∗ ∈
DannistdasQuadratgenaudanneinFaserprodukt,wenn( )giltundker(f) ker(g) = 0
∗ ∩
ist und genau dann eine Fasersumme, wenn ( ) gilt und im(α)+im(β) = C ist.
∗
Beweis. Sei P wie in Satz 2, d.h.
f′
P
δ
f
D B
g′ g β
A C
α
Genau dann ist das betrachtete Quadrat ein Faserprodukt, wenn δ ein Isomorphismus
ist; δ ist genau dann ein Monomorphismus, wenn für alle x D mit δ(x) = 0, d.h.
∈
8
f(x) = 0 = g(x), bereits x = 0 folgt, d.h. genau dann, wenn ker(f) ker(g) = 0 ist.
∩
Außerdem ist δ genau dann ein Epimorphismus, wenn für alle α(a) = β(b) stets ein
x D existiert mit δ(x) = (a,b), d.h. ( ) gilt.
∈ ∗
Folgerung 2. Ist A ein Untermodul von C, so ist
β−1(A) B
β
A C
ein Faserprodukt. Ist E ein Untermodul von D, so ist
D D/E
g
A A/g(E)
eine Fasersumme.
Folgerung 3. Ist
f
D B
g β
A C
α
ein Faserprodukt in R-Mod, so ist ker(f) = ker(α), Ist das Quadrat eine Fasersumme,
∼
so ist coker(f) = coker(α)
∼
Beweis. In
f
ker(f) D B
ω g β
ker(α) A C
α
ist ω ein Monomorphismus, aber auch ein Epimorphismus, denn a ker(α) impliziert
∈
α(a) = β(0), d.h. mit ( ) existiert ein x D mit g(x) = a und f(x) = 0.
∗ ∈
9
II. Funktoren
Seien und Kategorien. Ein Funktor F: ordnet jedem Objekt A von
C D C D C
ein Objekt F(A) in zu und jedem α Mor(A,B) ein F(α) Mor(F(A),F(B)), so
D ∈ ∈
dass gilt F(1 ) = 1 und F(βα) = F(β)F(α) für alle A Ob( ) und α: A B
A F(A)
∈ C
und β: B C. Speziell wird jeder zerfallende Monomorphismus (zerfallende Epimor-
phismus, Isomorphismus) α in zu einem zerfallenden Monomorphismus (zerfallenden
C
Epimorphismus, Isomorphismus) F(α) in .
D
Beispiele.
(i) Jedes Objekt X in liefert einen Funktor F = Mor(X, ): Men durch
C − C
F(A) = Mor(X,A) und F(α): Mor(X,A) Mor(X,B),f αf.
(ii) SeiGeineGruppeundG′ dievonallenElementenxyx−1y−1 erzeugteUntergruppe.
Sie ist sogar ein Normalteiler von G, und zwar der kleinste Normalteiler N, so
dass G/N abelsch ist. G/G′ heißt auch die Abelianisierung von G. Ist A eine
abelsche Gruppe, so gibt es zu jedem Homomorphismus ϕ: G A genau einen
Homomorphismus ϕ: G/G′ A mit ϕν = ϕ, d.h.
b G νb G/G′
ϕ
ϕ
A
b
Damit erhält man den Funktor F: Grp Ab durch F(G) = G/G′ und
G G/G′
α F(α)
H H/H′
(iii) Sei R ein Ring und I eine Menge. Der R-Linksmodul R(I) hat die ej = (δij)i∈I,
j I, als Basis und heißt der freie R-Linksmodul über der Menge I. Ist A
∈
ein R-Linksmodul, so gibt es zu jeder Abbildung ϕ: I A genau einen R-
Homomorphismus ϕ: R(I) A mit ϕ(e ) = ϕ(j) für alle j I, d.h.
j
∈
b b ϕ
R(I) A
ι b
ϕ
I
10
