Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Wolfgang Walter
Gewohnliche
Differential
gleichungen
Eine Einfiihrung
Fiinfte, iiberarbeitete
und erweiterte Auflage
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Budapest
Prof. Dr. Wolfgang Walter
Mathematisches Institut 1
UniversiUit Karlsruhe
Kaiserstral3e 12
D-76 131 Karlsruhe
Mathematics Subject Classification (1991): 34-01
Bis zur 3. Auflage (1986) erschien das Werk in der Reihe
Heidelberger Taschenbucher als Band 110
ISBN-13: 978-3-540-56294-8 e-ISBN-13: 978-3-642-97467-0
DOl: 1O.l007/978-3-642-97467-0
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Walter. Wolfgang: Gewiihnliche Differentialgleichungen: eine Einfiihrung/Wolfgang
Walter. - 5. Aufl. - Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; Hong Kong;
Barcelona; Budapest: Springer. 1993
(Springer-Lehrbuch)
ISBN-13: 978-3-540-56294-8
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, ins
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dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen
der gesetzlichen Bestimmungen des U rheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutsch
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siitzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen
des Urheberrechtsgesetzes.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1972, 1976, 1986, 1990, 1993
Umschlagentwurf: W. Eisenschink, Heddesheim
Satz: Briihlsche Universitiitsdruckerei, GieBen
44/3140-543210 Gedruckt auf siiurefreiem Papier
Fur
Wolfgang, Susanne und Katrin
Vorwort zur fUnften Auflage
Das vorliegende Buch ist inzwischen 20 Jahre alt geworden.
In dieser Zeit haben sich die Schwerpunkte deutlich verschoben.
Die klassische Existenz-, Eindeutigkeits- und Abhangigkeitstheo
rie bildet auch heute noch das unentbehrliche Fundament. Die
groBen neuen Themen haben mit dem qualitativen Verhalten der
Losungen zu tun. Eine (autonome) Differentialgleichung wird als
ein dynamisches System betrachtet, dessen Dynamik zu erforschen
ist. Es handelt sich also darum, eine Ubersicht tiber das globale
Verhalten ihrer Losungen zu gewinnen. In dieser Richtung wurde
das Buch vor allem erweitert.
Einige neu hinzugekommene Themen seien aufgeziihlt. Bei den
ebenen autonomen Systemen werden Beispiele aus der mathemati
schen Biologie und ausfdhrlicher aus dem Gebiet der nichtlinearen
Schwingungen betrachtet. In zahlreichen Phasenbildem wird die
Dynamik dieser Systeme sichtbar gemacht. Die verallgemeinerte
logistische Differentialgleichung wird behandelt, und auf singuliire
Differentialgleichungen, wie sie bei rotationssymmetrischen Losun
gen elliptischer Differentialgleichungen auftreten, wird eingegan
gen. Die Floquet-Theorie periodischer Differentialgleichungen ist
ebenfalls dargestellt. SchlieBlich wird die Stabilitatstheorie durch
einen neuen Paragraphen tiber die Methode von Lyapunov wesent
lich erweitert.
In einem Anhang werden einige Begriffe und Satze, welche im
Text Verwendung finden, naher betrachtet. 1m topologischen Teil A
findet man u.a. einen Beweis des Jordanschen Kurvensatzes unter
einschrankenden Voraussetzungen und Satze tiber Niveaulinien
sowie tiber periodische LOsungen ebener autonomer Systeme. 1m
Teil B werden die Moglichkeiten und Grenzen der Umnormierung
untersucht, durch die der Banachsche Fixpunktsatz erst seine volle
Kraft entfalten kann. Teil C enthiilt u.a. einen Beweis des Brouwer
schen Fixpunktsatzes, der die Grundlage fdr den Schauderschen
Fixpunktsatz im Teil B bildet. SchlieBlich werden im Teil D jene
Satze aus der komplexen Analysis bereitgestellt, welche bei den
Banachraumen von holomorphen Funktionen Verwendung finden.
Es bleibt mir die angenehme Pflicht, jenen zu danken, die an
dieser Neuauftage mitgearbeitet haben. Herr Dipl.-Math. techno
VIII Vorwort
V. Weckesser hat Korrekturen gelesen, das Namen- und Sachver
zeichnis erstellt sowie an vielen anderen Stellen mit groBer Um
sicht mitgewirkt. Die neu hinzugekommenen Abbildungen sind
von Herro cando math. G. Hoever programmiert worden. Frau
I.lendrasik hat die oft schwierigen Schreibarbeiten mit groBer
Sachkenntnis und ZuverHissigkeit in hl'EX erledigt. Der Verlag ist
bereitwillig auf die Wiinsche des Autors eingegangen. Ihnen allen
gilt mein aufrichtiger Dank.
Karlsruhe, am lahresende 1992 Wolfgang Walter
Vo rwort zur vierten Auflage
Die Anderungen gegeniiber der dritten Auflage betreffen vor
allem das Kontraktionsprinzip. Dabei wurden Ideen benutzt,
welehe der Autor vor Hingerer Zeit in zwei kleinen Arbeiten (1976)
ausgefiihrt hat. Der Satz 13.VI iiber die Differenzierbarkeit nach
reellen Parametern basiert jetzt auf dem Satz von Ostrowski (1967)
iiber approximative Iteration (in verallgemeinerter Fassung). Am
SchluB des Buehes wurde ein neuer Abschnitt Losungen und
Losungshinweise zu ausgewiihlten Aufgaben eingefiigt.
Daneben gibt es kleine Verbesserungen und Druckfehlerkorrek
turen an vielen Stellen. Dabei haben wertvolle Hinweise aus dem
Leserkreis ihren Niederschlag gefunden. Mein besonderer Dank gilt
allen, die auf solche Weise zur Verbesserung des Buches beigetragen
haben, insbesondere meinem Karlsruher Kollegen, Herrn von
Renteln.
Karlsruhe, im Oktober 1989 Wolfgang Walter
Vorwort zur dritten Auflage
In der dritten Auflage wurden wieder eine Reihe von Druckfeh
lem ausgemerzt und an einigen Stellen Unklarheiten im Text
verbessert. Hier habe ich den aufmerksamen Lesem zu danken,
welche mich auf entsprechende Miingel hingewiesen haben. GroBe
re Anderungen wurden im § 28 vorgenommen. Durch die Einmh
rung eines Skalarprodukts mit Gewichtsfunktion konnte die Dar
steHung vereinfacht werden.
Karlsruhe, im Oktober 1985 Wolfgang Walter
Vorwort zur zweiten Auflage
Nachdem das Werk bei Kritik und Publikum eine giinstige
Aufnahme gefunden hat, ist mir der EntschluB, bei der zweiten
Auflage auf groBere Anderungen zu verzichten, nieht schwergefallen.
Eine Reihe von aufmerksamen Lesem hat mich auf Druckfehler
x Vorwort
und kleinere Ungenauigkeiten hingewiesen, die in der neuen Auflage
verbessert wurden. Beim Satz tiber die Differenzierbarkeit nach
Parametern (13.VI.) - einer wohlbekannten crux - wurde der
Beweis vereinfacht.
Karlsruhe, im Januar 1976 Wolfgang Walter
V orwort zur ersten Auflage
Dieses Buch entstand aus einflihrenden Vorlesungen tiber gewohn
liche Differentialgleichungen, die yom Verfasser seit vielen Jahren
flir Studenten der Mathematik und Physik, neuerdings auch der
Informatik, an der UniversitiH Karlsruhe gehalten werden. Dem
entsprechend nehmen Beispiele und elementare Integrationsmethoden
einen verhaltnismaBig breiten Raum ein. Inhaltlich geht das Buch
jedoch an vielen Stellen tiber das hinaus, was tiblicherweise als Gegen
stand einer einflihrenden Vorlesung angesehen wird. Die unentbehr
lichen Grundlagen der Theorie sind in den ersten drei Kapiteln dar
gestellt. Bei einer ersten Lekttire konnen die als "Erganzung" gekenn
zeichneten Abschnitte sowie der § 13 tibergangen werden. Es werden
Vorkenntnisse tiber Analysis und Lineare Algebra vorausgesetzt, wie
sie im ersten Jahr des Mathematikstudiums erworben werden. Die
Integrationstheorie von Lebesgue wird in diesem Buch nicht benutzt,
wenn wir von der Erganzung zu § 10 (Differentialgleichungen im
Sinne von Caratheodory) und yom Entwicklungssatz 28.XII beim
Eigenwertproblem absehen.
Da wir an mehreren wichtigen Stellen bewahrte Beweismethoden
aufgeben, sind ein paar prinzipielle Bemerkungen wohl angebracht.
Methodisch steht, wenn wir von den Randwertaufgaben im letzten
Kapitel absehen, das Kontraktionsprinzip, also der Fixpunktsatz flir
kontrahierende Abbildungen im Banach-Raum, im Zentrum. Dieser
Satz hat aile Eigenschaften, die ihn zu einem fundamentalen Prinzip
der Analysis machen: es ist elementar, vielseitig anwendbar und
weitreichend. Seine Flexibilitat im Zusammenhang mit unserem
Gegenstand erweist sich vor allem bei der Verwendung geeigneter
bewichteter Maximum-Normen. Ein erstes Beispiel daflir findet sich
in der Arbeit von Morgenstern (1952); die in der Literatur vielfach
gefundenen Hinweise auf spatere Autoren sind historisch nicht ge
rechtfertigt. Neu dtirfte wohl die Verwendung einer solchen Norm
beim Beweis des Existenzsatzes flir lineare Systeme im Komplexen
in § 21 sein. Dadurch werden erstens kompliziertere Sachverhalte aus
der Funktionentheorie umgangen (analytische Fortsetzung und
Vorwort XI
Monodromiesatz werden entbehrlich). Zweitens ergeben sich, sozu
sagen nebenbe~ die fUr die Behandlung der singularen Stellen wich
tigen Wachstumseigenschaften der Losungen. DaB sich die Satze
iiber die stetige Abhangigkeit von Anfangswerten und Parametern
und iiber die Holomorphie beziiglich komplexer Parameter sofort
aus dem Fixpunktsatz ableiten lassen, ist noch wenig bekannt. Bei
der Differenzierbarkeit nach reellen Parametem wird eine Er
weiterung des Fixpunktsatzes benotigt (§ 13).
Bei der Behandlung der linearen Systeme mit schwach singularen
Stellen werden die entscheidenden Konvergenzbeweise ebenfalls
durch ZuriickfUhrung auf das Kontraktionsprinzip in einem ge
eigneten Banach-Raum gefUhrt. Diese neue Beweismethode wurde
fUr den Fall holomorpher Losungen, also bei Potenzreihenentwick
lungen, von Harris, Sibuya und Weinberg (1969) entdeckt. Jedoch
kann auch der logarithmische Fall auf diese Weise behandelt werden.
Wenn wir diesen Weg anstelle der klassischen Majorantenmethode
gewahlt haben, so nicht nur, um ein Prinzip unter allen Umstanden
durchzuhalten. Vielmehr erscheint uns der neue Weg kiirzer und ein
facher, zumal auf diesem auch schwierigere Sachverhalte, welche
iiber den Rahmen dieses Buches hinausgehen (Satze von Lettenmeyer
u. a.), bewaltigt werden konnen, wie in der zitierten Originalarbeit
auseinandergesetzt wird.
Bei der Fertigstellung des Buches wurde der Autor von einer
Reihe von Mitarbeitern unterstiitzt. Das Manuskript schrieb Frau
S. HotTmann, die Abbildungen wurden von Frau B. Deimling ge
zeichnet, an den Korrekturarbeiten waren die Herren J. Dietrich,
G. Lamott, R. und U. Lemmert, Dr. A. Voigt und Dr. P. Volkmann
beteiligt. Ihnen allen sei fUr ihre oft miihevolle Arbeit herzlich
gedankt. Mit dem Springer-Verlag und insbesondere mit Herrn
Dr. Peters verbindet den Autor eine langjahrige freundschaftliche Zu
sammenarbeit. Sie hat sich auch bei diesem Buch in allen Phasen
seiner Entstehung bewahrt.
Karlsruhe, im August 1972 Wolfgang Walter
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
I. Gewiihnliche Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 1 Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung.
Elementar integrierbare Fiille 7
§ 2 Die Iineare Differentialgleichung.
Verwandte Differentialgleichungen 24
§ 3 Differentialgleichungen fUr Kurvenscharen.
Exakte Differentialgleichungen 33
§4 Implizite Differentialgleichungen erster Ordnung 42
§ 5 Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis 48
§6 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz . 56
§ 7 Der Existenzsatz von Peano 67
§ 8 Differentialgleichungen im Komplexen.
Potenzreihenentwicklung 76
§9 Ober- und Unterfunktionen.
Maximal- und Minimalintegrale 82
Erganzung: Separatrizen 90
II. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung
und Differentialgleichungen hiiherer Ordnung
§ 10 Das Anfangswertproblem fUr ein System
erster Ordnung 95
Ergiinzung: Differentialgleichungen im Sinne
von Caratheodory . 101
§11 Das Anfangswertproblem fUr Differentialgleichun-
gen n-ter Ordnung. Elementar-integrierbare Typen 103
§ 12 Stetige Abhangigkeit der Losungen 117
Erganzung. Allgemeinere Eindeutigkeits- und
Abhangigkeitssatze 121
§13 Abhangigkeit von Anfangswerten und Parametern 123
