Geometria Analítica e Vetorial

452 Pages·2015·7.11 MB·Portuguese

Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici
Geometria Analítica e Vetorial
Geometria Analítica e Vetorial
Versão para Telas Pequenas.
UFABC - Universidade Federal do ABC
Santo André
http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplina/ga/
Versão 9
Versão compilada em: 17 de setembro de 2015
Escrito em LATEX.
Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici
SUMÁRIO
r
a
n
Símbolos e notações gerais 1
i
Agradecimentos 3 m
Símbolos e notações gerais 1
i
l
Agradecimentos 3
e
1 Estrutura Vetorial do Plano erdo Espaço 1
1.1 Definições ElementarPes 1
1.1.1 Operações com Vetores 9
1.2 Dependência e Independência Linear de Vetores 32
o
1.2.1 Caracterização Geométrica de Dependência e Independência
ã
1.3 Bases 58
1.4 Somsa de Ponto com Vetor 66
1.5 Exercícios Complementares 73
r
e
2 Vetores em Coordenadas 77
V
2.1 Sistemas de Coordenadas 79
2.1.1 Operações Vetoriais em Coordenadas 86
2.2 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 98
2.3 Produto Escalar: Ângulo entre dois Vetores 103
2.3.1 Projeção Ortogonal 111
i
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2.4 Produto Vetorial: Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados 116
2.4.1 Área de um Paralelogramo e de um Triângulo 120
2.4.2 Volume de um Paralelepípedo 121
r
2.5 Escolha do Sistema de Coordenadas 127
a
2.6 O Problema do Lugar Geométrico 133
2.6.1 O lugar geométrico de uma equação 1n34
2.7 Coordenadas Polares 141
i
2.7.1 Relação entre Coordenadas Cartesianas e Polares 143
m
3 Retas e Planos 149
3.1 Equações da Reta 149 i
l
3.1.1 Equações da reta no plano 157
e
3.2 Equações do Plano 167
r
3.2.1 Equações Paramétricas e Vetoriais do Plano 167
P
3.2.2 Equação Geral de um Plano 169
4 Posições Relativas 177
o
4.1 Posição Relativas entre Retas 177
ã
4.1.1 Posição Relativas entre Retas no Plano 177
4.1s.2 Posição Relativas entre Retas no Espaço 181
4.2 rPosição relativas entre retas e planos 187
4e.3 Posição relativas entre planos 192
V
5 Ângulos e Distância 199
5.1 Ângulos 199
5.1.1 Ângulo entre duas Retas 199
5.1.2 Ângulo entre uma Reta e um Plano 208
5.1.3 Ângulo entre dois Planos 209
ii
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5.2 Distâncias 212
5.2.1 Distância de um ponto a uma reta 212
5.2.2 Distância de um ponto a um plano 217
r
5.2.3 Distância entre Duas Retas 219
a
5.3 Retas em Coordenadas Polares 223
n
6 Círculos e Esferas 231
6.1 Equações Canônicas de Círculos e Esferas i231
m
6.1.1 Círculo por três pontos 235
6.2 Retas Tangentes e Planos Tangentes 241
6.3 Circunferência em coordenadas piolares 249
l
e
7 Cônicas 253
7.1 Introdução 253 r
7.2 Elipse 255 P
7.2.1 Terminologia 255
7.2.2 Equação da Elipse 257
o
7.2.3 Esboço da Elipse 262
ã
7.2.4 Exemplos 264
7.3 Hipésrbole 266
7r.3.1 Terminologia 267
e7.3.2 Equação da Hipérbole 268
7.3.3 Assíntotas 269
V
7.3.4 Esboço da Hipérbole 271
7.3.5 Exemplos 273
7.4 Parábola 277
7.4.1 Terminologia 277
iii
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7.4.2 Equação da Parábola 278
7.4.3 Esboço da Parábola 284
7.4.4 Exemplos 285
7.5 ⋆ Excentricidade 288 r
7.6 ⋆ Construções de Dandelin 294 a
7.7 ⋆ Cônicas em Coordenadas Polares 299 n
7.8 ⋆ Cônicas e a Trajetória dos Planetas 301
i
m
8 Curvas 309
8.1 Parametrização de Curvas 309
8.2 Curvas em Coordenadas Polaresi318
l
8.3 Coordenadas Esféricas e Cilindrícas 322
e
8.4 Comprimento de uma Curva 329
r
8.5 Regiões planas limitadas por curvas 333
P
9 Mudança de Coordenadas Ortogonais no Plano 343
9.1 Translação 344
o
9.2 Eliminação dos termos lineares de uma equação quadrática 345
ã
9.3 Rotação 349
9.4 Eqsuações Geral do Segundo Grau no Plano 356
r9.4.1 Caso 4AB C2 = 0 359
− 6
e9.4.2 Caso 4AB C2 = 0 360
−
9.5 Um pouco de Álgebra Linear 362
V
Apêndice 369
A Notação de Somatório 371
iv
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B Funções Trigonométricas 375
B.1 Identidades Trigonométricas 376
B.2 Gráficos das Funções Trigonométricas 378
r
B.2.1 Gráfico das Funções Seno e Cosseno 378
a
B.2.2 Gráfico das funções tangente e secante 380
B.2.3 Gráfico das funções funções cotangente encossecante 382
B.3 Funções trigonométricas inversas 383
i
B.3.1 Função arco seno 384
m
B.3.2 Função arco cosseno 384
B.3.3 Função arco tangente 385
i
B.3.4 Função arco cotangente 386
l
B.3.5 Função arco secante e386
B.3.6 Função arco cossecante 387
r
P
C Matrizes e Sistemas Lineares. 389
C.1 Matrizes 389
C.1.1 Operaoções com Matrizes 390
C.2 Determinantes 391
ã
C.2.1 Matriz Inversa 395
s
C.3 Teorema de Cramer 397
r
C.4 Método de Eliminação de Gauss 400
e
D VWolfram Alpha e Mathematica 411
D.1 Plotagem 411
D.1.1 No Plano 412
D.1.2 No Espaço 418
D.2 Cálculo e Álgebra Linear 420
v
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Respostas de Alguns Exercícios 425
Referências Bibliográficas 433
r
a
Índice Remissivo n 435
i
m
i
l
e
r
P
o
ã
s
r
e
V
vi
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SÍMBOLOS E NOTAÇÕES
r
GERAIS a
n
: existe
∃
: qualquer que seja ou para todo(s) i
∀ m
: implica
⇒
: se, e somente se
⇔
∴ : portanto i
l
:= : definição (o termo à esquerda de := é definido pelo termo
e
ou expressão à direita)
r
i.e. : id est (em português, isto é)
P
(cid:3) : indica o final de uma demonstração
←A→B : reta passando pelos pontos A e B
o
AB : segmento de reta ligando os pontos A e B
AB : segmento orientado de reta ligando os pontos A e B
ã
−A→B : vetor determinado pelos pontos A e B
s
v : vetor v
r
AB : comprimento do segmento AB
k ek
v : comprimento do vetor v
k k
V
−A→B : comprimento do vetor −A→B
k k
A : determinante da matriz A
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r
a
n
i
m
i
l
e
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P
o
ã
s
r
e
V
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AGRADECIMENTOS
r
a
n
Gostaríamos de agradecer à profa. Mariana Rodrigues da Silveira e
ao prof. Alexei Magalhães Venezianipelas inúmerasisugestões e cor-
m
reções. Também gostaríamos de agradecer aos alunos André Peric
Tavares e Rafael Romano pelas correções.
i
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r
P
o
ã
s
r
e
V