Funktionentheorie in der Ebene und im Raum (Grundstudium Mathematik)

410 Pages·2006·3.03 MB·German

by  Klaus Gurlebeck

Klaus Gürlebeck
Klaus Habetha
Wolfgang Sprößig
Funktionentheorie
in der Ebene
und im Raum
Birkhäuser Verlag
Basel Boston Berlin
• •
Autoren:
Klaus Gürlebeck Klaus Habetha
Institut für Angewandte Mathematik Lehrstuhl II für Mathematik
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Wolfgang Sprößig
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Das Titelbild veranschaulicht den Betrag der im Abschnitt 11.2.5 definierten quaternionenwertigen
Exponentialfunktion in der x -x -Ebene.
1 2
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9 8 7 6 5 4 3 2 1 www.birkhauser.ch
Inhaltsverzeichnis
Vorwort xi
I Zahlen 1
1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Entdeckungsgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Darstellungen und geometrische Aspekte . . . . . . . . . . . 10
1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Entdeckungsgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Abbildungen und Darstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Basismorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Drehungen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Drehungen des R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Vektoren und geometrische Aspekte . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Bilineare Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Multilineare Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Visualisierungen der Sphäre S3 . . . . . . . . . . . 47
2.5.2 Elemente der sphärischen Trigonometrie. . . . . . 49
2.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Clifford-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1 Entdeckungsgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 Definition der Clifford-Algebra . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Strukturen und Automorphismen . . . . . . . . . 57
3.2.3 Absoluter Betrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Spin-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.2 Konstruktion von Drehungen des Rn . . . . . . . . 65
vi Inhaltsverzeichnis
3.3.3 Drehungen des Rn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II Funktionen 75
4 Topologische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1 Topologie und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Riemannsche Sphären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1 Komplexer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.2 Höhere Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1 Differenzierbarkeit in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Differenzierbarkeit in H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Mejlikhzhons Resultat . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2 H-Holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.3 Holomorphie und Differentialformen . . . . . . . . 104
5.3 Differenzierbarkeit in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Potenzen und Möbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1 Potenzfunktionen in C. . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.2 Potenzfunktionen in höheren Dimensionen . . . . 112
6.2 Möbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.1 Möbiustransformationenin C . . . . . . . . . . . . 117
6.2.2 Möbiustransformationenin höheren Dimensionen. 121
6.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
III IntegrationundIntegralsätze 129
7 Integralsätze und Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1 Cauchyscher Integralsatz und dessen Umkehrung . . . . . . 130
7.2 Formeln von Borel–Pompeiu und Cauchy . . . . . . . . . . 133
7.2.1 Formel von Borel–Pompeiu . . . . . . . . . . . . . 133
7.2.2 Formel von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2.3 Formeln von Plemelj–Sokhotzki . . . . . . . . . . 137
7.2.4 ZurGeschichtederFormelnvonCauchyundBorel–
Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.3 Folgerungen aus der Integralformelvon Cauchy . . . . . . . 145
7.3.1 Höhere Ableitungen holomorpher Funktionen . . . 145
7.3.2 Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip. . . . 149
7.3.3 Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.4 Integralformeln von Schwarz und Poisson . . . . . 152
7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Inhaltsverzeichnis vii
8 Teodorescu-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.1 Eigenschaften der Teodorescu-Transformation . . . . . . . . 156
8.2 Hodge-Zerlegung des quaternionalen Hilbertraums . . . . . 162
8.2.1 Hodge-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.2.2 Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
IV ReihenentwicklungenundlokalesVerhalten 167
9 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.1 Konvergenzsätzevom Weierstraß-Typ,Potenzreihen . . . . 168
9.1.1 Konvergenzsätzevon Weierstraß . . . . . . . . . . 168
9.1.2 Potenzreihen in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.1.3 Potenzreihen in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.2 Taylor- und Laurentreihen in C . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2.1 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2.2 Laurentreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.3 Taylor- und Laurentreihen in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . . . . 181
9.3.1 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.3.2 Laurentreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10 Orthogonalentwicklungenin H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.1 Vollständige H-holomorphe Funktionensysteme . . . . . . . 193
10.1.1 Polynomiale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.1.2 Innere und äußere sphärische Funktionen . . . . . 198
10.1.3 Harmonische Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . 202
10.1.4 H-holomorphe Kugelfunktionen. . . . . . . . . . . 204
10.1.5 Vollständigkeit in L2(B )∩ker∂ . . . . . . . . . . 209
3
10.2 Fourierentwicklung in H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.3.1 Ableitungen H-holomorpher Polynome. . . . . . . 211
10.3.2 Stammfunktionen H-holomorpher Funktionen. . . 215
10.3.3 Dekompositionssatz und Taylorentwicklung . . . . 221
10.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11 Elementare Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.1 Elementare Funktionen in C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.1.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.1.2 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . 227
11.1.3 Hyperbolische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . 230
11.1.4 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2 Elementare Funktionen in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.2.1 Polare Zerlegung des Cauchy–Riemann-Operators 233
11.2.2 Elementare radiale Funktionen . . . . . . . . . . . 237
11.2.3 Fueter–Sce Konstruktion holomorpher Funktionen 243
11.2.4 Cauchy–Kowalewski-Fortsetzung . . . . . . . . . . 248
viii Inhaltsverzeichnis
11.2.5 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12 Lokale Struktur holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 262
12.1 Nullstellenverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.1.1 Nullstellen in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.1.2 Nullstellen in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.2 Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen . . . . . . 269
12.2.1 Isolierte Singularitäten in C. . . . . . . . . . . . . 269
12.2.2 Isolierte Singularitäten in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . 275
12.3 Residuensatz und Argumentprinzip . . . . . . . . . . . . . . 278
12.3.1 Residuensatz in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.3.2 Argumentprinzip in C . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12.3.3 Residuensatz in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 285
12.3.4 Argumentprinzip in C(cid:1)(n) . . . . . . . . . . . . . 287
12.4 Berechnung reeller Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
12.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13 Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.1 Eulersche Gammafunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.1.1 Definition und Funktionalgleichungen . . . . . . . 298
13.1.2 Stirlingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13.2 Riemannsche Zetafunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.2.1 Dirichletreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.2.2 Riemannsche Zetafunktion . . . . . . . . . . . . . 310
13.3 Automorphe Formen und Funktionen . . . . . . . . . . . . 313
13.3.1 Automorphe Funktionen und Formen in C . . . . 313
13.3.2 Automorphe Funktionen und Formen in C(cid:1)(n) . . 320
13.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Anhang 337
A.1 Differentialformen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
A.1.1 Alternierende Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
A.1.2 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.1.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
A.2 Integration und Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A.2.1 Integralbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A.2.1.1 Integration im Rn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A.2.1.2 Koordinatenwechselin Differentialformen . . . . . 352
A.2.1.3 Mannigfaltigkeiten und Integration. . . . . . . . . 354
A.2.2 Sätze von Stokes, Gauß und Green . . . . . . . . . . . . . . 365
A.2.2.1 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
A.2.2.2 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
A.2.2.3 Satz von Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
A.2.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Inhaltsverzeichnis ix
A.3 Einige Funktionenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
A.3.1 Räume hölderstetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 371
A.3.2 Räume differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . 372
A.3.3 Räume integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 373
A.3.4 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
A.3.5 Hardy-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
A.3.6 Sobolev-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
A.4 Eigenschaften holomorpher Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . 377
A.4.1 Eigenschaften der Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . 377
A.4.2 Norm der holomorphen Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . 378
A.4.3 Skalarprodukte holomorpher Kugelfunktionen . . . . . . . . 382
A.4.4 Vollständige Orthonormalsysteme in H+ . . . . . . . . . . 384
n,H
A.4.5 Ableitungen holomorpher Kugelfunktionen . . . . . . . . . 388
A.4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Literaturverzeichnis 391
Index 399
Vorwort
Die Funktionentheorie, im englischen Sprachraum auch Komplexe Analysis ge-
nannt,hatinihrermehrals200jährigenGeschichteeineVielzahltiefliegenderund
ästhetischer Ergebnisse hervorgebracht. Im klassischen Verständnis ist die Funk-
tionentheorie die Theorie komplex differenzierbarer Funktionen einer komplexen
VeränderlichenoderauchdieTheorieder holomorphen Funktionen.Diesesinddie
Lösungen eines (2×2)-Systems partieller Differentialgleichungen, die man übli-
cherweise Cauchy–Riemannsche Differentialgleichungen (CRD) nennt.
ZwarstandendieAlgebraderreellenQuaternionennachW.R.Hamiltonseit1843
und die reellen Clifford-Algebren nach W.K. Clifford seit 1878 zur Verfügung,
aber bis in die dreißiger Jahre des vorigen Jahrhunderts war die Auffassung vor-
herrschend, dass es sich bei der Funktionentheorie um eine rein zweidimensionale
Theoriehandele.Erstdie Gruppe um den SchweizerMathematikerR.Fueter und
die rumänischenMathematiker G.C. Moisilund N. Teodorescubegannenab 1930
eine Funktionentheorie in der Algebra der reellen Quaternionen und in Clifford-
Algebren zu entwickeln. Beginnend mit dem Ende der 1960er Jahre schuf eine
Gruppe von belgischen Mathematikern um R. Delanghe in Gent eine reichhaltige
FunktionentheorieinhöherenDimensionen.Seit1990hatdieAnzahldereinschlä-
gigenArbeitensehrstarkzugenommen.Inder Clifford-Analysiswirdheute inten-
sivgeforscht,davonzeugenauchdiemehrals9000EinträgeinunsererDatenbank
über einschlägige Literatur, die auf der dem Buch beiliegenden CD zu finden ist.
Mit dem vorliegenden Lehrbuch soll ein erster Versuch gemacht werden, wesent-
liche Elemente der klassischen Funktionentheorie und ihrer höherdimensionalen
Verallgemeinerungen in einer einheitlichen Darstellung für die universitäre Leh-
re bereit zu stellen. Als Interessenten stellen wir uns Studenten der Mathematik,
Physik sowie mathematischinteressierte Studenten anderer Studiengänge ab dem
drittenSemestervor.WirhabenunsumeineinsichgeschlossenePräsentationdes
umfangreichen Stoffes bemüht. Dabei werden analytische, geometrische und auch
numerische Aspekte berücksichtigt. Geschichtliche Hinweise an manchen Stellen
sollen die Entwicklung des Gebietes aufzeigen und wesentliche Persönlichkeiten
vorstellen.
ImerstenKapitelwerdendiekomplexenZahlen,dieQuaternionenunddieClifford-
Zahlen eingeführt, wobei wir uns bemüht haben, die Parallelität des Vorgehens
xii Vorwort
deutlich zu machen. Dabei nehmen natürlich Quaternionen und Clifford-Zahlen
deutlich mehr Raum als die komplexen Zahlen ein. Wir behandeln neben den al-
gebraischen und geometrischen Eigenschaften insbesondere auch Drehungen und
Darstellungen.
Im ersten Abschnitt des zweiten Kapitels stellen wir die topologischen und ana-
lytischen Grundlagen für die Behandlung von Funktionen bis hin zu den Rie-
mannschen Sphären bereit. Dieser Abschnitt ist wegen der Verwandtschaft zur
klassischenAnalysisbewusstkurzgehalten.Der zweiteAbschnitt behandeltdann
einigedermöglichenDefinitionen derHolomorphie,wobeiwir diesenNamenauch
in höheren Dimensionen beibehalten, denn die Definitionen sind weitgehend di-
mensionsunabhängig.DieLiteraturverwendethiermeistdenWeierstraßschenBe-
griff der monogenen Funktion. Es erscheint uns aber zumindest zweifelhaft, ob
dieser die Sachlage am Besten beschreibt (vgl. Schluss des Abschnittes 5). Auch
passtdie holomorpheFunktion begrifflichbesser zur meromorphenFunktion. Üb-
rigens lässt sich seit den Arbeiten von H. Malonek der Holomorphiebegriff über
die lokale Approximierbarkeit durch geeignete lineare Funktionen einführen, so
dass auch in dieser Hinsicht die Analogie in allen Dimensionen gegeben ist. Der
dritte Abschnittist“einfachen” Funktionen gewidmet,nämlichPotenzenund Mö-
biustransformationen.AlsPotenzfunktionensindinhöherenDimensionendienach
R.FueterbenanntenPolynomebesondersgeeignet,dievieleschöneEigenschaften
haben. Leider führt die Reduktion der Fueter-Polynome auf den ebenen Fall zu
den Potenzen (−iz)n und nicht zu zn; die Parallelität ist aber dennoch gegeben.
Den Möbiustransformationenin höheren Dimensionen hat sich insbesondere L.V.
Ahlfors gewidmet, auch für diese ist die Vergleichbarkeit für alle Dimensionen
deutlich zu erkennen.
Die notwendigen Hilfsmittel zur Integration haben wir in Anhang 2 zusammen
gestellt, ebenso wie eine kurze Einführung in die Theorie der Differentialformen
in Anhang 1. Wir glauben, dass dies hilfreich sein kann, da diese Gebiete in den
Anfängervorlesungen häufig nur sehr kurz, wenn überhaupt, behandelt werden.
Allerdings verzichten wir auf den Beweis des Integralsatzes von Stokes, da dies
zu weit vom Thema wegführen würde. Der Integralsatz von Cauchy und die Inte-
gralformel von Borel–Pompeiu sind dann einfache Folgerungen aus dem Satz von
Stokes.WirgehenaberauchaufdieRandwertformelnvonPlemelj–Sokhotzkiein.
FolgerungenausderIntegralformelvonCauchyschließensichan.Überdieswirddie
Teodorescu-Transformationuntersucht und die Hodge-Zerlegungdes quaternioni-
schen Hilbertraumes behandelt. Die dafür notwendigen Funktionenräume werden
kurz im Anhang 3 vorgestellt.
Das abschließende Kapitel ist verschiedenen Bereichen der Funktionentheorie ge-
widmet. Die Taylor- und Laurentreihen stehen an der Spitze. Dabei ist der Auf-
wand in höheren Dimensionen deutlich größer als in der Ebene, aber die Ähn-
lichkeit ist natürlich gegeben. Da die Taylorreihe in den Dimensionen größerzwei
leider keine Orthogonalentwicklung ist, wird für Quaternionen ein Übergang zu