Funktionen einer Veränderlichen: Analytische und numerische Behandlung

460 Pages·1987·13.618 MB·German

by  Klaus Niederdrenk, Harry Yserentant (auth.)

Klaus Niederdrenk
Harry Yserentant
Funktionen einer Veranderlichen
Rechnerorientierte Ingenieurmathematik
Herausgegeben von Gisela Engeln-Milllges
Grundlagen bande
Funktionen einer Veranderlichen
von Klaus Niederdrenk, Harry Yserentant
Lineare Algebra
von Horst Niemeyer
Gewohnliche Differentialgleichungen
von Wolfram Luther, Klaus Niederdrenk, Fritz Reutter, Harry Yserentant
In Vorbereitung sind Bande mit den Themen:
"Funktionen mehrerer Veranderlichen" und "Geometrie"
Aufbaubande und Sondergebiete
Methoden und Modelle des Operations Research
von Hans-J urgen Zimmermann
In Vorbereitung sind Bande mit den Themen:
"Funktionentheorie", "Statistik" und "Partie lie Differentialgleichungen"
Erganzend wr Reihe sind erschienen:
Die endliche Fourier- und Walsh-Transformation mit einer Einfiihrung
in die Bildverarbeitung
von Klaus Niederdrenk
Computer-Losung gewohnlicher Differentiaigieichungen
von Lawrence F. Shampine, Marilyn K. Gordon
Numerische Losung partieller Differentialgleichungen
mit der Finite-Elemente-Methode
von Wieland Richter
Klaus Niederdrenk
Harry Yserentant
Funktionen
einer Verinderlichen
Analytische und numerische Behandlung
Friedr.Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
1987
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1987
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt.
Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist
ohne Zustimmung des Ver/ags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere
flir VervieWiltigungen, Dbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Ein
speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen
Umschlaggestaltung: Ludwig Markgraf, Wiesbaden
Satz: Vieweg, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-04162-5 e-ISBN-13: 978-3-322-83033-3
DOl: 10_1007/978-3-322-83033-3
v
Vorwort der Herausgeberin
Die Reihe soil ein moglichst vollsUindiges Angebot an Lehr- und Arbeitsblichern
bereitstellen, die das fUr den Ingenieur in Hochschule und Wirtschaft erforderliche
mathematische Grundwissen darstellen und durch Zusatzhande zu Sondergebieten
und kommentierte Literaturhinweise komplettieren. Anders als in der traditionellen
Literatur verknlipft diese Reihe die Methoden der Analysis unmittelbar mit denen
der Numerik und mit dem Ziel, die Mathematik handfester, anwendungsorientierter
und vor allem rechnerorientiert zu prasentieren.
Da es Bereiche der Ingenieurtatigkeit ohne Einsatz des Computers kaum noch gibt,
mli:Gte dieser Tatsache auch in der mathematischen Ausbildung des Ingenieurs ent
sprechend Rechnung getragen werden. Dies wird in dieser Reihe versucht, indem
computergerechten numerischen Methoden, die eine Brlicke zwischen der hoheren
Mathematik und dem Rechner darstellen, ein ebenso breiter Raum eingeraumt wird
wie dem klassischen Stoff.
Die Einzelbande der Reihe sind inhaltlich, im didaktischen Aufbau, in der Termino
logie und in der au:Geren Gestaltung aufeinander abgestimmt, urn das Arbeiten mit
der Reihe zu erleichtern. Den Text begleiten zahlreiche durchgerechnete Beispiele.
Die numerischen Gesichtspunkte werden an einigen gro:Geren technischen Aufgaben
verdeutlicht. Es werden abprogrammierbare Algorithmen angegeben und Entschei
dungshilfen fUr die Auswahl der geeigneten Methode. Am Ende der einzelnen Kapitel
werden noch strategisch wichtige Aufgaben zusammengestellt, deren Losungen am
Ende des jeweiligen Bandes angegeben werden. Dieses Konzept la:Gt die Bande auch
besonders zum Selbststudium geeignet erscheinen. Da durch den einheitlichen Aufbau
der Reihe die Orientierung liber einen gro:Geren Teil der Mathematik fUr Ingenieure
erleichtert wird, ist auch ein (erst in zweiter Linie beabsichtigter) Einsatz der Bande
als Nachschlagewerk moglich.
Aachen, 1987 G. Engeln-Miillges
VI
Vorwort der Autoren
Dieses Buch gibt in grofllen Teilen die Inhalte der Mathematik-Veranstaltungen
wieder, mit denen ein Student der Ingenieurwissenschaften an Fachhochschulen und
Hochschulen in den ersten Semestern seines Studiums konfrontiert wird.
Der Themenkreis eindimensionaler Funktionen wird einerseits von der klassischen,
analytischen Seite her betrachtet; andererseits werden numerische Verfahren zur
naherungsweisen Lasung dazugehariger Probleme eingehend untersucht. Beide
Aspekte lassen sich heutzutage in den Anwendungen nicht mehr voneinander tren
nen, und die Lehre mufll dieser Entwicklung folgen. Gerade durch diese, heute noch
ungewahnliche Verbindung bekommt der Leser ein GefUhl fUr mathematische
Ansatze und praktische Vorgehensweisen zur Lasung eigener Probleme. Hierbei
helfen ihm auch die als eigene Abschnitte eingeschobenen Anwendungsbeispiele und
eine FUlle von Obungsaufgaben mit Lasungen. Die beiden Beispielabschnitte 6.6 und
13.7 gehen auf Anregungen von H. J. Oellers von der FH Aachen und das Beispiel in
Abschnitt 11.12 auf eine Idee von R. Wodicka von der RWTH Aachen zurUck.
Neben dem auf Breite gerichteten Grofllteil dieses Buches stehen Abschnitte, in
denen moderne mathematische Methoden in vertiefter Weise dargestellt werden, so
etwa in Kapitel 12 bei der Behandlung uneigentlicher Integrale und in Kapitel 13 bei
der Herleitung der Schnellen Fourier-Transformation (FFT).
Unser Dank gilt allen, die uns bei der Entstehung dieses Buches mit Rat, Hilfe und
Tee zur Seite standen, insbesondere Ingeborg Barbara Luzia und Jutta-Ilka, die
seinen Werdegang stets mit besonderem Interesse verfolgten und seine Fertigstellung
geduldig ertrugen.
Ahaus und Dortmund, im Frilhjahr 1987 Klaus Niederdrenk, Harry Yserentant
VII
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis ..................................... . . . . . . . . . XI
Zahlen und Folgen ......................................... .
1.1 Aigebraische Eigenschaften von Zahlen: Gruppen und Korper ... .
1.2 Die natiirlichen Zahlen und das Prinzip der vollsHindigen
Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I .3 Die ganzen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Summen, Produkte, FakulHiten, Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . 10
1.6 Die Anordnung der Zahlen und das Rechnen mit Ungleichungen . . 18
1.7 Folgen....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9 Zahlensysteme und Zahlendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.11 Literatur............................................. 42
1.12 Aufgaben zu Kapitel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Reihen ................................................... . 44
2.1 Eigenschaften unendlicher Reihen ......................... . 46
2.2 Spezielle Konvergenzkriterien ............................ . 48
2.3 Literatur ............................................ . 55
2.4 Aufgaben zu Kapitel 2 .................................. . 55
3 Funktionen ............................................... . 57
3.1 Grundbegriffe ..... , ........................... , ., . . .. . 58
3.2 Grenzwerte und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Gleichma£ig stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Umkehrfunktionen stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Funktionenfolgen und -reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7 Komplexwertige Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.8 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.9 Aufgaben zu Kapitel3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Differentialrechnung ........................................ . 82
4.1 Der Begriff der Ableitung ............................... . 83
4.2 Differentiationsregeln .................................. . 87
VIII Inhal tsverzeichnis
4.3 Die Mittelwertsatze und der Taylorsche Satz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Kurvendiskussion.......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Die Regel von I 'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100
4.6 Ableitungen und gleichma5ige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
4.7 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
4.8 Aufgaben zu Kapitel4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
5 Potenzreihen und elementare Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107
5.1 Allgemeine Eigenschaften reeller Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . .. 107
5.2 Die Exponentialfunktion und der natilrliche Logarithmus. . . . . . .. III
5.3 Allgemeine Exponentialfunktionen, Logarithmen und Potenzen. .. 120
5.4 Die Kreisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
5.5 Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134
5.6 Komplexe Potenzreihen und die komplexe Exponentialfunktion .. 137
5.7 Wichtige Potenzreihen - eine Ubersicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
5.8 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
5.9 Aufgaben zu Kapitel 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
6 Approximation und Interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146
6.1 Interpolation durch algebraische Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
6.2 Die bestmogliche gleichma5ige Approximation durch Polynome .. 162
6.3 Die Interpolation durch Splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 168
6.4 Ausgleichsrechnung..................................... 179
6.5 Numerische Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190
6.6 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200
6.7 Approximation - ein Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
6.8 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207
6.9 Aufgaben zu Kapitel 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 208
7 Bestimmung von Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 209
7.1 Das Lokalisieren von Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. . . . . . . .. 211
7.2 Spezielle Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212
7.3 Konvergenzaussagen.......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219
7.4 Der Fall mehrfacher Nullstellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 222
7.5 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
7.6 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233
7.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235
7.8 Aufgaben zu Kapitel 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235
8 Das Integral. .............................................. , 237
8.1 Die Definition des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 238
8.2 Eigenschaften des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 243
8.3 Klassen integrierbarer Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251
Inhaltsverzeichnis IX
804 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253
8.5 Vertauschbarkeit von Grenzprozessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 255
8.6 Die Integration komplexwertiger Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . .. 256
8.7 Aufgaben zu Kapitel 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257
9 Die Fundamentalsatze der Differential-und Integralrechnung. . . . . . . . .. 258
9.1 Die Fundamentalsatze .. " ......... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 258
9.2 Partielle In tegration und Substitution ..................... " 263
9.3 Der Taylorsche Satz mit Integralrestglied .................. " 267
9 A Aufgaben zu Kapitel 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268
10 Grundintegrale und spezielle Substitutionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 270
10.1 Spezielle Substitutionen ....................... , " . . . . . .. 272
10.2 Die Methode der Partialbruchzerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
10.3 Literatur zu den Kapiteln 8, 9 und 10. . . . . . .. . . . . . . . . .. .. ... 283
lOA Aufgaben zu Kapitel 10 ................................. , 284
11 Numerische Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 285
11.l Die Notwendigkeit numerischer Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 285
11.2 Zusammengesetzte Quadraturformeln ...................... , 289
11.3 Die Konstruktion von Quadraturformeln beliebiger Ordnung . . . .. 299
1104 Newton-Cotes-Formeln.................................. 302
11.5 Gaugsche Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 306
11.6 Clenshaw-Curtis Formeln ............................... , 312
11.7 Fehlerabschatzung und Fehlerschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314
11.8 Die Wahl der Zerlegung des Integrationsintervalls ............ " 318
11.9 Extrapolationsverfahren................................. 320
11.1 0 Spezielle Tricks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324
11.l1 Integration diskret gegebener Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 327
11.12 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 328
11.13 Bemerkungen zur Auswahl geeigneter Quadraturformeln . . . . . . .. 331
11.14 Literatur ........................................... " 332
11.l5 Aufgaben zu Kapitel 11 ................................. , 333
12 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 335
12.1 Definition uneigentlicher Integrale; Satze tiber deren Existenz . . .. 336
12.2 Die Zurtickfiihrung uneigentlicher Integrale auf eigentliche
Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 345
12.3 Quadraturformeln vom Gaug-Typ flir uneigentliche Integrale . . . .. 352
1 2 A Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 355
12.5 Zusammenfassung...................................... 358
12.6 Literatur............................................. 359
12.7 Aufgaben zu Kapitel 12 ................................. , 359
x Inhal tsverzeichnis
13 Periodische Funktionen ..................................... " 363
13.1 Fourierreihen......................................... 365
13.2 Trigonometrische Interpolation und diskrete Fourierteilsummen.. 379
13.3 Die effektive Berechnung diskreter Fourierkoeffizienten
komplexer Daten (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 386
13.4 Die effektive Berechnung diskreter Fourierkoeffizienten
reeller Daten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 393
13.5 Interpolation durch periodische Splinefunktionen . . . . . . . . . . . .. 397
13.6 Numerische Integration periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . .. 403
13.7 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 405
13.8 Periodische Funktionen - ein Uberblick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 408
13.9 Literatur ............................................. 410
13.10 Aufgaben zu KapiteI13 ... " .. .. .. .. ... . .. . .. . .. ... .. .... 410
Losungen der Aufgaben .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 413
Literaturverzeichnis .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 441
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 444