Equations différentielles ordinaires Equations aux dérivées partielles Analyse théorique et ...

90 Pages·2014·0.66 MB·French

Equations différentielles ordinaires
Equations aux dérivées partielles
Analyse théorique et numérique
Franck Boyer
Master Mathématiques et Applications
Première année
Université de Provence - Université Paul Cézanne
5 janvier 2014
ii
F.BOYER-VERSIONDU5JANVIER2014
TABLEDESMATIÈRES iii
Table des matières
I Théoriedeséquationsdifférentielles 1
I Définitionsdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II ThéoriedeCauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.1 LeproblèmedeCauchy:définitioneténoncéduthéorèmeprincipal . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 DémonstrationsduthéorèmedeCauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.3 PremièresconséquencesduthéorèmedeCauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.4 Explosionentempsfini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.5 Sortiedetoutcompact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.6 PreuvedirecteduthéorèmedeCauchy-Lipschitzglobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.7 Dépendanceparrapportsauxdonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III Lathéoriedeséquationsdifférentielleslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III.1 Lecasgénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III.2 Lecasàcoefficientsconstants,sanssecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
III.3 Résolvante.FormuledeDuhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
IV Petitbestiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
V Etudedessystèmesautonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
V.1 Portraitdephase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
V.2 Stabilitédespointsd’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VI Leséquationsd’ordresupérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II Lesméthodesnumériquesàunpas 29
I Laméthoded’Eulerexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.1 Définitionetanalysedel’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.2 Aproprosdelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II Laméthoded’Eulerimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.1 Définitionetanalysedel’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.2 Aproposdelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.3 Unpetittourversl’équationdelachaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III Quelquesmotssurlathéoriegénéraledesméthodesàunpas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.2 Erreurdeconsistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III.5 Exemplesd’autresméthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
IV Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
IV.1 Equationsd’ordresupérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III Leséquationsdetransport 37
I Modèlesdetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.1 Traficroutier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.2 Dynamiquedesgaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II Analysedesloisdeconservationscalaireslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.1 L’équationdetransport1Dàvitesseconstante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.2 Lecasdelavitessevariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III Schémasnumériquespourleséquationsdetransportlinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.1 Introductionauxdifférencesfinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.2 Schémasentempspourletransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
III.3 Schémastotalementdiscretspourletransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
IV Elémentsd’analysedesloisdeconservationnon-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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iv TABLEDESMATIÈRES
IV.1 Solutionspeurégulièresdutransportlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
IV.2 Existenceetnon-existencedesolutionsrégulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.3 Solutionsfaibles.ConditionsdeRankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV.4 ProblèmedeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
IV.5 Commentrésoudrecomplètementleproblèmedelanon-unicitédessolutionsfaibles? . . . . . . 58
IV.6 Schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
V RappelssurlatransforméedeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
IV EDPelliptiques.EquationsdePoissonetdeLaplace 61
I Modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
I.1 EquationsdeMaxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
I.2 Equationdelachaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
I.3 Membraneélastiqueàl’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
II Elémentsd’analyseavancée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.1 Commentmontrerl’existenced’unminimiseur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.2 Pourquoil’espaceX définiprécédemmentneconvientpas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.3 L’espacedeSobolevH1(]a,b[) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
II.4 L’espaceH1(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
0
II.5 Résolutionduproblèmevariationnelpourlacordeélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
II.6 Cadregénéral:théorèmedeLax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III Schémasnumériquesen1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
III.1 Schémasauxdifférencesfiniespourl’équationdePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
III.2 Consistance.Stabilité.Convergenceetestimationd’erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III.3 Exempledenon-stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
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1
Chapitre I
Théorie des équations différentielles
Dans toute la première partie de ce chapitre, on va se concentrer sur les équations du premier ordre. Les équations
d’ordresupérieurserontévoquéesparlasuite.
En introduction nous pouvons motiver cette étude par les quelques exemples suivants, issus de la modélisation en
dynamiquedespopulations.
– Modèle de Malthus : Il s’agit de dire que la population totale t (cid:55)→ N(t) évolue seulement au gré des naissances
(tauxb>0parunitédetemps)etdesdécès(tauxd>0parunitédetemps).Onobtientl’équationdifférentielle
N(cid:48)(t)=(b−d)N(t).
Celle-cipeuts’intégreràvue,cequidonne
N(t)=N e(b−d)t, ∀t>0.
0
Soncomportementdépenddoncdusignedeb−d,cequiestintuitivementclair:
– Sib > d,lesnaissancessontprépondérantessurlesdécèsetlapopulationcroîtexponentiellementaucours
dutemps.
– Sib<d,c’estlephénomèneinverseetlapopulationdécroîtexponentiellement.
– Sib=d,onaunéquilibreparfait.
8
Casb>d
Casb<d
Casb=d
6
4
2
N
0
1 2 3 4 5 6 7
FIGUREI.1–LemodèledeMalthus
– Modèlelogistique:LemodèledeMalthusaledéfautdenepasprévoirdelimitationdanslacapacitéd’extension
delapopulation.Or,oncomprendbienquecephénomènepeutavoiruneimportancecruciale,parexemplesion
imaginequelesressourcesennourrituredisponiblessontlimitéesparexemple.C’estpourquoilemodèlemalthusien
aétémodifiédelafaçonsuivante
(cid:18) (cid:19)
N(t)
N(cid:48)(t)=(b−d)N(t) 1− .
K
LeparamètreK >0modéliselataillecritiquedelapopulationconsidérée.Onpeutcomprendrecenouveaumodèle
àpartirdumodèledeMalthusdeplusieursfaçons.
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2 ChapitreI.Théoriedeséquationsdifférentielles
– Oubienonvoitlefacteur(1−N/K)commeuncorrectifautauxglobald’évolutionb−dquiatendancea
diminuerplusN augmente
– Oubien,endéveloppantonvoitlenouveautermedansl’équation
b−d
− N2,
K
commeuntermedecompétitionquimodéliselefaitquequandN estgrandlesindividusdel’espèceconsi-
déréeontendanceàlutterpourlesressourcesetcedefaçond’autantplusimportantequeleurprobabilitéde
rencontreestélevée(celle-ciétantproportionnelleaucarrédeN).
2
N =2
0
N =1
0
N =0.5
0
1.5
1
2 4 6 8 10
FIGUREI.2–Lemodèlelogistique
OnobservedanscecasquetouteslessolutionssemblentconvergerentempslongverslavaleurK (qu’onapris
égalà1danscettefigure).
– LemodèledeLotka-Volterra.Cemodèlemetenjeudeuxespèces:lesproies(dontlapopulationàl’instanttest
notéex(t))etlesprédateurs(notésy(t)).Onpeutpenserauxsardinesetauxrequinsparexemple.
Enl’absencedeprédateurs,lesproiessedéveloppentselonuneloidetypeMalthus(onsupposequ’ellesdisposent
denourritureenquantitéillimitée).Enl’absencedeproies,lesprédateursonttendanceàdisparaîtreselonuneloide
typeMalthusàtauxnégatif.Ilfautmaintenantmodéliserlefaitqueles“rencontres”proies-prédateursdonnentlieuà
ladisparationdeproiesmangéesparlesprédateurs,cequiparticipeàlasurviedesprédateurs.Mathématiquement,le
nombremoyendetellesrencontresparunitédetempsestproportionnelauproduitdesdeuxpopulationsconcernées
etchacunedecesrencontrescontribuepositivementàl’évolutiondeyetnégativementàl’évolutiondex.Onobtient
lesystèmesuivant
(cid:40)
x(cid:48)(t)=ax(t)−bx(y)y(t),
y(cid:48)(t)=−cy(t)+dx(t)y(t).
Onpeutmontrerquelessolutionsdecesystème(ontraceicilacourbet (cid:55)→ (x(t),y(t))dansleplanx/y appelé
plandephases)ontl’alluredonnéedanslafiguresuivante:
Onobserveunphénomèneattendudepériodictédessolutions.
I Définitions de base
DéfinitionI.1
SoitI ⊂ RunintervalleouvertdeRetF : I ×Rd (cid:55)→ Rd uneapplication.Onappellesolutiondel’équation
différentielle
y(cid:48) =F(t,y), (I.1)
toutcouple(J,y)oùJ ⊂I estunsous-intervalledeI etyunefonctiondérivabledéfiniesurJ telleque
∀t∈J, y(cid:48)(t)=F(t,y(t)).
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I.Définitionsdebase 3
y (cid:18)c(cid:19)
<
d
a
b
3
<
2
<
<
>
> > >
1
x
1 2 3 4
FIGUREI.3–PortraitdephasepourlemodèledeLotka-Volterra
RemarqueI.2
– OnpeuttoutàfaitétendrecesdéfinitionsaucasoùF estdéfiniesurunouvertquelconquedeR×Rd.
– L’équation(I.1)estappeléedupremierordrecarellenefaitintervenirquelesdérivéespremièresdela
fonctioninconnue.
– Laformelaplusgénéraled’uneéquationdifférentielleestdelaforme(ditenonrésolue)
F(t,y,y(cid:48))=0,
mais nous ne traiterons pas ce cas ici. Notons que le théorème des fonctions implicites, permet de se
rameneraucasrésoludansuncertainnombredecas.
Danslecasgénéral,ilesttoutàfaitpossiblequel’intervalleJ nesoitpaségalàI etqu’onnepuissepasfairemieux.
Lanotiondesolutionmaximalepermetdedonnerunsensprécisà“onnepeutpasfairemieux”.
DéfinitionI.3(Solutionmaximale)
On dit que (J,y) est une solution maximale de (I.1) s’il n’existe pas de solution (J˜,y˜) vérifiant J (cid:40) J˜et
y˜ =y.
|J
LafigureI.4illustrelanotiondeprolongementdesolution:lasolution(J ,y )prolongelasolution(J ,y ).
2 2 1 1
EnutilisantlelemmedeZorn,onpeutmontrerlerésultatsuivant,sansaucunehypothèsesurl’équationconsidérée.
PropositionI.4
Pourtoutesolution(J,y)de(I.1),ilexisteaumoinsunesolutionmaximale(J˜,y˜)quiprolonge(J,y),c’est-
à-diretellequeJ ⊂J˜ety˜ =y.
|J
DéfinitionI.5
Toutesolution(J,y)de(I.1)définiesurl’intervalleJ =I toutentierestditeglobale.
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4 ChapitreI.Théoriedeséquationsdifférentielles
y
1
y
2
0.5
J
1
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2
J
2
−0.5
FIGUREI.4–Notiondeprolongementdesolutionetdesolutionmaximale
II Théorie de Cauchy-Lipschitz
II.1 LeproblèmedeCauchy:définitioneténoncéduthéorèmeprincipal
Ilarrivequ’onnerecherchepastouteslessolutionsd’uneEDOmaisseulementcellesquivérifientcertainescondi-
tions,ditesconditionsinitialesdeCauchyoutoutsimplementconditionsdeCauchy.
DéfinitionI.6(ProblèmedeCauchy)
Soit F : I ×Rd (cid:55)→ Rd, t ∈ I et y ∈ Rd. On appelle solution (resp. solution maximale) du problème de
0 0
Cauchyassociéàladonnée(t ,y )toutesolution(J,y)(resp.solutionmaximale)dey(cid:48) =F(t,y)vérifiantde
0 0
plus
◦
t ∈J, et y(t )=y .
0 0 0
Lethéorèmefondamentaldecechapitreestlesuivant
ThéorèmeI.7(Cauchy-Lipschitz,formefaible)
Si la fonction F : I ×Rd (cid:55)→ Rd est de classe C1 alors pour toute donnée de Cauchy (t ,y ) ∈ I ×Rd, il
0 0
existe,auvoisinagedet ,uneuniquesolutionduproblèmedeCauchyassocié.
0
Enparticulier,pourtoutetelledonnée,ilexisteuneuniquesolutionmaximaleassociéeettouteautresolution
vérifiantlaconditiondeCauchyestunerestrictiondecettesolutionmaximale.
Enréalité,cethéorèmeestencorevraisousdeshypothèsesplusfaibles.
DéfinitionI.8
UnefonctioncontinueF : I ×Rd (cid:55)→ Rd estditelocalementLipschitzienneparrapportàlavariabled’état
(ouàlasecondevariable).Sipourtout(t ,y )∈I×Rd,ilexisteC >0etunvoisinageU de(t ,y )dans
0 0 t0,y0 0 0
I×Rdtelque
∀t∈I,∀y ,y ∈Rd,telsque(t,y )∈Uet(t,y )∈U,
1 2 1 2
ona(cid:107)F(t,y )−F(t,y )(cid:107)≤C (cid:107)y −y (cid:107). (I.2)
1 2 t0,y0 1 2
Grâceauthéorèmedesaccroissementsfinis,onvérifiequetoutefonctiondeclasseC1 estlocalementlipschitzienne
parrapportàsadeuxièmevariable.C’estpourquoilethéorèmesuivantestbienplusfortqueleprécédent.
ThéorèmeI.9(Cauchy-Lipschitz,formeforte)
LethéorèmedeCauchy-LipschitzestencorevraisiF estcontinueetlocalementlipschitzienneparrapportà
lavariabled’état.
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II.ThéoriedeCauchy-Lipschitz 5
Cethéorèmeadmetplusieursdémonstrationsqu’ilestpeutêtrebondeconnaître,ceseral’objetduparagraphesuivant.
RemarqueI.10
– La propriété d’existence de solutions maximales persiste sous la seule hypothèse de continuité de F
(ThéorèmedeCauchy-Arzela).
– L’exemple canonique d’équation pour laquelle le problème de Cauchy n’a pas de solution unique est
l’équationsuivante
(cid:112)
y(cid:48) =2 |y|,
quipossèdeuneinfinitédesolutionsvérifianty(0)=0dontlafonctionidentiquementnulleetlafonction
y(t)=|t|t(quiestbiendeclasseC1!).Nousdessinonstroistellessolutionsdanslafigureci-dessous:
20
10
−4 −2 2 4
−10
−20
II.2 DémonstrationsduthéorèmedeCauchy-Lipschitz
Ladémonstrationdecethéorèmepeutsefairedeplusieursmanières.
Ellespartenttoutesdelaconstatationque(J,y)estsolutionduproblèmedeCauchysietseulementsit ∈◦J etsiy
0
estunefonctioncontinuesurJ quivérifie
(cid:90) t
y(t)=y + F(s,y(s))ds, ∀t∈J. (I.3)
0
t0
Ils’agitdoncderésoudrel’équationintégrale(I.3)dansl’espacefonctionnelC0(J,Rd),c’estpourquoiilestnaturelque
les preuves du théorème utilisent de façon fondamentale les grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle : ou bien le
théorèmed’Ascoli(méthodedecompacité)oubienlethéorèmedupointfixedeBanach.
II.2.1 LelemmedeGronwall
Unoutilcentraldanstouslesproblèmesd’équationsdifférentiellesestlelemmedeGronwallquipermetdedéduire
desbornessurlessolutionsàpartird’inégalitéintégralesqu’ellesvérifient.
LemmeI.11(deGronwall)
Soit[a,b[⊂R,C ∈Retz,ϕdeuxfonctionscontinuessur[a,b[àvaleursréelles.Onsupposeque
– ϕestpositive.
– L’inégalitésuivanteestvérifiée
(cid:90) t
z(t)≤C+ ϕ(s)z(s)ds, ∀a≤t<b.
a
Alors,onal’estimation
(cid:18)(cid:90) t (cid:19)
z(t)≤Cexp ϕ(s)dt , ∀a≤t<b.
a
Preuve:
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6 ChapitreI.Théoriedeséquationsdifférentielles
Onpose
(cid:90) t
h(t)=C+ ϕ(s)z(s)ds.
a
Commeϕetzsontcontinues,hestdeclasseC1etona
h(cid:48)(t)=ϕ(t)z(t)≤ϕ(t)h(t),
carϕestpositive.Onendéduitquelafonctione−(cid:82)atϕh(t)estdécroissante,cequifournitl’inégalitéattendue.
II.2.2 Unicité
Danslecasoùf estlocalementLipschitzienneparrapportàsasecondevariable,onpeutdémontrerl’unicitéd’une
éventuellesolutionenutilisantleLemmedeGronwall.
Eneffet,soient(J ,y ),(J ,y )deuxsolutionsdumêmeproblèmedeCauchyent .Onveutmontrerquey ety
1 1 2 2 0 1 2
sontégalessurJ =J ∩J .Pourcelaonintroduitl’ensemble
0 1 2
S ={t∈J , telquey (s)=y (s), ∀s∈[t ,t]},
0 1 2 0
où[t ,t]estremplacépar[t,t ]sit<t .
0 0 0
Cetensembleestnonvidecarilcontientt (y ety vérifientlamêmedonnéedeCauchyàl’instantt ).Onvamontrer
0 1 2 0
queS∩[t ,+∞[=J ∩[t ,+∞[(lamêmeidéemontreraitl’égalitédeS∩]−∞,t ]etdeJ ∩]−∞,t ]).
0 0 0 0 0 0
◦
SupposonsqueS ∩[t ,+∞[(cid:54)= J ∩[t ,+∞[.Onposealorst∗ = sup(S).Onat∗ ≥ t ett∗ ∈ J .Eneffet,sice
0 0 0 0 0
n’étaitpaslecasonauraitt∗ ∈∂J etalorsy =y sur[t ,supJ [etdoncy =y surJ ∩[t ,+∞[parcontinuitéde
0 1 2 0 0 1 2 0 0
y ety .Cecicontreditl’hypothèse.Parailleurs,parcontinuitédey ety ,onsaitquey (t∗)=y (t∗)=y˜.
1 2 1 2 1 2
SoitLuneconstantedeLipschitzdef surlecompactK = [t∗,t∗+1]×B¯(y˜,1).Parcontinuité,ilexisteδ > 0tel
quet∗+δ ∈J ettelque
0
y (t)∈B¯(y˜,1), ∀t∈[t∗,t∗+δ],∀i=1,2.
i
Parailleurs,commey ety vérifientl’équationona
1 2
(cid:90) t
y (t)=y (t∗)+ F(s,y (s))ds.
i i i
t∗
Parsoustraction,ontrouve
(cid:90) t
|y (t)−y (t)|≤ |F(s,y (s))−F(s,y (s))|ds, ∀t∈[t∗,t∗+δ].
1 2 1 2
t∗
Commey ety prennentleurvaleursdansK,onendéduit
1 2
(cid:90) t
|y (t)−y (t)|≤L |y (s)−y (s)|ds, ∀t∈[t∗,t∗+δ].
1 2 1 2
t∗
LelemmedeGronwalldonnealorsy (t)=y (t)pourtoutt∈[t∗,t∗+δ].Cecimontrequet∗+δestdansSetcontredit
1 2
doncladéfinitiondet∗.
II.2.3 Existence:lapreuveparlethéorèmedupointfixe
Soit J = [t −α,t +α] un intervalle contenant t dans son intérieur. On pose y0(t) = y pour tout t ∈ J et on
0 0 0 0
construit,parrécurrence,lasuitedefonctions
(cid:90) t
yn+1(t)=y + F(s,yn(s))ds, ∀t∈J.
0
t0
Cecirevientàdéfiniryn+1 =Φ(yn)oùΦ:C0(J,Rd)(cid:55)→C0(J,Rd)estl’applicationquiàyassocie
(cid:90) t
Φ(y)(t)=y + F(s,y(s))ds, ∀t∈J.
0
t0
Résoudre l’équation (I.3) revient à trouver un point fixe de l’application Φ. Comme J est compact on peut munir
E = C0(J,Rd) de la norme infinie, ce qui en fait un espace complet. On peut donc espérer appliquer le théorème du
pointfixedeBanachàcettefonction.Pourcela,ilfaudraitmontrerqueΦestcontractante.Commeonnepossèdeaucune
informationglobalesurF,ilsepeutque(cid:107)F(s,y)(cid:107)soittrèsgrandquand(cid:107)y(cid:107)estgrandetilyadoncaucunechanceque
nousarrivionsàmontrerqueΦestcontractantesurE.
Onvadoncessayerd’appliquerlethéorèmesurlesous-espaceferméF = C0(J,B¯(y ,R))deE (quiestdoncbien
0
complet).Pourcela,onpeutjouersurlesparamètresαetRpourfaireensortequeΦ(F)⊂F etqueΦsoitcontractante.
F.BOYER-VERSIONDU5JANVIER2014