Table Of ContentENCYKLOPADIE
DEB.
M.ATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN
DRITTER BAND:
GEOMETRIE
ISBN 978-3-663-15456-3 ISBN 978-3-663-16027-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-16027-4
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1910
ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN
Vorrede dritten Bande.
ZUlli
Schon bei del' urspriinglichen Disposition del' Encyklopiidie del'
mathematischen Wissenschaften - man vergleiche den einleitenden
Bericht von W. von Dyck im ersten Bande - wurde del' Geometrie
innerhalb der reinen Mathematik del' dritte Band zugewiesen.
Der Stoff zerlegte sich naturgemiiB in drei Hauptteile.
Zum ersten Teile gehoren die Entwick1ungen allgemeineren Cha
rakters: die Grundlagen - die Grunclbegriffe und die iiber die eukli
dische Geometrie hinausgehenden Geometrien -, sodann die Diszi
plinen del' Analysis situs, del' Gruppentheorie, del' projektiven und
darstellenden Geometrie nebst del' TheOl'ie del' Polyeder; encllich die
zur formalen Beherrschung notwendigen odeI' niitzlichen Rechenmittel
(Koordinaten) und Rechnungsalgorithmen (Quaternionen, Ausdehnungs-
1ehre u. a.). Demgegeniiber handelt del' zweite Teil des dritten Bandes
von den algebraischen Gebilden (Kurven, Flachen, Komplexen, Kon
gruenzen u. a.), wahrend sich del' dritte Teil mit del' Differentia1geo
metrie beschaftigt.
Dazu traten im Laufe del' Zeit einige von selbst notwendig ge
wordene Erganzungen. Leider muBte mit Riicksicht auf die gegenwar
tigen miBlichen Zeitverhaltnisse auf eine Reihe wei tel' geplanter Ar
tikel iiber einzelne, in den letzten J ahrzehnten neu entstandene Gebiete
verzichtet werden, urn den AbschluB des Ganzen nicht auf unbestimmte
Zeit zu verschieben.
Zunachst lag die Redaktion des Geometriebandes allein in Handen
von lV. Fr. JJIeyer. 1m Jahre 1915 wurde H. )J!Iohrmann als zweiter
Herausgeber gewonnen. Er iibernahm einen wesentlichen rreil del' Ar
beit. Es wiirde hier zu weit fiihren, festzusteilEm, wie sich seit 1915
die Herausgabe del' einzelnen Artike1 unter uns beide verteilt hat.
Dagegen mochten wir hier gleich erwahnen, daB einige Herren,
die nicht als Redakteure zeichnen, unsere Arbeit auBerordentlich UIlter
stiitzt haben und so einen ganz bedeutenden Anteil an del' Fertig
stellung des Bandes gehabt haben. In erster Linie gebiihrt unser
Dank Herrn F. Klein. In zahlreichen Konferenzen hat er fiir viele
Artikel genaue Einze1dispositionen entworfen und uns und die Be-
VI Vorrede zum dritten Bande.
arbeiter mit seinem erfahrenen Rate unterstiitzt. Mit groBer Tatkraft
und unermiidlicher Energie hat er immer wieder iu schwierigen Lagen
belebend eingegriffen. - Wir gedenken ferner mit Dank der stets
Ct) Ct).
bereiten kritischen Mitarbeit von H. Burkhardt und M. Noether
Noch vor einem halben Jahrhundert, zur Zeit, als die Mathe
matischen Annalen durch R. Clebsch und C. Neumann begriindet wur
den, stand die Geometrie in Deutschland in besonderem Ansehen und
das Interesse der meisten Mathematiker gehOrte ihr. Durch Veroffent
lichung bahnbrechender Arbeiten verschafften deutsche Gelehrte ihrem
Vaterlande eine fuhrende Stellung innerhalb dieser Disziplin. Zum
Belege mogen Namen wie Clebsch, GrafJmann, Hesse, Mobius, Pliicker,
v. Staudt, Steiner einerseits und Brill, Klein, Lindemann, M. Noether,
Schubert, Schwarz, Voss andererseits genannt sein, denen Lie und Zeuthen,
obgleich Auslander, gerne zugerechnet werden konnen.
U m die J ahrhunderlwende war die Sachlage ganz anders. Das
Interesse fur Geometrie und deren EinfluB war in Deutschland un
leugbar erheblich gesunken und dies, obwohl Namen wie Fiedler,
Harnack, Hilbert, Minkowski, Pasch, Reye, Rohn, F. Schur, Stackel,
Staude, Study, R. Sturm dafur zeugen, daB in Deutschland die ganze
Zeit hindurch geometrisch gearbeitet wurde. Aber es waren immer
nur einzelne; die Allgemeinheit nahm an ihren Ergebnissen immer
weniger Antell. In dem folgenden Jahrzehnt wurde das Verhaltnis
nicht besser.
Seit zehn Jahren etwa zeigt sich in Deutschland, wenn auch
vorerst nur vereinzelt, frisches Leben; doch setzte diese neue For··
schung an anderen Stellen ein als an denen, wo die alte Generation
arbeitete. Die Topologie sah sich durch das Emporkommen der
Mengenlehre vor neue Aufgaben gestellt. Die Relativitatstheorie
wirkte kraftig fordernd auf die mehrdimensionale Differentialgeometrie
ein. Damit verbunden war ein Aushau des Yektor- und Tensorkal
kuls. Aus Minkowskis Untersuchungen uber konvexe Kurven und
Flachen erwuchs die affine Geometrie. So darf man hoffen, daB das
Interesse an geometrischen Fragen wieder zunimmt.
Obwohl zwischen den Jahren 1865 - 1875 deutsche Gelehrte
die schi>nsten Moglichkeiten zur Weiterentwicklung der Geometrie
schufen, wurden diese nicht in Deutschland, sondern in Italien mit
groBtem Erfolg aufgenommen und weiter verfolgt. So gelangte Italien
in wenigen Jahren zur fuhrenden Stellung auf allen Gebieten der
Geometrie und hat diese Fiihrerrolle seitdem yoU behauptet. Es wird
groBer Anstrengung und Miihe bediirfen, den Vorsprung, den Italien
erlangt hat, auch nur teilweise einzuholen. Dieser iiberragenden Stellung
Vo rrede zum drltten Bande. VIl
Italiens hat man in Deutschland dadurch Rechnung zu tragen ver
sucht, da8 man deutsche Ubersetzungen von einer groBeren Anzahl
italienischer Lehrbiicher herstellte; Aber noch mehr mochten wir hier
mit Dank hervorheben, daB sich mehrere hervorragende italienische
Gelehrle bereit gefunden haben, fiir die Encyklopadie griindliche Re
ferdte iiber die verschiedensten geometrischen Gegenstande zu bear
beiten. Nur so ist es moglich geworden, daB der Band III einen
einigermaBen befriedigenden Uberblick iiber das Gesamtgebiet der
Geometrie liefert, wodurch die internationale Geltung der Encyklo
padie aufrecht erhalten worden ist. Die Hauptbedeutung Italiens liegt
einerseits in der Fortentwicklung der algebraischen Geometrie. Man
hat das geringe Interesse fiir algebraisch-geometrische Fragen in
Deutschland haufig damit entschuldigt, daB die Theorie der algebrai
schen Funktionen mehrerer Variabeler trotz Picards Untersuchungen
noch nicht soweit gefOrdert sei, daB sie sich ebenso wie die Theorie
del' algebraischen Funktionen einer Variabelen mit Erfolg auf geo
metrische Probleme anwenden lasse. Man hat dabei kaum beachtet,
wie die Italiener die Ergebnisse Picards angewandt und fortentwickelt
hahen. Ein Hauptverdienst Italiens ist es andererseits, da8 es die
mehrdimensionale Geometrie eigentlich erst geschaffen hat, und mit
ihrer Hilfe zu einfachen Beweisen von Satzen der Geometrie des drei
dimensionalen Raumes gelangt ist. Endlich sei auf die zahlreichen diffe
rentialgeometrischen Arbeiten hingewiesen, die in Italien erschienen sind.
In 0sterreich ist im Gegensatze zu Deutschland alle die Zeit hin
durch das geometrische Interesse ziemlich lebhaft gewesen. Auch in
Holland und Skandinavien wurden die verschiedenen geometrischen
Disziplinen gepflegt. VOl' allen Dingen abel' hat in neuerer Zeit in
Nordamerika die geometriBche Forschung auf den verschiedensten Ge
bieten schone Erfolge auf'zuweisen. In Frankreich dagegen hat man
sich fast nul' auf Di:/ferentialgeometrie beBchrii.nkt, und in England ist
seit den Tagen Ouyleys bum ein groBerer Fortschritt erreicht worden.
"Velches sind nun die Griinde des in Deutschland so auffalligen
Niederganges del' Geometrie?
Da wirft man del' Geometrie Mangel an Strenge vor. Angesehene
Vertreter der Analysis behaupten, da8 seit der durch Descartes inaugu
rierlen neueren Entwicklung del" Geometrie; insonderheit seit dem TIber
handnehmen del' algebraischen Untersuchungsrichtungen im vorigen
Jahrhundert, die strenge Folgerichtigkeit des Denkens - im Gegen
satze zu dem musterhaften Verfahren bei BUklid - wesentlich nach
gelassen habe, daB die Formulierung und der Beweis der meisten
geometrischen Satze unvollstandig sei, da sie die Giiltigkeitsgrenzen
VIII V orrede zum dritten Bande.
der jeweiligen Behauptung nicht erkennen lassen, daB sieh endlieh oft
gar nicht iibersehen lasse, welche von den Elementen eines vorliegen
den zusammengesetzten Gebildes ree11 sein sollen, und welche kom
plex. Mit einem Worte, es sei die Unklarheit des Denkens, die die
an Strenge gewohnten Analytiker abstoBe.
Es muB nun leider zugegeben werden, daB dies fiir viele geo
metrische Arbeiten zutrifft. Abel' zahlreiche andere Arbeiten erfiiilen
aile Anforderungen an Strenge. Man darf dabei unter "Strenge" nul'
nicht das Festhalten an bestimmten Beweisformen, den Purismus der
Methode verstehen; dann allerdings wird man wenig befriedigt werden.
Denn gerade auf dem Wechsel del' Methode, manchmal sogar inner
halb eines einzell1en Beweises, beruht die Moglichkeit, lmrze und e1e
gante Beweise zu fLlhren.
Da sind z. B. die Vertreter del' sogenannten reinen Geometrie der
Lage, die den simultanen odeI' alternierenden Gebrauch analytischer
und synthetiseher Methoden als stCirend, sogar ala unwissenschaftlieh
empfinden, und sich dafiir der tadelnden Bezeiehnung "methode mixte"
bedienen. Diesen ist die "reine" Lagengeometrie das Ideal einer "auto
chthonen" Wissenschaft, da sie in sieh vollig konsequent sei und von
anderen mathematischen Disziplinen nichts zu entlehnen brauche.
Diese iibertriebene Wertsehiitzung ist abel' kaum bereehtigt. Die
vollige Verziehtleistung auf die Methoden der analytischen Geometrie
erweist sieh im Gegenteil als unnatiirlich. Man hat vielmehr die pro
jektive Geometrie so aufzubauen, daB ohne metrische Hilfsmittel der
Begriff des Wurfes und del' projektiven Koordinaten entwickelt wird;
von da ab ist der Untersehied zwischen analytiacher unrl synthetischer
Riehtung nur ein unwesentlicher. Und die analytische Behalldlung
empfiehlt sich bei vielen Aufgaben durch ihre Kiirze ganz von selbst.
vVenn man Euklid wegen del' Strenge und Reinheit seiner Me
thode riihmt, so vergiBt man, daB fiir die Entwicklung del' antiken
Geometrie ein Eudoxos odeI' Archimedes viel wichtiger waren. Denn
nicht auf das Sammeln und Systematisieren iiberkommener Siitze allein
kommt es an, sondern auf die Entdeckung neuer Tatsachen, wenn
auch die Methode del' Darstellung vorerst noch nicht voll ausgereift
und gegliittet ist.
Wichtiger fUr den Riickgang der Geometrie seheinen uns folgende
Tatsachen zu sein. Das Emporkommen del' Mengenlehre in ihren An
wendungen auf die Punktmengen hat leider auf viele Mathematiker
liihmend gewirkt. Man ist zu angstlich geworden und traut den ein
fachsten Schliissen nicht mehr. Besonders wird die Anschauung ver
pont, und zwar nicht nul' als Beweismittel, was verstiindlich ware,
Vo rrede zum dritten Bande. IX
sondern sogar als heuristisehes Prinzip. Aber aueh die Ubertreibung
der axiomatischen Methode hat ihre Gefahren. Wenn gewisse Axio
matiker verlangen, daB man sieh unter den Gegenstanden, von denen
die Geometrie handeU, nieht idealisierte Dinge vorstellen, sondern
leere Begriffe, die nur irgendwie logiseh verkniipft sind, denken soll,
so wird dies unbedingt auf die schopferische Freudigkeit hemmend
wirken. Wir wollen mit dies en Ausfiihrungen in keiner Weise die
Bedeutung der Mengenlehre und Axiomatik herabsetzen, aber doch
vor ihrer Uberschatzung warnen; denn, wenn man die Pllantasie totet,
wird die Haupttriebfeder des geometriscben Fortschrittes ausgeschaltet.
Fur den modernen Geometer ist die Beberrschung groBer Teile
der Algebra und der Analysis un bedingt erforderlich, wenn er auf
seinem Gebiete mit Erfolg arbeiten will. Allein dies geniigt noeh
llicht; er muB auBerdem iiber eine groBe ZahI spezifisch geometriseher
Kenntnisse verfiigen. Der Algebraiker und Analytiker dagegen kann
sehr wohl ohne Geometrie auskommen. - Bei dem Umfang, den
Algebra und Analysis heute besitzen, kostet es schon geniigend MUhe,
sieh aufdiesen Gebieten einigermaBen sicher zu bewegen und einen
umfassenden Uberblick zu gewinnen. SolI nun gar noeh die Geo
metrie hinzukommen, so sind nur ganz wellige Geister fiihig) sicn
aueh die hierfiir notigen Kenntnisse noeh anzueignen. Dies diirfte
wohl der wiehtigste Grund sein, warum die Analysis gegenwii.rtig so
bevorzugt wil'd.
Hierzu kommt schon bei dem einfaehsten geometrischen Stoff
seine auBerordentlieh groBe Vielseitigkeit. Ein und dasselbe geo
metrische Gebilde kann auf die vel'schiedensten Arten erzeugt werden.
Je naeh der betraehteten . Erzeugungsart werden gewisse seiner Eigen
schaften besonders hervortreten, und man muB daher fortgesetzt den
Standpunkt wechseln, wenn man sie aile voll erfassen will.
Zur Erlauterung diene als ein moglichst einfaehes Beispiel del'
Begriff aines Kegelsehnittes in einer festen Ebene.
Da bieten sieh zunachst die antiken, elementaren, maBgeometri
sehen ErkHirungen dar: ebener Schnitt eines gel'aden (bzw. sehiefen)
Kl'eiskegels, die Brennpunktsdefinition und die auf der Beziehung
zwischen Brennpunkt und Direktl'ix beruhende, endlich in neuerel'
Zeit die Erzeugung mit Hilfe von Kreisen.
Weit mannigfaltiger sind jedoch die lagengeometrisehen Erklii.
rungen, wo von vornherein gemaB der Dualitiit zwischen Ordnungs
und Klassengebilde zu unterscheiden ist.
Fur einen (nichtzerfallenden) Ordnungskegelsehnitt hat man die
Erzeugung durch projektive Strahlenbiischel (oder allgemeiner als Teil
x
Vo rrede zum dritten Bande.
einer Kurve hoherer Ordnung durch gewisse h6here Korrespondenzen),
die Bestimmung durch fiinf Punkte auf Grund des Pascals chen Satzes,
die Mac-Laurinsche Erzeugung durch ein bewegliches Dreieck (bzw.
Polygon), als Ordnungskurve einer Korrelation, als Bild einer Ge
raden in einer quadratischen Transformation, und endlich, als die
ailgemeinste, durch eine quadratische GIeichung mit reellen Koeffi
zienten zwischen Punktkoordinaten. Und jede dieser Erzeugungen
(mit Ausnahme der letzten) kann wiederum nach synthetischer oder
analytischer Methode vor sich gehen. Daneben stellen sich die kor
respondierenden Klassengebilde.
Eine systematische Theorie erfordert den Nachweis der GIeich
wertigkeit ailer dieser ErkHirungen, d. h. den Nachweis, daB sie sich
je ineinander iiberfiihren lassen. Hierbei ist noch dem nullteiligen
Kegelschnitt (der nicht bei allen obigen Erzeugungen erscheint) be
sondere Aufmerksamkeit zu schenken. Damit ist aber nur der erste und
verhaltnismaJ3ig leichteste Schritt getan.
Denn nunmehr erwachst die weitere Aufgabe der Aufstellung und
sachgemaBen Klassifikation ailer Ausartungen, die sich am iibersicht
lichsten an die quadratische Gleichung zwischen Punkt- bzw. Linien
koordinaten ankniipfen. - Weiterhin ist dann bei jeder Eigenschaft
eines "Kegelschnitts" genau anzugeben, bis zu welchem Grade del'
"Ausartung" dieselbe noch giiltig bleibt. Dabei ist zu beachten, daH
es der abzahlenden Geometrie gelungen ist, die friiher bekannten
Ausartungen durch einige versteckter liegende zu vervollstiindigen.
Es braucht kaum erwahnt zu werden, daB beim Fortschreitell zu
hoheren Gebilden, ebenen Kurven dritten und vierten Grades, Fliichen
zweiten und dritten Grades, kubischen und biquadratischen Raum
kurven, linearen und quadratischen Komplexen usf., die Mannigfaltig
keit der Entstehungsweisen und Ausartungen entsprechend zunimmt.
Ein systematisch ausgebildetes Verfahren, um beim Beweise geo
metrischer Siitze samtlichen in Betracht kommenden Ausartungen ge
recht zu werden, besitzen wir nicht.
Bei einer Reihe einfacher grundlegender Satze, so des Desargues
schen Satzes iiber zwei perspektive Dreiecke der Ebene, des Pascal
schen Satzes u. a., gelingt es, eine dem jeweiligen Satze iibergeord
nete Identitiit aufzustellen, aus der als spezielle Anwendung del' frag
liche Satz selbst zugleich mit seiner Umkehrung und· seinen Giiltig
keitsgrenzen unmittelbar herausspringt.
So erklart es sich denn auch, warum die Anzahl der individu
ellen Eigenschaften eines einzelnen geometrischen Gebildes sehr viel
schwerer iibersehbar ist, als bei einern analytischen, und daB die
Vorrede zum dritten Bande. XI
Geometrie zu einem guten Teile den Charakter einer Kunst annimmt,
daB sie oft fast die Natur einer organisch in sieh verbundenen Wissen
schaft abzustreifen dl'oht.
Indessen wil'd diesel' Gefahr durch das Kleinsche gruppentheol'e
tische Programm von 1872 del' Boden entzogen. AHe die scheinbar
so durch- und nebeneinander laufenden Erklarungell und Eigenschaften
werden durch den Begriff del' Gruppe und ihl'er chal'akteristischen
Invarianten zusammengehalten; demgegeniiber erscheinen die getrennten
sonstigen Betrachtungsweisen nul' als auBerlich verschiedene Einklei
dungen. So wird, urn ein typisches Beispiel anzufuhren, die Elementar
geometrie als Invariantentheorie del' "Hauptgruppe" genau umgrenzt.
Die hiermit geschilderte Vielseitigkeit del' Geometrie bildet fUr
viele ein beinahe unubersteigbares Hindel'l1is. Abel' fur den wirk
lichen Geometer liegt in ihr gerade del' Reizseiner Wissenschaft.
Del' vorliegende Encyklopadieband bezweckt, moglicbst iiber alle
Zweige del' geometrischen Forschung Auskunft zu geben. Wenn auch
einige Referate iiber kleinere Gebiete fortfallen muSten, so hoffen wir
doch immerhin durch ibn einen vollbefriedigenden Uberblick iiber die
gesamte Geometrie ermoglicht zu haben. Mage er VOl' allen Dingen
auch von dem Reichtum und del' Schanheit del' Geometrie Bowie
ibrer befruchtenden Einwirkung auf die Analysis Zeugnis ablegen und
so del' Geometrie neue Freunde und Vel'ehl'er erwel'ben.
Konigsberg i. Pl'. und Basel, Ostern 1923.
w. Fr. Meyer.
H. Mohrmann.
