Elementare Stochastik: Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls

454 Pages·2005·4.9 MB·German

by  Andreas Büchter

Mathematik für das Lehramt
MathematikfürdasLehramt
A.Büchter/H.-W.Henn:ElementareStochastik
K.Reiss/G.Schmieder:BasiswissenZahlentheorie
Herausgeber:Prof.Dr.KristinaReiss,Prof.Dr.RudolfScharlau,
Prof.Dr.ThomasSonar,Prof.Dr.Hans-GeorgWeigand
AndreasBüchter Hans-WolfgangHenn
Elementare
Stochastik
Eine Einführung in die Mathematik
der Daten und des Zufalls
123
AndreasBüchter
Hans-WolfgangHenn
UniversitätDortmund,FachbereichMathematik
InstitutfürEntwicklungundErforschungdesMathematikunterrichts
Vogelpothsweg87
44221Dortmund,Deutschland
E-mail:[email protected]
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DieDeutscheBibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.ddb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2000):60-01,62-01
ISBN3-540-22250-2 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort
Liebe Leserin, lieber Leser,
herzlich Willkommen zu diesem Einstieg in die Welt der Daten und des Zufalls und
damit in die elementare Stochastik. Der Brockhaus nennt das Wort elementar im Zu-
sammenhang mit den grundlegenden Begriffen und Sätzen einer wissenschaftlichen
Theorie. Die alte Elementarschule wollte die für das Leben nach der Schule grundle-
gende Bildung und Ausbildung vermitteln. In diesem Sinne wollen wir Sie in dem
vorliegenden Buch mit den grundlegenden Ideen, Zusammenhängen und Ergebnissen
der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut machen. Dabei wollen wir
Sie bei Ihrem Vorwissen und Ihren intuitiven stochastischen Vorstellungen abholen
und die Theorie von realen Situationen aus entwickeln. Es geht uns daher nicht in
erster Linie um einen (wie normalerweise bei Mathematikbüchern üblichen) systemati-
schen und axiomatisch-deduktiv geprägten Aufbau einer Theorie.
Vermutlich studieren Sie das Fach Mathematik für ein Lehramt in den Sekundarstu-
fen. Die Auswahl der Inhalte wurde unter anderem anhand der Frage der Relevanz für
den Unterricht in diesen Schulstufen getroffen. Dieses Buch ist aber ebenso gut geeig-
net, um Studierenden des Lehramts für die Primarstufe einen tieferen Einblick in die
elementare Stochastik zu ermöglichen. Darüber hinaus kann es Mathematikstudieren-
den mit dem Ziel Diplom oder BA/MA dazu dienen, einen Zugang zur Stochastik zu
finden, der für weiterführende Stochastik-Vorlesungen sinngebend wirken kann. Die
Darstellung dieser Inhalte erfolgt nicht auf dem Niveau schulischen Unterrichts, son-
dern aus der „höheren“ Sicht der Hochschulmathematik. Hier standen uns die berühm-
ten Vorlesungen „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“ von Felix
Klein (1849–1925) vor Augen. Klein hat diese beiden auch als Buch erschienenen
Vorlesungen (Klein 1908, 1909; im Internet verfügbar) im Wintersemester 1907/08
und im Sommersemester 1908 in Göttingen gehalten. Im Vorwort beschreibt er seine
Ziele:
„Ich habe mich bemüht, dem Lehrer – oder auch dem reiferen Studenten – Inhalt
und Grundlegung der im Unterricht zu behandelnden Gebiete vom Standpunkte
der heutigen Wissenschaft in möglichst einfacher und anregender Weise über-
zeugend darzulegen.“
Das vorliegende Buch setzt eine gewisse „mathematische Grundbildung“ voraus,
wie sie z. B. in den ersten beiden mathematischen Studiensemestern erworben wird.
Vor jedem größeren Abschnitt steht ein kurzer Überblick über das, was den Leser im
Folgenden erwartet. Nicht alles, was behandelt wird, wird auch ausführlich bewiesen.
Ein fundierter Überblick mit dem Ziel einer „mathematischen Allgemeinbildung“ oder
– wie es der frühere Präsident der Deutschen Mathematiker Vereinigung (DMV) Ger-
not Stroth einmal als Aufgabe der Schule genannt hat – ein „stimmiges Bild von Ma-
thematik“ waren uns wichtiger als ein deduktiver Aufbau im Detail. Dieser bleibt
mathematischen Spezialvorlesungen vorbehalten. Möglichst oft haben wir historische
Zusammenhänge als Ausgangspunkt genommen und immer wieder konkrete Anwen-
dungssituationen der behandelten Inhalte beschrieben.
VI Vorwort
Getreu dem chinesischen Sprichwort „ein Bild sagt mehr als tausend Worte“ haben
wir versucht, viele Zusammenhänge zu visualisieren und damit verständlicher zu ma-
chen sowie unser Buch durch viele Bilder aufzulockern und interessanter zu gestalten.
Viele der Abbildungen haben wir mit Hilfe der Computer-Algebra-Systeme MAPLE
und DERIVE, der dynamischen Geometrie-Software DYNAGEO und der speziellen Soft-
ware STOCHASTIK erstellt. Für Bilder dieses Buches, die nicht von uns selbst erstellt
worden sind, wurde soweit möglich die Abdruckerlaubnis eingeholt. Inhaber von Bild-
rechten, die wir nicht ausfindig machen konnten, bitten wir, sich beim Verlag zu mel-
den.
Die von uns zitierten Internet-Adressen haben wir noch einmal im November 2004
kontrolliert; wir können keine Garantie dafür übernehmen, dass sie nach diesem Zeit-
punkt unverändert zugänglich sind.
Trotz aller Mühen und Anstrengungen beim Korrekturlesen kommt es wohl bei je-
dem Buch (zumindest in der Erstauflage) vor, dass der Fehlerteufel den sorgfältig ar-
beitenden Autoren ins Handwerk pfuscht. Daher werden auch in diesem Buch wahr-
scheinlich einige kleinere Rechtschreib-, Grammatik- oder Rechenfehler stecken. Um-
so mehr freuen wir uns über jede Reaktion auf dieses Buch, über kritische inhaltliche
Hinweise, über Hinweise auf (hoffentlich kleine) Fehler, aber natürlich auch über Lob.
Wenn Sie Anregungen, Hinweise oder Kommentare haben, so schicken Sie bitte ein-
fach eine E-Mail an
[email protected] .
Wir bemühen uns, jede Mail umgehend zu beantworten! Sollte es einmal ein paar
Tage dauern, so ruhen wir uns gerade vom Schreiben eines Buchs aus ... In jedem Fall
bearbeiten wir jede Mail. Sollte uns an irgendeiner Stelle trotz sorgfältigen Arbeitens
der Fehlerteufel einen ganz großen Streich gespielt haben, so werden wir eine entspre-
chende Korrekturanmerkung auf der Homepage zu diesem Buch veröffentlichen. Sie
finde diese unter
http://www.elementare-stochastik.de/ .
Zu guter Letzt bedanken wir uns herzlich bei allen, die uns unterstützt haben. Das
sind insbesondere unsere Kollegen Privatdozent Dr. Hans Humenberger (Dortmund),
Prof. Dr. Timo Leuders (Freiburg), Dr. Jörg Meyer (Hameln) und StR i. H. Jan Henrik
Müller (Dortmund), die uns ungezählte wertvolle Hinweise und Verbesserungsvor-
schläge gegeben und das Manuskript sorgfältig durchgesehen haben. Unser Dank gilt
auch Herrn Lars Riffert (Dortmund), der als „Zielgruppen-Leser“ mit dem Manuskript
gearbeitet hat und uns ebenfalls viele Hinweise und Anregungen gegeben hat. Unser
besonderer Dank gilt unseren Familien, die monatelang zwei ungeduldige Autoren
geduldig ertragen haben.
Dortmund, November 2004 Andreas Büchter und Hans-Wolfgang Henn
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung..................................................................................................3
1.1 Warum dieses Buch?........................................................................3
1.2 Was ist „Elementare Stochastik“?......................................................5
1.3 Klassische Probleme und typische Fragen.......................................5
1.4 Historische Bemerkungen.................................................................7
1.5 Zum Umgang mit diesem Buch.........................................................8
2 Beschreibende Statistik.........................................................................13
2.1 Verschiedene Arten von Daten........................................................15
2.1.1 Daten gewinnen als Messvorgang......................................15
2.1.2 Skalenniveaus: Nominal, ordinal und metrisch...................16
2.1.3 Skalenniveaus und Transformationen.................................21
2.2 Reduktion und Darstellung von Daten.............................................23
2.2.1 Absolute und relative Häufigkeiten sowie ihre Darstellung.23
2.2.2 Kumulierte Häufigkeiten und empirische
Verteilungsfunktion..............................................................28
2.2.3 Klassierte Daten und darauf basierende Darstellungen......31
2.2.4 Weitere graphische Darstellungen......................................37
2.2.5 Was ist eine gute Darstellung?............................................40
2.3 Kennwerte von Datenreihen............................................................50
2.3.1 „Wo ist die Mitte der Welt?“: Mittelwerte..............................50
2.3.2 Vergleich der Mittelwerte.....................................................60
2.3.3 Mittelwerte für klassierte Daten und gewichtete
Mittelwerte...........................................................................63
2.3.4 Mittelwerte anwenden.........................................................66
2.3.5 Nicht nur die Mitte ist interessant: Weitere Lagemaße........67
2.3.6 Verteilung von Daten um die Mitte: Streuungsmaße...........69
2.3.7 Die Tschebyscheff’sche Ungleichung für Datenreihen........75
2.3.8 Darstellung von Datenreihen mit Kennwerten.....................77
2.4 Datenreihen vergleichen: Standardisierung....................................83
2.4.1 Wie verhalten sich Kennwerte bei Transformationen?........84
2.4.2 Standardisierung von Datenreihen......................................86
2.4.3 Normierung von Datenreihen..............................................91
2.5 Spezielle Kennwerte: Indexzahlen..................................................93
2.6 Zusammenhänge zweier Merkmale: Korrelation und Regression...99
2.6.1 Linearer Gleichklang zweier Merkmale:
Korrelationsrechnung........................................................100
2.6.2 Grenzen der Korrelationsrechnung...................................109
2.6.3 Ursache-Wirkungs-Vermutungen: Regressionsrechnung.112
2.6.4 Nichtlineare Regression....................................................117
2.7 Das kann doch nicht wahr sein! Paradoxes..................................120
2.8 Grenzen der beschreibenden Statistik..........................................124
2.9 Weitere Übungen zu Kapitel 2.......................................................125
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Wahrscheinlichkeitsrechnung.............................................................133
3.1 Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs.................................134
3.1.1 Zufallsexperimente.............................................................134
3.1.2 Laplace-Wahrscheinlichkeiten...........................................139
3.1.3 Frequentistische Wahrscheinlichkeiten..............................143
3.1.4 Subjektive Wahrscheinlichkeiten.......................................149
3.1.5 Vergleich der Ansätze........................................................151
3.1.6 Axiomatisierung für endliche Ergebnismengen..................152
3.1.7 Erweiterung auf abzählbar unendliche Ergebnismengen..155
3.1.8 Ausblick auf überabzählbare Ergebnismengen.................157
3.1.9 Stochastische Modellbildung.............................................164
3.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten................................................166
3.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten..........................................166
3.2.2 Stochastische Unabhängigkeit...........................................170
3.2.3 Baumdiagramme und Pfadregeln......................................173
3.2.4 Satz von Bayes..................................................................180
3.3 Hilfsmittel aus der Kombinatorik.....................................................190
3.3.1 Toto 11er-Wette.................................................................191
3.3.2 Rennquintett.......................................................................192
3.3.3 Lotto...................................................................................193
3.3.4 Das Gummibärchen-Orakel...............................................197
3.3.5 Kombinatorische Formeln..................................................198
3.4 Tücken der stochastischen Modellbildung.....................................203
3.4.1 Stochastische Modellbildung.............................................203
3.4.2 Stochastische Paradoxa....................................................206
3.4.3 Schau genau hin: Interpretation von Fragestellungen.......215
3.4.4 Naheliegende, aber untaugliche Modellbildungen.............221
3.4.5 Lösungsansätze bei Urnen-Aufgaben................................223
3.4.6 Die Genueser Lotterie und die Keno-Lotterie....................225
3.5 Zufallsvariable................................................................................229
3.5.1 Einführung von Zufallsvariablen.........................................229
3.5.2 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen.............234
3.5.3 Verknüpfungen von Zufallsvariablen..................................241
3.5.4 Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen..........243
3.5.5 Erwartungswert und Varianz von verknüpften
Zufallsvariablen..................................................................245
3.5.6 Standardisierte Zufallsvariable...........................................248
3.5.7 Korrelationsrechnung für Zufallsvariable...........................249
3.6 Verteilungen von Zufallsvariablen..................................................251
3.6.1 Binomialverteilung..............................................................251
3.6.2 Multinomialverteilung.........................................................257
3.6.3 Hypergeometrische Verteilung...........................................258
3.6.4 Geometrische Verteilung...................................................260
3.6.5 Poisson-Verteilung.............................................................261
3.7 Gesetze der großen Zahlen...........................................................267
3.7.1 Die Tschebyscheff’sche Ungleichung für Zufallsvariable...267
3.7.2 Das Bernoulli’sche Gesetz der großen Zahlen..................268
3.7.3 Empirisches und Bernoulli’sches Gesetz der großen
Zahlen................................................................................270
Inhaltsverzeichnis IX
3.8 Normalverteilung und Grenzwertsätze..........................................271
3.8.1 Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace..........272
3.8.2 Beweisidee des lokalen Grenzwertsatzes.........................278
3.8.3 Stetige Zufallsvariable.......................................................282
3.8.4 Zentraler Grenzwertsatz....................................................287
3.8.5 (cid:86)-Regeln für die Normalverteilung....................................292
3.9 Zufall und Pseudozufall.................................................................293
3.9.1 Was ist „Zufall“?................................................................293
3.9.2 Computererzeugte Pseudozufallszahlen...........................294
3.9.3 Zufallszahlen und Simulation............................................299
3.10 Weitere Übungen zu Kapitel 3.......................................................301
4 Beurteilende Statistik...........................................................................309
4.1 Parameterschätzungen.................................................................311
4.1.1 Stichprobenkennwerte als Zufallsvariablen.......................312
4.1.2 Punktschätzungen: Maximum-Likelihood-Methode...........318
4.1.3 Gütekriterien für Punktschätzungen..................................323
4.1.4 Intervallschätzungen: Konfidenzintervalle für Parameter..325
4.2 Hypothesentests............................................................................337
4.2.1 Klassische Hypothesentests.............................................337
4.2.2 Hypothesentests anwenden..............................................347
4.2.3 Historische und wissenschaftstheoretische
Bemerkungen....................................................................356
4.2.4 Tests mit der Chi-Quadrat-Verteilung................................360
4.3 Bayes-Statistik...............................................................................366
4.3.1 Bayes’sche Hypothesentests............................................367
4.3.2 Bayes’sche Parameterschätzungen..................................374
4.3.3 Klassische und Bayes’sche Sichtweise im Vergleich........377
4.4 Weitere Übungen zu Kapitel 4.......................................................380
5 Statistik anwenden...............................................................................385
5.1 Unterschiede in den Anwendungsdisziplinen................................386
5.2 Exploratives und hypothesengeleitetes Vorgehen........................388
5.3 Untersuchungsplanung und -auswertung......................................389
5.3.1 Erhebungsdesign..............................................................390
5.3.2 Grundgesamtheit und Stichprobe......................................391
5.3.3 Auswahl der Auswertungsverfahren..................................393
5.3.4 Darstellung und Interpretation der Ergebnisse..................393
6 Lösungen der Aufgaben......................................................................399
6.1 Aufgaben aus Kapitel 2.................................................................399
6.2 Aufgaben aus Kapitel 3.................................................................413
6.3 Aufgaben aus Kapitel 4.................................................................430
Literaturverzeichnis....................................................................................441
Index.............................................................................................................447
1
Kapitel 1
Einleitung