Ecuaciones diferenciales estocásticas y casos de aplicación en finanzas

104 Pages·2007·0.63 MB·Spanish

Universidad EAFIT
Departamento de Ciencias B´asicas
Ecuaciones Diferenciales Estoc´asticas y
casos de aplicaci´on en Finanzas
Freddy H. Mar´ın S´anchez
Trabajo de Investigacio´n presentado como requisito parcial para optar
por el t´ıtulo de Magister en Matem´aticas Aplicadas
Director
Ulises C´arcamo
Departamento de Ciencias B´asicas
UNIVERSIDAD EAFIT
Medell´ın
2
Agradecimientos
El desarrollo de este trabajo fue posible gracias al invaluable apoyo del departamento de
Ciencias B´asicas de la Universidad EAFIT, al programa de Ingenier´ıa Matem´atica y a
todo el esfuerzo de los profesores de la maestr´ıa en Matem´aticas Aplicadas.
Quiero agradecer tambi´en a todas aquellas personas que de una u otra forma hicieron
posible la realizaci´on de este trabajo, a mi familia y en especial a los profesores Ulises
C´arcamo, Hermilson Vela´squez, Jos´e Vald´es y Jairo Villegas; as´ı como a mis compan˜eros
Francisco Zuluaga, Fredy P´erez y al estudiante Tom´as Olarte.
i
ii AGRADECIMIENTOS
´
Indice general
Agradecimientos
I
Prefacio
IX
1. Conceptos Preliminares 1
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Espacio de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Esperanza Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1. Propiedades elementales de la esperanza condicional . . . . . . . . . 4
1.4. Procesos Estoc´asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Movimiento Browniano e Integrales Estoc´asticas 7
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Integrales Estoc´asticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. La F´ormula de Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Ecuaciones Diferenciales Estoc´asticas 15
3.1. Existencia y Unicidad de las Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Ecuaciones Diferenciales Estoc´asticas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1. F´ormula Estoc´astica de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2. F´ormula de Variaci´on de las Constantes . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3. Ecuaciones Lineales Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4. Ecuaciones Lineales en el Sentido Estricto . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.5. Ecuaciones Lineales Aut´onomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
iii
´
iv INDICE GENERAL
3.3. Aproximaciones Num´ericas para EDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1. M´etodo de Aproximaci´on de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2. M´etodo de Aproximaci´on de Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Ecuaciones Diferenciales Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1. El Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.2. Las Ecuaciones de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Din´amica de Portafolios:
una aplicaci´on financiera 35
4.1. Portafolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1. Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2. Precios en condiciones de arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1. Reclamos contingentes y arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2. Justificaci´on Semi-intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. La F´ormula de Black-Scholes:
otra aplicaci´on financiera 47
5.1. Ecuaci´on de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2. Valoracio´n de riesgo neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3. La f´ormula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Procesos AR(1), GARCH(1,1) y de Reversio´n a la Media 57
6.1. Modelos con Heterocedasticidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1. El proceso AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.1.2. El proceso GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Procesos de Reversi´on a la Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.1. Procesos de Reversio´n a la Media de un solo factor . . . . . . . . . 60
7. Estimaci´on de Modelos de Difusi´on:
la conexi´on con el mundo “real” 63
7.1. M´etodo de M´axima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.1. Estimaci´on de M´axima Verosimilitud para el Proceso de Ornstein-
Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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INDICE GENERAL v
7.1.2. Estimadores de M´axima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2. M´etodo de Momentos y Generador Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.1. Condiciones de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2. Identificacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2.3. M´etodo de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.4. Descomposici´on Espectral del Generador Infinitesimal . . . . . . . . 69
7.2.5. Descomposici´on Can´onica no Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.6. Estimaci´on para la Descomposici´on Espectral . . . . . . . . . . . . 71
7.2.7. Estimaci´on basada en el Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3. M´etodos basados en las funciones de escala y la velocidad . . . . . . . . . . 72
7.3.1. Escala intr´ınseca y tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3.2. Estimaci´on de observaciones de valor discreto . . . . . . . . . . . . 74
7.4. M´etodo de Momentos Simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.5. Inferencia Indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6. M´etodo de los Momentos Eficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.6.1. Aplicaci´on a modelos de tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . 78
8. Aplicaci´on: el caso del aluminio 81
8.1. Estimadores de M´axima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.2. Simulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3. El caso del Aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
´
vi INDICE GENERAL
´
Indice de figuras
2.1. Una trayectoria de un Movimiento Browniano Est´andar . . . . . . . . . . . 8
2.2. Izquierda: funci´on diferenciable. Derecha: Funcio´n no diferenciable en x =
0, existen infinitos tangentes que se pueden cruzar por el punto. . . . . . . 8
2.3. Movimientos Brownianos en los cuales se resalta la forma similar a escala. . 9
2.4. Trayectoria de un Movimiento Browniano Geom´etrico. . . . . . . . . . . . 10
3.1. Aproximaciones de Euler para dX = λX dt+µX dB con λ = 1,µ = 2 . . 24
t t t t
3.2. Aproximaciones de Milstein para dX = λX dt+µX dB con λ = 1,µ = 2 . 26
t t t t
4.1. Con K = 100, funci´on de contrato call Europea (a la izquierda) y funci´on
de contrato put Europea (a la derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1. Black-Scholes para una opci´on call Europea . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.1. Par´ametros de cada simulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2. Simulaciones para cuatro procesos GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3. Gr´afica de la serie de aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4. Autocorrelaci´on del aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5. Gr´afica de los residuales para la serie del aluminio . . . . . . . . . . . . . . 88
8.6. Modelo GARCH para la serie del aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.7. Gr´afica del modelo GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
vii
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viii INDICE DE FIGURAS