Das Optimierungslabor -- ein Erfahrungsbericht (Experiencing optimization with students)

7.7 MB·

by  Miriam Kießling

DAS OPTIMIERUNGSLABOR – EIN ERFAHRUNGSBERICHT
MIRIAMKIESSLING,SASCHAKURZ,TOBIASKREISEL,JÖRGRAMBAU,KONRASCHADE,UNDCORNELIUS
SCHWARZ
ZUSAMMENFASSUNG. Forseveralyears,studentsvisitusondifferentoccasionsattheuniversity.Buthow
tobridgefromtheschoolcurriculumtothecontentsoftheuniversitymathematics?Andhowtofindafocal
pointatwhichanactivecontribute,despitethelackofknowledge,inviewoflimitedtimeispossible?Our
approach:Translate,underguidance,everydaylifeoptimizationproblemsintothelanguageofmathematics,
i.e.usingvariables,targetfunctions,equationsandinequalities.Theseso-calledintegerlinearprogramming
4 modelsarethensolvedbystandardsoftware.Inthisreportwewnattotellaboutthelessonswehavelearned.
1
SeitmehrerenJahrenbesuchenunsSchülerinnenundSchülerzuunterschiedlichenAnlässenanderUni-
0
versität.DochwielässtsichdieBrückevomSchulstoffzudenInhaltenderUniversitätsmathematikschlagen?
2
Und:findetmaneinenThemenschwerpunkt,beidemeinaktivesMitmachentrotzfehlenderVorkenntnissein

n AnbetrachtbegrenzterZeitmöglichwird?UnserAnsatz:UnterAnleitungsollenAlltagsoptimierungsprobleme
a indieSprachederMathematikübersetztwerden,alsodurchVariablen,Bewertungsfunktionen,Gleichungen
J undUngleichungenausgedrücktwerden.DiesesogenanntenILP-ModellewerdendanndurchStandardsoft-
1 warederdiskretenOptimierunggelöstundderenLösungwiederindieAlltagssituationzurückübersetzt.In
3 diesemBerichtwollenwirunsereErfahrungenmitkonkretenDetailsderUmsetzungschildern.

]
C
O 1. EINLEITUNG
.
h SeitmehrerenJahrenbesuchenunsSchülerinnenundSchülerderJahrgangsstufen10–13anderUniver-
at sitätBayreuthzuAnlässenwiedemTagderMathematik1,demGirls’Day,derMINT-Herbstuniversität
m odereinfachaufInitiativeihrerKlassenleitungen.SiemöchteneinenEinblickindieWeltderMathematik
über die Schulmathematik hinaus bekommen. Doch wie lässt sich die Brücke vom Schulstoff zu den
[
InhaltenderUniversitätsmathematikschlagen?Und:findetmaneinenThemenschwerpunkt,beidemein

1
aktivesMitmachentrotzfehlenderVorkenntnisseundinAnbetrachtbegrenzterZeitmöglichwird?
v
InderdiskretenOptimierunglassensichProblem-ModellierungundProblem-Lösungsehrguttrennen.
1
6 SelbstforschungsnaheModellederganzzahligenlinearenOptimierung(ILP-Modelle)basierenaufsehr
1 elementarenÜberlegungen,wiedieEntscheidungsmöglichkeiten,ZieleundRestriktioneneinesAlltags-
8 problems in Variablen, Bewertungsfunktionen, Gleichungen und Ungleichungen ausgedrückt werden
.
1 können.WiedannoptimaleLösungengefundenwerden,erfordertzwartiefergehendeMathematik,esgibt
0 aberSoftwaredafür,inderdasWissenausTeilendesMathematik-Studiumsunddermathematischen
4 Forschungkondensiertvorliegt.
1
UnserVermittlungsziel:SchülerinnenundSchülerwissennachdemBesuch,dassmanverschiedenste
:
v Problemeangreifenkann,indemmansieindieSprachederMathematikübersetzt,denninSoftwaregegos-
Xi senesmathematischesKnow-HowkanndanndieseProblemelösen,ohneetwasüberdieProblemeselbstzu
wissen.UnsereIdeefüreineMaßnahme:EinOptimierungslabor.DieSchülerinnenundSchülerisolieren
r
a inTeamarbeitdiewesentlichenlogischenMerkmalevonSudokulösen,Rucksackpacken,Routenplanung
u.v.a.m.DannübersetzensiedieProblemstellungenindieSprachederMathematik(hier:ILP-Modelle)
undlassensie(unterstütztdurchunserTeam)vonComputerprogrammenlösen(ILP-Löser),dienichts
anderesalsdieseSpracheverstehen.SchließlichübersetzensiediemathematischenLösungenwiederin
dieSprachederProblemstellung.ErfahrungenmitderModellierungaufBasislinearerGleichungssysteme
könnendabeiausdemSchulunterrichteingebrachtwerden.
1http://www.tdm.uni-bayreuth.de
1
2 MIRIAMKIESSLING,SASCHAKURZ,TOBIASKREISEL,JÖRGRAMBAU,KONRASCHADE,UNDCORNELIUSSCHWARZ
IndiesemBerichtwollenwirunsereErfahrungenmitkonkretenDetailsderUmsetzungschildern.
2. HISTORIEDESPROJEKTS
DieIdee,ModellierungswerkzeugeundStandardsoftwarezubenutzen,umohnevielVorlaufStudieren-
deninfrühenSemesterndenZugangzurLeistungsfähigkeiteinermathematischenMethodezuebnen,ist
nichtvonuns.InArbeitsgruppenderdiskretenOptimierungwerdenmittlerweileanvielenUniversitäten
ModellierungsaufgabenregelmäßiginVorlesungenverwendet.
Eine der Pionierveranstaltungen in diesem Bereich für Schulklassen, die Modellierungswoche der
TUKaiserslauternundderTUDarmstadtinLambrecht,läuftseit1993.2Diedaten-undsoftwareorien-
tierteDarstellungvonThemenausderKombinatorischenOptimierunganhandvonPraxisprojektenfür
StudierendeisteinelangjährigeIdeevonMartinGrötschelgewesen,formuliertzuerstalseinBuchprojekt
„CombinatorialOptimizationatWork“,ProjektG1ausderGründungsphasedesMatheonBerlin2004,
späteralseinBlockkursprojektmitOnline-Dokumentation.
UnserStartwareinBlockkursfürStudierendeabdem2.SemesterAnfang2005anderUniversität
Bayreuth.3 Teile des Übungsmaterials fanden auch Verwendung im ersten Blockkurs „Combinatorial
OptimizationatWork“inBerlin,2005.4
Schnell wurde deutlich, dass die Vorgehensweise nach weiteren Vereinfachungsschritten auch für
SchülerinnenundSchülersowiefürdieallgemeineÖffentlichkeitinteressantseinkönnte.Diezunächst
angebotenenLaboreandenBayreutherTagenderMathematik2007und2008warennochrechtnahandie
universitäreArbeitsweiseangelehnt.Eswarzumerken,dasseinAusschnittauseinemBlockkursallein
nochkeinausreichendesKonzeptfüreinezweistündigeVeranstaltungseinkann.ImJahrderMathematik
2008wurdedanndieStrategieimRahmeneinerKooperationmitderStadtbibliothekBayreuthüberarbeitet.
Kernpunkte dieser Überarbeitung waren die Bereitstellung von möglichst greifbaren Materialien zur
besserenAktivierungvonkooperativemNachdenken,Dokumentieren,Verwerfen,Revidieren,Sichern.Im
NachgangdazuhatsicheinPortfolio5vonbeispielhaftenOptimierungsprojektenstabilisiert,indenen
dieÜbersetzungdes(idealisierten)AnwendungsproblemsindieSprachederMathematikimMittelpunkt
steht.
Mittlerweile wird das Optimierungslabor, wann immer die Zeit es zulässt, eingeleitet von einem
separatfürdieURANIA6-VortragsreihedesMATHEON7BerlinentstandenenVortragüberdieOptimierung
der „Gelben Engel“ des ADAC.8 Hier werden die Grundprinzipien mathematischen Modellierens am
BeispieldesHandlungsreisendenproblemsdetailliertvorgeführtundindieRahmenhandlungdesADAC-
Praxisprojektseingebettet.ZielistdieEinstimmungundderersteKontaktmitdemThema„Mathematik
alsSprache“.DasPublikumwirddabeizumaktivenMitdenkenangeregt;vielelegenbeimVortragihre
anfänglicheZurückhaltungnachundnachab.
3. DEREINFÜHRUNGSVORTRAG:GELBEENGEL,EINHANDLUNGSREISENDERUNDDIESPRACHE
DERMATHEMATIK
ZuBeginnderVeranstaltungwirddieGruppeaufdasThemaModellierungeingestimmt.AlleProjekte,
diedieGruppespäteraktivbearbeitenwird,sindakademischeModellierungsbeispiele.ZielisteinBegrei-
fenvonPrinzipien.Echte,praxistauglicheModellesindkomplizierter,beziehensichaberinTeilenimmer
2SiehedenÜberblickunterhttp://www.kfunigraz.ac.at/imawww/modellwoche/konzept4.html.
3http://www.rambau.wm.uni-bayreuth.de/Teaching/Uni_Bayreuth/WS_2004/Diskrete_
Optimierung_Anwendungen/
4http://co-at-work.zib.de/berlin/
5http://www.wm.uni-bayreuth.de/index.php?id=optlabor
6http://www.urania.de/die-urania/
7http://www.matheon.de/
8http://www.wm.uni-bayreuth.de/fileadmin/Sonstiges/Folien/Schueler_ADAC_2004-11-16.
pdf
DASOPTIMIERUNGSLABOR–EINERFAHRUNGSBERICHT 3
wiederaufdiesePrinzipien.DerProzess,indemmanauseinemhoch-komplexenAnwendungsproblemder
realenWeltwichtigeModellierungsprinzipienextrahiert,wirdimVortragnachverfolgt.MottodesVortrags
isteinZitatvonGalileiausseiner„Goldwaage“.9SinngemäßbehauptetGalilei,dassdasUniversumnur
verstandenwerdenkann,wennmandieSprachederMathematikbeherrscht.Wirbehauptenetwasweniger:
MancheProblemederPraxiskannmannurdannfundiertlösen,wennmansievorherindieSpracheder
Mathematikübersetzt-derKerndermathematischenModellierung.
Aufhänger ist das Einsatzplanungsproblem der „Gelben Engel“ des ADAC: Wie wird entschieden,
welchesHilfefahrzeuginwelcherReihenfolgewelchenHavaristenhilft,sodasseinerseitsjedemgeholfen
wirdundandererseitsKostenundWartezeitenmöglichstgeringsind?EinBeispielfüreinOptimierungspro-
blem.IneinererstenArgumentationsliniewerdendieOnline-unddieEchtzeitproblematikherausgestellt:
Man weißnicht, wer in der Zukunft noch havarieren wird, und die Entscheidung über die Einsatzpla-
nungmussnochwährenddesTelefonatsmitdemHavaristengetroffenwerden,damiteinegeschätzte
Ankunftszeit mitgeteilt werden kann. Als grundsätzliches Vorgehen wird die Reoptimierung erläutert:
planezujedemZeitpunktoptimalfürdenFall,dasskeineneueHavaristenmehranrufen.Ruftdocheiner
an,dannwiederholediePlanung.DiesreduziertdasProblemaufeinOffline-Optimierungsproblemauf
DateneinesSchnappschussesdesSystems.AndieserStellebrauchtmaneinComputerprogramm,das
fürjedenSchnappschussdesSystemseineoptimaleEinsatzplanungechtzeittauglich(d.h.inetwa10s)
berechnet.
AndieserStellewirdderAnwendungskontextverlassen,weilmanineinemModellfürdasADAC-
ProblemdenWaldvorlauterBäumennichtmehrsähe(Genaueresfindetsichin[8]und[7]).Stattdessen
wirddasProblemdurchgezieltesWeglasseneinigerAspekteaufeinHandlungsreisendenproblem(TSP)
reduziert:EinHandlungsreisendersuchteinekürzeste,geschlosseneTourdurcheineMengevonStädten.
UnddieModellierungeinesTSPsenthälteinigeschönegrundsätzlicheAspekte,derengenaue,möglichst
interaktivgefundeneFormalisierungdenKerndesVortragsausmacht.
DieStrukturdesModellierungsprozessesorientiertsichanfolgendenSchritten:
(1) WiestelltmandiewesentlichenAspektedesProblemsdar?Diesführtaufgewichtete,ungerichtete
GraphenalszentralemathematischeStruktur.
(2) WiekodiertmaneinespezielleTSP-Tour?DiesführtzuAdjazenzmatrizen,dieineinerTabellen-
kalkulationgutvisualisierbarsind.
(3) WierepräsentiertmaneineunbekannteTSP-Tour?DiesführtaufAdjazenzmatrizen,dieVariablen
alsEinträgehaben.EntscheidungsmöglichkeitenwerdeninderSprachederMathematikdurch
solcheVariablenrepräsentiert.
(4) WieermitteltmandieKosteneinerTSP-TourausihrerAdjazenzmatrix?DiesführtaufdieMatrix
aller paarweisen Entfernungen, die manchen aus Atlanten bekannt sein dürfte. Das Ziel, eine
möglichstkurzeTourzufinden,wirdrepräsentiertdurcheineZielfunktionindenVariablen.
(5) Wiefindetmanheraus,obeinegegebeneAdjazenzmatrixwirklichalleBedingungenfüreine
TSP-Tourerfüllt?DiesistderlogischanspruchsvollsteSchrittundeinSiegderMathematik:Man
kanndiesfüreineallgemeineTSP-Tourausdrücken,beschriebendurchmathematischformulierte
RestriktionenfürdieVariablenbelegung(Gleichungen,Ungleichungen,Ganzzahligkeitsbedingun-
genindenVariablen).InderMathematikkannmanmitetwasrechnen,dasmannochgarnicht
kennt!
Ergebnis dieser Schritte ist ein vollständiges Modell für das TSP aus der Klasse der Ganzzahligen
LinearenOptimierungsaufgaben(ILP).FürdiesegibtesSoftware,inder(fast)dasganzemathematische
WissenübersolcheAufgabenkondensiertvorliegt.DieseSoftwareweißwederetwasvomHandlungs-
reisendennochvomADAC.SiekenntnurdieSprachederMathematik.UndfürdasModellfindetsie
9Saggiatore,zufindenunterhttp://www.liberliber.it/biblioteca/g/galilei/
4 MIRIAMKIESSLING,SASCHAKURZ,TOBIASKREISEL,JÖRGRAMBAU,KONRASCHADE,UNDCORNELIUSSCHWARZ
Lösungen für alle nicht zu großen Problembeispiele. Wie groß„nicht zu groß“ sein kann, zeigen die
aktuellenWeltrekordemitbeweisbaroptimalenTourendurchüberzwanzigtausendStädte.10
ImADAC-ProblemführtediesesVorgeheninderPraxiszumErfolg.Aberdie„Rahmenhandlung“zum
ADAC-ProblemwirdaufeinemnarrativenNiveauzumAbschlussgebracht.Natürlichnichtohneeinen
Hinweisdarauf,dassmandieMathematik,dieinderOptimierungs-Softwaresteckt,anderUniversität
auchlernenkann(imOptimierungslaborjedochleidernicht).
DassdieModellierungmiteinwenigHilfestellunggarnichtsoschwerist,erlebendieSchülerinnen
undSchülerbeimBearbeitendernunfolgendenModellierungsprojekte.UnserVorgehenbeschreibenwir
imFolgendenstellvertretendaneinemRätselausdemSchach.
4. EINMODELLIERUNGSPROJEKT:NICHT-SCHLAGENDEDAMENKONFIGURATIONENIMSCHACH
KannmanachtDamensoaufeinemSchachbrettplatzieren,dasskeineeineandereschlagenkann,
wennsiesich,wieüblich,beliebigweithorizontal,vertikalunddiagonalüberdasBrettbewegendürfen?
UmdiesesSchachrätselalsILPmodellierenzukönnen,fragenwirnachdenwesentlichenAspekten
desProblems:Waskannmanentscheiden?NatürlichdiePositionender8Damen.DernächsteSchrittist
dieÜbersetzungunsererEntscheidungenindieSprachederMathematik:Wiekannmandiesekodieren?
8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
7 q 7 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1
5 q 5 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 1 1
4 4 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 3 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 q q 2 0 0 1 0 1 0 0 0 7 0 0 1 0 1 0 0 0 2
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a b c d e f g h a b c d e f g h Σ 0 0 1 0 2 0 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8
Abbildung1. Gewohnteund 1x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18
übersetzteDarstellung. 2x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28
3x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38
4x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48
5x51 x52 x53 x54 x55 x56 x57 x58
6x61 x62 x63 x64 x65 x66 x67 x68
7x71 x72 x73 x74 x75 x76 x77 x78
8x81 x82 x83 x84 x85 x86 x87 x88
Abbildung2. IneinerTabellenkalkulation.
Abbildung1zeigtlinkseineStellungvonvierDameningewohnterManier.Rechtsdanebenhabenwir
aufschmückendesBeiwerkverzichtet:FeldermiteinerDamewerdendurcheine1,Felderohnedurch
eine0ausgedrückt.DieseDarstellunghatdenVorteil,dasswirdamit–z.B.ineinerTabellenkalkulation
wieExcel–rechnenkönnen.
Wo die Damen letztlich stehen müssen, wissen wir aber noch gar nicht, lediglich dass auf jedem
Feldeinestehtodernicht.DasdrückenwirdurchVariablenaus,dienurdieWerte0oder1annehmen
könnenundderenNameAuskunftüberdiePositiondeszugehörigenFeldesgibt,sieheAbbildung2rechts.
DerdabeivorgenommeneWechselvondergewohntenalphanumerischenFeldbezeichnungzueinerrein
numerischenwirdsichspäteralsnützlichherausstellen.
Es könnte sein, dass es nicht möglich ist, acht Damen (nicht-schlagend) auf einem Schachbrett zu
platzieren.VorsichtshalberformulierenwirdieAufgabedeshalbumzu„PlatzieremöglichstvieleDamen,
diesichgegenseitignichtschlagenkönnen“.DerenAnzahllässtsichdannbestimmen,indemmandie0/1-
Wertealler64Felderaufaddiert.UnserZielmussesdamitsein,dieseSummemöglichstgroßzumachen.
10http://www.tsp.gatech.edu/
DASOPTIMIERUNGSLABOR–EINERFAHRUNGSBERICHT 5
DasSchöneanMathematik:DieseIdeefunktioniertauch,wennwirVariablen(alsonochunbekannte
Größen)verwenden.UnsereZielfunktionlautetdann
max x1,1+x1,2+x1,3+x1,4+x1,5+x1,6+x1,7+x1,8+x2,1+···+x8,7+x8,8.
Nunmüssenwirdafürsorgen,dassdie„Regeln“eingehaltenwerden,sichdieplatziertenDamenalso
nichtgegenseitigschlagenkönnen.InAbbildung1istdasverletzt,leichtzuerkennenandenZweiern
in Abbildung 2 links, welche die Zeilen- und Spaltensummen angeben. Eine Stellung ist nur dann
zulässig,wenndieseSumme0oder1ist.AusgedrücktmitunserenEntscheidungsvariablenlautetdiese
NebenbedingungfürZeile7:
x7,1+x7,2+x7,3+x7,4+x7,5+x7,6+x7,7+x7,8≤1.
DamitbleibendieDiagonalen.Dieselassensichganzanalogbehandeln.FürdieHauptdiagonalevon
linksobennachrechtsuntenlautetunsereBedingung
x +x +x +x +x +x +x +x ≤1.
1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,8
(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)
1−1=0 2−2=0 3−3=0 4−4=0 5−5=0 6−6=0 7−7=0 8−8=0
DiegeschweiftenKlammernverdeutlichen,dassmansich–dankdernumerischenFeldbezeichner–eines
Kniffsbedienenkann:BeiAufwärtsdiagonalenistjeweilsdieSummederIndizesgleich,beiAbwärts-
diagonalendieDifferenzderIndizes,sieheAbbildung3.DamitlassensichdieFeldereinerDiagonale
kompaktbeschreiben.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 -­‐1 -­‐2 -­‐3 -­‐4 -­‐5 -­‐6 -­‐7 1 1 q
2 3 4 5 6 7 8 910 2 1 0 -­‐1 -­‐2 -­‐3 -­‐4 -­‐5 -­‐6 2 2 q
3 4 5 6 7 8 91011 3 2 1 0 -­‐1 -­‐2 -­‐3 -­‐4 -­‐5 3 3 q
4 5 6 7 8 9101112 4 3 2 1 0 -­‐1 -­‐2 -­‐3 -­‐4 4 q 4 q
5 6 7 8 910111213 5 4 3 2 1 0 -­‐1 -­‐2 -­‐3 5 q 5 q
6 7 8 91011121314 6 5 4 3 2 1 0 -­‐1 -­‐2 6 q 6 q
7 8 9101112131415 7 6 5 4 3 2 1 0 -­‐1 7 q 7 q
8 910111213141516 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 q 8 q
Abbildung3. Summebzw.DifferenzderFeldindizesundzweiBeispielkonfigurationen.
InsgesamtergebensichjeachtNebenbedingungenfürZeilenbzw.Spaltenund2·15Nebenbedingungen
fürdieDiagonalen.MitetwasmathematischemFormalismusunddurchAusnutzendesebengesehenen
MusterskannmansicheinigeSchreibarbeitsparenunddasILP-Modellkompakthinschreiben:
max∑8i=1∑8j=1xi,j unterdenNebenbedingungen
xi,j∈{0,1} ∀i,j=1,...,8,
∑8j=1xi,j≤1 ∀i=1,...,8,
∑8i=1xi,j≤1 ∀j=1,...,8,
∑i+j=kxi,j≤1 ∀k=2,...,16,
∑i−j=kxi,j≤1 ∀k=−7,...,7.
ÜbergibtmandiesesModellaneinComputerprogrammzumLösenvonILPs11,könntemandierechte
KonfigurationausAbbildung3erhalten(insgesamtgibtes92Lösungen).DieKonfigurationlinksdaneben
mitnurfünfDamenistauchetwasBesonderes.Warum?12
11z.B.dieZIBOptimizationSuite,siehehttp://zibopt.zib.de/.
12DieAuflösungfindetsichamEndedesArtikels.
6 MIRIAMKIESSLING,SASCHAKURZ,TOBIASKREISEL,JÖRGRAMBAU,KONRASCHADE,UNDCORNELIUSSCHWARZ
SeltengibtesinderMathematiknureinenWegzumZiel,undsolassensichauchbeimDamenproblem
alternativeModellefinden,siehedazu[4,S.32ff.].
5. WEITEREMODELLIERUNGSPROJEKTE
DenSchülerinnenundSchülernstellenwirvieleweitereAufgabenstellungenzurWahl.DasProjekt
dernicht-schlagendenDamenhabenwirhiergenauerbeleuchtet,daesdieÜbersetzungvonEntschei-
dungsmöglichkeiten, Zielen und Restriktionen eines direkt nachvollziehbaren Problems in Variablen,
Bewertungsfunktionen,GleichungenundUngleichungenveranschaulicht.
ImLaufederZeithabensicheinigeModellierungsprojekteherauskristallisiert,derenProblemstellungen
wirimFolgendenbeschreibenwollen.AuswahlkriterienwarendiepotentielleNähezumAlltagderSchüler
(abhängigvonderInteressenslage),dieMöglichkeit,ohnevieltheoretischeVorkenntnisseaktivmitmachen
zukönnen,eineüberschaubareKomplexität(bedingtdurchzeitlicheEinschränkungenunddenanvisierten
motivierendenCharakter)undteilweisegrößerekonzeptionelleÜberschneidungenzwischendeneinzelnen
Projektvorschlägen,umErfolgserlebnissedurchTransferleistungenzuermöglichen.DesWeiterensollte
dasProblemnichtallzueinfachmitderHand zulösensein.DienachfolgendvorgestellteAuswahlist
keineswegsabschließendzusehen.SiesolldemLeseralsAnregungdienenunddieBreitemöglicher
Problemstellungenandeuten.EinletzterWarn-bzw.Motivationshinweis:DieGrenzezwischenreinen
Spielproblemen,ökonomischrelevantenProblemenundForschungsproblemenistfließend.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
1 N N 1 n 1 n 1
2 N N 2 2 2
3 n 3 3 3
4 N N 4 4 4
5 N N 5 5 5 n
6 6 6 6
7 7 n 7 7
8 8 8 8
Abbildung4. Links:DerRösselsprung. Abbildung5. Zweiverschiedene
Rechts:EineoffeneSpringertour. geschlosseneSpringertouren.
BleibenwirzunächstbeimSchach.EineSpringertouristeineRouteaufeinemleerenSchachbrett,bei
derjedesFeldgenaueinMalbesuchtwird.BewegendarfsicheinSpringerjeweilszweiFeldergeradeaus
undeineszurSeite,sieheAbbildung4.SindStart-undEndfeldeinenSpringerzugvoneinanderentfernt,so
sprichtmanvoneinergeschlossenenSpringertour.BeginnendmitdemSchweizerMathematikerLeonard
Euler haben sich seit 1759 viele Mathematiker und Hobby-Tüftler mit dem Problem beschäftigt. So
wurde die Frage nach der algorithmischen Konstruktion solcher Touren auf verallgemeinerten n×n-
SchachbretternauchimRahmeneiner„Jugendforscht“-Arbeitgeklärt,siehe[2]fürDetails.
EineetwaspraktischereProblemstellungistRoutenplanung–NavigationsgerätefürdenStraßenverkehr
findensichheutzutageinfastjedemPKW.NachEingabedesStart-undZielortswirdaufKnopfdruckeine
kürzesteoderschnellsteRouteberechnet.KenntmandieDistanzbzw.denZeitverbrauchzwischenallen
möglichenbenachbartenZwischenzielen,lässtsichauchdieseAufgabemitHilfeganzzahligerlinearer
Optimierungmodellieren.13
MitSudokuhabenwireinenweiterenLeckerbissenfürRätselknackerimProgramm.DasZahlenpuzzle
benötigteseitseinerErfindung197914einigeJahreunddenUmwegüberJapan(daherderName)bises
hierzulandegroßeBeliebtheiterlangte.Dabeisollein9×9GittersomitdenZahlenvon1bis9ausgefüllt
werden, dass in jeder Spalte, jeder Zeile und in jedem Block (3×3-Untergitter) jede Zahl genau ein
13NavigationsgeräteverwendenallerdingsmaßgeschneiderteKürzeste-Wege-AlgorithmenfürdiesesProblem,diedeutlich
schnellersind.Stichwortesind:DijkstraoderA(cid:63)-Algorithmus.
14HowardGarnserfandesseinerzeitunterdemNamenNumberPlace,siehehttp://de.wikipedia.org/wiki/Sudoku.
DASOPTIMIERUNGSLABOR–EINERFAHRUNGSBERICHT 7
1 9 7 5 6 4 8 3 2 1 2 4 8 6
3 8 2 9 7 1 5 6 4 4 4 6 8 3 1 7
6 5 4 8 3 2 1 7 9 2 7
9 6 5 4 1 8 7 2 3 5 4 7 9 1 4 8
8 7 3 6 2 9 4 1 5 8 3 2 6 1 3 9
2 4 1 7 5 3 9 8 6 1 9
7 3 9 2 8 5 6 4 1 3 4 2 8 3 6 5 9
4 2 6 1 9 7 3 5 8 5 1 7
5 1 8 3 4 6 2 9 7 8 6 6 9 2 8 7 3
Abbildung6. GelöstesSudoku. Abbildung7. Ausgangssituationen.
Mal vorkommt, wobei stets einige Zahlen vorgegeben sind, siehe Abbildung 7. Die Suche nach einer
zulässigenSudokulösungkannwiederumalsILPmodelliertwerden.15Nochetwasinteressanterwirdes,
wennmanzusätzlichfordert,dassesnureine,unddamiteindeutige,Lösunggebendarf.16DieFragenach
derminimalnötigenAnzahlanHinweisen,beidereinSudokueineeindeutigeLösunghat,konnteerstvor
Kurzembeantwortetwerden:17ausgefüllteFelderwerdenmindestensbenötigt.17
Einweiteres,rechtanschaulichesProblem,welchesinvielenModellierungenalsTeilaspektvorkommt,
ist das sogenannte Rucksackproblem. Hierbei hat man eine Menge von Gegenständen, beispielsweise
einHandy,einenMP3-Player,Schokolade,einTagebuch,u.v.a.m.zurAuswahl,diealleeingewisses
GewichtundeinenpersönlichfestgelegtenNutzenhaben.UntereinerGewichtsrestriktionmöchteman
nundenRucksacksobestücken,dassdiesummiertenNutzenwertemaximalsind.
ZumAbschluss18möchtenwireingeometrischesFliesenproblemerwähnen.Ein13×13-Zimmersoll
mitkleinerena×a-Fliesen(a=1,2,3,...,12)vollständig(undüberlappungsfrei)gefliestwerden.Eine
Möglichkeitmit11FliesenistinAbbildung8dargestellt.DieseLösungfindenundzeigen,dasseskeine
mitwenigerFliesengibt,kannmanmitHilfeeinerILP-Modellierung.
Abbildung8. Fliesplanfüreinquadratisches13×13ZimmerundzurAuswahlstehendeFliesen.
6. UNSERWEGZUMMATERIAL
Unser Optimierungslabor war ursprünglich gedacht als ein Miniworkshop zur computergestützten
Lösungvon(vereinfachten)Alltagsproblemen.BlaupausewareineBlockvorlesungfürStudierendeim
UmfangeinervierstündigenVorlesungmiteinerzweistündigenÜbung:eineTour-de-force,aberbeiden
Studierendenerfolgreich.
NunwarendieVoraussetzungenineinereintägigenVeranstaltungübereinigeStundenanders.Trotzdem
standanfangsdieComputernutzungimZentrum.GedankengemachthatsichdieteilnehmendeGruppe
15DasErgebnis(Abbildung6)istein„alterHut“,einlateinischesQuadrat–auchdamitbefasstesichschonLeonardEuler.Als
ILPwirdesin[5]und[1]betrachtet.
16AlsderSudoku-Hypenochgrößerwar,gabeseinigewohlsehreiligproduzierteRätselheftemitnichteindeutiglösbaren
Sudokus–einerderAutorenhattesichdamalsbeimzuständigenVerlagbeschwertundzumindesteinweiteresGratishefterhalten.
EinesderbeidenunvollständigausgefülltenSudokusausAbbildung7istnichteindeutiglösbar.
17EinForscherteamumGaryMcGuirekonntedurchvollständigeEnumerationzeigen,dasskeineindeutiglösbaresSudokumit
nur16Hinweisenexistiert,siehehttp://www.arxiv.org/abs/1201.0749bzw.http://www.math.ie/checker.
html.
18WeitereProblemstellungenwieGlobetrotteroderBlind-Dancebefindensichunterhttp://www.wm.uni-bayreuth.
de/index.php?id=optlaborbzw.[3].
8 MIRIAMKIESSLING,SASCHAKURZ,TOBIASKREISEL,JÖRGRAMBAU,KONRASCHADE,UNDCORNELIUSSCHWARZ
dannvordemBildschirminZweier-odermaximalDreierteams.Wirhabendannfestgestellt,dassdiesfür
dieeigentlichintellektuellanspruchsvolleAufgabe,dieLogikeinesProblemszuerfassenundmathematisch
zuformalisieren,keineattraktiveArbeitsumgebungist.FernerstelltedasSelbereintippendesModellsfür
dieOptimierungssoftwarezwareineAktivierungderGruppedar,verlagerteaberdenSchwerpunktzusehr
aufdasreinHandwerklichederComputernutzung.DieunterschiedlicheAffinitätzumUmgangmitdem
ComputerselbststellteeinweiteresProblemdar:Informatikbegeistertefandensichschnellzurecht,andere
warendadurcheherüberfordert,wasderMotivationinsgesamtabträglichwar.
IneinemZwischenschritthabenwirArbeitsblätterentworfen,diedurchgezielteAufgabenzumSelber-
lösendieGruppeauchohnelückenloseBetreuungzumModellhinführensollte.Allesinallembliebaber
derBetreuungsaufwandimmens,undderComputerludallediezumAbschweifenein,beidenengerade
keinBetreuungsgesprächlief.
WirentschlossenunsdannzueinerklarerenSchwerpunktsetzungundeinerdeutlicherenAbgrenzung
zurmehrtägigenBlockveranstaltungfürStudierende:DieÜbersetzungeinesProblemsindieSprache
derMathematiksolltedurchMaterialundSitzordnungindenMittelpunktrücken.DadieLösungdurch
dieSoftwareamEndenichtverzichtbarist,habenwirdiesen„krönenden“AbschlussinsPlenumverlegt:
Ein erfahrenes Teammitglied bedient am Schluss den Computer, dessen Bildschirmausgabe auf dem
Beamerbild live verfolgt werden kann. Das Erarbeiten der Modelle wird nun mit dreidimensionalem
Abbildung9. Links:WährendderProbierphase.Daneben:TeamdiskussionalsFotounddarunterals
TSP-Tourmit447256zubesuchenden„Städten“;SoftwaremitfreundlicherGenehmigungdesZuseInstitut
inBerlin.
Materialunterstützt:FürjedesTeamwirdeingroßerTischmiteinerMagnettafelbedeckt.AufdieserTafel
werdenrealeObjektederProjekte(z.B.einSchachbrettmitachtDamen,eineWaageetc.),beschreibbare
Magnete,Whiteboardmarker,Papieretc.bereitgestellt.VonallenSeitenkannamObjektprobiertwerden,
DASOPTIMIERUNGSLABOR–EINERFAHRUNGSBERICHT 9
Magnetebeschriftet,platziertundverschobenwerden,aufdieTafelgeschriebenundgewischtwerden.
FüreineSechsergruppeundeineBetreuungspersonistproblemlossimultaneAktivitätundDiskussion
möglich.
MitdenbeschreibbarenMagnetenkönnenLösungsvarianten(z.B.eineDamenkonfigurationaufdem
Schachbrett)kodiertwerden(sieheAbbildung10),indemmandieEinsermagneteaufdieFeldermitden
DamenlegtunddieNullermagneteaufdierestlichenFelder.VariablenkönnenzunächstdenEntscheidun-
genräumlichzugeordnetwerden(z.B.durchAuflegenvonx aufdasSchachfeldC7).Danachkönnen
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dieidentischenMagnetezurSyntheseeinerFormelaufdieTafelverfrachtetwerden.Ergebnissicherung
kanndannklassischdurchAbschreibenerfolgreicherLösungsansätzevonTafelaufPapiererfolgen.Die
räumlicheNäheallerbeteiligtenPersonenundObjektesowiediegroßeAktionsflächehatteneinenenorm
positivenEinflussaufdieMitwirkung.
Ein„Mitgebsel“zumThema(z.B.einPortraitderTeilnehmer,inPunkteaufgelöstunddurcheine
TSP-Tourverbunden,sieheAbbildung11)hateineVerstärkungdesErinnerungseffektszumZiel.
Abbildung10. Von0/1-BelegungenüberVariablenhinzuUngleichungen.
7. GESAMMELTEERFAHRUNGEN
DieebenbeschriebeneFormdesOptimierungslaborshabenwirzuzahlreichenGelegenheitenangeboten
unddabeieinigeErfahrungengesammelt,überdiewirhierberichtenwollen.
Um aktiv an der Gruppenarbeit teilnehmen zu können, sollten die Teilnehmenden mit Grundlagen
aus der linearen Algebra, insbesondere der Lösung linearer Gleichungssysteme bzw. dem Prinzip der
DarstellungvonZusammenhängenmittelsderVerwendungvonVariablenvertrautsein.AlsZielgruppefür
unserAngebotsehenwirdaherdieneunteKlassenstufe,u.U.dieachte.
GeradederUmschwungaufdieGruppenarbeitmiteinerBetreuungspersonfürsechsbisachtPersonen
erwiessichalsgroßeVerbesserung.SohabenauchmathematischwenigerversierteSchüler(innen)die
Möglichkeit, sogar nach einer kurzen Durststrecke, zu einem späteren Zeitpunkt wieder aktiv in die
Zusammenarbeiteinzusteigen.AlsBeispielseienhierSudokuunddieNebenbedingungen„eineVierpro
10 MIRIAMKIESSLING,SASCHAKURZ,TOBIASKREISEL,JÖRGRAMBAU,KONRASCHADE,UNDCORNELIUSSCHWARZ
Spalte“und„eineVierproZeile“genannt.Diesesindinsofernanalog,alsdassbeierstererderZeilenindex
undbeiletztererderSpaltenindexvariabelist.Sobaldeinedieser„ähnlichen“Nebenbedingungenentdeckt
wurde,fandsichfastimmereinanderesGruppenmitglied,dasdiezweiteBedingungformulierenkonnte.
ImAllgemeinenfielesdenSchüler(inne)nleichter,Ideenzuäußernbzw.ZielfunktionoderNeben-
bedingungenmündlichzuformulieren,alsschriftlichaufderTafelniederzuschreiben.Derspielerische
EinstiegdurchProbieren(z.B. LösenvonSudokus,AufstellenderachtDamenaufeingroßesSchachbrett
usw.)fandstetssehrgroßenAnklang.19DaserklärteZieldieModellprojektesoauszuwählen,dasssie
zumAusprobiereneinladen,abernichtimHandumdrehengelöstwerdenkönnen,scheinenwirguterreicht
zuhaben:SobekommtzumBeispieldieSudoku-GruppeseiteinigerZeitzweiSudokus,darunterein
unlösbares.TauchthierbeimSelberlöseneinFehlerauf,istesschwernachzuvollziehen,obfestgesetzte
odereingetrageneZahlenverantwortlichsind–fürdenComputereineSachevonSekundenbruchteilen.20
DieabschließendeDemonstrationderÜbertragungdesModellsaufdenComputerunddiePräsentation
derErgebnissewirdmitgroßemInteresseverfolgt.InsbesonderestellenwirseltenSchwierigkeitenbeim
RückübersetzenderErgebnisseindenAnwendungskontextfest.
UnsalsBetreuendenbietetsichimRahmendergemeinsamenErarbeitungderModelledieMöglichkeit
undauchHerausforderung,speziellaufdieindividuelleStärkeunsererGruppeeinzugehen.Somachten
wirdieErfahrung,dassderMotivationspegelunddasInteressebessergehaltenwerdenkann,wennwir
aufFormalismenwieetwaSummenzeichen–dasvielenSchüler(inne)nnochnichtvertrautist–zunächst
verzichten.Zeigtsich,dassdieGruppesehrstarkistunddasOptimierungsproblemvergleichsweiseschnell
gemeinsam formulieren konnte, kann man sie anschließend zu einer kompakteren, anspruchsvolleren
Modellierungführen.UnterschiedeindermathematischenStärkederTeilnehmenden,auchabhängigvon
Abbildung11. EineTSP-TouralsErinnerungexemplarischam„Optimierungsteam“,Softwaremit
freundlicherGenehmigungdesZuseInstitutinBerlin.
derRahmenveranstaltung,sindnichtvonderHandzuweisen.SowirdmitdemGirls’Dayoderauch
derMINT-Herbstuniversität–beideVeranstaltungendienenderBerufsorientierung–einallgemeineres
Publikumangesprochen,währendderTagderMathematiksichspeziellanmathematikbegeisterteSchü-
ler(innen)wendet,dieimgesamtenRahmenauchanMathematikwettbewerbenteilnehmen.Bezüglichder
mathematischenFähigkeitensehenwirkeinegeschlechtsspezifischenUnterschiedebeidenTeilnehmenden.
Eine besondere Erfahrung für uns war das Optimierungslabor im Rahmen des Hochschultages für im
FachMathematikbesondersbegabtebayerischeMittelstufenschüler(innen).SelbstdiekompakteFormu-
lierungderModellestelltefürdieTeilnehmendenkeinegrößereSchwierigkeitdar.DieEigeninitiative
waraußergewöhnlichhochundesbestandspürbaresInteresseanweiterführendenundmathematischsehr
anspruchsvollenAspekten.SofragtedieseGruppeimmerwiederdanach,wieeineLösungsmethodefür
19DiesenAspektdes„Vertrautwerdens“mitdemProblembetonenwir,isterdochunverzichtbarerBestandteildesLösensan
sich.
20FürvieleOptimierungsproblemegibtesspeziellentwickelteLösungsalgorithmen,dieschnelleralseingeeigneterILP-Ansatz
sind.DiesherauszustellenkönnteGegenstandeineranderenInitiativesein,diegrößtmöglicheEffizienzindenMittelpunktstellt.Die
AlgorithmenmüssendannallerdingsauchetwasSpeziellesüberdasProblemwissenundbrauchendieDateninspeziellererForm.
SiesinddaherfürandersartigeProblemenichtmehrzugebrauchen.WirwollenindiesemProjektdieUniversalitätmathematischer
SpracheillustrierenundzielendaheraufdielogischkorrekteAnwendungeinermathematischmöglichstuniversellenMethode.