Constructions euclidiennes, dans le plan affine, d'arcs de coniques propres par des IFS affines non

36 Pages·2010·0.45 MB·French

RevueÉlectroniqueFrancophoned’InformatiqueGraphique,Volume1,Numéro1,pp.1–35,2007
Constructions euclidiennes, dans le plan affine, d’arcs de
coniques propres par des I.F.S. affines non stationnaires
LionelGARNIER
LE2i,UMRCNRS5158,UniversitédeBourgogne,B.P.47870,21078DijonCedex,France
[email protected]
Résumé
DanslasecondemoitiéduXXesiècle,P.Bézierainventédescourbespermettantdedécriredesarcsdeconiques
enconsidéranttroispointspondérés.R.Goldmanamontrél’auto-similaritédescourbesdeBézier.Quantàlui,
P. DeCasteljaua proposé un algorithme permettant de créer cescourbes enutilisant unI.F.S.,soit en restant
dans l’espace affine dans le cas de la parabole, soit en travaillant dans la fermeture projective du plan affine
dans le cas des coniques à centre. Cette dernière méthode induit quelques problèmes aussi bien du point de
vue de la modélisation (en géométrie projective, il n’y a pas de distinction entre un parabole et une conique
à centre) que du point de vue de la construction (nous ne pouvons pas rester dans l’espace affine). Dans cet
article, dans un premier temps, nous déterminons les éléments caractéristiques, en n’utilisant que des critères
purementgéométriques,d’uneconiquepropre(parabole,ellipse,hyperbole)définiepartroispointspondérésqui
peuventêtrelespointsdecontrôled’unecourbedeBézierquadratiquesousformequasistandard.Dansunsecond
temps, nous proposons des algorithmes permettant de représenter un arc de conique à centre en construisant,
dansleplanaffineeuclidien,unI.F.S.affinenonstationnaire.Touscesalgorithmess’appuientsurlespropriétés
barycentriquesdescourbesdeBézieretsurlespropriétésgéométriquesdesconiquespropres.Achaqueétape,le
pointconstruitappartientàunemédianedutrianglecequipermetunerépartitionuniformedespointsconstruits
et nous transformons ce triangle en deux triangles. Dans tousles cas, nous construisons un polygone dont les
sommetssontlespointsdelaconiquelimiteetunpolygonedontlescôtéssontlestangentesréellesàlaconique
limiteauxsommetsdupolygoneprécédent. Notreméthodeprésentel’avantagederesterdansl’espaceaffineet
den’utiliserquedesconceptsgéométriquesc’est-à-direque,silepoidsdupointintermédiaireestconstructible,
lesconstructionsissuesdenosalgorithmespeuventêtreréaliséesàlarègleetaucompasetnouspouvonsalors
utiliserunlogicieldegéométriedynamique(commeKig)cequipermetd’apporterunedimensionpédagogique
etsanscalculsàlaconstructionitératived’arcsdeconiquespropres.Deplus,nosméthodespermettentd’utiliser
lesrèglesdedéductionsbaséessurdesthéorèmesafindedéterminercertainespropriétésgéométriques.
Motsclefs:I.F.S,Cercle,ellipse,parabole,hyperbole,courbesdeBézierdedegré2
InthesecondhalfoftheXXecentury,P.Bézierdefinedcurveswhichrepresentcirclearcsusingthreelevel-headed
points.P.deCasteljaugaveanalgorithmwhichcanmodelizethesecurvesusinganlinearI.F.S.Inthisarticle,after
determiningcharacteristicelementsofproperconic(parabola,ellipse,hyperbola),wegivealgorithms,basedon
rationalquadraticBéziercurvesandpropertiesofcentralconics,whosecanmodelizeellipsesandhyperbolas.At
eachstep,theconstructedpointbelongstoanmedianofthecontrolpolyhedron.Weconstruct,intheaffineplane,
non-stationnaryprojectifI.F.S.usingeuclidienpropertiesofconics.Wecomputetwopolygons:theverticesofthe
firstpolygonbelongtothelimitconic.Theedgesofthesecondpolygonarethetangenttotheconicatthevertice
ofthefirstpolygon.Moreover,iftheweightisconstructible,theconstructionsstemmingfromouralgorithmscould
bemadewithjustrulerstraightlineandcompass.So,thesealgorithmspermitaapprochteachingandlearning
withoutcalculus.Moreover,geometricalpropertiescanbedeductbyasoftofdynamicalgeometryasKig.
Keywords:I.F.S,Circle,ellipse,parabola,hyperbola,quadraticBéziercurves
(cid:13)c REFIG2010,RevueÉlectroniqueFrancophoned’InformatiqueGraphique.
Publiéeparl’AssociationFrançaised’InformatiqueGraphique
1 Introduction tées, ces éléments à l’aide de la règle et du compas. Il est
alors possible d’utiliser les algorithmes proposés dans cet
Danslesannées60,deuxpersonnesontdéfinilesmêmes
articledansunlogicieldegéométriedynamiquecommeKig
outils afin de résoudre leurs problèmes de modélisation
http://edu.kde.org/kig/.Deplus,nosalgorithmespermettent
en CFAO dans leurs industries respectives : Pierre Bézier
de ne modéliser qu’un arc de la conique, ce qui peut être
[Béz86]chezRenaultetPaulDeCasteljau[Cas85]chezCi-
utilelorsdelaréalisationdejointures[Gar07].Notreprin-
troën. L’idée est de réaliser une construction virtuelle de
cipedeconstructionàchaqueétapedudéroulementdenotre
l’objet (en l’occurrence des voitures) en utilisant des or-
algorithme,àtransformeruntriangleendeuxtriangles:un
dinateurs plutôt que des moules. Ce procédé permet alors
trianglegaucheetuntriangledroit.
de diminuer les coûts de productions et un gain de temps
devient possible si la modélisation a été bien pensée. Ces Pour ce faire, nous sommes obligés de déterminer cer-
courbess’appuientsurlespolynômesdeBernstein.Lorsque tains éléments caractéristiques de la conique puisque nous
ces derniers sont de degré 2, le modèle polynômial de nous en servons dans nos algorithmes. Ce travail, condui-
ces courbes permet de modéliser un arc de parabole tan- sant aux mêmes résultatsthéoriques, aétéfait par J.P.Bé-
disquelemodèle rationnel permet d’obtenir lesautresco- car[Béc97]enutilisantdespointsmassiques[FJ89,FJ92]et
niques propres, c’est-à-dire le cercle, l’ellipse et l’hyper- enreparamétrisantlacourbedeBézierrationnellededegré
bole[Gar07,DP98,Far99,FJ89,FJ92]. 2 afin d’avoir deux sommets opposés et un vecteur. Deux
autres méthodes ont été développés, en travaillant dans la
LeflocondeKoch estl’unedespremièrescourbesfrac-
fermetureprojectifduplanaffine,G.Albrechtenseservant
talesàavoirétédécriteet apparaît en1906. R.Goldmana
du calcul matriciel [Alb01], R. Goldman et W. Wang qui
montré, en 2004, la nature fractale des courbes de Bézier
seserventducalculmatricieletdelareparamétrisationdes
[Gol04], c’est-à-dire leurs auto-similarités, en s’appuyant
courbes[GW04].Cestroisméthodesprésententdeplusl’in-
surlestravauxdeM.Barnsley[Bar88]etenparticuliersur
convénientdenetravaillerquedansl’espaceprojectifalors
lesnotionsd’attracteursetdesprocédésd’itérations.Plusde
quelebutdecetarticleestderesterdansl’espaceaffineeu-
détailssurlesfractalesetlamodélisationparI.F.S.sontdis-
clidientantquenouslepouvons.Quantàlui,E.Lee,enres-
poniblesdans[Tos96,Gen92,Zaï98,GTN06].
tantdansl’espaceaffine,aproposédesméthodes,baséessur
En utilisant une courbe de Bézier quadratique (polyno- lareparamétrisationdescourbes,lecalculvectorieletl’uti-
miale ou rationnelle) sous forme quasi standard [Gar07], lisationderelationsalgébriques[Lee85].Malheureusement,
nous pouvons construire facilement l’arc de conique sou- laplupartdecesméthodessontinutilisablespourréaliserdes
haité [Far99, Gar07] d’une conique donnée. Notre idée constructionsàlarègleetaucompastandisqued’autresne
consiste à construire, de façon itérative lespoints d’un arc sontpasfacilement exploitables.Deplus,aucundenosal-
deconiqueàcentre.Pourcefaire,nousdévelopponsdesal- gorithmesn’utiliseuneéquationparamétriquedeconiques,
gorithmespermettantdeconstruire,dansleplanaffineeucli- aussibienusuellequesousformedecourbedeBézierqua-
dien,unI.F.S.affinenonstationnaire†.Deplus,nousn’éva- dratique.
luonsjamaislespolynômesdeBernsteinetn’avonspasbe-
En mathématique, sur une feuille de papier, nous pou-
soindel’équationparamétriqued’unecourbedeBézier.Par
vonstracer des arcsde coniques de façon continue. Enin-
rapport aux travaux précédents sur la modélisation de co-
formatiquegraphique,cecin’estpluspossibledufaitqu’un
niques,soitpardesI.F.S.[Zaï98,Gol04],soitpardescourbes
écran est un ensemble fini de pixels. Ainsi, pour représen-
de subdivision [MWW01,BCR07b], nos algorithmes per-
ter,àl’écran,unarcdeconique,nousdevonsdiscrétiserce
mettentdeconstruirelestangentesàlacourbelimiteetsont
dernieretl’objetgéométriquequiestutiliséàlaplacedela
inspirés de la méthode de De Casteljau [Cas85]. De plus
coniqueestouunelignebrisée(ouunpolygonesinousre-
nous imposons que le point construit appartienne à la mé-
présentonstoutel’ellipse).Pourcefaire,nousavonschoisi
dianedutriangle,constituédestroispointsdecontrôle, is-
danscetarticled’utiliseruneméthodeitérativeinterpolante
sue du point intermédiaire. Notons qu’il serait possible de
pourconstruirecepolygone(ainsiqueceluidestangentes).
calculercetI.F.S.nonstationnaireenutilisantlesformules
Laméthodeclassiqueauraitconsistéàsubdiviserl’intervalle
classiques de changements de poids d’une courbe de Bé-
dedépartennvaleursetàafficherlespointscorrespondants.
zier afin de la mettre sous forme quasi standard [Far99].
Ainsi,nousconstruisonsdeuxpolygones,celuidontlessom- Bien que lecercle soit une ellipse particulière (les deux
mets sont des points de la conique limite et celui dont les foyerssontconfondus,lesdirectricessontàl’infini,l’excen-
côtés sont tangents à la conique aux sommets construits tricitéestnulle,onnepeut plusparlerd’axefocaletd’axe
précédemment. Nousutilisonsuneméthodepurement géo- nonfocal...),danslerestedecetarticle,letermeellipsene
métrique afin de rester dans l’espace affine et nous pou- considère pas le cas particulier du cercle puisque lesalgo-
vons ainsi construire, si certaines conditions sont respec- rithmesdéveloppés pour l’ellipsene fonctionnent paspour
lecercle.Pourcedernier,unalgorithmeparticulierestpré-
senté.
† Achaqueétape,nousavonstroispointsetunnombreωdontla
valeurchangeàchaqueétapeetdépenddesétapesprécédentes.
Enrésumé,nousvoulonsconserverlarégularitéaffine delabase(→−ı ;→−).Lafermetureprojective[Gar07]duplan
denosconstructionsc’est-à-direquesinousconsidérions affineeuclidien estl’espacequotient = →− /∽.
lacourbedeBézierγ definieparlestroispointspondé- P P P ×R
(cid:16) (cid:17)
réspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1):lepointpondéré SoitM(x;y)unpointde .Lescoordbonnéeshomogènes
P
construitàl’étapesuivanteest γ 1 ;1 etnousvou- dupointM sontdéfiniespartouttripletdelaforme:
2
lons que les points construits s(cid:16)ur(cid:16)la (cid:17)coni(cid:17)que soient ré- (ωx;ωy;ω) où ω=0 (1)
6
partisdefaçonuniformesurl’arcdelaconiquepropre:
pource faire, à chaque étape, le point construit appar- Réciproquement, si nous considérons un point M de
P
tientàlamédianedutriangleP0P1P2 issuedusommet de coordonnées (x;y;ω) telles que ω soit non nul, nous
P1 et nous construisons ainsi directement dans le plan identifions le point M de avec le point du plan affineb,
affineeuclidienusuel,unI.F.S.nonstationnaire. de coordonnées x;y . NPotons qu’au point de de co-
A chaque étape du déroulement de notre procédé de ordonnées (x;y;ωω), ωω=0,bcorrespond, dans lepPlan affine
ectonPs2traupctpiaorntiieténrnaetniftinàtlearpcoolnainqtu,eleàspcoeinnttrseetxatnrédmisaquuxePl0e Pgé,olmeéptoriientpproojnedcé(cid:0)trivéeMsoω6(cid:1)nt dωxis;pωyoni;bωles.dDaenssc[oAmupdl0é6mb,eLnatds0d2e,
point pondéré (P1;ω) permet à la fois de contrôler les Lad03,Leh03]. (cid:0)(cid:0) (cid:1) (cid:1)
tangentesàlacourbeauxpointsprécédentsetdeconti-
Danscetarticle,nousauronsbesoin,parfois,dedétermi-
nuerleprocessusd’itération.Deplus,lorsquelespoints
nerlespointsàl’infinid’unedroiteoud’unecourbe. Pour
P , P et P sont construitsà la règle et au compas et
0 1 2
si le nombre ω est constructible‡, les points construits cela,notonsIP →−P l’espacedéfinicommel’espacevecto-
parl’I.F.S.nonstationairesontconstructiblesàlarègle riel→− quotient(cid:16)épa(cid:17)rlarelationd’équivalence suivante:
et au compas et des déductions de propriétés géomé- P ∼→−
P
triques (parallèlisme, orthogonalité, appartenance à un 2
ensembledepoints...)peuventêtreaffichéesparunlogi- ∀(→−u;→−v)∈ →−P − →−0 , (2)
cieldegéométriedynamiquecommeKig. →−u →−v (cid:16) λn o∗(cid:17)→−u =λ→−v
∼→− ⇐⇒∃ ∈R |
P
Le plan de l’article est le suivant. Après avoir effec-
tuéquelquerappelsconcernantlescoordonnéeshomogènes, Il est possible de montrer que est isomorphe à l’en-
P
les points isogonaux, les tangentes de direction donnée à semble IP →− , c’est-à-dire que l’ensemble des
uneconique,lesI.F.S.,nousprésentonslesmodèlesdeBé- P∪ P b H∞
pointsde de(cid:16)laf(cid:17)orme(x;y;0),appeléhyperplandel’in-
zier quadratiques polynômiaux et rationnelles sous forme P
fini, est isomorphe à IP →− qui est l’ensemble des direc-
quasi standard. Dans la section 3, nous donnons les élé-
b P
mentscaractéristiquesdesconiquespropresdéfiniespartrois tionsduplanaffine . (cid:16) (cid:17)
P
points pondérés. Avant de conclure et de donner des pers-
pectives,lasection4présentelesdifférentsalgorithmesper-
2.2 RappelssurlesI.F.S.
mettant de modéliser des arcs de coniques à centre. Les
annexes proposent des compléments sur quelques proprié- UnI.F.S.(IteratedFunctionSystems) [BD85,Bar88] est
téssurlescourbesdeBézierrationnellesquadratiquessous basésurlethéorèmedupointfixe,dansunespacemétrique
forme quasi standard ainsi que les justificatifs des algo- complet,appliquésurlescompactsenutilisantunopérateur
rithmes6et7. appeléopérateurdeHutchinson[Hut81].Etantdonnéunes-
Afind’augmenterlalisibilitédecetarticle,laplupartdesfi- pacemétrique(E,d),unI.F.S.estunensemblefinid’opé-
gpuoruersceetrtlaeintaebsldea’eunxtrseonetlleresg,rloeudpéétsaiàl dlaefilancdoundstorcuucmtioennteestt rda.teurs {Ti}i∈[[0;N−1]] contractants sur E pour la distance
rappelédedans.
PourtoutI.F.S.,ilexisteununiquecompact telque:
A
Dans cet article, désigne le plan affine euclidien réel
N 1
muniduproduitscalPaireusuel. = [− Ti( ) (3)
A A
i=0
2 Rappels où estappeléattracteurdel’I.F.S.etlaformule(3)traduit
A
la propriété d’auto-similarité de . Plus de détails sur les
2.1 Coordonnéeshomogènes A
I.F.S.sontdisponiblesdans[GTN06,Gen92,Tos96,Zaï98].
Soit(W ;→−ı ;→−)unrepèreorthonormédirectduplanaffine
.L’espacevectorielassocié→− àl’espaceaffine estmuni 2.3 Pointisogonaletsymédiane
P P P
Commençonsàdonnerlesdéfinitionsd’unpointisogonal
‡ ωestunnombrerationnel,uneracinecarréed’unnombreration- d’unautrepointrelativementàuntriangleetdesymédiane.
nel...
Définition1:Pointisogonal Définition4 :Cercledirecteurd’uneconiqueàcentre.
SoitABCuntrianglenondégénéréetM unpointduplan. Soit F et F′ les foyers d’une conique à centre tels que la
SoitsX laréflexiond’axelabissectriceissuedusommetX distanceentrelesdeuxsommetsdel’axefocalsoit2a.
dansletriangleABC. Lecercledirecteur,notéS F (resp.S F′),associéaufoyerF′
Alors,lepointM′définipar: (resp.F)estlecercledecentreF (resp.F′)etderayon2a.
M′ =sA((MA)) sB((MB)) sC((MC))
∩ ∩
Lemme 1 :Déterminationdes tangentesàune conique à
est ap(cid:8)pelé(cid:9)l’isogonal du point M (relativement au triangle
centredansunedirectiondonnée
ABC).
SoitEuneconiqueàcentreetD unedroite.
0
SoitD F ladroitepassantparF etperpendiculaireàD 0.
Définition2:Symédiane Soit M et M′ les intersections entre la droite D F et S F,
SoitP0P1P2untriangle.SoitD m(resp.D )lamédiane(resp. cercledirecteurassociéaufoyerF′.
bissectrice)dutriangleissuedeP1. Les médiatrices des segments [MF] et M′F sont deux
Lasymédiane du triangle, issue de P1 est D s, image de la tangentes,parallèlesD 0,àlaconiqueàcentreE.
droiteD mparlaréflexiond’axeD ,figure1. (cid:2) (cid:3)
Démonstration:[Lad04,LH97](cid:4)
Naturellement,siletriangleP0P1P2 estisocèledesom-
metprincipalP1,alorsnousavonsD m=D =D sc’est-à-dire Nous énonçons une propriété essentielle, pour notretra-
quelasymédianeissuedeP1estconfondueaveclamédiane vail, donnée par E. Lee [Lee85] et dont tous les éléments
issuedeP1. pourladémonstrationsontdans[Lad03]:
Notons que lepoint de Lemoine L, défini comme inter- Proposition1 :AlignementsdeP1,I1,O,N3+etN3−.
sectiondestroissymédianesd’untriangleABC,etlepoint
SoitCuneconiquepropredecentreO,P0etP2deuxpoints
isogonalducentredegravitéOdutriangleABC,figure1.
deCnonsymétriquesparrapportàO.
SoitI1 lemilieudusegment [P0P2]etP1 lepoint d’inter-
2.4 Tangentes,ayantunedirectiondonnée,àune sectiondestangentesàCissuesdeP0etP2.
coniqueàcentrenoncirculaire SoitN3+etN3−lesdeuxpointsdeCtelsquelestangentesà
Commençonsparrappelerladéfinitiond’uneconique: Cencespointssoientparallèlesàladroite(P0P2).
Définition3:SoitCunensembledepointsM(x;y)de . Ainsi,lespointsP1,I1,O,N3+etN3−sontalignés,figure6.
P
C est une conique s’il existe un polynôme P, à deux va-
Pourfinirceparagraphesurlesconiquesdansleplanpro-
riables,dedegré2telque:
jectif,notons qu’il est ainsi possible de classifier, du point
M(x;y) C, P(x;y)=0 (4) devueaffine,uneconiquepropreenfonctiondesespointsà
∀ ∈
l’infini[Gar07,Gar09b]:
L’équation de la formule (4) est appelée équation im- ⋆ uneellipseouuncercleestuneconiquequinecoupe
plicite ou équation cartésienne. Notons que chaque co- pasladroitedel’infini;
niqueproprepossèdeaumoinsuneéquationparamétrique ⋆ unehyperboleestuneconique quicoupeladroitede
usuellec’est-à-direqu’ilexisteuneapplicationγd’uninter- l’infiniexactementdeuxfois;
valleIde dans telleque: ⋆ une parabole est une conique qui coupe la droite de
R P l’infiniexactementunefois.
M C, t0 I γ (t0)=M (5)
∀ ∈ ∃ ∈ | Notonsqu’ilestaussipossiblededirequelaparaboleest
Nousverronsdansleparagraphe2.6untroisièmerepré- tangenteàladroitedel’infini[Aud06].
sentationpossibledesconiques.
Nous n’exposons ici que les propriétés qui nous seront 2.5 CourbesdeBézierpolynomialesquadratiques
utilesdanslesdifférentsalgorithmes.Lespropriétésusuelles Pourtappartenantà[0;1],lespolynômesdeBernsteinde
desconiquespropresainsiquelesdémonstrationssontdis- degré2sont:
ponibles dans [Gar07]. Dans certains de nos algorithmes,
nousauronsbesoindeconstruirelatangenteàunpointd’une B0(t) = (1 t)2
−
coniqueàcentrenoncirculaireselonunedirectiondonnée, B1(t) = 2t(1 t) (6)
lemme1.Pourcefaire,nousavonsbesoindedéfinirlecercle B2(t) = t2 −
directeurd’uneconiqueàcentre.
B′
b b b A
C
L
b b
O
b b
A′ C′
b
B
Figure1:PointdeLemoineL,définicommeintersectiondestroissymédianesdutriangleABC,estl’isogonalducentrede
gravitéOrelativementàcetriangle.Lesmédianessontenrouge,lessymédianessontenverttandisquelesbissectricessont
enpointillésbleus.
2.5.1 Définition de 1 dans l’algorithme de De Casteljau [Gar09b,Gar07].
2
Notons que cet algorithme est un cas particulier de l’algo-
Définition5:courbedeBézierpolynomialededegré2
rithmede Chaikin [Cha74,Rie75]. D’après lethéorème de
zSioeirtd(Peid)ie∈g[r[0é;22]] edteOp,oqinutastrdeepocionnttsrôdleeP(P.Li)aic[[o0u;2r]]beesdtel’Bené-- dlarodirtoeit(eNd1eNs m2)ilieesutxpaaprpallilqèlueéàdalansdlreoittreia(nPgl0ePP2)0Pet1Pe2st, llaa
sembledespointsM(t)vérifiantlaformule:∈ tangenteà l’arcde paraboleau pointN3 [Gar09b]. En
fait, ce qui est sous-jacent à l’algorithme 1, qui permet la
2
(cid:229)
t [0;1], −O−M−−(→t)= Bi(t)−O−P→i (7) constructiond’unI.F.S.linéaireàlarègleetaucompas,c’est
∀ ∈
i=0 lamodélisationd’unarcdeparaboleparunecourbedeBé-
etlespoints(Pi)i [[0;2]] définissentunpolygoneappelépo- zierpolynomialequadratiquedepointsdecontrôleP0,P1et
lygonedecontrôl∈edelacourbedeBézier. P2.
Notonsquel’algorithme1nenécessitequelaconstruction
dumilieud’unsegment,ilestainsipossibledeconstruireles
Géométriquement, pour t0 fixé dans l’intervalle pointsd’unarcdeparaboleàlarègleetaucompas.
[0;1], M(t0) est le barycentre des points pondérés
(Mi;Bi(t0))i [[0;2]].Ladéfinitiond’unecourbedeBézierde Lanotationbar (Ai;ai)i I désignelebarycentredes
degré2,formu∈le(7),nedépendpasdupointOchoisietla pointspondérés(Ai;ai)avec∈i I.L’algorithme1peutêtre
(cid:8) ∈(cid:9)
courbedeBézierestinclusedanssonpolyèdredecontrôle. modéliséparunI.F.S.linéairecomposédedeuxtransforma-
tionscontractantesT0etT1définiespar:
NousavonsM(0)=P0 etM(1)=P2 etilestpossible
demontrerquelatangenteàlacourbeaupointP0(resp.P2) P P
0 0
estladroite(P0P1)(resp.(P2P1))c’est-à-direquelepoint
P1 permet decontrôler latangenteàlacourbeenP0 eten T0 P1 = bar{(P0;1);(P1;1)}  (8)
P2.  P2   bar{(P0;1);(P1;2);(P2;1)} 
et    
2.5.2 ArcdeparaboleetI.F.S.affinelinéaire
P0 bar{(P0;1);(P1;2);(P2;1)}
SoitP0,P1 et P2 troispoints nonalignés de .L’algo-
rithme1permetdeconstruireunarcγ d’uneparPabole P, T1 P1 = bar{(P1;1);(P2;1)}  (9)
C
d’extrémités P0 et P2 et ayant pour tangentes les droites  P2   P2 
(P0P1) et (P2P1), en utilisant seulement des triangles et    
le théorème de la droite des milieux en prenant la valeur
Lanotationmatricielledelaformule(8)serait: desdifférentsalgorithmes,nousavons:
P0 1 0 0 P0 N1 = P10
T0 P1 = 12 12 0   P1  (10)  NN32 == PP2101
×
   1 1 1    cequisetraduitpar:
 P2   4 2 4   P2  P0 P0 P00
et,pourtoutentiernaturelnnonnul,nousaurionsalors: T0 P1 = N1 = P10
     
P0 1 0 0 n P0 P2 N3 P20
et:      
1 1
T0n P1 = 2 2 0   P1  (11) P0 N3 P01
×
   1 1 1    T1 P1 = N2 = P11 
 P2   4 2 4   P2  P2 P2 P21
cp’aesstd-eàs-dpioreinqtsuedelecocnatlrcôulledieniltaiaunx-idèmanesilteérsaetniosnoùneledécpalecnudl pc’oeisntt-àd-edire,qauloerssisPoin0..i.mina−g1e,,(pi0a;r.l.a.;tirnan−s1f)or∈m{a0ti;o1n}nco,nestrtaucn-
P
delapuissancedelamatriceestlemêmesinouschangeons tanteTin,in∈{0;1},estnotéPi0...in−1in.Ainsi,larepré-
depointsdecontrôle. sentationd’un arcde parabole (maisaussi de conique) par
unI.F.S.nécessitel’utilisationd’unefonctiond’adressageet
Comme un des buts de cet article est de pouvoir réali-
chaquepointdupolygoneapproximantlacourbeestrepré-
ser des constructions àlarègle et aucompas, nous n’utili-
sentéparunmot.Pourdeplusamplesinformationssurles
sons pas les notations matricielles, car elles seraient inex-
fonctionsd’adressageassociéesauxI.F.S.,lelecteurpeutse
ploitables,etnouspréféronsgarderlesnotationsutiliséesen
reporterà[Gen92,Tos96,Zaï98].
géométrieclassique.
Hormisdanscetarticle,cespointssontaussicalculéspardes
Lafigure7déroulel’algorithme1dansuneprofondeur§ produitsdematrices,dutypedecelledonnéeparlaformule
de2.Enentrée,nousavonslesextrémitésP0etP2del’arc (10),enneconsidérantquedespropriétésbarycentriquesdes
deparaboleγ etP1,pointdecontrôledestangentesences pointsdecontrôle.
deuxextrémités.
CommenousavonsP01=P20,c’estlepointderecolle-
ment,danslasuite,nousécrirons:
Algorithme1:Construction,àlarègleetaucompas,d’un
arcdeparaboleparunI.F.S.linéairedansleplanaffineeu- P0 P20
clidien. T1 P1 = P11
   
Entrée:SoitP0,P1etP2troispointsnonalignésde . P2 P21
P
ProcédureFractPara(P0,P1,P2)    
Naturellement, nous avons P0 = P00 = P000 et P2 =
1. SoitN1lemilieudusegment[P0P1]. P21=P211. La première partie de la seconde étape est de
2. SoitN2lemilieudusegment[P2P1]. construirelespointsP100etP101,milieuxrespectifsdesseg-
3. SoitN3lemilieudusegment[N1N2]. ments[P0P10]et[P10P20],puisdeconstruirelepointP200,
milieu du segment [P100P101]. La seconde partie de la se-
4. FractPara(P0,N1,N3). conde étape est de construire les points P110 et P111, mi-
5. FractPara(N3,N2,P2). lieux respectifs des segments [P20P11] et [P11P2] puis de
Sortie:unarcdeparaboledéfinipartroispointsnonalignés construirelepointP210,milieudusegment[P110P111].Les
P0,P1etP2. deuxpointsP200etP210sontdeuxautrespointsdel’arcde
paraboleγ.
Noussouhaitonsadapterl’algorithme1auxconiqueseu-
Lapremièreétapedecetalgorithmeconsisteàconstruire clidiennes à centre et n’utiliser que des constructions géo-
le point N1 (resp. N2), milieu du segment [P0P1] (resp. métriquesdansleplanaffineeuclidien. Pourcefaire,nous
[P2P1]). Le point N3, milieu du segment [N1N2] est en- avons besoin des propriétés des courbes de Bézier ration-
suite construit. En prenant la méthode d’adressage usuelle nellesquadratiquessousformequasistandardetnouspour-
enthéoriedesI.F.S.,quenousgarderonslorsdudéroulement rons ainsi construire, à la règle et au compas¶, en restant
dansleplanaffineeuclidien,unI.F.S.nonstationnairebasé
surl’algorithmedeDeCasteljau.
§ L’algorithmeestrécursifetl’exécutionsedéroulesouslaforme
d’unarbre.
¶ Lespointsdevrontêtreconstruits àlarègleetaucompasetle
poidsωdevraêtreunnombreconstructible.
2.6 CourbesdeBézierrationnellesquadratiques pointsconstituéd’unefamilledebarycentredespointspon-
(CBRQs)sousformequasistandard dérés:
2.6.1 Définition
A partir de la définition d’une courbe de Bézier poly- Mi; ωiBi(t0) 
ndoomnniéaeles,hfoomrmouglèene(7s),deilsetsrotipsopssoiibnltes,deencpornentraônlet,ledsecdoéofir--  (cid:229)2 ωiBi(t0)
nir unecourbe deBézier polynomiale projective. Enchan-  i=0 i∈[[0;2]]
geantdereprésentantprojectifetenrevenantdansl’espace oùt0 [0;1].
∈
affine,nouspouvonsdéfinirlescourbesrationnellesdedegré Ainsi,d’aprèslaformule(7)(resp.formule(12)),nousob-
2[Gar07].Aunpointdel’espaceaffine ,nousfaisonscor- tenonsunetroisièmereprésentationpossibled’unarcdepa-
P
respondreuneclassed’équivalencede .D’unpointdevue rabole(resp.deconiquepropreàcentre).
P
affine,lechoixdeteloutelreprésentantsurunecourbede
Si P0, P1 et P2 sont trois points non alignés,
Bézierrationnellequadratiquejoueunbrôlesurlanaturede
RQBC (P0;P1;P2) désigneunecourbedeBézierration-
laconiqueeuclidienneobtenuedansleplanaffine[Gar09b]. { }
nellequadratiquedepointsdecontrôleP0,P1 etP2 tandis
En prenant ω0 =ω2 =1 et ω1 =ω 6=0, il est possible que RQBC{(P0;P1;P2),ω} désigne la courbe de Bézier
dedéfiniruntypeparticulierdecourbedeBézierrationnelle rationnellequadratiquequasistandarddepointsdecontrôle
quadratique: (P0;1),(P1;ω)et(P2;1).
Définition6:CBRQaffinesousforme(quasi)standard 2.6.2 Modélisationd’arcsdecerclespardesCBRQs
Soitωunréelnonnul. sousformequasistandard
UnpointM(t)appartientàlaCBRQsousformequasistan- Ilestpossibledemodéliserdesarcsdecerclesenutilisant
dard,définieparlespointsdecontrôle(Pi)0 i 2etlepoids descourbesdeBézierrationnellesquadratiques.Lorsqueles
ω,sietseulement si pour unpoint O de ≤,p≤our tout tde extrémitésdel’arcdecerclemodélisénesontpasdiamétra-
P
[0;1],M(t)vérifiel’équation: lementopposées,lelecteurpeutsereporterà[Far99,Gar07]
pourlesdémonstrations,danslecascontraire,casquenous
−O−M−−(→t)= B0(t)−O−P→0+ωB1(t)−O−P→1+B2(t)−O−P→2 (12) excluonsdanscetarticle,lelecteurpeutsereporterà [FJ89].
B0(t)+ωB1(t)+B2(t)
Lorsque nous avons ω >0, la CBRQ est dite sous forme
3 Déterminationdesélémentscaractéristiquesd’une
standard.
coniqueproprenoncirculaire
Soit ω un nombre constructible et P0, P1 et P2 trois
Naturellement,sinousavons: points, non alignés, construits à la règle et au compas.
En n’utilisant que des concepts de géométrie classique et
t [0;1], B0(t)+ωB1(t)+B2(t)=0 (13)
∀ ∈ 6 des constructions à la règle et au compas, nous détermi-
laCBRQestinclusedansleplanaffine.Silaconditiondon- nons,lesélémentscaractéristiquesd’unarcdeconiquedé-
néeparlaformule(13)n’estpasvérifiée,lavaleurt0corres- finiparlestroispointspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1).
pondante induit une direction dans la fermeture projective Quelquesrésultatsquenousallonsutilisersontdisponibles
duplanaffine. dans l’annexe A. Une équation paramétrique pourrait être
obtenueenutilisantuneCBRQsousformequasi standard,
La valeur de ω détermine alors la nature de la conique
obtenue[Gar07]: de points de contrôle pondérés (P0;1), (P1;ω) et (P2;1),
et il serait alors possible d’utiliser les résultats existants
⋆ si ω =1alorsledénominateurs’annuleunefoisetla [Béc97,Alb01,GW04,Lee85]. Malheureusement, ces mé-
| |
coniquecoupeladroitedel’infiniunefois,laCBRQ thodesnesontpasfacilementexploitablespourréaliserdes
estunarcdeparabole, constructionsàlarègleetaucompas.
⋆ si ω >1alorsledénominateurs’annuledeuxfoisetla
| |
coniquecoupeladroitedel’infinideuxfois,laCBRQ
3.1 Casdelaparabole
estunarcd’hyperbole,
⋆ si0< ω <1alorsledénominateurnes’annulepaset Dans ce paragraphe, nous considérons le cas où nous
| |
laconiquenecoupepasladroitedel’infini,laCBRQ avonsω= 1ouω=1,cederniercasrevenantàunecourbe
estunarcd’ellipse. polynômial−e.NotretravailconsisteàdéterminerlefoyerF,
lesommetSetladirectrice .
D’aprèslaformule(12),unarcdeconiquepropreàcentre D
peutêtrevuecommelelieugéométriqued’unensemblede L’algorithme2,illustréparlafigure8,détaillelesétapes
permettantdeconstruirelesélémentsdelaparaboleinduite
par trois points, non alignés, pondérés (P0;1), (P1;ω) et 3.2 Casdesconiquesàcentrenoncirculaires
(P2;1)avec|ω|=1. Dansceparagraphe, nousneconsidéronspaslecaspar-
\
Algorithme2Elémentscaractéristiquesd’uneparaboledé- ticulier du cercle (i.e. ω =cos −P−0−P→1,−P−0−P→2 ), pour plus
| |6
finiepartroispointspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1)avec dedétails,consulter[Lee85,Far9(cid:16)9,Gar07,Gar(cid:17)09b,GFN06,
ω =1. Gar04].
| |
Donnée:troispoints,nonalignés,pondérés(P0;1),(P1;ω) L’algorithme3reposesurlethéorème1quiestillustrépar
et(P2;1)avec|ω|=1. lafigure9:
1. DéterminationdeI1,milieudusegment[P0P2].
Théorème1 :
2. DéterminationdelamédianeD m=(P1I1).
SoitEuneconiqueàcentrenoncirculairedecentreOetde
3. DéterminationdelabissectriceintérieureD ,issuedeP1, foyerF etF′.
dutriangleP0P1P2. SoitA′,B′etC′troispointsdeuxàdeuxdistinctsapparte-
4. Détermination de la symédiane D s, issue de P1, du tri- nantàE.
angleP0P1P2. SoitA,B et C lessommetsdu triangleformépar lestan-
5. Détermination de C1, cercle circonscrit au triangle gentesàEauxpointsA′,B′ etC′ (enutilisantlanotation
P0P1P2. usuelle:lepointX′appartientaucôtéquin’estpasissudu
6. DéterminationdeI2,secondeintersectionentrelasymé- pointX).
dianeD setlecercleC1 SoitO′l’isogonaldupointOrelativementautriangleABC.
7. DéterminationdufoyerF,milieudusegment[P1I2]. SoitOAl’intersectiondeladroite O′A aveclecerclecir-
conscritautriangleAB′C′.
8. DéterminationdeC2,cercledecentreP0passantparF. SoitOB l’intersectiondeladroite(cid:0)O′B(cid:1)aveclecerclecir-
9. DéterminationdeJ1,intersectiondeC2aveclaparallèle conscritautriangleBA′C′.
àD mpassantparP0tellequelesvecteurs−I1−P→1 et−P−0→J1 SoitOC l’intersectiondeladroite(cid:0)O′C(cid:1)aveclecerclecir-
soientdemêmesens. conscritautriangleCB′A′.
(cid:0) (cid:1)
10. Détermination de ladirectriceD, tangente au cercleC2 Alors les quadrangles A,OA,F,F′ , B,OB,F,F′ et
aupointJ1. C,OC,F,F′ sontharmoniques.
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
11. Détermination de l’axe focal D F, droite parallèle àD m (cid:2) (cid:3)
passantparF. Dém: La démonstration est laissé au lecteur. Une mé-
thodeanalytiqueestpossibleenutilisantlesexpressionsra-
12. Déterminationdupoint H,intersectionentrelesdroites
etD . tionnellesdesfonctionscos,sinettanetlelogiciel maple.
F
D NotonsquelelogicielKigpermetdejustifierlaconstruction,
13. Détermination du sommet S de la parabole, milieu du figure9.
segment[HF]. (cid:4)
Sortie : le foyer F, le sommet S et la directrice d’une
D Rappelonsquelefaitquelequadrangle[A,B,C,D]soit
parabole.
harmoniqueimpliquelacocyclicitédesquatrepointsA,B,
CetD.
Nous proposons une esquisse de justification de l’algo- Pourdesraisonsdevisibilité,lafigure9n’illustrelethéo-
rithme2.LefaitquelefoyerF appartientàlasymédianeest rème1quepourlespointsA,A′etOA.LesquatrepointsA,
une conséquence du second théorème dePoncelet. Il suffit OA,F etF′sontbiencocycliquesetappartiennentaucercle
ensuite de considérer la similitude directe sF de centre F CFF′OAA.
tel que sF(P0)=P1 et sF(P1)=P2 ce qui conduit à la
LepremiertravailestladéterminationducentreOetdes
formulededivisionharmoniquedeNewton:
foyersF etF′delaconique,algorithme3.Dansunsecond
2
FP1 =FP2 FP0 temps, nous déterminerons les autres éléments en fonction
×
dutypedelaconiqueàcentre.
et,lefaitqueF estlemilieudusegment[P1I2],nouspermet
d’obtenirlarelationdedivisionharmonique: LaconstructionducentreOetdesfoyersFetF′delaco-
2 niquesefaitentroisétapes:déterminationdeO,construc-
FI2 =FP2×FP0 tiondupointI2telquelequadrangle[P1,I2,F,F′]soithar-
ce qui montre que I2 est bien l’intersection entrela symé- monique[Lad03]etconstructiondesfoyersF etF′.Lafi-
diane issuede P1 dans letriangleP0P1P2 et lecerclecir- gure10illustrel’algorithme3.
conscritautriangleP0P1P2. LapremièreétapeestladéterminationdelamédianeD m
dutriangleP0P1P2issuedeP1.
Algorithme 3 Détermination du centre, des foyers et des L’étapesuivanteestlaconstructiondupointI2,seconde
axesfocaletnonfocald’uneconiqueàcentre. intersectionducerclepassantparP0,P1 etP2 estlasymé-
Donnée:troispoints,nonalignés,pondérés(P0;1),(P1;ω) dianeD s dutriangleP0P1P2 issuedeP1 cequiestréalisé
\ parlesétapesde3à6.
et(P2;1)avec:0= ω =1et ω =cos −P−0−P→1,−P−0−P→2 .
6 | |6 | |6 Lesétapes7à11permettentdeconstruirelesdeuxfoyers
1. Détermination delamédiane D m=((cid:16)P1I1)oùI1 (cid:17)estle del’ellipseetnousfinissonsparcalculerleparamètrecdela
milieudusegment[P0P2]. coniqueàcentre.
2. DéterminationducentreO,delaconique.
3.2.1 Casdel’ellipse
3. Détermination de D , bissectrice issue de P1 dans le tri-
angleP0P1P2. L’algorithme4permetdedéterminerlesélémentsrestants
4. DéterminationdelasymédianeD s,imagedelamédiane del’ellipseàpartirducentreO, desfoyersF etF′ etdes
D mparlaréflexiond’axeD . axesfocaletnonfocalobtenusparl’algorithme3.
5. Détermination de C , cercle circonscrit au triangle
1 Algorithme 4 Détermination des éléments caractéristiques
P0P1P2. d’une ellipse définie par trois points pondérés (P0;1),
6. Détermination du point I2 comme seconde intersection (P1;ω)et(P2;1).
deladroiteD saveclecercleC1. Donnée:lecentreOdel’ellipse,lesfoyersF etF′,l’axe
7. Détermination de l’axe focal D F de la conique comme focalD F etl’axenonfocalD f donnésparl’algorithme3.
bissectrice,issuedeO,dansletriangleP1OI2.
1. Déterminationdudemi-grandaxe:
8. Détermination de l’axe non focal D de la conique,
f
commeperpendiculairedeD F passantparlecentreO. a= FN3++F′N3+
2
9. DéterminationdeI3,imagedeI2 parlaréflexiond’axe
nonfocalD f. ainsiquelessommetsAetA′ del’axefocalparOA=
10. DéterminationdeC2,cerclepassantparI2I3P1. OA′=a.
2. Détermination du demi-petit axe b = √a2 c2 et les
11. DéterminationdesfoyersF etF′par: −
sommetsBetB′del’axenonfocalparOB=OB′=b.
F;F′ =C2∩D F 3. Déterminationdel’excentricitédel’ellipsee= ac.
12. Calculdec=OF.(cid:8) (cid:9) 4. DéterminationdespointsH etH′,distincts,deD F tels
Sortie:LecentreOdelaconique,lesfoyersF etF′,l’axe queAH=A′H′=eAF.
focalD F etl’axenonfocalD f. 5. pDeértpeernmdiincautliaoinredseàsDdFeuextdpiarsescatnritcreesspdeeclt’iveellmipesnetDparetHDe′t,
H′.
LadeuxièmeétapeestladéterminationducentreOdela Sortie : Le centre O de l’ellipse, les foyers F et F′, les
coniqueàcentre.Cecipeutêtreréalisé: quatresommetsA,B,A′etB′,lesdirectrices et ′ainsi
D D
quel’excentricitée.
en employant les deux CBRQs sous forme quasi
• standard, γ+ = RQBC (P0;P1;P2),ω et γ− =
RQBC (P0;P1;P2), ω{, en considéran}t les points Connaissant un point de l’ellipse, en appliquant la défi-
{ − } nitionbifocaledel’ellipse,nouspouvonsdéterminerlava-
P1, N3+ =γ+ 12 , N3− =γ− 21 et I1, milieu du leurdudemi-grandaxea.Maintenantquenousconnaissons
segment[P0P2](cid:16),th(cid:17)éorème2. (cid:16) (cid:17) l’axefocal,lenombrec=OF eta,nousdéterminonslava-
• en construisant le point N3+ (resp. N3−) comme ba- leurdudemi-petitaxeb.Nouspouvonsendéduirelesquatre
rycentredespointspondérés(I1;1)et(P1;|ω|)(resp. sommetsA,A′surl’axefocal,etBetB′surl’axenonfo-
(P1; ω)),théorème2del’annexeA. cal.
−| |
enutilisantlarelationdonnéeparLee[Lee85]:
• L’algorithme 4 permet de déterminer les derniers élé-
1
−P−1→O= 1 ω2−P−1→I1 (14) ments restants, l’excentricité e et lesdeux directrices D et
− ′[Gar07].
Remarquons, danslesdeuxpremierscas,quelefaitque D
les CBRQs soient sous forme quasi standard nous assure 3.2.2 Casdel’hyperbole
l’alignement des points N3+, P1 et I1 d’une part, N3−, P1 L’algorithme4permetdedéterminerlesélémentsrestants
etI1 d’autrepart.LecentreO del’ellipseestlemilieudu
segment N3−N3+ . adxeels’hfyopcearlbeotlneoànpfaorctiarldoubtceennutrsepOar,ld’easlgfooryiethrsmFe3e.tF′etdes
h i
Connaissantunpointdel’hyperbole,enappliquantladé- Prenons P0(1;0), P1(1;1), P2(0;1) et ω = √22, ainsi la
finitionbifocaledel’hyperbole,nouspouvonsdéterminerla CBRQinduiteparcespointsdecontrôleestl’arcdecercle
valeurdudemi-grandaxea.Maintenant quenousconnais- de centreO(0;0)et de rayon 1 situédans lepremier qua-
sonsl’axefocal,lenombrec=OF eta,nousdéterminons drant.Nousavonsalors,encoordonnéeshomogènes,defa-
Ala,vAal′eudredl’eaxbe.Nfoocuasl,plo’euxvcoennstreicnitdééedueitrelelsesdeduexuxdisroemctmriceetss çon naturelle : P0 ∼(1;0;1), P1 ∼ √22;√22;√22 , P2 ∼
DetD′[Gar07]. (0;1;1). Nous cavons alors Nc1 ∼ (cid:16)2+4√2;√42;2+(cid:17)4√2c et
Algorithme 5 Détermination des éléments caractéristiques N2∼ √42;2+4√2;2+4√2 .Ficnaleme(cid:16)nt, lepoint obtenu(cid:17)est
d’une hyperbole définie par trois points pondérés (P0;1), Nc3∼(cid:16)1+4√2;1+4√2;2+4√(cid:17)2 quidéfinitlepointaffinepon-
(P1;ω)et(P2;1). déré:(cid:16) (cid:17)
Donnée : le centre O de l’hyperbole, les foyers F et F′, c 1+√2 1+√2 2+√2
l’axefocalD etl’axenonfocalD donnésparl’algorithme ; ;
F f 2+√2 2+√2 4
3. (cid:18)(cid:18) (cid:19) (cid:19)
cequinepermetpasdegarderlesCBRQsousformequasi
1. Déterminationdudemi-grandaxe:
standard puisque la valeur du poids du point construit est
a= FN3+−F′N3+ 2+4√2 alorsquenousvoulonsavoir1.Pourtenterderémé-
2. ODaiénAtse′ir=qmuiaen.alteisonsodmeml’eetxsc(cid:12)(cid:12)eAnterticAit2é′ ddeell’’ealxl(cid:12)(cid:12)eipfsoeceal=pacr.OA= tdNceine1ur∼àecs(cid:16)et1pN;r21o3;b∼1l(cid:17)èmeet34,;Ncp43r2;e1∼non(cid:16)qs12uPc;i11d;∼é1fi(cid:17)(n.1iF;l1ien;a1pl)oe.imAnteinnastf,ifi,lneneopuposoinantvdooénbrés-
3. DéterminationdespointsH etH′,distincts,deaD F tels (N3;1)=c 43;(cid:16)34 ;1 .(cid:17)Nousavons:
queAH=A′H′=eAF. (cid:16)(cid:16) (cid:17) (cid:17) 3 2 9 9
4. Détermination des deux directrices de l’hyperbole et ON32=2× 4 =2×16 = 8
′,perpendiculairesàD F etpassantrespectivemenDtpar (cid:18) (cid:19)
D c’est-à-dire:
H etH′.
Sortie:LecentreOdel’hyperbole,lesfoyersF etF′,les ON36=OP0=OP2=1
deux sommets A et A′, les directrices et ′ ainsi que ce qui prouve que l’I.F.S. linéaire projectif déduit de l’al-
D D
l’excentricitée. gorithmedeDeCasteljauneconvientpas.Sinousvoulions
construirenotreI.F.S.,nousdevrions,àchaqueitération,dé-
terminer quels sont les “bons” représentants des points de
contrôleàconsidérer et quelleestlavaleur duparamètret
4 Modélisation,dansleplaneuclidien,d’arcsde
àprendre dans l’intervalle[0;1]. Unesolution seraitde re-
coniquesàcentreparunI.F.S.nonstationnaire
calculertouslespoidsàchaqueitération,cequirendraitla
Une conique propre est complètement déterminée par constructionàlarègleetaucompastrèslourde,enutilisant
cinqcontraintes.EnpartantdespointsP0etP2delafuture lesformulesdonnéesparG.Farin[Far99]:
coniqueetdesdeuxtangentes(P0P1)et(P2P1),ilnoussuf-
fitd’ajouterunecontraintesimple:unpointdelamédiane ω0=1 ω1= ωω10 ωω02 ω2=1
iPds’1suu.teiClid’seeesrPtdc1ierdtetaecntedsmelreenntirètiralenegscloepnrPsoip0dPréiré1atPtéi2sonodueqsuuincoapuoértibédesscωhdoeaisuBiepéoazfiiiennrt oanùcωie0n,sωp1oeitdωsc2ωs0o,nωt1leesctnωou2v.eCaeuqcxippoeirdmsecctatrlcauitlécsepàepnadratinrtddees
quadratiquesetlecorollaire1exhibecelien. concservcerlavcaleurde 12 pourleparamètret.
Deplus,commedupointdevueprojectif,iln’yapasde
Nous voulons conserver la régularité affine de nos
distinction entre les diverses coniques propres, il n’est pas
constructions c’est-à-dire que si nous considérons la
légitime “d’adapter” la version projective de l’algorithme
courbe de Bézier γ definie par les trois points pondé-
1afind’obtenirdesconiqueseuclidiennes, nousproposons
réspondérés(P0;1),(P1;ω)et(P2;1):lepointpondéré donc d’autres méthodes, basées sur des critères euclidiens
construit à l’étape suivante est γ 12 ;1 . En d’autre purementgéométriques,permettantderesterdansleplanaf-
terme,nousvoulonstransformerno(cid:16)tre(cid:16)cou(cid:17)rbe(cid:17)deBézierra- fineetrendantpossiblel’utilisationd’unlogicieldegéomé-
tionnelle quadratique sous forme quasi standard, sous ja- triedynamiquecommeparexempleKig.Eneffet,silepoids
cente, en deux courbes de même nature : ainsi le point ω et lescoordonnées des points de contrôle sont construc-
construit, recollement de ces deux dernières, doit avoir un tibles, la construction à la règle et au compas est possible
poids de 1. Montrons qu’il ne suffit pas d’appliquer puisquelebarycentredespointspondérés(P0;1)et(P1;ω)
l’I.F.S. issu de la version projective de l’algorithme 1. l’estenutilisantlethéorèmedeThalès.