Table Of ContentUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA
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ESERCIZI
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA
COMPLEMENTI
DI MATEMATICA
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ESERCIZI
SVOLTI
1982
RICHIAMI E C O M P L E M E N T I
NUt-IBRI COMPLESSI
Dato un rurnero complesso Z = x + i y, cioè data una combina-
· zione linear~ a coefficienti reali àell'unità reale e del
l'unità immaginaria, si chiama modulo di z <Jzj) la àistan
za del generico punto (x,y) dall'origine delle coordinate:
i?l'n:"argo:nento di z (.b,rg. z) si intende la misura in radianti
é\) ,
dell'angolo misurato in senso antiorario. L' argo:nantc
di un numero compl~sso è quindi definito
per z ~O . Arg ~ può.d'altra parte
assumare infiniti valori: una volta
determinatone uno, ad cs~mpio ~o •
tali valori uono dati da ~o+ 2Kiì
Un num~ro comple~so ~uò essere espracso
mediante la cosiddetta forma trigonometrica
z = x + iy = r (cos 6) + i sen @ )
I I
ve~tore) ~
ove r(raggio =l/x2+y2 e (anomalia definita a
meno di multipli di 2lì) è tale che :
sen@
I
Di grande importanza nelle applicazioni è la formula dì
Moivre che vale per ogni.esponente n (oia po2itivo, sia
negativo, sia nullo):
Formula di Moivre:
Un 'altra for:uul a spesso ricorr€ntc è quella di Eulero: tale
fornula riconduca il calcolo di un eEpOnenziale ~mplesso
~ quello di un esponenziale reale e di funzioni 1r.igono-
m~'i:riche:
Formula d~ Eulero: ex+iy ex ( co S-.f + iseny)
Si indica la parte reale del numero complesso z con Re(z) =
x . Il coefficiente della parte immagin~aria di z si in
dica con I(z) = y . Un nu.~~ro complesso z , tenendo conto
della formula tli Eulero, può scriversi:
z = r(cos ~+ i sen ~) = rei~ (infatti ei~=cos ~ +isen~)
ESEMPI APPLICATIVI
i "iY
Esercizio I Calcolare ej
Ricordando le. formule di Eulero si ha:
~ser.ci~io II - Calcolare il llY.)dulo di
ì/
/zl
Se z = x-i-iy , si sa che = x2+y2 . Nel nostro caso
S?ecifico:
(d...cosfl +iCX.senfa ) = c:J...cosfo - il
e e Lcos (C(serys) +isen . (e<'. se~~
Il modulo del numero conplesso in esame sarà dunque:
lzl 2 2 (~sexy3~ ~o(co"1]
=-Ve '2/:j._cosfi@os (o(.senj3) + san =
i'lt
Sserciho III - Calcolare z = e """"2"
Applicando Eule:ro si giu11ge al risultato· z = l · (co~iseny) :::ri
.,
·I
Y3J
ESERCIZIO IV - Calcolare z = Log (l-i
Ricordando la definizione di logaritmo nel campo complesso:
Logz = logjzj+ iArgz si ha:
1./3) n-
Log (l-i = log2 + i (- + 2Klt)
3
ESTENSIONE DEL CONCE'I"I'O DI FUNZIONE
L'estensione dal campo reale a quello complesso del concetto
di fun1ione se a prima vista sembra ovvia, in realtà offre
alcune difficoltà di base, specialmente per quello che rig-ùarda
il trasferimento di alcuni fondamentali concetti dell'Analisi.
Il concetto di limite e di continuità è facilmente estendibile,
senza difficoltà alcuna, al campo complesso: si dice per
esempio che la f(z) è continua in zo = x0 + iy0 se,fissato
€>o e arbitrario, esiste un intorno di z in cui si abbia
0
sempre if(z) - f(zo) l<é
L'estensione invece alle funzioni di variabil~ complessa del
concetto di derivata e di integrale presuppone alcune osser
vazioni, specialmente per ciò che riguarda la unicità della
derivata e della funzione integrale. Definiamo la derivata
di una funzione di variabile complessa cosi :
f' (z) ""' lim fCz+hl -f Czl
h-+o h
Si vede come, nel caso pi~ generale, tale derivata dipende
dal come h tende a ·zero, cioè dal cammino lungo il quale
il punto h tende all'origine. Se si vuo.le invece che il
limite del rapporto incrementale resti lo stesso qualur.qua
sia la di.rezione secor.è.o la qua.!.e ci si ap?:?:"Ossi::.i a:l '::.::-i-
~i~e. bisogna evidentemente introdurre condizioni res~rit~i-
ve. Se consideriamo pertanto una funzione w = f (z) = u(;:,y) +
iv (x,y) , le condizioni restrittive per l'unicità della
derivata sono le seguenti:
du __ dv
A) TÒxu =èd )vy e ÒY - dx Eguazioni di RCaiuem=~avnn
e~::~ . 2 . .s. affinchè una funzione f(z) sia olomorfa in un
campo co;messo A è che essa sia ivi continua, sia è.eri-
vabile nel campo complesso e dotata di derivate parziali
pr~~e fx e fy continue e che ~ueste derivate siano lega-
te dalla relazione 1
l.
Da questo teorema risulta pertanto evidente che non tut~e
le f(z) sono olomorfe. Ad esempio non è olo~orfa la fun
zione z = x - iy ; iniatti fx = 1 e ! fy = -l
i
VediwT.O ora,in un esempio applicativo,c~e ie condizic~i di
~ :~-
Cauchy-Riemann sono a carattere limi-
tativo. Prendiamo un punto z e un I' z+6.z
e supponia.T.o di far tendere i l !:'lU:-.. t.O ~ / '
z + 6:z. a z lungo una semiretta di ano z ..;_'\'"~- - - -"
U. A.
malia~· uscente da z. Se arn..òettiarno
valida l a fx = ~ fy , il valore di
l.
f'(z) sarà indipendente dal particolare valore di ~
Per definizione f I (z) lim f(z+ 6zl -f(z)
6.z->o .6z
=e 9 q' \
Scriviamo 6.z nella forma trigonometrica t.z (cos +i s"'~
(che è rnanifesta.T1ente l'equazione ~i una circcnferanzaj
f' (z) liin f ( x+ ecos !"itl ,y+ ~sen T~ )- f (x,y)
1(-o ~(cos ~ 1- i sen ~)
Per il teorema del differenziale totale si può scrivere,
esse'1ào <..ù un Ìnfinitesimo con Q_,
f I (z) lim
1(-> o
cos
cos
Come si veéle il limite scritto, e quindi la derivata, esiste,
.!.
!'.!<:. dipende è.a ~ . Assur.tcndo valide le fx = fy , qualunque
l.
sia~· cio~ la direzione secondo cui f:::,z tenda a zero (e
q"ùindi ad es.D.z potrà tendere a zero lungo l'asse x o
lungo un altro persorso) si ottiene :
f' (z) = fx (cos §l +i sen §
fx (x,y)
(cos ~ +i sen ~
Le difficolt~ che si incontrano nel campocornplesso nell'esten
s.b1e del concetto di derivata per una funzione f(z) si ri
petono qua.~do, introdotto il concetto di integrale per una
f (=) co~e già fatto nel campo reale e quindi introducendo
il concetto di integrale definito. come limite di certe
so~.!r.e, si V\lOle utilizzare tale concetto per costruire una
f1.•.nzione integrale, facendo cioè variare un estremo d'in
tegrazione e mantenendo fer:no l'altro. Tut~avia facilmente si
v~de (consultare.il testo) che le stesse condizioni atte ad
assicurare l'unicità della derivata assicurano l'unicità
dell'integrale.
Vedifu~o attraverso esem~idi verificare che una funzione è
olo:norfa :
