Calculs différentiels. Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire

198 Pages·2012·13.1 MB·French

L1PC
2011/2012
Recueil d’exercices corrigés
et aide-mémoire.
VTSU
s s
l l
M u e
c i
2 t
3 al n
1 C e
r
é
f
f
i
d
N I
O
N
F A C C A
G .
mise-à-jour
DerJneuièdrie 19 avril 2012
Attention,cepolycopiéestencoreencoursdedéveloppement,nevousétonnezpassivousdécouvrezdeserreurs.Merci
demelescommuniquer.
GloriaFACCANONI
IMATHBâtimentU-318 T0033(0)494142381
UniversitéduSudToulon-Var
Avenuedel’université [email protected]
83957LAGARDE-FRANCE ihttp://faccanoni.univ-tln.fr
2
Table des matières
1. Primitives et intégrales 5
2. Équations différentielles ordinaires 33
3. Limites et continuité 61
4. Dérivabilité et différentiabilité 73
5. Extrema (libres et liés) 99
6. Intégrales multiples 131
7. Fonctions vectorielles d’une variable réelle : courbes paramétrées 161
8. Champs de vecteurs, formes différentielles 163
A.Maxima & wxMaxima 183
3

1. Primitives et intégrales
Primitives
Primitive
SoitI unintervallede(cid:82).Unefonction f : I →(cid:82)estintégrables’ilexisteunefonctiondérivableF: I →(cid:82)tellequepour
toutx∈I,F(cid:48)(x)=f(x).UnetellefonctionF estuneprimitive(ouintégraleindéfinie)de f.
Existencedesprimitives
SoitI unintervallede(cid:82)et f : I→(cid:82)unefonctioncontinue.Alors f estintégrable.
Propriété
(cid:66) SiF estuneprimitivede f alors,pourtoutréelc,lafonctionF+cestaussiuneprimitivede f.
(cid:66) Touteprimitivede f estnécessairementdelaformeF+cpourunecertaineconstantec.
Notation
(cid:82) (cid:82)
L’ensembledesprimitivesd’unefonction f estnoté f ouencore f(x)dx.
Remarque
Sia∈I alorsF(x)=(cid:82)xf(t)dt estl’uniqueprimitivequis’annuleena.
a
Linéarité
SoitI unintervallede(cid:82), f etg : I→(cid:82)deuxfonctionsintégrablesetk∈(cid:82).Alors
(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)
(f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x)dx et kf(x)dx=k f(x)dx.
Calcul des primitives
Intégrationdirecte
Dansletableauquisuitonsous-entendquel’intégrationestréaliséesurunintervallecontenudansl’ensemblededéfi-
nitiondelafonctionàintégrer.
(cid:90) (cid:90)
xndx= xn+1+c =⇒ [f(x)]nf(cid:48)(x)dx=[f(x)]n+1+c pourn(cid:54)=−1
n+1 n+1
(cid:90) (cid:90)
1 dx=ln(x)+c =⇒ f(cid:48)(x) dx=ln(|f(x)|)+c
x f(x)
(cid:90) (cid:90)
exdx=ex+c =⇒ ef(x)f(cid:48)(x)dx=ef(x)+c
(cid:90) (cid:90)
axdx=(log e)ax+c =⇒ af(x)f(cid:48)(x)dx=(log e)af(x)+c
a a
(cid:90) (cid:90)
sin(x)dx=−cos(x)+c =⇒ sin(f(x))f(cid:48)(x)dx=−cos(f(x))+c
5
1. Primitives et intégrales Jeudi 19 avril 2012
(cid:90) (cid:90)
cos(x)dx=sin(x)+c =⇒ cos(f(x))f(cid:48)(x)dx=sin(f(x))+c
(cid:90) (cid:90)
1 dx=tan(x)+c =⇒ f(cid:48)(x) dx=tan(f(x))+c
cos2(x) cos2(f(x))
(cid:90) (cid:90)
(cid:112) 1 dx=arcsin(x)+c=−arccos(x)+c =⇒ (cid:112) f(cid:48)(x) dx=arcsin(f(x))+c=−arccos(f(x)+c
1−x2 1−(f(x))2
(cid:90) (cid:90)
1 dx=arctan(x)+c =⇒ f(cid:48)(x) dx=arctan(f(x))+c
1+x2 1+(f(x))2
(cid:90) (cid:90)
cosh(x)dx=sinh(x)+c =⇒ cosh(f(x))f(cid:48)(x)dx=sinh(f(x))+c
(cid:90) (cid:90)
sinh(x)dx=cosh(x)+c =⇒ sinh(f(x))f(cid:48)(x)dx=cosh(f(x))+c
(cid:90) (cid:90)
1 dx=tanh(x)+c =⇒ f(cid:48)(x) dx=tanh(f(x))+c
cosh2(x) cosh2(f(x))
Intégrationparchangementdevariable
(cid:48)
SoitF uneprimitivede f etg unefonctiondérivable.Alorslafonction f(g(x))g (x)estintégrableetl’ona
(cid:90)
f(g(x))g(cid:48)(x)dx=F(g(x))+c.
Autrementdit,enposantu=g(x)onobtient du =g(cid:48)(x),soitencore du=g(cid:48)(x)dxetdonc
dx
(cid:90) (cid:90)
f(g(x))g(cid:48)(x)dx= f(u)du=F(u)+c.
Intégrationparparties
Soit f etg deuxfonctionsdérivables.Alors
(cid:90) (cid:90)
f(x)g(cid:48)(x)dx=f(x)g(x)− f(cid:48)(x)g(x)dx.
Exemple
Calculeruneprimitivede lnx aveclestroisméthodesdécritesci-dessus.
x
Intégration directe :
comme(cid:82) lnx dx=(cid:82) f(x)f(cid:48)(x)dxavecf(x)=ln(x)etcomme(cid:82) f(x)f(cid:48)(x)dx=[f(x)]2 onconclutque(cid:82) lnx dx=ln2(x)+c.
x 2 x 2
Intégration par changement de variable :
onposeu=ln(x)donc du= dx et(cid:82) lnx dx=(cid:82)udu=u2+c=ln2(x)+c.
x x 2 2
Intégration par parties :
6 © G. Faccanoni
Jeudi 19 avril 2012 1. Primitives et intégrales
sionposeg(x)=ln(x)et f(cid:48)(x)= 1 alorsg(cid:48)(x)= 1 et f(x)=ln(x)donc(cid:82) lnx dx=ln2(x)−(cid:82) lnx dx,i.e.2(cid:82) lnx dx=ln2x+cet
x x x x x
finalement(cid:82) lnx dx=ln2(x)+k.
x 2
Fonctions rationnelles
Fonctionrationnelle
SoitN(x)etD(x)deuxpolynômesdedegrérespectivementνetδ.ToutefonctiondutypeP(x)= N(x) estditefonction
D(x)
rationnelle.
(cid:66) Siν≥δonditqueP estunefonctionrationnelleimpropre.
(cid:66) Siν<δonditqueP estunefonctionrationnellepropre.
Propriété
SoitN etDdeuxpolynômesdedegrérespectivementνetδetP(x)= N(x) unefonctionrationnelleimpropre(i.e.ν≥δ).
D(x)
Alors,eneffectuantladivisioneuclidiennedeN parD,onpeutréécrireP comme
R(x)
P(x)=Q(x)+
D(x)
oùQ estunpolynômededegréν−δetR unpolynômededegréauplusδ−1,ainsi R(x) estunefonctionrationnelle
D(x)
propre.
Onendéduitque
(cid:90) (cid:90) N(x) (cid:90) (cid:90) R(x)
P(x)dx= dx= Q(x)dx+ dx.
D(x) D(x)
L’intégrationdeQétanttriviale,onconclutqueladifficultédel’intégrationd’unefonctionrationnelleseréduitàl’intégration
d’unefonctionrationnellepropre.
Propriété
Si R(x) estunefonctionrationnellepropreetsiDpossède
D(x)
(cid:66) kracinesréellesa chacunedemultiplicitém et
k k
(cid:66) hcouplesderacinescomplexesconjuguéesquisontracinesdupolynômex2+b x+d chacunedemultiplicitén
h h h
(ainsi∆=b2−4d <0pourtouth),
h h
alorsDs’écrit
D(x)=c(x−a )m1(x−a )m2...(x−a )mk(x2+b x+d )n1(x2+b x+d )n2...(x2+b x+d )nh
1 2 k 1 1 2 2 h h
et R(x) sedécomposeenfractionssimplessouslaforme
D(x)
R(x) = A1,1 + A1,2 +···+ A1,m1
D(x) x−a1 (x−a1)2 (x−a1)m1
A A A
+ 2,1 + 2,2 +···+ 2,m1
x−a2 (x−a2)2 (x−a2)m2
+···+
+ Ak,1 + Ak,2 +···+ Ak,mk
x−ak (x−ak)2 (x−ak)mk
B x+C B x+C B x+C
+ 1,1 1,1 + 1,2 1,2 +···+ 1,n1 1,n1
x2+b1x+d1 (x2+b1x+d1)2 (x2+b1x+d1)n1
B x+C B x+C B x+C
+ 2,1 2,1 + 2,2 2,2 +···+ 2,n2 2,n2
x2+b2x+d2 (x2+b2x+d2)2 (x2+b2x+d2)n2
+···+
+ Bh,1x+Ch,1 + Bh,2x+Ch,2 +···+ Bh,nhx+Ch,nh
x2+bhx+dh (x2+bhx+dh)2 (x2+bhx+dh)nk
oùlesA ,B etC sontdesconstantes.
i,j i,j i,j
© G. Faccanoni 7
1. Primitives et intégrales Jeudi 19 avril 2012
Pourintégrerunefonctionrationnelleilsuffitalorsdeconnaîtrelesprimitivesdesquatrefractionssimplessuivantes:
A A Bx+C Bx+C
f (x)= , f (x)= , f (x)= , f (x)= .
1 x−a 2 (x−a)n 3 x2+bx+d 4 (x2+bx+d)n
Intégrationdesfractionssimples
Supposons
(cid:66) A,B,C,a,b,d∈(cid:82)
(cid:66) n∈(cid:78),n>1
(cid:66) ∆=b2−4d<0
alors
1. laprimitivede f (x)= A est
1 x−a
(cid:90) A
dx=Aln|x−a|+cnst;
x−a
2. laprimitivede f (x)= A est
2 (x−a)n
(cid:90) A A
dx= +cnst;
(x−a)n (1−n)(x−a)n−1
3. laprimitivede f (x)= Bx+C est
3 x2+bx+d
(cid:90) Bx+C (cid:90) Bx+C
dx= dx
x2+bx+d (cid:179)x+b2(cid:180)2+(cid:179)d−b42(cid:180) x+b =(cid:113)d−b2t
2 4
(cid:181)(cid:113) (cid:182) (cid:113)
B d−b2t−b +C dx= d−b2 dt
1 (cid:90) 4 2 4
= dt
(cid:113)d−b2 t2+1
2
B (cid:90) 2t C−Bb (cid:90) 1
= dt+ 2 dt
2 1+t2 (cid:113)d−b2 1+t2
4
B C−Bb
= ln|1+t2|+ 2 arctan(t)+cnst
(cid:113)
2 d−b2
4
(cid:175) (cid:179) (cid:180)2(cid:175)  
=B ln(cid:175)(cid:175)(cid:175)1+ x+b2 (cid:175)(cid:175)(cid:175)+ C−Bb2 arctan x+b2 +cnst;
2 (cid:175)(cid:175)(cid:175) d−b42 (cid:175)(cid:175)(cid:175) (cid:113)d−b42 (cid:113)d−b42
4. laprimitivede f (x)= Bx+C est
4 (x2+bx+d)n
(cid:90) Bx+C B (cid:90) 2x+b (cid:181) Bb(cid:182)(cid:90) 1
dx= dx+ C− dx
(x2+bx+d)n 2 (x2+bx+d)n 2 (x2+bx+d)n
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
I1 I2
avec
B 1
I =
1 2 (1−n)(x2+bx+d)n−1
(cid:90) 1
I = dx (cid:113)
2 (x2+bx+d)n x+b = d−b2t
2 4
(cid:181) b2(cid:182)12−n(cid:90) 1 dx=(cid:113)d−b2 dt
= d− dt 4
4 (1+t2)n
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
In
etl’intégraleInsecalculeparrécurrence
In= t + 2n−3 In−1.
2(n−1)(1+t2)n−1 2(n−1)
8 © G. Faccanoni
Jeudi 19 avril 2012 1. Primitives et intégrales
Exemple
1. On veut intégrer la fonction rationnelle propre f(x)= x−3 . Comme ∆=42−4×5<0 il s’agit d’un intégrale du type
x2−4x+5
(cid:82) Bx+C dx.Ledénominateursedécomposecommex2−4x+5=(x−2)2+1etl’intégrales’écrit
x2+bx+d
(cid:90) (cid:90) x−3 (cid:90) (t+2)−3 1(cid:90) 2t (cid:90) 1
f(x)dx= dx= dt= dt− dt
(x−2)2+1 t2+1 2 t2+1 t2+1
1 1
= ln(1+t2)−arctan(t)+cnst= ln((x+2)2+1)−arctan(x−2)+cnst
2 2
2. Onveutintégrerlafonctionrationnellepropre f(x)= 3x+1 .Ondoitd’abordladécomposerenfractionssimples;comme
x3−4x
x3−4x=x(x2−4)=x(x−2)(x+2)lafonctionadmetladécomposition
f(x)= 3x+1 = A1+ A2 + A3
x(x−2)(x+2) x x−2 x+2
PourcalculerlesconstantesAi onpeututiliserleprinciped’identitédespolynômes:
x(x−3x2+)(x1+2)= A1(x−2)(x+x2)(x+−A22)x((xx++22))+A3x(x−2)=(A1+A2+Ax3()xx2−+2()2(xA+2−2)2A3)x−4A1 ⇐⇒ 2−AA412A+−1A=22A1+3A=33=0
ainsi
(cid:90) f(x)dx=−1(cid:90) 1 dx−5(cid:90) A2 dx+7(cid:90) A3 dx=−1ln|x|−5ln|x−2|+7ln|x+2|+c.
4 x 8 x−2 8 x+2 4 8 8
3. Onveutintégrerlafonctionrationnelleimpropref(x)=3x3+2x−5.Oneffectued’abordladivisioneuclidienne
3x2−5x−2
3x3 +2x −5 3x2−5x−2
−3x3 +5x2 +2x x+5
3
5x2 +4x −5
−5x2 +25x +10
3 3
37x −5
3 3
ainsif(x)=x+5+ 337x−53 .Maintenantondécomposeleterme 337x−53 enfractionssimples:ona3x2−5x−2=(x+1)(x−2)
3 3x2−5x−2 3x2−5x−2 3
etondoitchercherlesdeuxconstantesA1etA2tellesque
337x−53 = A1 + A2
3x2−5x−2 x+1 x−2
3
Enutilisantleprinciped’identitédespolynômesona
337x−53 = A1(x−2)+A2(x+13)=(A1+A2)x−2A1+A32 ⇐⇒ (cid:40)A1+A2=337
3x2−5x−2 3x2−5x−2 3x2−5x−2 −2A1+A32 =−53
Onconclutque
5 52/63 207/63
f(x)=x+ + +
3 x+1 x−2
3
et
(cid:90) f(x)dx=x2+5x+52ln(cid:175)(cid:175)(cid:175)x+1(cid:175)(cid:175)(cid:175)+207ln|x−2|+c.
2 3 63 (cid:175) 3(cid:175) 63
4. Onveutintégrerlafonctionrationnellepropref(x)= x−4 .Ondoitd’abordladécomposerenfractionsimples;comme
x3−x2−5x−3
x3−x2−5x−3=(x−3)(x+1)2lafonctionf admetladécomposition
f(x)= A1,1 + A2,1 + A2,2 .
x−3 x+1 (x+1)2
Ondéterminelesconstantesenutilisantleprinciped’identitédespolynômes
x−4 = A1,1(x+1)2+A2,1(x−3)(x+1)+A2,2(x−3)
x3−x2−5x−3 x3−x2−5x−3
=(A1,1+A2,1)x2+(2A1,1x−32−Ax22,1−+5Ax2−,23)x+A1,1−3A2,1−3A2,2 ⇐⇒ 2AAA11,,111,1−+−3A2A2A,21,21=,1−0+3AA22,,22==1−4
© G. Faccanoni 9
1. Primitives et intégrales Jeudi 19 avril 2012
Onconclutque
−1/16 1/16 −5/4
f(x)= + +
x−3 x+1 (x+1)2
et
(cid:90) 1 1 5
f(x)dx=− ln|x−3|+ ln|x+1|− +c.
16 16 4(x+1)
5. Onveutintégrerlafonctionrationnellepropref(x)= x2+2 .Comme∆=4−20<0,lafonctionf sedécomposecomme
(x2−2x+5)2
f(x)= B1x+C1 + B2x+C2 .
x2−2x+5 (x2−2x+5)2
Ondéterminelesconstantesenutilisantleprinciped’identitédespolynômes
x2+2 = B1x+C1 + B2x+C2 =B1x3+(C1−2B1)x2+(5B1−2C1+B2)x+5C1+C2 ⇐⇒ CB11−=20B1=1
(x2−2x+5)2 x2−2x+5 (x2−2x+5)2 (x2−2x+5)2 55CB11−+C2C21=+2B2=0
Onobtientalorsque
(cid:90) (cid:90) 1 (cid:90) 2x−3
f(x)dx= dx+ dx.
x2−2x+5 (x2−2x+5)2
(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)
I1 I2
(cid:66) OncalculeI1:
(cid:90) 1 (cid:90) 1
dx= dx
x2−2x+5 (x−1)2+4 x−1=2t
1(cid:90) 1 dx=2dt
= dt
2 t2+1
1(cid:90) 1 1 1 (cid:181)x−1(cid:182)
= dt= arctan(t)+c= arctan +c;
2 1+t2 2 2 2
(cid:66) OncalculeI2:
(cid:90) 2x−3 (cid:90) 2x−2 (cid:90) 1 1 (cid:90) 1
dx= dx− dx=− − dx
(x2−2x+5)2 (x2−2x+5)2 (x2−2x+5)2 x2−2x+5 (x2−2x+5)2
1 (cid:90) 1 1 1(cid:90) 1
=− − dx=− − dt
x2−2x+5 ((x−1)2+4)2 x2−2x+5 8 (t2+1)2
1 1(cid:181)1 t 1(cid:90) 1 (cid:182) 1 1 (cid:181) t (cid:182)
=− − + dt =− − +arctan(t)
x2−2x+5 8 21+t2 2 1+t2 x2−2x+5 16 1+t2
1 1 (cid:181) 2(x−1) (cid:181)x−1(cid:182)(cid:182) x+7 1 (cid:181)x−1(cid:182)
=− − +arctan +c=− − arctan +c.
x2−2x+5 16 x2−2x+5 2 8(x2−2x+5) 16 2
Onconclutque
(cid:90) 7 (cid:181)x−1(cid:182) x+7
f(x)dx= arctan − +c.
16 2 8(x2−2x+5)
6. Onveutintégrerlafonctionrationnellepropref(x)= 1 quisedécomposecomme
x3(x2+1)2
f(x)= A1+A1+A1+B1x+C1+B2x+C2.
x x2 x3 x2+1 (x2+1)2
Ondéterminelesconstantesenutilisantleprinciped’identitédespolynômes
1 = A1+A2+A3+B1x+C1+B2x+C2
x3(x2+1)2 x x2 x3 x2+1 (x2+1)2
=(A1+B1)x6+(A2+C1)x5+(2A1+A3+B1+B2)x4+(2A2+C1+C2)x3+(A1+2A3)x2+(A2)x+(A3)
x3(x2+1)2
2AAA211+++CBA113==+00B1+B2=0
⇐⇒ 2A2+C1+C2=0
AAA123+==201A3=0
10 © G. Faccanoni