cálculo vetorial & geometria analítica

135 Pages·2016·2.06 MB·Portuguese

www.im.ufrj.br/cvga
CÁLCULO VETORIAL
&
GEOMETRIA ANALÍTICA
livro 1: o plano
Felipe Acker
Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
marçode2016
copyright(cid:13)c 2016byFelipeAcker
Este trabalho foi contemplado com auxílio financeiro, no âmbito do edital de Apoio à
produçãodematerialdidáticoparaatividadesdeensinoe/oupesquisa,2014,da
Sumário
Prefácio i
Índicedosvídeos iii
1 Sistemasdecoordenadas 1
2 Medindodistâncias 5
3 Osobjetosgeométricos: retasecírculos 9
4 Curvaseequações. Lugaresgeométricos 15
5 Interseções. Sistemasdeequações 19
6 GeometriaAnalítica,DesenhoGeométricoeComputaçãoGráfica 21
7 Equaçõesparamétricas 25
8 Vetores 35
8.1 Flechinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3 Produtoporescalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.4 Somadevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.5 Somandovetoresapontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.6 Vetoreseparametrizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9 OmistériodaSantíssimaTrindade 41
9.1 Vetoresecoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.2 Pontosevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.3 Vetoreseparesordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.4 ASantíssimaTrindade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10 Transformaçõeseanimações 47
11 Translações 51
11.1 Movimentoretilíneouniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.2 Movimentoretilíneonãouniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.3 Trajetóriasnãoretilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.4 ResumindoeSimplificando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
iii
12 Rotações 61
12.1 Rotaçõesemtornodaorigem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.2 Rotaçãoemtornodeumpontoqualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
12.3 Rotaçãodevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
13 Homotetias 69
14 Reflexões 71
14.1 Reflexãodepontoatravésderetapassandopelaorigem . . . . . . . . . . 71
14.2 Reflexãodevetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
14.3 Animandoreflexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
15 Deformações 77
15.1 Casoselementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
15.2 Deformaçõesemoutrasdimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
16 Transformaçõeslineares 81
16.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16.2 Transformaçõespreservandodistâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
17 Produtointerno 85
18 Áreasedeterminantes 91
18.1 Orientação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
18.2 Áreascomsinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
18.3 Odeterminantedeumatransformaçãolinear . . . . . . . . . . . . . . . . 96
19 Númeroscomplexosecoordenadaspolares 101
19.1 Oscomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
19.2 Inversões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
20 OTeoremaFundamentaldaÁlgebra 107
20.1 EquaçõespolinomiaisnoRenascimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
20.2 AfórmuladedelFerro-Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
20.3 AfórmuladeFerrari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
20.4 ProblemasinerentesàsoluçãodedelFerro-Tartaglia . . . . . . . . . . . . 110
20.5 Ainvençãodosnúmeroscomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
20.6 DeFerrariaGalois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
20.7 Soluçõesaproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
20.8 OTeoremaFundamentaldaÁlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ÍndiceRemissivo 123
Prefácio
Este pequeno texto foi concebido como uma espécie de abertura. Nele procurei
concentrar ideias básicas para um curso de Geometria Analítica no plano. A primeira
versão, escrita em janeiro de 1998, destinou-se a um minicurso de aperfeiçoamento,
ministrado na UFRJ, para professores de Matemática do ensino médio (naquela
primeira versão, ainda não existiam os dois capítulos sobre números complexos).1
Creio que o caráter de minicurso se mantém: pode ser usado nas aulas iniciais de
um curso de Geometria Analítica para apresentar aos alunos, de maneira rápida, as
coordenadas, os vetores, as curvas e as transformações do plano. Os quatro capítulos
finaissãomaistécnicosmas,acredito,aindaguardamumacertaleveza. Osvídeosdas
aulaspodemseracessadosapartirdapáginawww.im.ufrj.br/cvga.
A ideia de ressaltar as relações entre a Geometria Analítica e a Computação Gráfica
teve, na versão original (que se chamava Geometria Analítica para Computação
Gráfica), e continua tendo agora, um caráter algo oportunista. Computação Gráfica
remete aos videogames, que são para boa parte dos estudantes um espaço associado
aoprazer. Mastrata-se,também,deenfatizaropapelcentralassumidopelaGeometria
Analítica no Desenho, em suas múltiplas facetas, do artístico ao técnico, do estático ao
animado. Mesmo para quem se contenta em usar programas de computador prontos,
um certo domínio da Matemática envolvida é de grande valia. Afinal, ninguém
discutiria a importância, para um pintor, de conhecer um pouco do processo de
fabricação das tintas e, mesmo, de ser capaz de produzir e misturar seus próprios
pigmentos.
Várioscolegasajudaram,cadaumàsuamaneira: BernardoCosta,DinaméricoPombo
Jr(queleramesugerirammudanças,nemtodasacatadas),MoniqueCarmona,Orestes
Piermatei Filho, Ricardo Rosa, Umberto Hryniewicz e Waldecir Bianchini (que criou
osappletsnoGeogebra);agradeçoatodos.
FelipeAcker
SantaTeresa,fevereirode2016
1E as figuras, paradoxalmente, foram feitas por mim com lapiseiras Caran d’Ache, esquadros e
compasso; paraestaedição, osdesenhosforamconvertidosemarquivosdigitaisporJoãoPauloPinto
Siqueira
i

Índice dos vídeos
Os vídeos abaixo listados foram filmados durante as aulas da disciplina MAE115
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica - parte 1, do Departamento de Matemática
Aplicada - Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, no
primeirosemestrede2015,ProfessorFELIPEACKER.
Vertambém
https://www.youtube.com/playlist?list=PLCn-wCoLo2pHeGOkD49zV47Op8K_EH4xl
para maior comodidade, as aulas foram divididas em 4 partes menores (cerca de 20
minutos,cada,em4K),conformeoíndiceabaixo
aula1:
parte1https://www.youtube.com/watch?v=PCpjeREAzMw
coordenadas
aretareal
umnúmeroirracional
distância
parte2https://www.youtube.com/watch?v=hA5bTZqioyY
equaçõescartesianas
algebrizaraGeometria&geometrizaraÁlgebra
algebrizandoaGeometria
oTeoremadeAproximaçãodeWeierstrass
geometrizandoaÁlgebra
parte3https://www.youtube.com/watch?v=7QnPPY-fTE8
vetores
multiplicaçãodevetorpornúmero
somadevetores
coordenadas
omistériodaSantíssimaTrindade
equaçãoparamétricadeumareta
somandovetoraponto
parte4https://www.youtube.com/watch?v=RqJ8DopXHlo
animações
transformandoumaimagememoutraimagem(morphing)
iii
dimensõesmaisaltas
animandoobjetos
parte5https://www.youtube.com/watch?v=7zjiMZc9w7s
curvaseanimações
umpontosemovendo
aula2:
parte1https://www.youtube.com/watch?v=qkQ_9juiepY
pontos,vetores&paresordenados
vetores
relaçõesdeequivalência
oqueéumvetor?
operaçõescomvetores
sistemasdecoordenadas
base
origem
oqueéumsistemadecoordenadas
omistériodaSantíssimaTrindade
parte2https://www.youtube.com/watch?v=qaDwMauCRsY
abijeçãoentrevetoreseparesordenadospreservaasoperações
curvaseequações
curvasetrajetórias
parte3https://www.youtube.com/watch?v=SXGquzdJSgU
cicloide
oprofessormenteemassacraosalunos
geometriaanalíticaedesenhotécnico
referencialmóvel
parte4https://www.youtube.com/watch?v=FzYLKmFsh9Y
transformações
rotação
matrizderotação
parte5https://www.youtube.com/watch?v=VIZ1ID0U0v0
transformaçõeslineares
odescansodavovó
matrizdetransformaçãolinear
transformaçõeslineares&sistemaslineares
reflexão
aula3:
parte1https://www.youtube.com/watch?v=w9Ru4FPptrg
área
áreacomsinal
propriedadesdaáreacomsinal
afórmula
parte2https://www.youtube.com/watch?v=XrMSRsCEGcs
odeterminante
determinantedetransformaçãolinear
aula4:
parte1https://www.youtube.com/watch?v=1CTQbSd16aE
produtoescalar
definiçãogeométrica
propriedades
expressãodoprodutoescalaremfunçãodascoordenadas
parte2https://www.youtube.com/watch?v=CwB30VpyPLI
arcocapazdeânguloreto
parte3https://www.youtube.com/watch?v=p8lCbN24hoQ
númeroscomplexos
equaçõesdosegundograu
equaçõesdoterceirograu
necessidadedosnúmerosimaginários
Bombelli
umahistóriaitaliana
parte4https://www.youtube.com/watch?v=Fim_Z1N6y9M
osnúmeroscomplexos
oplanocomplexo
interpretaçãogeométricadamultiplicação
rotaçõeseasfórmulasparacossenoesenodasomadedoisângulos
acontaconjuntadosprofessoresdeMatemática
parte5https://www.youtube.com/watch?v=mbmrOJ9oXkY
potenciaçãoeradiciação
aula5:
parte1https://www.youtube.com/watch?v=ZYW_V0CZfPs
númeroscomplexos,definições
multiplicaçãodenúmeroscomplexoseinterpretaçãogeométrica
multiplicação por número complexo como composta de rotação com homotetia;
formamatricial
coordenadaspolares
parte2https://www.youtube.com/watch?v=RxKichfTt0g
potênciasinteiras
raízesenésimasdaunidade
raízesenésimasdenúmerocomplexosãovérticesdepolígonoregular
conjugadodenúmerocomplexo
oTeoremaFundamentaldaÁlgebra
parte3https://www.youtube.com/watch?v=ntSHjjxeSlI
polinômios
polinômiosreaisdegrauímpartêmraizreal
polinômiosacoeficientescomplexos
polinômioscomofunçõesdeCemC
estratégiadedemonstraçãodoTeoremaFundamentaldaÁlgebra
parte4https://www.youtube.com/watch?v=cMNnsjZEfWQ
demonstraçãodoTeoremaFundamentaldaÁlgebra
comentáriosdecaráterhistórico
parte5https://www.youtube.com/watch?v=iOLkWa5EqB8
f(z)=1/zeinversões
inversões
propriedadesgeométricasdasinversões
comentáriosobrepreservaçãodeângulosederivabilidadecomplexa
aula6:
parte1https://www.youtube.com/watch?v=8x-xW5r2GF4
númeroscomplexoscomoparesordenados
móduloeconjugadodenúmerocomplexo
os3mosqueteiros: ponto,vetor,parordenadoenúmerocomplexo
inversõesenúmeroscomplexos
inversõeseatransformaçãof(z)=1/z
atransformaçãof(z)=1/z
parte2https://www.youtube.com/watch?v=l8EU4IpMkU8
f(z)=1/zlevaretasquenãopassampor0emcírculospassandopor0
nãoleiamdemonstrações!
f(z)=1/zlevacírculosquenãopassampor0emcírculosquenãopassampor0
inversõespreservamângulos