Table Of ContentAPPUNTI DI ANALISI III:
Calcolo differenziale ed integrale in più dimensioni
Corso di Studi in Matematica, a.a. 2006-07
Ernesto Buzano
Dipartimento di Matematica, Università di Torino
Via Carlo Alberto 10, 10123 Torino, Italy
[email protected]
Indice
1 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali 1
1.1 Nozioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Qualche nozione di topologia in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Limiti e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Derivate direzionali e parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Derivate parziali di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Piano tangente al grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Calcolo differenziale per funzioni vettoriali 26
2.1 Limiti e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Differenziali di funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Applicazioni del calcolo differenziale 32
3.1 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Massimi e minimi per funzioni in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Continuità e derivabilità degli integrali parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Integrali multipli 46
4.1 Definizione d’integrale doppio di una funzione limitata su un insieme limitato . . . 46
4.2 Proprietà degli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Insiemi trascurabili ed integrabilità delle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Integrali iterati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Estensione della definizione d’integrale a funzioni e domini non limitati . . . . . . . 61
4.6 Aree, volumi ed integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Cambiamento di variabili negli integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8 Integrale della gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.9 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Integrali curvilinei 81
5.1 Curve parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Lunghezza di una curva parametrica con estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Cammini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Integrali curvilinei di funzioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Integrali curvilinei di forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6 Forme differenziali esatte e chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.7 Riformulazione nel linguaggio dei campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
i
E.Buzano,AnalisiIII
Capitolo 1
Calcolo differenziale per funzioni reali di
più variabili reali
1.1 Nozioni preliminari
Richiamiamo alcune nozioni sullo spazio Rn. I punti di Rn sono n-uple di numeri reali:(1)
x=(x ,x ,...,x ),
1 2 n
vale a dire Rn è il prodotto cartesiano di n copie dell’insieme R dei numeri reali.
In Rn c’è una struttura di spazio vettoriale; in questo senso gli elementi di Rn vengono
chiamati anche vettori. Conseguentemente, per distinguerli dai vettori, gli elementi di R sono
chiamati scalari.
Le operazioni di somma di due vettori e di prodotto di uno scalare per un vettore
sono definite componente per componente. Dati
x=(x ,...,x ), y =(y ,...,y )2Rn e α2R,
1 n 1 n
si pone per definizione:
x+y =(x +y ,x +y ,...,x +y ),
1 1 2 2 n n
αx=(αx ,αx ,...,αx ).
1 2 n
In Rn è definito un prodotto scalare (euclideo)(2)(3):
∑n
hx,yi=x y +x y +¢¢¢+x y = x y
1 1 2 2 n n i i
i=1
chesoddisfaalleseguentiproprietà,lacuisemplicedimostrazioneèlasciataperesercizioallettore:
Proposizione 1.1.1. Dati x, y, z 2Rn e α, β 2R, abbiamo
hx,xi>0,
hx,xi=0 () x=0,
hx,yi=hy,xi,
hαx+βy,zi=αhx,zi+βhy,zi.
(1) Notazioniequivalentisono:x,xoaddiritturasemplicementex,qualoranoncisiapericolodiconfusione.
(2) Altrenotazioniperilprodottoscalaresono(x,y)ex¢y.
(3)L’aggettivofraparentesi“euclideo” serveadistinguereilprodottoscalaredefinitodalla(1.1.1)daaltripossibili
prodotti scalari. Poichè nel seguito non utilizzeremo altre defizioni all’infuori di quella riportata nella (1.1.1),
parleremosempliciementediprodottoscalare,senzaspecificarechesitrattadiquelloeuclideo.
1
E.Buzano,AnalisiIII
A partire dal prodotto scalare, si definisce in Rn una norma (euclidea):(4)
{ }
√ ∑n 1/2
(1.1.1) kxk= hx,xi= x2 ,
i
i=1
che sodisfa le seguenti proprietà:
Proposizione 1.1.2. Dati x, y 2Rn e α2R, abbiamo
kxk>0,
kxk=0 () x=0,
kαxk=jαjkxk,
(1.1.2) kx+yk6kxk+kyk.
(1.1.3) jhx,yij6kxkkyk.
La (1.1.2) è la diseguaglianza triangolare, mentre la (1.1.3) è la diseguaglianza di Cauchy-
Schwarz.
Dimostrazione. Le prime tre proprietà sono elementari e la loro dimostrazione è lasciata per
esercizio.
Proviamo la (1.1.3). Se y = 0, ambo i membri della (1.1.3) sono nulli e non c’è niente da
dimostrare.
Supponiamo allora y 6=0. Per le proprietà del prodotto scalare abbiamo
(1.1.4) hx,xi+2thx,yi+t2hy,yi=hx+ty,x+tyi>0, per ogni t2R.
Il trinomio a primo membro raggiunge il minimo per
{ }
d
2hx,yi+2thy,yi= hx,xi+2thx,yi+t2hy,yi =0
dt
e cioè per
hx,yi
t= .
hy,yi
Sostituendo questo valore nella (1.1.4) otteniamo in particolare che
( )
hx,yi hx,yi 2 hx,yi2
06hx,xi¡2 hx,yi+ hy,yi=kxk2¡ ,
hy,yi hy,yi kyk2
cioè
hx,yi2 6kxk2kyk2.
Prendendo la radice quadrata di ambo i membri, si ottiene(5) la (1.1.3).
La (1.1.2) è una conseguenza della (1.1.3) che abbiamo appena dimostrato. Infatti
kx+yk2 =hx+y,x+yi=hx,xi+2hx,yi+hy,yi
6kxk2+2kxkkyk+kyk2 =(kxk+kyk)2.
Due vettori x ed y si dicono ortogonali se hx,yi=0.
Unvettoredinorma1ènormalizzatoounitario.Unvettoreunitarioèdettoancheversore
odirezione.Ognivettorex6=0sipuònormalizzaredividendoloperlasuanorma:xˆ =x/kxk.
Diciamo che x ha direzione xˆ, ovvero che xˆ è la direzione di x.
(4) L’aggettivo fra parentesi “euclidea” serve a distinguere la norma definita dalla (1.1.1) da altre possibili
norme. Poichè nel seguito non utilizzeremo altre defizioni all’infuori di quella riportata nella (1.1.1), parleremo
sempliciementedinorpma,senzaspecificarechesitrattadiquellaeuclidea.
(5) Ricordiamoche a2=jaj,perognia2R.
2
E.Buzano,AnalisiIII
LospaziovettorialeRn hadimensionen.Comebasenoiutilizzeremosemprequellastandard,
vale a dire quella data dai vettori
( )
e = 0,...,0, 1,0,...,0 , per i=1,2,...,n.
i
pos.i
In dimensione n63 spesso si pone
e =i, e =j, e =k.
1 2 3
Abbiamo che
∑n
(1.1.5) x=(x ,x ,...,x )= x e ,
1 2 n i i
i=1
infatti
x=(x ,x ,...,x )
1 2 n
=(x ,0,0,...,0)+(0,x ,0,...,0)+¢¢¢+(0,0,0,...,x )
1 2 n
=x (1,0,0,...,0)+x (0,1,0,...,0)+¢¢¢+x (0,0,0,...,1)
1 2 n
∑n
= x e .
i i
i=1
I vettori della base standard sono ortonormalizzati:
{
1, se i=j,
he ,e i=
i j 0, se i6=j.
Moltiplicando scalarmente la (1.1.5) per e , otteniamo in particolare che
i
(1.1.6) x =hx,e i, per i=1,...,n.
i i
Applicando la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz alla (1.1.6) otteniamo infine che
(1.1.7) jx j6kxkke k=kxk, per i=1,...,n.
i i
Questa disgueglianza si può naturalmente ottenere anche direttamente dalla (1.1.1).
1.2 Qualche nozione di topologia in Rn
Indichiamo con B(a;r) la sfera(6) (piena e aperta) di centro a2Rn e raggio r 2R :(7)
+
B(a;r)=fx2Rn : kx¡ak<rg.
Se n=1, B(a;r) si riduce all’intervallo aperto ]a¡r,a+r[.
Oltre alla sfera è opportuno considerare anche la sfera bucata, cioè privata del centro:
B˙(a;r)=fx2Rn : 0<kx¡ak<rg.
Un punto a 2 Rn è interno a S ‰ Rn(8) se esiste r > 0 tale che B(a;r) ‰ S. L’insieme dei
punti interni ad S è detto interno di S ed è indicato con int(S) o con S˚.
UnsottoinsiemeSdiRnèdettoapertoseS =int(S),cioèseèformatosolodapuntiinterni.(9)
Ad esempio la sfera B(a;r) è aperta. Infatti, dato x 2 B(a;r) e posto r0 = r ¡kx¡ak,
abbiamo che B(x;r0)‰B(a;r).
(6) opalla
(7) R indical’insiemedeinumerirealipositivi,cioèmaggioridi0.
+
(8) ConlanotazioneA‰B intendiamocheAècontenutoinB,senza escudere che A possa essere uguale
a B.
(9) Inparticolarel’insieme vuoto;èaperto,poichèovviamenteint(;)=;.
3
E.Buzano,AnalisiIII
Un altro esempio di insieme aperto è dato da Rn. Infatti B(a;r) ‰ Rn per ogni a 2 Rn ed
ogni r 2R .
+
Un sottoinsieme U di Rn è un intorno di a2Rn se a è un punto interno ad U. In particolare
un sottoinsieme S non vuoto di Rn è aperto se e solo se è intorno di ogni suo punto.
Un punto a è esterno ad S ‰ Rn se esiste r > 0 tale che B(a;r)\S = ;, ovvero B(a;r) ‰
RnnS(10). L’insieme dei punti esterni a S è indicato con ext(S). Ad esempio
{ }
(1.2.1) ext(B(a;r))= x2R2 : kx¡ak>r .
Infatti, dato x2Rn, abbiamo che
B(a;r)\B(x;†)=; () kx¡ak>r+†>r.
È chiaro che
(1.2.2) ext(S)=int(RnnS).
I punti che non sono nè esterni nè interni si chiamano punti di frontiera di S; la frontiera di
S è indicata con ∂S o con fr(S). Abbiamo ovviamente:
∂S =fa2Rn : B(a;r)\S 6=;, B(a;r)\(RnnS)6=;, 8r >0g.
Poichè B(a;r) è aperto, dalla (1.2.1) otteniamo che
(1.2.3) ∂B(a;r)=fx2Rn : kx¡ak=rg.
Unasudivisionediuninsiemeinsottoinsiemiadueaduedisgiuntisichiamapartizione.Dalle
definizioni segue che abbiamo la partizione:
(1.2.4) Rn =int(S)[∂S[ext(S)
per ogni sottoinsieme S di Rn
Poichè Rn è aperto, abbiamo che
ext(;)=int(Rnn;)=int(Rn)=Rn
e quindi dalla (1.2.4) otteniamo che
(1.2.5) int(;)=∂;=;,
e
(1.2.6) ∂Rn =ext(Rn)=;.
In particolare, la (1.2.5) implica che ; sia aperto.
La chiusura di S ‰Rn è
S¯=S[∂S.
S¯ è indicata anche con cl(S). Grazie alla (1.2.3) abbiamo che
B(a;r)=fx2Rn : kx¡ak6rg.
Diciamo che un insieme sottoinsieme S di Rn è chiuso se S =S¯, ovvero se ∂S ‰S.
Dalla (1.2.5) otteniamo immediatamente che ; ed Rn sono chiusi.
Vediamo un esempio in R2. Abbiamo che
(1.2.7) S =f(x,y) : jxyj<1g
è aperto,
∂S =f(x,y) : jxyj=1g
(10) AnB=fx2A : x2/Bg.
4
E.Buzano,AnalisiIII
e
S¯=f(x,y) : jxyj61g.
Invece
f(x,y) : ¡1<xy 61g
non è nè aperto nè chiuso.
A titolo di esempio proviamo che (1.2.7) è aperto. Le altre affermazioni sono lasciate come
esercizio.
Dato (a,b)2S dobbiamo trovare r >0 tale che B((a,b);r)‰S e cioè tale che
(x¡a)2+(y¡b)2 <r2 =) jxyj<1.
Ma
(x¡a)2+(y¡b)2 <r2 =) jx¡aj, jy¡bj<r,
ed quindi ( )( )
jxyj6 jx¡aj+jaj jy¡bj+jbj <(r+jaj)(r+jbj).
Dunque dobbiamo scegliere r >0 tale che
(r+jaj)(r+jbj)<1.
Ma questo è sicuramente possibile poichè
lim (r+jaj)(r+jbj)=jabj<1.
r!0+
Non sempre i concetto di frontiera risponde all’intuizione. Ad esempio, se consideriamo
S =[0,1]\Q‰R,
dove Q è l’insieme dei numeri razionali, abbiamo che
int(S)=;, ∂(S)=[0,1], ext(S)=]¡1,¡1[[]1,+1[.
Infatti, dati due numeri reali α<β, abbiamo che
]α,β[\Q6=;6=]α,β[\(RnQ).
Dunque, dati a2S, ed r >0 e posto
{
α=supf0,a¡rg,
β =inff1,a+rg,
abbiamo che {
;6=]α,β[\S ‰]a¡r,a+r[\S,
;6=]α,β[\(RnS)‰]a¡r,a+r[\(RnS)
e quindi a non può essere nè interno nè esterno ad S.
Proposizione 1.2.1. Per ogni sottoinsieme S di Rn abbiamo che
S¯=int(S)[∂S.
Dimostrazione. Infatti abbiamo che S \ext(S) = ; e quindi che S ‰ int(S)[∂S, grazie alla
(1.2.4).
La dimostrazione della seguente proposizione è molto semplice ed è lasciata al lettore:
Proposizione 1.2.2. Dati S ‰T ‰Rn, abbiamo che
int(S)‰int(T), S¯‰T¯, ext(S)(cid:190)ext(T).
5
E.Buzano,AnalisiIII
Proposizione 1.2.3. int(S) ed ext(S) sono insiemi aperti.
In particolare int(S) è il più grande aperto contenuto in S.
Dimostrazione. Consideriamo a 2 int(S). In base alla definizione deve esistere r > 0 tale che
B(a;r)‰S. Ma B(a;r) è aperto, dunque B(a;r)=int(B(a;r))‰int(S), grazie alla proposizio-
ne 1.2.2. Questo significa che a è un punto interno ad int(S), cioè che int(S) è aperto.
Grazie alla (1.2.2) abbiamo che anche ext(S) è aperto.
Infine, se T ‰S è aperto, abbiamo che
T =int(T)‰int(S).
Definizione 1.2.4. Un punto di accumulazione di un insieme S ‰Rn, è un punto a2Rn
tale che ogni suo intorno ha intersezione non vuota con Snfag.
Equivalentemente possiamo dire che a è punto di accumulazione di S se
B˙(a,r)\S 6=;, 8r 2R .
+
Osserviamo esplicitamente che non è necessario che a2S.
I punti appartenenti ad S che non sono di accumulazione si dicono isolati.
Ad esempio, dato
S =fx2Rn : 1<kxk<2g[f0g,
abbiamo che 0 è un punto isolato di S, mentre l’insieme dei punti di acumulazione di S è dato da
fx2Rn : 16kxk62g.
Teorema 1.2.5. Dato un insieme S ‰Rn, abbiamo che le seguenti condizioni sono equivalenti:
1) S è chiuso,
2) RnnS è aperto,
3) S contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Dimostrazione. Per la proposizione 1.2.1 S è chiuso se e solo se è uguale a int(S)[∂S e quindi,
grazie alla (1.2.4), se solo se RnnS =ext(S), che è aperto per la proposizione 1.2.3.
Abbiamo così provato che i punti 1) e 2) sono equivalenti.
SupponiamooracheRnnS siaapertoecheasiaunpuntodiacumulazionediS.Seperassurdo
a non appartenesse ad S, poichè abbiamo supposto che RnnS sia aperto, dovrebbe esistere †>0
tale che B(a;†)‰RnnS in contraddizione col fatto che B˙(a,r)\S 6=;, per ogni r 2R . Questo
+
prova che il punto 2) implica il punto 3).
Viceversa, se vale il punto 3), a2RnnS non può essere punto di accumulazione di S e quindi
deve esistere †>0 tale che B(a;†)‰RnnS. Ma questo significa che RnnS è aperto.
In questo modo abbiamo ottenuto che il punto 3) implica il punto 2).
Corollario 1.2.6. S¯ è il più piccolo chiuso contenente S.
Dimostrazione. Per la (1.2.4) e la proposizione 1.2.1 abbiamo che RnnS¯ = ext(S). Dunque S¯ è
chiuso per la proposizione 1.2.3 ed il teorema 1.2.5.
Se poi T è chiuso e contiene S, allora RnnT =ext(T)‰ext(S)=RnnS¯ e quindi S¯‰T.
1.3 Limiti e continuità
Una funzione reale in n variabili reali(11) è un’applicazione f : S ! R, con S ‰ Rn. La variabile
indipendente può essere scritta sia in forma vettoriale che in componenti:
f(x)=f(x ,...,x ).
1 n
(11)Unsinonimo,usatosoprattuttoinFisicaedIngegneria,difunzionerealedipiùvariabilirealiècamposcalare.
Ovviamentelefunzioniinpiùvariabilicomprendonocomecasoparticolarequelleinunavariabile.
6
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Definizione 1.3.1. Supposto che a sia un punto di accumulazione di S,(12) diciamo che f(x)
tende a b 2 R per x che tende ad a, ovvero che b è il limite di f(x) per x che tende ad a, e
scriviamo
lim f(x)=b,
x!a
se per ogni †>0, esiste δ >0 tale che
jf(x)¡bj<†, 8x2B˙(a;δ)\S.
Diremo invece che
lim f(x)=+1,
x!a
se per ogni M >0 esiste δ >0 tale che si abbia
f(x)>M, 8x2B˙(a;δ)\S,
e, analogamente, diremo che
lim f(x)=¡1,
x!a
se per ogni M >0 esiste δ >0 tale che si abbia
f(x)<¡M, 8x2B˙(a;δ)\S.
Esempi. 1) Abbiamo
x4+y4
lim =0.
(x,y)!(0,0)x2+y2
Infatti, x4+y4 6(x2+y2)2, quindi
x4+y4 √ p
<x2+y2 6†, per 0<k(x,y)k= x2+y2 <δ = †.
x2+y2
2) Vediamo un limite infinito:
lim log(x2+y2)=¡1.
(x,y)!(0,0)
Infatti, dato M >0, abbiamo
( )
√
M
log(x2+y2)<¡M, per 0<k(x,y)k= x2+y2 <δ =exp ¡ .
2
Prima di dare un esempio di una funzione priva di limite nell’origine, è opportuno fare alcune
considerazioni.
Proposizione 1.3.2. Data una funzione f(x,y) definita in un intorno bucato dell’origine di un
punto (x ,y ) e tale che
0 0
lim f(x,y)=L,
(x,y)!(x0,y0)
per ogni funzione g(x) definita in un intorno di x , continua in x e tale che g(x )=y , dobbiamo
0 0 0 0
avere ( )
lim f x,g(x) =L.
x!x0
Dimostrazione. Per semplicità supponiamo che L 2 R. Lasciamo come esercizio il caso in cui
L=§1.
Dato †>0, dobbiamo dimostrare che esiste δ >0 tale che
fl ( ) fl
(1.3.1) flf x,g(x) ¡Lfl<†, per 0<jx¡x j<δ.
0
(12) Inparticolareammettiamochef possanonesseredefinitaina.
7
E.Buzano,AnalisiIII
In base alle ipotesi sappiamo che esiste ρ>0 tale che
(1.3.2) jf(x,y)¡Lj<†, per 0<(x¡x )2+(y¡y )2 <ρ2.
0 0
D’altra parte, grazie alla continuità di g in x , deve esistere δ >0 tale che
0
( ) ( )
(1.3.3) (x¡x )2+ g(x)¡y 2 =(x¡x )2+ g(x)¡g(x ) 2 <ρ2, per jx¡x j<δ.
0 0 0 0 0
Poichè la (1.3.1) segue dalle (1.3.2) e (1.3.3), la dimostrazione è completa.
Diamo ora un esempio di funzione priva di limite nell’origine. La seguente funzione non ha
limite per (x,y)!(0,0):
xy
f(x,y)= .
x2+y2
Per provare quest’affermazione utilizziamo la proposizione 1.3.2. Per ogni m2R abbiamo che
m
f(x,mx)= , per x6=0.
1+m2
e quindi, se per assurdo f(x,y) tendesse ad un limite L per (x,y) ! (0,0), in base alla proposi-
zione 1.3.2 con con g(x)=mx, dovremmo avere
m
(1.3.4) L= limf(x,mx)= ,
x!0 1+m2
qualunque sia m2R. Cosa impossibile, poichè il terzo membro della (1.3.4) assume infiniti valori
differenti al variare di m2R, mentre il primo membro è indipendente da m.
Daunpuntodivistageometrico,abiamoprovatocheillimitenonesisteperchèlungociascuna
retta y = mx la funzione tende ad un valore che dipende dal coefficiente angolare m e quindi
complessivamente non può avere un unico limite L.
I limiti di funzioni in più variabili godono delle stesse proprietà dei limiti di una variabile. Ad
esempio, la seguente proposizione si prova come nel caso delle funzioni di una variabile:
Proposizione 1.3.3. Dati
λ, µ2R
e
f, g :S !R,
supponiamo che a sia un punto di accumulazione di S e che
lim f(x)=b2R e lim g(x)=c2R.
x!a x!a
Allora abbiamo che
( )
lim λf(x)+µg(x) =λb+µc,
x!a
lim f(x)g(x)=bc.
x!a
Definizione 1.3.4. Diciamo che f : S ! R è continua in a 2 S se per ogni † > 0 esiste δ > 0
tale che
jf(x)¡f(a)j<†, 8x2B(a;δ)\S.
Diciamo che f è continua in un sottoinsieme T ‰S se è continua in ogni punto di T.
La dimostrazione della seguente proposizione è molto semplice ed è lasciata al lettore:
Proposizione 1.3.5. f :S !R è continua in a2S se e solo se a è un punto isolato di S oppure
(1.3.5) lim f(x)=f(a).
x!a
La seguente proposizione è un’immediata conseguenza della proposizione 1.3.3:
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E.Buzano,AnalisiIII
