Analysis I (Wintersemester 1999/2000)

566 Pages·5.094 MB·German

by  Wulf-Dieter Geyer

Analysis I
(cid:15)...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15).............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15)...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15).......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15)..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(cid:15)................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................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Analysis I
Seite
I. Zahlen 2
1. Natu(cid:127)rliche Zahlen 2
2. Ganze Zahlen 3
3. Rationale Zahlen 4
4. Anordnung 5
5. Reelle Zahlen 8
6. Komplexe Zahlen 9
II. Folgen und Reihen 12
7. Konvergenz von Folgen 12
8. Quadratwurzeln 20
9. Unendliche Reihen 22
10. Absolute Konvergenz 28
11. Die Exponentialreihe 34
III. Stetige Funktionen 38
12. Funktionen 38
13. Stetige Funktionen 50
14. Drei S(cid:127)atze u(cid:127)ber stetige reelle Funktionen 54
15. Umkehrfunktionen. Logarithmus und Potenz 58
16. Trigonometrische Funktionen 67
IV. Di(cid:11)erentiation 77
1
17. Di(cid:11)erenzierbarkeit fu(cid:127)r IR 77
18. Lokale Extrema und Mittelwertsatz 90
19. Konvexit(cid:127)at 104
20. Numerische L(cid:127)osung von Gleichungen 111
V. Integration 127
1
21. Riemannsches Integral in IR 127
22. Integration und Di(cid:11)erentiation 137
23. Taylorsche Formel und Approximation durch Polynome 157
24. Uneigentliche Integrale und Gamma-Funktion 174
VI. Reihen von Funktionen 213
25. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Konvergenz von Funktionenfolgen 213
26. Potenzreihen 235
27. Fourierreihen 269
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Analysis I
Seite
I. Zahlen 2
1. Natu(cid:127)rliche Zahlen 2
2. Ganze Zahlen 3
2.a. Rechenregeln der Addition 3
2.b. Rechenregeln der Multiplikation 3
2.c. Potenzen 4
2.d. Kongruenzen 4
3. Rationale Zahlen 4
4. Anordnung 5
4.a. De(cid:12)nitionen 5
4.b. Rechnen mit Ungleichungen 6
4.c. Absolutbetrag 6
4.d. Folgerungen 7
4.e. Intervalle 7
4.f. Suprema und In(cid:12)ma 7
5. Reelle Zahlen 8
5.a. De(cid:12)nition 8
5.b. Das archimedische Axiom 9
6. Komplexe Zahlen 9
6.a. De(cid:12)nition 10
6.b. Konjugation, Norm und Betrag komplexer Zahlen 10
6.c. Beschreibung einiger Mengen in C durch den Betrag 11
II. Folgen und Reihen 12
7. Konvergenz von Folgen 12
7.a. Reelle Zahlenfolgen 12
7.b. Konvergenz reeller Zahlenfolgen 13
7.c. Konvergenz von Folgen in einem metrischen Raum 14
7.d. Grenzwert-Arithmetik 15
7.e. Bestimmte Divergenz reeller und komplexer Folgen 16
7.f. Teilfolgen und H(cid:127)aufungspunkte 18
8. Quadratwurzeln 20
9. Unendliche Reihen 22
9.a. De(cid:12)nitionen 22
9.b. Rechenregeln 23
9.c. Konvergenzkriterien 24
9.d. Dezimalbru(cid:127)che 27
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10. Absolute Konvergenz 28
10.a. Konvergenzkriterien 29
10.b. Bedingte und unbedingte Konvergenz 31
10.c. Cauchy-Produkt 32
11. Die Exponentialreihe 34
11.a. Die Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung 34
11.b. Die Eulersche Zahl e 36
III. Stetige Funktionen 38
12. Funktionen 38
12.a. Grundbegri(cid:11)e 38
12.b. Eigenschaften von Funktionen 39
12.c. Reelle Funktionen 39
12.d. Beispiele reeller Funktionen 40
12.e. Beru(cid:127)hrpunkte und H(cid:127)aufungspunkte 46
12.f. Grenzwerte bei Funktionen 47
13. Stetige Funktionen 50
13.a. Stetigkeit 50
13.b. Lipschitz-Stetigkeit 52
14. Drei S(cid:127)atze u(cid:127)ber stetige reelle Funktionen 54
14.a. Der Zwischenwertsatz 55
14.b. Maxima und Minima stetiger Funktionen 56
14.c. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Stetigkeit 56
15. Umkehrfunktionen. Logarithmus und Potenz 58
15.a. Monotone Funktionen 58
15.b. Der Satz von der Umkehrfunktion 59
15.c. Der Logarithmus 61
15.d. Die allgemeine Potenz 63
15.e. Einige Grenzwerte. Die Landau-Symbole o und O 66
16. Trigonometrische Funktionen 67
16.a. Die Funktionen Sinus und Cosinus 67
16.b. Die Zahl (cid:25) 71
16.c. Die Arcusfunktionen 75
IV. Di(cid:11)erentiation 77
1
17. Di(cid:11)erenzierbarkeit fu(cid:127)r IR 77
17.a. Di(cid:11)erentialquotient 77
17.b. Beispiele 78
17.c. A(cid:14)n-lineare Approximation 79
17.d. Ableitungskalku(cid:127)l 81
17.e. H(cid:127)ohere Ableitungen 85
18. Lokale Extrema und Mittelwertsatz 90
18.a. Lokale Extrema 90
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18.b. Der Mittelwertsatz 94
18.c. Monotonie und Di(cid:11)erenzierbarkeit 98
18.d. Die Regeln von de l'Hospital 101
19. Konvexit(cid:127)at 104
19.a. Konvexe Mengen 104
19.b. Konvexe und konkave Funktionen 105
19.c. Kennzeichnung konvexerFunktionen 106
19.d. Anwendungen 109
20. Numerische L(cid:127)osung von Gleichungen 111
20.a. Iterationen 112
20.b. Ein Fixpunktsatz 115
20.c. Beispiel: Der Potenzlimes 117
20.d. Newton-Iteration 124
V. Integration 127
1
21. Riemannsches Integral in IR 127
21.a. Treppenfunktionen 127
21.b. Ober- und Unterintegral 129
21.c. Riemannsches Integral 130
21.d. Riemannsche Summen 133
22. Integration und Di(cid:11)erentiation 137
22.a. Unbestimmtes Integral 137
22.b. Hauptsatz der Di(cid:11)erential- und Integralrechnung 138
22.c. Substitutionsregel 140
22.d. Partielle Integration 143
22.e. Partialbruchzerlegungund Integration rationaler Funktionen 147
22.f. Elementare Integrierbarkeit 152
22.g. Numerische Integration 155
23. Taylorsche Formel und Approximation durch Polynome 157
23.a. Die Formel von Taylor 158
23.b. Lagrange-Interpolation 161
23.c. Hermite-Interpolation 164
23.d. C(cid:20)eby(cid:20)sev-Interpolation 166
23.d.i. Minimax-EigenschaftderC(cid:20)eby(cid:20)sev-Polynome 166
23.d.ii. Lagrange-InterpolationglatterFunktionenmitC(cid:20)eby(cid:20)sev-Stu(cid:127)tzstellen 167
23.d.iii. Hermite-InterpolationstetigerFunktionenmitC(cid:20)eby(cid:20)sev-Stu(cid:127)tzstellen 169
23.e. Bernstein-Polynome 171
24. Uneigentliche Integrale und Gamma-Funktion 174
24.a. Integration u(cid:127)ber ein beliebiges Intervall 174
24.b. Erste Beispiele uneigentlicher Integrale 177
24.c. Einige S(cid:127)atze u(cid:127)ber uneigentliche Integration 180
24.d. Treppenfunktionen und Riemannsche Summen bei o(cid:11)enem Intervall 183
24.e. Die Gammafunktion 186
24.f. Kennzeichnung der Gammafunktion durch logarithmische Konvexit(cid:127)at 188
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24.g. Produktdarstellung, Di(cid:11)erenzierbarkeit, Verdoppelungsformel fu(cid:127)r (cid:0)(x) 192
24.h. Gammafunktion und Sinus 196
24.i. Integration und Summation 198
24.j. Bernoulli-Polynome und die Eulersche Summenformel 203
24.j1. Bernoulli-PolynomeundBernoulli-Zahlen 203
24.j2. DieEulerscheSummenformel 206
24.j3. BeispielezurEulerschenSummenformel 209
VI. Reihen von Funktionen 213
25. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Konvergenzvon Funktionenfolgen 213
25.a. Punktweise Konvergenz von Funktionen 213
25.b. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Konvergenz von Funktionen 215
25.c. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Konvergenz und Stetigkeit 220
25.d. Nirgends di(cid:11)erenzierbare stetige Funktionen 224
25.e. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Konvergenz und Integration 225
25.f. Gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Konvergenz und Di(cid:11)erentiation 230
26. Potenzreihen 235
26.a. Formale Potenzreihen 235
26.b. Formale Di(cid:11)erentialrechnung 237
26.c. Komposition von Potenzreihen 239
26.d. Konvergenz von Potenzreihen 241
26.e. Laurent-Reihen 251
26.f. Rechnen mit Potenzreihen 253
26.g. Analytische oder holomorphe Funktionen 261
26.h. Taylor-Reihen 264
27. Fourierreihen 269
27.a. Periodische Funktionen 269
27.b. Skalarprodukt periodischer Funktionen 272
27.c. Fourierkoe(cid:14)zienten und Fourierreihen 277
27.d. Konvergenz der Fourierreihen im quadratischen Mittel 283
27.e. Dirichlet-Kerne 287
27.f. Punktweise Konvergenz von Fourierreihen 291
Personenverzeichnis 301
Stichwortverzeichnis 303
Prof. Dr. Wulf-Dieter Geyer: Analysis I, WS 1999/2000
Analysis I
Prof. Dr. Wulf-Dieter Geyer: Analysis I, WS 1999/2000
2 I. Zahlen
I. Zahlen
Der HauptgegenstandderAnalysissind dieFunktionen und ihre Eigenschaften,insbesondereihrVerhal-
ten gegenu(cid:127)ber Grenzprozessen. Bevor wir uns damit befassen, betrachten wir in dieser ersten Abteilung
den Mutterboden, auf dem die Funktionen wachsen, n(cid:127)amlich die Zahlen. Wir bauen die Standard-
Zahlbereiche in der Reihenfolge
IN(cid:26)Z(cid:26) Q (cid:26)IR(cid:26) C
auf. Kann man Funktionen schon mit Werten in IN, Z und Q betrachten, (cid:12)ndet die Anwendung
in(cid:12)nitesimaler Methoden erst im Reellen und Komplexen statt.
1. Natu(cid:127)rliche Zahlen
Die natu(cid:127)rlichen Zahlen sind die Elemente der Mengen
IN=f1;2;3;:::;n;::: g oder IN0 =f0;1;2;3;:::;n;::: g=IN[f0g
Beweisprinzip der vollst(cid:127)andigen Induktion: Ist A(n) eine Aussage u(cid:127)ber natu(cid:127)rliche Zahlen n, gilt A(1)
und A(n) ) A(n+1) fu(cid:127)r alle n2IN, so gilt A(n) fu(cid:127)r alle natu(cid:127)rlichen Zahlen n2IN.
Beispiele:
1. Arithmetische Reihen:
Xn n(n+1) Xn 2
i= ; (2i(cid:0)1)=n
2
i=1 i=1
Yn
2. Die Menge [n]=f1;2;3;:::;ng hat n!= i ( n-Fakult(cid:127)at\) Permutationen. Allgemeiner:
"
i=1
n
Die Anzahl aller Abbildungen f : [n]![m] ist m ,
Yn
die Anzahl der injektiven Abbildungen (m+1(cid:0)i).
i=1
3. Binomial-Koe(cid:14)zienten: Die Zahl der k-elementigen Teilmengen von [n] ist
(cid:18)n(cid:19) Yk n+1(cid:0)i n!
= =
k i k!(cid:1)(n(cid:0)k)!
i=1
4. AdditionstheoremderBinomialkoe(cid:14)zienten:
1
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
n n(cid:0)1 n(cid:0)1 1 1
= + 1 2 1
k k(cid:0)1 k
1 3 3 1
1 4 6 4 1
fu(cid:127)hrt zum Pascalschen Dreieck.
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
5. Binomische Formel:
n Xn (cid:18)n(cid:19) n(cid:0)i i
(x+y) = x y
i
i=0
6. Endliche geometrische Reihe:
Xn i 1(cid:0)xn+1
x6=1 =) x =
1(cid:0)x
i=0
2. Ganze Zahlen 3
2. Ganze Zahlen
Die ganzen Zahlen sind die Elemente der Menge
Z=IN[f0g[f(cid:0)n; n2INg=f:::; (cid:0)n; :::; (cid:0)3; (cid:0)2; (cid:0)1; 0; 1; 2; 3; :::; n; ::: g
2.a. Rechenregeln der Addition
(A1) Assoziativgesetz:
(x+y)+z =x+(y+z)
(A2) Kommutativgesetz:
x+y=y+x
(A3) Existenz der Null:
x+0=x
(A4) Existenz des Negativen:
x+((cid:0)x)=0 :
Die Gu(cid:127)ltigkeitvon(A1) bedeutet dieUnabh(cid:127)angigkeiteinerSumme a1+:::+an vonjeder Klammerung,
dieGu(cid:127)ltigkeitvon(A1) und (A2) bedeutet, da(cid:25)manu(cid:127)ber eine endlicheFamilie (ai)i2I summieren kann,
also
X
ai
i2I
bilden kann, ohne der Indexmenge I eine Ordnung oder der Summe eine Klammerung zu geben.
In IN gelten die Regeln (A1) und (A2), in IN0 gilt u(cid:127)berdies (A3), in Z gelten alle vier Regeln.
Eine Menge mit einer Rechenoperation +, die die Regeln (A1) bis (A4) erfu(cid:127)llt, hei(cid:25)t eine kommutative
Gruppe. In der Linearen Algebra tauchen auch Rechenoperationen auf, die nur (A1), (A3) und (A4)
erfu(cid:127)llen. Dann spricht man von einer Gruppe.
Der U(cid:127)bergang von IN zu Z bedeutet die (eindeutige) L(cid:127)osbarkeit von Gleichungen der Gestalt
a+x=b
durch x=((cid:0)a)+b.
2.b. Rechenregeln der Multiplikation
(M1) Assoziativgesetz:
(x(cid:1)y)(cid:1)z =x(cid:1)(y(cid:1)z)
(M2) Kommutativgesetz:
x(cid:1)y=y(cid:1)x
(M3) Existenz der Eins:
x(cid:1)1=x
Verbindende Regel zwischen Addition und Multiplikation:
(D) Distributivgesetz:
x(cid:1)(y+z)=x(cid:1)y+x(cid:1)z
4 I. Zahlen
Alle diese Regeln gelten in IN wie in Z. Hat man auf einer Menge R zwei Rechenoperationen + und (cid:1),
die die Regeln (A1) bis (A4), (M1) bis (M3) und (D) erfu(cid:127)llen, so hei(cid:25)t R ein kommutativer Ring. Aus
(D) folgt das allgemeine Distributivgesetz
(cid:18)Xn (cid:19) (cid:18)Xm (cid:19) Xn Xm
ai (cid:1) bj = aibj
i=1 j=1 i=1j=1
Weiter folgen aus vorstehenden Regeln die Vorzeichenregeln
a(cid:1)0 =0
a(cid:1)((cid:0)b)=((cid:0)a)(cid:1)b =(cid:0)ab
((cid:0)a)(cid:1)((cid:0)b) =ab
2.c. Potenzen
Iterierte Multiplikation mit demselben Element x fu(cid:127)hrt zu den Potenzenvon x, die man rekursiv durch
0 n+1 n
x :=1 ; x :=x (cid:1)x fu(cid:127)r n2IN0
de(cid:12)niert. Fu(cid:127)r diese Potenzen gelten die aus (M1) bis (M3) folgenden Rechenregeln
n m n+m
x (cid:1)x =x
n m nm
(x ) =x
n n n
x (cid:1)y =(xy)
2.d. Kongruenzen
Fu(cid:127)r n2IN wird auf Z eine neue Gleichheit\, die Kongruenz modulo n, durch
"
a(cid:17)b mod n:() n teilt a(cid:0)b ; d.h. 9c2Z: a(cid:0)b=cn (a;b2Z)
( a und b sind kongruentmodulo n\)eingefu(cid:127)hrt. Die Kongruenz modulo n hat die Eigenschaften einer
"
Gleichheit
a(cid:17)a mod n ; a(cid:17)b mod n =) b(cid:17)a mod n (a;b2Z)
a(cid:17)b mod n ; b(cid:17)c mod n =) a(cid:17)c mod n (a;b;c2Z)
und erfu(cid:127)llt die Rechenregeln (A1) bis (A4), (M1) bis (M3) und (D).
3. Rationale Zahlen
n
Der U(cid:127)bergang zu den Bru(cid:127)chen mit n2Z, m2IN mit der Gleichheit
m
0
n n 0 0
= () nm =nm ;
m m0
der Addition
0 0 0
n n nm +nm
+ =
m m0 mm0
und der Multiplikation
0 0
n n nn
(cid:1) =
m m0 mm0
fu(cid:127)hrtzueinemBereichvonZahlen,indemu(cid:127)berdiebisherigenRechenregelnhinausdie fehlende\ Regel
"
(M4) Existenz des Inversen:
(cid:0)1
x6=0 =) x(cid:1)x =1 :