Analiz˘a matricial˘a si conditionarea unui sistem liniar

39 Pages·2015·0.56 MB·Romanian

Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
Analiz˘amatricial˘a
Analiz˘a matricial˘a ¸si condi¸tionarea unui Normematriciale
Exempledenorme
matriciale
sistem liniar Rezultateutile
Condi¸tionareaunui
Norme, convergen¸t˘a, condi¸tionare sistemliniar
Condi¸tionareaunuisistem
liniar
Estimareanum˘aruluide
condi¸tionare
Exempledematriceprost
Radu Trˆımbi¸ta¸s condi¸tionate
Metodeiterative
Introducere
UBB Convergen¸ta¸sidelimitarea
erorii
Metodeconcrete
6 aprilie 2020 Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
MetodaGauss-Seidel
Metodarelax˘arii
Elemente de analiz˘a matricial˘a Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
Analiz˘amatricial˘a
Normematriciale
Exempledenorme
matriciale
(cid:73) A ∈ Cm×m, AT transpusa lui A, A∗ transpusa Rezultateutile
Condi¸tionareaunui
conjugat˘a a lui A sistemliniar
(cid:73) Condi¸tionareaunuisistem
polinomul p(λ) = det(A−λI) polinomul caracteristic liniar
Estimareanum˘aruluide
al lui A; r˘ad˘acinile lui se numesc valori proprii ale lui A condi¸tionare
Exempledematriceprost
(cid:73) Ax = λx, λ ∈ C valoare proprie, x (cid:54)= 0 vector propriu condi¸tionate
Metodeiterative
(cid:73) Valoarea ρ(A) = max{|λ| : λ valoare proprie a lui A} Introducere
Convergen¸ta¸sidelimitarea
— raza spectral˘a a matricei A. erorii
Metodeconcrete
Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
MetodaGauss-Seidel
Metodarelax˘arii
Matrice speciale Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
(cid:73) Analiz˘amatricial˘a
O matrice se nume¸ste
Normematriciale
(cid:73) normal˘a, dac˘a AA∗ =A∗A Emxaetmricpilaeledenorme
(cid:73) unitar˘a, dac˘a AA∗ =A∗A=I Rezultateutile
(cid:73) ortogonal˘a, dac˘a AAT =ATA=I, A real˘a Condi¸tionareaunui
sistemliniar
(cid:73) hermitian˘a, dac˘a A∗ =A Condi¸tionareaunuisistem
(cid:73) simetric˘a, dac˘a AT =A, A real˘a lEinstiaimrareanum˘aruluide
condi¸tionare
(cid:73) O norm˘a matricial˘a este o aplica¸tie (cid:107)·(cid:107) : Cm×m → R, Ecoxnedmi¸tpiloendateematriceprost
care pentru orice matrice A, B ¸si orice scalar α ∈ C Metodeiterative
Introducere
verific˘a
Convergen¸ta¸sidelimitarea
erorii
(NM1) (cid:107)A(cid:107) ≥0, (cid:107)A(cid:107) =0⇔A=0
Metodeconcrete
(NM2) (cid:107)αA(cid:107) = |α|(cid:107)A(cid:107) Rafinareaiterativ˘a
(NM3) (cid:107)A+B(cid:107) ≤ (cid:107)A(cid:107)+(cid:107)B(cid:107) MetodaluiJacobi
MetodaGauss-Seidel
(NM4) (cid:107)AB(cid:107) ≤ (cid:107)A(cid:107)(cid:107)B(cid:107) Metodarelax˘arii
Norme matriciale - exemple Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
(cid:73) fiind dat˘a o norm˘a vectorial˘a (cid:107)·(cid:107) pe Cn, aplica¸tia
RaduTrˆımbi¸ta¸s
(cid:107)(cid:107) : Cm×n → R
Analiz˘amatricial˘a
(cid:107)Av(cid:107) Normematriciale
(cid:107)A(cid:107) = sup = sup (cid:107)Av(cid:107) = sup (cid:107)Av(cid:107) Emxaetmricpilaeledenorme
v∈Cn (cid:107)v(cid:107) v∈Cn v∈Cn Rezultateutile
v(cid:54)=0 (cid:107)v(cid:107)≤1 (cid:107)v(cid:107)=1 Condi¸tionareaunui
sistemliniar
este o norm˘a matricial˘a numita norm˘a matricial˘a Clinoinadri¸tionareaunuisistem
Estimareanum˘aruluide
subordonat˘a (normei vectoriale date) sau norm˘a indus˘a condi¸tionare
Exempledematriceprost
(de norma vectorial˘a) sau norm˘a natural˘a. condi¸tionate
(cid:73) Metodeiterative
Orice norm˘a subordonat˘a verific˘a (cid:107)I(cid:107) = 1
Introducere
(cid:73) Convergen¸ta¸sidelimitarea
Un exemplu important de norm˘a nesubordonat˘a erorii
(neindus˘a) este norma Frobenius Metodeconcrete
Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
(cid:32) (cid:33)1/2 MetodaGauss-Seidel
(cid:107)A(cid:107) = ∑∑|a |2 = (tr (A∗A))1/2. Metodarelax˘arii
F ij
i j
√
(cid:73)
(cid:107)I(cid:107) = n, deci norma Frobenius nu este subordonat˘a
F
Norme induse clasice Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
Analiz˘amatricial˘a
Teorem˘a Normematriciale
Exempledenorme
Fie A ∈ Cm×m. Atunci matriciale
Rezultateutile
Condi¸tionareaunui
(cid:107)A(cid:107) = sup (cid:107)Av(cid:107)1 = max∑|a | sistemliniar
1 v∈Cm\{0} (cid:107)v(cid:107)1 j i ij ClEinsotinaimdri¸atiroenaanreuamu˘anruuliusiisdteem
condi¸tionare
(cid:107)A(cid:107) = sup (cid:107)Av(cid:107)2 = (cid:113)ρ(AA∗) = (cid:113)ρ(A∗A) = (cid:107)A∗(cid:107) Ecoxnedmi¸tpiloendateematriceprost
2 v∈Cm\{0} (cid:107)v(cid:107)2 2 Metodeiterative
Introducere
(cid:107)A(cid:107) = sup (cid:107)Av(cid:107)∞ = max∑|a | Ceroonriviergen¸ta¸sidelimitarea
∞ ij
v∈Cm\{0} (cid:107)v(cid:107)∞ i j Metodeconcrete
Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
Dac˘a A este normal˘a (AA∗ = A∗A), atunci (cid:107)A(cid:107) = ρ(A). MetodaGauss-Seidel
2 Metodarelax˘arii
Exemple Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
Fie matricele
Analiz˘amatricial˘a
Normematriciale
 
(cid:20) 1 2 (cid:21) 1 2 3 Emxaetmricpilaeledenorme
A = ,B =  −1 0 2 . Rezultateutile
3 3 Condi¸tionareaunui
2 1 −2 sistemliniar
Condi¸tionareaunuisistem
liniar
Normele uzuale ale lui A ¸si B vor fi Estimareanum˘aruluide
condi¸tionare
Exempledematriceprost
condi¸tionate
(cid:107)A(cid:107) = 5, (cid:107)A(cid:107) = 6,
1 √ ∞√ Metodeiterative
29+ 17 √ ICnotnrovdeurgceenre¸ta¸sidelimitarea
(cid:107)A(cid:107) = ≈ 4.7541, (cid:107)A(cid:107) = 23 erorii
2 2 F Metodeconcrete
(cid:107)B(cid:107) = 6, (cid:107)B(cid:107) = 7, Rafinareaiterativ˘a
1 ∞ √ MetodaluiJacobi
MetodaGauss-Seidel
(cid:107)B(cid:107) ≈ 42986, (cid:107)B(cid:107) = 2 7. Metodarelax˘arii
2 F
Un rezultat util Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
Analiz˘amatricial˘a
Normematriciale
Teorem˘a Exempledenorme
matriciale
Rezultateutile
(1) Fie A o matrice p˘atratic˘a oarecare ¸si (cid:107)·(cid:107) o norm˘a
Condi¸tionareaunui
matricial˘a oarecare (indus˘a sau nu). Atunci sistemliniar
Condi¸tionareaunuisistem
liniar
ρ(A) ≤ (cid:107)A(cid:107). Ecosntidmi¸taiorenaarneum˘aruluide
Exempledematriceprost
condi¸tionate
(2) Fiind dat˘a o matrice A ¸si un num˘ar ε > 0, exist˘a cel Metodeiterative
Introducere
pu¸tin o norm˘a matricial˘a subordonat˘a astfelˆıncˆat
Convergen¸ta¸sidelimitarea
erorii
Metodeconcrete
(cid:107)A(cid:107) ≤ ρ(A)+ε.
Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
MetodaGauss-Seidel
Metodarelax˘arii
Analiz˘amatricial˘a
Demonstra¸tie. (1) Fie p un vector propriu dominant, adic˘a ¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
p (cid:54)= 0, Ap = λp ¸si |λ| = ρ(A) ¸si q un vector astfelˆıncˆat
RaduTrˆımbi¸ta¸s
pq∗ (cid:54)= 0. Dar
Analiz˘amatricial˘a
ρ(A)(cid:107)pq∗(cid:107) = (cid:107)λpq∗(cid:107) = (cid:107)Apq∗(cid:107) ≤ (cid:107)A(cid:107)(cid:107)pq∗(cid:107), NExoermmpelemdaetrincoiarmlee
matriciale
Rezultateutile
de unde prima parte. Condi¸tionareaunui
sistemliniar
(2) ∃U unitar˘a a.ˆı. U−1AU este triunghiular˘a superior, ¸si are
Condi¸tionareaunuisistem
liniar
valorile proprii ale lui A pe diagonal˘a Estimareanum˘aruluide
condi¸tionare
Exempledematriceprost
  condi¸tionate
λ t t ··· t
1 12 13 1m Metodeiterative
 λ2 t23 ··· t2m  Introducere
U−1AU =  ... ...  Ceroonriviergen¸ta¸sidelimitarea
  Metodeconcrete
 λm−1 tm−1,m  Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
λm MetodaGauss-Seidel
Metodarelax˘arii
Fiec˘arui scalar δ (cid:54)= 0ˆıi asociem matricea
D = diag(1,δ,δ2,...,δm−1),
δ
Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
astfel ca unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
 λ δt δ2t ··· δm−1t 
1 12 13 1m
(UDδ)−1A(UDδ) =  λ2 δ.t.2.3 ··· δm−...2t2m  ANEmnxoaertammrilcpeiizlaem˘laedaetmrincoiaarmltereicial˘a
  Rezultateutile
 λm−1 δtm−1,m  Condi¸tionareaunui
sistemliniar
λ
m Condi¸tionareaunuisistem
liniar
Estimareanum˘aruluide
Pentru ε dat, fix˘am δ a.ˆı. ∑mj=i+1(cid:12)(cid:12)δj−itij(cid:12)(cid:12) ≤ ε, cEoxnedmi¸tpiloendareematriceprost
condi¸tionate
i = 1,...m−1.
Metodeiterative
Atunci aplica¸tia Introducere
(cid:107)·(cid:107) : B ∈ Cm×m (cid:55)→ (cid:107)B(cid:107) = (cid:13)(cid:13)(UD )−1B(UD )(cid:13)(cid:13) Ceroonriviergen¸ta¸sidelimitarea
(cid:13) δ δ (cid:13)
∞ Metodeconcrete
ˆındepline¸ste condi¸tiile problemei. ˆIntr-adev˘ar, datorit˘a Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
alegerii lui δ ¸si defini¸tiei (cid:107)·(cid:107) MetodaGauss-Seidel
∞
Metodarelax˘arii
(cid:107)A(cid:107) < ρ(A)+ε
Analiz˘amatricial˘a
¸sicondi¸tionarea
unuisistemliniar
RaduTrˆımbi¸ta¸s
Analiz˘amatricial˘a
Normematriciale
Exempledenorme
matriciale
¸si este indus˘a de norma vectorial˘a Rezultateutile
Condi¸tionareaunui
sistemliniar
(cid:13) (cid:13)
v ∈ Cm (cid:55)→ (cid:13)(cid:13)(UDd)−1v(cid:13)(cid:13) . Clinoinadri¸tionareaunuisistem
∞ Estimareanum˘aruluide
condi¸tionare
Exempledematriceprost
condi¸tionate
Metodeiterative
Introducere
Convergen¸ta¸sidelimitarea
erorii
Metodeconcrete
Rafinareaiterativ˘a
MetodaluiJacobi
MetodaGauss-Seidel
Metodarelax˘arii