Allgemeine Relativitätstheorie

391 Pages·2012·1.9 MB·German

by  Prof. Dr. Torsten Fließbach (auth.)

Allgemeine Relativitätstheorie
Torsten Fließbach
Allgemeine
Relativitätstheorie
.6 Auflage
~ regnirpS murtkepS
Prof. Dr. Torsten Fließbach
tätisrevinU negeiS
57068 Siegeo
E-Mail: [email protected]
ISBN 978-3-8274-3031-1 ISBN 978-3-8274-3032-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8274-3032-8
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detaillierte bibliografisehe Daten sind im Iotemet über http://dnb.d-nb.de abrulbar.
Springer Spektnnn
2.-5. Aufi.: © Spektnnn Akademischer Verlag HeidelbeIg ,59 9,18991 ,3002 2006
.6 Aufi.: © Springer-Verlag Berlin HeidelbeIg 2012
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Vorwort
Das vorliegende Buch entstand im Verlauf von Vorlesungen über Allgemeine Re-
lativitätstheorie an der Universität Siegen. Es richtet sich an Physikstudenten, die
die Kurse über Theoretische Mechanik und Elektrodynamikerfolgreich absolviert
haben. Wie eine Vorlesung soll es als erste Einführung in das Thema dienen. Die
DarstellungbewegtsichaufdemNiveaueinerKursvorlesunginTheoretischerPhy-
sik, also auf einem für das Thema eher einfachen Niveau. Dabei wird mehr Wert
gelegt auf anschauliche Erläuterungen und konkrete Beispiele als auf formale Be-
weise und mathematische Akribie. Die Verbindung zur Elektrodynamik wird, wo
immeressichanbietet,ausführlichdargestellt.AnhandderÄhnlichkeitenundUn-
terschiedezudieserdemLeserschonbekanntenTheoriewirdderZugangerleichtert
undeineersteEinordnungindasGesamtgebietderTheoretischenPhysikmöglich.
Ichhabe einenähnlichenphysikalischenZugangundweitgehendden gleichen
mathematischen Formalismusgewählt wie Steven Weinberg in seinem Buch Gra-
vitationandCosmology[1].EinigeAnregungenhabeichfernerdemBuch[2]von
Sexl und Urbantke entnommen. Das umfassendste Standardwerk Gravitation [3]
wurdevonMisner,ThorneundWheelerverfasst.EineweitereEmpfehlunggiltden
LehrbüchernvonRindler[4],Stephani[5]undKenyon[6].FürdieGrundlagender
Mechanik verweiseich gelegentlich auf meine Mechanik [7]. Übersichtsartikelzu
wissenschaftlichenFragen,dieüberdenRahmendiesesBuchshinausführen,kann
derLeserbeiHallundPulham[8]finden.
InengerAnlehnungandenText,teilweiseaberauchzudessenFortführungund
Ergänzung werden mehr als 40 Übungsaufgaben gestellt (seit der fünften Auflage
mitMusterlösungen).DieseAufgabenerfüllenihrenZwecknurdann,wennsievom
Studentenmöglichsteigenständigbearbeitetwerden.DieseArbeitsolltedahervor
derLektürederMusterlösungenliegen.
Alle bisherigen Experimente stimmen mit den Vorhersagen der Allgemeinen
Relativitätstheorie überein. Dabei wurden die Fehlergrenzen der experimentellen
ErgebnisseimLaufederZeitimmerkleiner.FürdieangeführtenErgebnissebeziehe
ichmichmeistensaufdenÜbersichtsartikel[9]vonWill.
Mit den großen Entdeckungen der 1960er Jahre (Quasare, kosmische Hinter-
grundstrahlung, Pulsare) konnte die Kosmologie sich als experimentelle Wissen-
schaftetablieren.NeueastrophysikalischeExperimenteseitden1990erJahren(wie
dasHubble-Space-TeleskopundandereSatelliten-undRaumsondenmissionen)ha-
benzueinemweiterenAufschwungundzueinererstaunlichgenauenKenntnisder
kosmologischenParameter[10]geführt.
VI
In der vorliegenden sechsten Auflage wurden zunächst einige der zitierten ex-
perimentellen Ergebnisse aktualisiert [9,10], einige Fehler beseitigt, und an zahl-
reichen Stellenkleinere ErgänzungenundVerbesserungenvorgenommen.DieBe-
handlungderSchwarzenLöcherwurdeerweitert,insbesonderewirdineinemneu-
enKapiteldieFrageeinerMassenuntergrenzediskutiert.IndiesemZusammenhang
wirdauchaufdieFrageeingegangen,obeventuellgefährlicheSchwarzeLöcherin
Beschleunigernerzeugtwerdenkönnten.
Bei Ernst W. Behrens, Jan Jeske, Michael Gölles, David Walker und weiteren
Lesernfrüherer AuflagenbedankeichmichfürwertvolleHinweise.Einspezieller
Dank gilt meinen KollegenYasusada Nambu, Tatsuo Shoji and Ryo Sugihara von
der Universität Nagoya, die die 4. Auflage dieses Buchs ins Japanische übersetzt
haben unddie mirim Laufe dieser mühevollenArbeit vielenützlicheRatschlääge
gegebenhaben.FürdieaktuelleNeuauflageverdankeichClausLämmerzahl(Bre-
men)undGerhardSchäfer(Jena)wichtigeHinweise.VieleNeuformulierungenund
Korrekturen in den Teilen IX bis X beruhen auf Vorschlägen von David Walker
(SternwarteLübeck).
Fehlermeldungen,BemerkungenundsonstigeHinweisesindjederzeitwillkom-
men,etwaüberdenKontaktlinkaufmeinerHomepagewww2.uni-siegen.de/
∼flieba/.AufdieserHomepagefindensichaucheventuelleKorrekturlisten.
April2012 TorstenFließbach
VII
Literaturangaben
[1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons, New York
1972
[2] R. U. Sexl und H. K. Urbantke, Gravitation und Kosmologie, 5. Auflage,
SpektrumAkademischerVerlag,Heidelberg2002
[3] C.W.Misner,K.S.Thorne,J.A.Wheeler,Gravitation,Freeman,SanFran-
cisco1973
[4] W. Rindler, Essential Relativity, 2nd edn., Springer Verlag, New York 1977
(rev.printing1990)
[5] H.Stephani,AllgemeineRelativitätstheorie,4.Auflage,DeutscherVerlagder
Wissenschaften,Berlin1991
[6] I.R.Kenyon,GeneralRelativity,2ndedn.,OxfordUniversityPress,1990
[7] T.Fließbach,Mechanik,6.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,Heidel-
berg2009
[8] G. S. Hall and J. R. Pulham (Eds.), General Relativity, SUSSP Publication
EdinburghandIOPP,Bristol1996
[9] C.M.Will,TheconfrontationbetweenGeneralRelativityandExperiment
http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3
[10] N.Jarosiketal.,Seven-YearWilkinsonMicrowaveAnisotropyProbe(WMAP)
Observations:DataProcessing,SkyMapsandBasicResults
arXiv:1001.4744v1[astro-ph]
Diese Arbeit (wie auch später noch zitierte Originalarbeiten) findet der Le-
serindemvonPhysikernammeistenbenutzteneprint-Archiv:DieInternet-
adresselautethttp://arxiv.org/(oderauchhttp://de.arxiv.org/).Dieerstenvier
Ziffern des Zitats geben das Jahr und den Monat an (hier Januar 2010). Die
Buchstaben in eckigen Klammern stehen für das Gebiet (hier astro-ph für
Astrophysik).DasArchivistauchempfehlenswertfürdieSuchenachOrigi-
nalarbeitenzuausgesuchtenThemenodervonbestimmtenAutoren.
Inhaltsverzeichnis
I Einleitung 1
1 NewtonsGravitationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 ZielderAllgemeinenRelativitätstheorie(ART) . . . . . . . . . . . 4
II SpezielleRelativitätstheorie 7
3 Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 RelativistischeMechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 TensorenimMinkowskiraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7 RelativistischeHydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III PhysikalischeGrundlagenderART 41
9 Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10 Äquivalenzprinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
11 BewegungimGravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12 Gravitationsrotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13 GeometrischeAspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
IV MathematischeGrundlagenderART 75
14 TensorenimRiemannschenRaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
15 KovarianteAbleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16 Parallelverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
17 VerallgemeinerteVektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
18 Krümmungstensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V GrundgesetzederART 101
19 Kovarianzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
20 GesetzemitGravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
21 EinsteinscheFeldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
22 StrukturderFeldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Inhaltsverzeichnis IX
VI StatischeGravitationsfelder 131
23 IsotropestatischeMetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
24 Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
25 BewegungimZentralfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
26 Lichtablenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
27 Periheldrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
28 Radarechoverzögerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
29 GeodätischePräzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
30 Thirring-Lense-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
31 TestsderART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
VII Gravitationswellen 181
32 EbeneWellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
33 TeilchenimFeldderWelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
34 EnergieundImpulsderWelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
35 Quadrupolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
36 QuellenderGravitationsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
37 NachweisvonGravitationsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
VIII StatischeSternmodelle 223
38 Sterngleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
39 InnereSchwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
40 RelativistischeSterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
41 NewtonscheSterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
42 WeißerZwerg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
43 Neutronenstern.Pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
IX DynamischeSternmodelle 261
44 IsotropezeitabhängigeMetrikundBirkhoff-Theorem . . . . . . . . 261
45 Schwarzschildradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
46 IsotropezeitabhängigeMetrikinGaußkoordinaten . . . . . . . . . 269
47 Gravitationskollaps.Supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
48 SchwarzesLoch.Quasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
49 MassenuntergrenzefürSchwarzeLöcher? . . . . . . . . . . . . . . 293
X Kosmologie 300
50 KosmologischesPrinzipundRobertson-Walker-Metrik . . . . . . . 300
51 Rotverschiebungs-Abstands-Relation. . . . . . . . . . . . . . . . . 308
X Inhaltsverzeichnis
52 KosmischeEntfernungsleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
53 Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
54 Weltzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
55 KosmologischesStandardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
LösungenderAufgaben 351
Register 377