(cid:10)(cid:15)(cid:8)(cid:7)(cid:6)(cid:31)(cid:3)(cid:7)(cid:5)(cid:13)(cid:10)(cid:27)(cid:6)(cid:11)(cid:14)(cid:11)(cid:8)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:8)(cid:7)(cid:13)(cid:8)(cid:1) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:2)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:6)(cid:11)(cid:7)(cid:8)(cid:12)(cid:13)(cid:4)(cid:2)(cid:14)(cid:15)(cid:13)(cid:16)(cid:13)(cid:2)(cid:17)(cid:18)(cid:6)(cid:13)(cid:1)(cid:6)(cid:13)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:19)(cid:8)(cid:7)(cid:8)(cid:20) (cid:14)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:6)(cid:14)(cid:21)(cid:26) (cid:27)(cid:24)(cid:24)(cid:23)(cid:28)(cid:6)(cid:15)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:23)(cid:28) (cid:31) (cid:23)(cid:29)!(cid:21)(cid:26)(cid:6)(cid:11)(cid:30)"(cid:24)(cid:23)(cid:1)#$%& ’(cid:28)(cid:28)"(cid:18)(((cid:25)(cid:25)(cid:25))(cid:21)*(cid:24)(cid:23)) (cid:23)(cid:26)("(cid:30)"(cid:24)(cid:23)+((cid:25)#$%& (cid:10)(cid:14)(cid:2)(cid:13)(cid:3)(cid:10)(cid:14)(cid:16)(cid:6)(cid:15)(cid:9)(cid:7)(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:6)(cid:3),(cid:6)(cid:8)(cid:4)(cid:3)(cid:10)(cid:3)-(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:1)(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:4)(cid:19) .%/%(cid:6)-(cid:30)++(cid:30)0’1+(cid:24)(cid:28)(cid:28)+(cid:6)(cid:14)2(cid:24)(cid:21)1(cid:24) (cid:4)(cid:30)3*(cid:23)!(cid:22)(cid:26)(cid:24)4(cid:6)-(cid:14)(cid:6)%$.5# (cid:14)"(cid:23)!6(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:5)(cid:6)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:9)(cid:14)(cid:15)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:16)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:17)(cid:1)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:1)(cid:20)(cid:21)(cid:6)(cid:18)(cid:20)(cid:22)(cid:1)(cid:23)(cid:13)(cid:21)(cid:24)(cid:20)(cid:21)(cid:21)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:21)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:23)(cid:1)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:1)(cid:8)(cid:6)(cid:22)(cid:25)(cid:1)(cid:26)(cid:13)(cid:7)(cid:8)(cid:1)(cid:23)(cid:9)(cid:7)(cid:9)(cid:27)(cid:1)(cid:5)(cid:6)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:1)(cid:28)(cid:8)(cid:9)(cid:19)(cid:22)(cid:6)(cid:21)(cid:1)(cid:29)(cid:14)(cid:10)(cid:6)(cid:21)(cid:30)(cid:1)(cid:31)(cid:9)(cid:10)(cid:14) (cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:14)(cid:21)(cid:30)(cid:1)!(cid:6)(cid:10)(cid:1) (cid:13)(cid:10)(cid:17)(cid:22)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:10)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:23)(cid:1)(cid:21)(cid:6)"(cid:13)(cid:10)(cid:9)(cid:19)(cid:1)(cid:25)(cid:9)(cid:19)(cid:7)(cid:13)(cid:24)(cid:13)(cid:25)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:21)(cid:1)(cid:9)(cid:7)(cid:1)(cid:28)(cid:14)(cid:22)(cid:20)"#(cid:13)(cid:9)(cid:1)$(cid:10)(cid:13)%(cid:6)(cid:19)(cid:21)(cid:13)(cid:7)(cid:15)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:23)(cid:1) (cid:7)(cid:9)(cid:10)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:23)(cid:1)$(cid:10)(cid:13)%(cid:6)(cid:19)(cid:21)(cid:13)(cid:7)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:1)(cid:8)(cid:6)(cid:22)(cid:25)(cid:18)(cid:20)(cid:22) (cid:24)(cid:14)""(cid:6)(cid:10)(cid:7)(cid:21)(cid:27)(cid:1)&(cid:10)(cid:23)(cid:19)(cid:6)(cid:26)(cid:1)&(cid:10)(cid:17)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:6)(cid:1)(cid:28)(cid:8)(cid:9)’(cid:6)(cid:10)(cid:1)((cid:10)(cid:21)(cid:7)(cid:13)(cid:7)(cid:20)(cid:7)(cid:6)(cid:1)(cid:9)(cid:7)(cid:1)(cid:28)(cid:14)(cid:22)(cid:20)"#(cid:13)(cid:9)(cid:1)$(cid:10)(cid:13)%(cid:6)(cid:19)(cid:21)(cid:13)(cid:7)(cid:15)(cid:1)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:1)(cid:18)(cid:13)(cid:10)(cid:9)(cid:10)(cid:24)(cid:13)(cid:9)(cid:22)(cid:1)(cid:21)(cid:20)(cid:25)(cid:25)(cid:14)(cid:19)(cid:7)(cid:27)(cid:1))(cid:6)(cid:6)(cid:19)(cid:7) *(cid:6)(cid:11)(cid:9)(cid:6)(cid:19)(cid:7)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:21)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:6)(cid:1)+ ,(cid:1)(cid:18)(cid:14)(cid:19)(cid:1)(cid:18)(cid:13)(cid:10)(cid:9)(cid:10)(cid:24)(cid:13)(cid:9)(cid:22)(cid:1)(cid:21)(cid:20)(cid:25)(cid:25)(cid:14)(cid:19)(cid:7)(cid:27)(cid:1)(cid:1)(cid:31)(cid:8)(cid:6)(cid:1)%(cid:13)(cid:6)(cid:26)(cid:21)(cid:1)(cid:6)-(cid:25)(cid:19)(cid:6)(cid:21)(cid:21)(cid:6)(cid:23)(cid:1)(cid:8)(cid:6)(cid:19)(cid:6)(cid:13)(cid:10)(cid:1)(cid:9)(cid:19)(cid:6)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:14)(cid:21)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:18)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:6)(cid:1)(cid:9)(cid:20)(cid:7)(cid:8)(cid:14)(cid:19)(cid:21)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:23)(cid:1)(cid:10)(cid:14)(cid:7) (cid:10)(cid:6)(cid:24)(cid:6)(cid:21)(cid:21)(cid:9)(cid:19)(cid:13)(cid:22)(cid:15)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:14)(cid:21)(cid:6)(cid:1)(cid:14)(cid:18)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:6)(cid:1)+(cid:9)(cid:7)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:9)(cid:22)(cid:1)*(cid:20)(cid:19)(cid:6)(cid:9)(cid:20)(cid:1)(cid:14)(cid:18)(cid:1).(cid:24)(cid:14)(cid:10)(cid:14)"(cid:13)(cid:24)(cid:1)/(cid:6)(cid:21)(cid:6)(cid:9)(cid:19)(cid:24)(cid:8)(cid:27) 0(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:4)(cid:1)#(cid:15)(cid:1)&(cid:10)(cid:23)(cid:19)(cid:6)(cid:26)(cid:1)&(cid:10)(cid:17)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:23)(cid:1))(cid:6)(cid:6)(cid:19)(cid:7)(cid:1)*(cid:6)(cid:11)(cid:9)(cid:6)(cid:19)(cid:7)(cid:27)(cid:1)(cid:1)&(cid:22)(cid:22)(cid:1)(cid:19)(cid:13)(cid:17)(cid:8)(cid:7)(cid:21)(cid:1)(cid:19)(cid:6)(cid:21)(cid:6)(cid:19)%(cid:6)(cid:23)(cid:27)(cid:1)(cid:1) (cid:8)(cid:14)(cid:19)(cid:7)(cid:1)(cid:21)(cid:6)(cid:24)(cid:7)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:21)(cid:1)(cid:14)(cid:18)(cid:1)(cid:7)(cid:6)-(cid:7)(cid:30)(cid:1)(cid:10)(cid:14)(cid:7)(cid:1)(cid:7)(cid:14)(cid:1)(cid:6)-(cid:24)(cid:6)(cid:6)(cid:23)(cid:1)(cid:7)(cid:26)(cid:14) (cid:25)(cid:9)(cid:19)(cid:9)(cid:17)(cid:19)(cid:9)(cid:25)(cid:8)(cid:21)(cid:30)(cid:1)"(cid:9)(cid:15)(cid:1)#(cid:6)(cid:1)1(cid:20)(cid:14)(cid:7)(cid:6)(cid:23)(cid:1)(cid:26)(cid:13)(cid:7)(cid:8)(cid:14)(cid:20)(cid:7)(cid:1)(cid:6)-(cid:25)(cid:22)(cid:13)(cid:24)(cid:13)(cid:7)(cid:1)(cid:25)(cid:6)(cid:19)"(cid:13)(cid:21)(cid:21)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:1)(cid:25)(cid:19)(cid:14)%(cid:13)(cid:23)(cid:6)(cid:23)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:7)(cid:1)(cid:18)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:1)(cid:24)(cid:19)(cid:6)(cid:23)(cid:13)(cid:7)(cid:30)(cid:1)(cid:13)(cid:10)(cid:24)(cid:22)(cid:20)(cid:23)(cid:13)(cid:10)(cid:17)(cid:1)0(cid:1)(cid:10)(cid:14)(cid:7)(cid:13)(cid:24)(cid:6)(cid:30)(cid:1)(cid:13)(cid:21)(cid:1)(cid:17)(cid:13)%(cid:6)(cid:10) (cid:7)(cid:14)(cid:1)(cid:7)(cid:8)(cid:6)(cid:1)(cid:21)(cid:14)(cid:20)(cid:19)(cid:24)(cid:6)(cid:27) (cid:1)(cid:28) 0(cid:29)(cid:6)(cid:7)(cid:24)(cid:28)1(cid:23)(cid:21)(cid:6)(cid:11)(cid:23)(cid:24)(cid:22)!0(cid:28)(cid:30)*!6!(cid:28)7(cid:18)(cid:6)(cid:13)+(cid:6)!(cid:28)(cid:6)(cid:2)’(cid:24)(cid:23)(cid:24)(cid:20) (cid:14)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:6)(cid:14)(cid:21)(cid:26)(cid:6)(cid:30)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:27)(cid:24)(cid:24)(cid:23)(cid:28)(cid:6)(cid:15)(cid:24)(cid:29)(cid:30)(cid:24)(cid:23)(cid:28) (cid:10)(cid:15)(cid:8)(cid:7)(cid:6)(cid:31) (cid:23)(cid:29)!(cid:21)(cid:26)(cid:6)(cid:11)(cid:30)"(cid:24)(cid:23)(cid:6)(cid:10) )(cid:6)#$%& (cid:14)"(cid:23)!6(cid:6)$%%. 8(cid:8)(cid:16)(cid:6)(cid:10) )(cid:6)(cid:4).$4(cid:6)(cid:4)/.4(cid:6)(cid:4)/$4(cid:6)(cid:8)9:4(cid:6),5%4(cid:6)(cid:27).$ (cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:6)(cid:11)(cid:9) (cid:31)(cid:24)(cid:6)(cid:30)+(cid:29)(cid:6)(cid:25)’(cid:24)(cid:28)’(cid:24)(cid:23)(cid:6)+(cid:28) 0(cid:29)(cid:6)(cid:23)(cid:24)(cid:28)1(cid:23)(cid:21)+(cid:6)!(cid:21)(cid:6),(cid:23)(cid:30)(cid:21)0(cid:24)4(cid:6)(cid:27)(cid:24)(cid:23)3(cid:30)(cid:21)74(cid:6)8(cid:30)"(cid:30)(cid:21)4(cid:6)(cid:28)’(cid:24)(cid:6)(cid:9)(cid:5)(cid:6)(cid:30)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:28)’(cid:24)(cid:6)(cid:9)(cid:1)(cid:6)(cid:30)(cid:23)(cid:24)(cid:6)"(cid:23)(cid:24)(cid:22)!0(cid:28)(cid:30)*6(cid:24) *7(cid:6)(cid:28)’(cid:23)(cid:24)(cid:24)(cid:6)!(cid:21)+(cid:28)(cid:23)13(cid:24)(cid:21)(cid:28)+(cid:18)(cid:6)(cid:28)’(cid:24)(cid:6)(cid:22)!2!(cid:22)(cid:24)(cid:21)(cid:22)(cid:6)7!(cid:24)6(cid:22)4(cid:6)(cid:28)’(cid:24)(cid:6)(cid:24)(cid:30)(cid:23)(cid:21)!(cid:21)(cid:26)+(cid:6)7!(cid:24)6(cid:22)(cid:6)(cid:30)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:28)’(cid:24)(cid:6)+’ (cid:23)(cid:28)(cid:6)(cid:23)(cid:30)(cid:28)(cid:24))(cid:6)(cid:2)’(cid:24)(cid:6)"(cid:23)(cid:24)(cid:22)!0(cid:28)(cid:30)*!6!(cid:28)7 (cid:23)(cid:24)(cid:26)(cid:23)(cid:24)++! (cid:21)(cid:6)!+(cid:6)+1(cid:26)(cid:26)(cid:24)+(cid:28)(cid:24)(cid:22)(cid:6)*7(cid:6)(cid:30)(cid:6)"(cid:23)(cid:24)+(cid:24)(cid:21)(cid:28)(cid:6)2(cid:30)61(cid:24)(cid:6)3 (cid:22)(cid:24)6(cid:6)(cid:25)!(cid:28)’(cid:6)(cid:24)(cid:30)(cid:23)(cid:21)!(cid:21)(cid:26)+(cid:6)(cid:26)(cid:23) (cid:25)(cid:28)’4(cid:6)"(cid:30)7 1(cid:28)(cid:6)(cid:23)(cid:30)(cid:28)! +(cid:6)(cid:30)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:28)’(cid:24)(cid:6)+’ (cid:23)(cid:28) (cid:23)(cid:30)(cid:28)(cid:24)(cid:6)(cid:30)+(cid:6)+(cid:28)(cid:30)(cid:28)(cid:24)(cid:6)2(cid:30)(cid:23)!(cid:30)*6(cid:24)+)(cid:6)(cid:31)(cid:24)(cid:6)1+(cid:24)(cid:6)(cid:28)’!+(cid:6)3 (cid:22)(cid:24)6(cid:6)!3" +!(cid:21)(cid:26)(cid:6)(cid:30)(cid:6)0 (cid:21)+(cid:28)(cid:30)(cid:21)(cid:28)(cid:6)(cid:23)!+(cid:29)(cid:6)"(cid:23)(cid:24)3!13(cid:6)(cid:28) (cid:6)(cid:24);(cid:30)3!(cid:21)(cid:24)(cid:6)(cid:28)’(cid:24)(cid:6)1!(cid:28)7(cid:6)(cid:23)(cid:24)(cid:28)1(cid:23)(cid:21)+)(cid:6)(cid:2)’(cid:24)(cid:6)(cid:24)2!(cid:22)(cid:24)(cid:21)0(cid:24)(cid:6)!(cid:21)(cid:6)(cid:16)(cid:30)3 (cid:21)(cid:28) ?.::#@(cid:6) (cid:21)(cid:6)(cid:24)(cid:30)(cid:23)(cid:21)!(cid:21)(cid:26)+(cid:6)(cid:30)(cid:21)(cid:22)(cid:6)(cid:22)!2!(cid:22)(cid:24)(cid:21)(cid:22)(cid:6)7!(cid:24)6(cid:22)(cid:6)"(cid:23)(cid:24)(cid:22)!0(cid:28)(cid:30)*!6!(cid:28)7(cid:6)!+(cid:6)(cid:21) (cid:28)(cid:6)(cid:23) *1+(cid:28)(cid:6)(cid:28) (cid:6) 1(cid:23)(cid:6)!(cid:21)0(cid:23)(cid:24)(cid:30)+(cid:24)(cid:22)(cid:6)+(cid:30)3"6(cid:24)(cid:6)"(cid:24)(cid:23)! (cid:22)4 (cid:22) (cid:24)+(cid:6)(cid:21) (cid:28)(cid:6)+1(cid:23)2!2(cid:24)(cid:6)(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)F7DG (cid:23) (cid:10)H?&@CBD0E9;: (cid:27)(cid:13)?A@CBD0E) (cid:28)(cid:22)(cid:15) (1) (cid:23) In this pricing framework, we have decomposed dividend growth into earnings growth and a payoutratio. Fromatheoreticalperspective,dividendgrowthshouldsufficetopricestocks,but our decomposition may yield more accurate pricing formulas in finite samples. First, in finite samples using dividends may be problematic, since they are often manipulated, smoothed, or set to zero, making them poor indicators of the true value-relevant cashflows in the future. It is no surprise that in the real world analysts almost entirely focus on earnings growth. Second, thedecompositionsimplyincreasestheinformationsetforprediction,andwillincludeamodel thatfeaturesonlydividendgrowthas aspecial case. (cid:15) (cid:15) The model has three state variables, the short rate I , log earnings growth ) and the log (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15)=7=K payout ratio 9;: . Denote J (cid:27) 0EI ) 9;: which we assume to follow a first-order Vector Autoregression: (cid:15) (cid:29) (cid:15)546(cid:19) (cid:15) J (cid:27)MLN(cid:10) J (cid:10)HO (2) (cid:15)QPSR>R 7 where O (cid:25)UTV05W/XZY . To priceequity,weuse theDividendDiscountModel: (cid:15) (cid:15) \ (cid:15)(cid:18)(cid:17) (cid:15)(cid:18)(cid:17) ] ] (cid:23) (cid:27)(cid:13)[ (cid:25) X (3) (cid:19)(cid:31)‘ ]_^ (cid:15)(cid:18)(cid:17) ] where is the stochastic discount factor applying to payoffs at time (cid:9)a(cid:10)Hb . To ensure the ‘ absence of arbitrage (Harrison and Kreps (1979)) we model the one-period log pricing kernel c (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) , suchthat: c (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15) (cid:12) K K (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:27)(cid:13)deI d fhg Y g (cid:10) g O X (4) whereg isa3i 1 vectorcontainingthe prices of riskand thediscount factorcanbewrittenas: ] (cid:15)(cid:18)(cid:17) ] c (cid:15)(cid:18)(cid:17) j k (cid:27)(cid:13)?A@CB ‘ (cid:19) j8^ K (cid:29)o7=K 7=K KqprK We also impose conditions on the parameters lm(cid:27) nL X vec0 X vech0(cid:18)Y X g so that the transversalitycondition (cid:15)(cid:18)(cid:17) (cid:15)(cid:18)(cid:17) ] ] ](cid:18)*(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)37Fp 7"G (cid:15)37 [ n dH?A@CBD0EI (cid:27)U05(cid:145)Qd(cid:146)(cid:12) ?&@CBD0EI (10) 7 K 7 where (cid:145)(cid:147)(cid:27)$?A@CBD0(cid:128)d(cid:148)0(cid:128)| (cid:10)(cid:26)|(cid:131)(cid:130) Y g . Theunconditional expectedsimplereturnis givenby: (cid:7) (cid:14)>(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)37Fp 7"G (cid:12) (cid:152) 7 [on dH?A@CBD0EI (cid:27)U05(cid:145)Qd(cid:146)(cid:12) ?&@CBD0(cid:149)L(cid:151)(cid:142) (cid:150)(cid:144)(cid:10) f (cid:142) (cid:150)(cid:7) (11) (cid:152) (cid:15) whereL(cid:153)(cid:142) (cid:150) and (cid:142) (cid:150)(cid:7) aretheunconditional meanand varianceofI respectively. The simple expected excess return is a multiple of the nominal rate. Hence, a regression of (cid:14)>(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)(cid:154)7 d$?A@CBD0EI on the nominal rate would actually yield a positive coefficient equal to (cid:145)(cid:155)d(cid:129)(cid:12) . (cid:15) (cid:14)>(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:149)% (cid:15)37Fp However,the scaled expected return, [ n ?A@CB"0xI is constantand equal to (cid:145) . The constant (cid:145) isa functionof the correlationbetween dividendgrowthinnovations(the sumof the earnings growth and payout ratio innovations) with the pricing kernel. The predictability regressions typicallyrunintheliteraturedonotcorrespondtoanyofthesetwoconcepts,sincetheyuselog (cid:157) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)a(cid:21) (cid:14)>(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)87 (cid:15) returns, (cid:156) *-,/.10 d(cid:158)I . It is straightforward to show that up to second order terms, the expected log risk premium will be constant in this homoskedastic model. We also verified this resultbysimulation. It turns out we can also solve for the conditional and unconditional volatility of equity returnsand the riskpremium, underthe restrictions ofequation(9). (cid:29) Corollary2.2 If the companion matrix takes the form in equation (9) then the conditional volatilityofthe simpleriskpremium isa multipleof thegrossshortrateand givenby: (cid:15) (cid:14)>(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)37~7 G 7 K 7F7 p f (cid:15)(cid:154)7 var 0 dH?&@CBD0EI (cid:27)S(cid:145) (cid:7) n(cid:159)?A@CBD0F05| (cid:10)H|(cid:131)(cid:130) Y!0(cid:128)| (cid:10)(cid:26)|(cid:131)(cid:130) d(cid:13)(cid:12) ?A@CBD0 I (12) (cid:7) (cid:7) 7=K 7 where (cid:145)(cid:155)(cid:27)(cid:13)?&@(cid:160)BD05d¡05| (cid:10)¢|(cid:131)(cid:130) Y g . Theunconditionalvarianceofthesimpleriskpremiumisgiven (cid:7) by: (cid:14)(cid:16)(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)37F7 (cid:14)>(cid:15)(cid:154)7 f 7 f (cid:152) 7 (cid:152) 7 7 var0 dH?A@CBD0xI (cid:27) var0 (cid:10)S0~(cid:12)(cid:144)d (cid:145) ?A@CBD0 L(cid:153)(cid:142) (cid:150)Q(cid:10)$(cid:142) (cid:150)(cid:7) 05?&@(cid:160)BD0&(cid:142) (cid:150)(cid:7) d(cid:146)(cid:12) (13) (cid:152) (cid:15) whereL(cid:151)(cid:142) (cid:150) and (cid:142) (cid:150)(cid:7) are the unconditional mean and variance ofI respectively, and the uncondi- (cid:14)(cid:16)(cid:15)=7 tionalvariance ofthe simplegrossreturnvar0 isgiven by: G f (cid:152) 7 (cid:152) 7 K 7F7 p (cid:145) (cid:7) ?&@(cid:160)BD0 L(cid:151)(cid:142) (cid:150)(cid:144)(cid:10)#(cid:142) (cid:150)(cid:7) n(cid:159)?A@CBD0&(cid:142) (cid:150)(cid:7) (cid:10)(cid:13)0(cid:128)| (cid:10)(cid:26)|(cid:131)(cid:130) Y!0(cid:128)| (cid:10)(cid:26)|(cid:131)(cid:130) d(cid:146)(cid:12) (cid:7) (cid:7) 6 Equation(12)showstwocharacteristicsoftheconditionalvolatilityofequityreturns. First, the conditional volatility of equity returns is related to the level of interest rate. Many studies have empirically documented a strong link between the conditional volatility of equity returns and interest rates (see for example, Glosten, Jagannathan and Runkle (1993)). However, note (cid:14)>(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:149)% (cid:15)37 that this effect would disappear if we measure the return as ?&@CB"0EI or in logs. Second, the conditional variance is positively related to the conditional covariance between the pricing 7(cid:128)K kernelanddividendgrowth,andtotheconditionalvarianceofdividendgrowth 0(cid:128)| (cid:10)N|(cid:131)(cid:130) Y!0(cid:128)| (cid:10) (cid:7) (cid:7) 7 |(cid:131)(cid:130) . The model with the restrictions in equation (9) will serve as the data generating process (DGP) under the null and will also help us interpret our empirical results. If the restrictions arenotimposed, expectedreturnsvarythroughtime,butsince themodelis homoskedastic,the time-variationislikelytobemodest inmagnitude. Notethereare norestrictions onL . What do the restrictions in equation (9) actually mean? Imposing the restrictions from equation (9) allows the conditional mean for log earnings growth and log payout ratio to be writtenas: (cid:15) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)Fp (cid:29) (cid:19) (cid:15) (cid:29) (cid:15) (cid:29) (cid:15) [ n) (cid:27)HL(cid:151)£(cid:22)(cid:10) I (cid:10) ) (cid:10) (cid:130)=9;: (cid:7) (cid:7)3(cid:7) (cid:7) (cid:15) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)Fp (cid:29) (cid:19)87 (cid:15) (cid:29) (cid:15) (cid:29) 7 (cid:15) [ n9;: (cid:27)HL (cid:140)&(cid:141) (cid:10)(cid:13)0F(cid:12)(cid:144)d I d ) (cid:10)S0F(cid:12)(cid:144)d (cid:130) 9;: (14) (cid:7) (cid:7)3(cid:7) (cid:7) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:21) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) Note that log dividend growth )(cid:16)(cid:135) (cid:136)¥⁄ (cid:27)U) (cid:10)(cid:13)(cid:136)(cid:8)9;: . Hence under this economy, expectedconditionaldividendgrowthisequaltoaconstantL(cid:153)£{(cid:10)NL (cid:140)&(cid:141) plusthecurrentshortrate: (cid:15) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) p (cid:15) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)8p (cid:15) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)8p (cid:15) [ n) (cid:135) (cid:27)#[ n) (cid:10)H[ n9;: dƒ9;: (cid:15) k (cid:27)§L(cid:151)£((cid:10)(cid:137)L (cid:140)&(cid:141) (cid:10)(cid:138)I (15) Normally,wheninterestratesmoveawayfromtheirunconditionalmeantheresultingchange indiscountratesandpriceswouldinducepredictablecomponentsinreturns. Therestriction on (cid:29) thecompanionform engineersanoppositecashfloweffectthatneutralizestheprice-decrease induced by the interest rate change. This effect would also happen in a standard equilibrium Lucas (1978)-type economy. In an equilibrium setting the constantL(cid:151)£a(cid:10)(cid:158)L (cid:140)&(cid:141) would be related tothe degreeofrisk aversionof therepresentativeagent. 2.2 Predictability Regressions Themain regressionwe consideris: (cid:157) (cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤ ¤’K ‹ (cid:15) (cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤fi›¤ (cid:156) (cid:27)$'“(cid:10)(cid:138)« (cid:10)HO (16) where (cid:157) (cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤ f %/flh7 (cid:157) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15)37 G(cid:131)G(cid:131)G (cid:157) (cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤ (cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤fi46(cid:19)F7F7 (cid:156) (cid:27)U0~(cid:12) 0F0 d(cid:138)I (cid:10) (cid:10)(cid:13)0 dƒI 7 fl (cid:157) (cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) (cid:15) is the annualized -month excess return for the aggregate stock market, and d(cid:176)I is the excess 1 month return from time (cid:9) to (cid:9)a(cid:10)–(cid:12) . All returns are continuously compounded. Our ¤ (cid:15) (cid:157) (cid:15)(cid:18)] (cid:17)/¤ 7 fl Present Value Model implies that [ 0F(cid:156) is constant and hence« ] is zero for all . The error (cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤fi›¤ (cid:29) fl 7 term O follows a † 0 d(cid:129)(cid:12) process under the null of no predictability because of over- (cid:19) ‹ (cid:15) (cid:157) (cid:15) lappingobservations. Theinstruments consistofthelogdividendyield ⁄ (cid:7) ,thelogearnings (cid:19) (cid:19) (cid:157) (cid:15) (cid:15) yield | (cid:7) , and continuously compounded monthly short rate I . The superscript (cid:7) indicates thatthedividend(earnings)yieldsusedividends(earnings)summedoverthepast12monthsin theirconstruction. (cid:19) (cid:19) (cid:15) (cid:15) The log payout ratio9(cid:20): (cid:7) is linearly relatedto the dividendyield and earnings yield9(cid:20): (cid:7) (cid:27) (cid:19) (cid:19) (cid:157) (cid:15) (cid:157) (cid:15) ⁄ (cid:7) d(cid:26)| (cid:7) . The threepredictiveinstruments are endogenousinstruments in ourPresentValue Model. However, they should capture the predictability present under the null of the present valuemodel,becausethereisaone-to-one(albeit non-linear)mappingbetween earningsyield, dividend yield and the short rate and our three state variables. One reason variables such as dividend yields may predict future returns more generally is the presence of price in the de- nominator. On the one hand, the presence of price on both sides of the regression may worsen small sample biases in the regressions (see Goetzmann and Jorion (1993)). On the other hand, since price reflects all information about future expected returns and cashflow growth rates, its presence may capture genuine predictability. If the Present Value Model we present is truth, price would not be necessary to capture time-variationin expected returns, and all information shouldbecapturedby thethreestate variables,or transformationsof them. In a globally integrated world, predictability is likely also to extend across borders. In Section 6, followingBekaert and Hodrick (1992), weconsider cross-countryregressions of the form: (cid:157)(cid:156) (cid:15)(cid:18)] (cid:17)/¤ 0(cid:128)| ](cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤ 7 (cid:27)$' ] (cid:10)(cid:137)« ]K ‹ (cid:15) (cid:10)(cid:137)‡ ](cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤ (17) (cid:157) (cid:15)(cid:18)] (cid:17)/¤ fl where (cid:156) are -period annualized excess equity returns in local currency for country b , and ](cid:15)(cid:18)(cid:17)/¤ | arek-periodannualizedexchangeratereturnsUSDperforeigncurrencyforforeigncountry ‹ (cid:15) b . The instruments in we consider are log dividendyields for the US, log earnings yields for theUS, and one-month risk-freeratesfor theUS, and the foreigncountry counterpartsof these (cid:157)(cid:181)(cid:15)(cid:18)·•(cid:17)(cid:20)¶ (cid:19) (cid:157) (cid:15)(cid:18)] (cid:17)(cid:20)(cid:19) ](cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19) variables. Notethatas weuse continuously compoundedreturns (cid:156) (cid:135) (cid:27)(cid:129)(cid:156) (cid:10)(cid:26)| . The regressions in equations (16) and (17) can be estimated by OLS. We consider three estimators of the standard errors. First, OLSstandard errors are appropriate if there isno serial correlation of the error term and the error terms are homoskedastic. These are the standard fl(cid:158)(cid:134) errors used by Lamont (1998) and we use them as a benchmark even when (cid:12) , in which case they will likely underestimate the true sampling error. Second, to account for the over- flƒ(cid:134) lap in the residuals for (cid:12) and to capture potential heteroskedasticity in returns, we use a 8

NBER WORKING PAPER SERIES STOCK RETURN PREDICTABILITY: IS IT THERE? Andrew Ang ...

Similar NBER WORKING PAPER SERIES STOCK RETURN PREDICTABILITY: IS IT THERE? Andrew Ang ...