Ralf Gerkmann Lie-Gruppen und Lie-Algebren (cid:21) Ein Crashkurs (cid:21) 28. April 2006 Zusammenfassung Das folgende Pamphlet gibt eine Einf(cid:252)hrung in die Theorie der Lie-Gruppen und Lie- Algebren. Verarbeitet wurden dabei Ausz(cid:252)ge der B(cid:252)cher von Humphreys, Hilgert/Neeb und Hall. Die Abschnitte (cid:159)1-3 stellen die Grundbegri(cid:27)e zur Theorie der Lie-Algebren bereit. Die Paragraphen(cid:159)5-7behandelndiegrundlegendeStrukturtheorie;HauptzielistderSatz,da(cid:255)jede Lie-Algebra sich in einen au(cid:29)(cid:246)sbaren und einen halbeinfachen Teil zerlegen l(cid:228)(cid:255)t. Im (cid:159)8 wird Lie-Algebren-Kohomologie eingef(cid:252)hrt und zur Vervollst(cid:228)ndigung einiger Beweise genutzt. In (cid:159)9-13 wird die Strukturtheorie allgemeiner halbeinfacher Lie-Algebren behandelt, wobei der Begri(cid:27)derCartan-AlgebraunddiedurchsieinduzierteWurzelraumzerlegungimVordergrund steht. In (cid:159)14-17 konzentrieren wir uns dann auf komplexe halbeinfache Lie-Algebren. Es wird erkl(cid:228)rt,aufwelcheWeisejedersolchenLie-AlgebraeinWurzelsystemzugeordnetwerdenkann, dieBeweisevonExistenz-undEindeutigkeitssatzwerdenskizziert.EinewichtigeRollespielen dabeidieDarstellungendersl(2,C);aufihnenbasiertauchdieDarstellungstheorieallgemeiner halbeinfacher komplexer Lie-Algebren, mit der wir uns in (cid:159)18 besch(cid:228)ftigen. Im zweiten Teil wenden wir uns der Theorie der Lie-Gruppen zu. In den Paragraphen (cid:159)19-23 behandeln wir den Begri(cid:27) der Lie-Gruppe mit wachsender Allgemeinheit: Wir fangen mit den wohlbekannten abgeschlossenen Untergruppen von GL(n,K) an und arbeiten uns (cid:252)ber die analytischen Untergruppen, die linearen und die lokal-linearen Lie-Gruppen zu den allgemeinen Lie-Gruppen (analytische Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur) hoch. Dabei behaltenwirstetsdenZusammenhangmitderKategoriederLie-AlgebrenimAuge.In(cid:159)24-27 behandeln wir dann die Strukturtheorie der Lie-Gruppen, wobei wir uns an der Struktur der Lie-Algebren orientieren, so wie sie im ersten Teil vorgestellt wurde. Achtung: Dieser Text ist keine zuverl(cid:228)ssige Quelle. Da der Autor selbst zuvor auf diesem Gebietnichtgearbeitethat,sindFehlerundMi(cid:255)verst(cid:228)ndnissevonseinerSeitemehralswahr- scheinlich.S(cid:228)mtlicheBeweisesindunvollst(cid:228)ndig;lediglichdieDe(cid:28)nitionundS(cid:228)tzesolltennach M(cid:246)glichkeit genau wiedergegeben werden. Der Text soll kein Ersatz f(cid:252)r eine Vorlesung oder einLehrbuchsein,sonderndeminteressiertenLeser(einschlie(cid:255)lichdemAutorselbst)lediglich einen schnellen (cid:220)berblick (cid:252)ber die wichtigsten Grundideen der Theorie geben. (cid:159) 1 Die Kategorie der Lie-Algebren ImgesamtenTextbezeichnenwirmitKeinenderbeidenK(cid:246)rperRoderC.EineLie-Algebra(cid:252)ber K ist ein K-Vektorraum g ausgestattet mit einer K-bilinearen Abbildung [ , ]:g×g→K, so da(cid:255) [Y,X]=−[X,Y] und [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0 ∀ X,Y,Z ∈g gilt. Die zweite Gleichung wird h(cid:228)u(cid:28)g als Jacobi-Identit(cid:228)t bezeichnet. Ist (A,+,◦) eine assoziative K-Algebra, dann erh(cid:228)lt man eine Lie-Algebrenstruktur auf A durch [f,g]:=f ◦g−g◦f f(cid:252)r f,g ∈A Handelt es sich zum Beispiel bei A und die K-Algebra End(V) der linearen Endomorphismen auf einem K-Vektorraum V, dann bezeichnet man die zugeordnete K-Lie-Algebra mit gl(V). Ist V =Kn, dann schreibt man auch gl(n,K). 1 Ein Homomorphismus zwischen K-Lie-Algebren g,h ist eine K-lineare Abbildung α : g → h, so da(cid:255) α(XY) = [α(X),α(Y)] f(cid:252)r alle X,Y ∈ g gilt. Ein Isomorphismus ist ein Homomorphismus α:g→h, der zugleich eine mengentheoretische Bijektion zwischen g und h liefert. In diesem Fall ist die Umkehrabbildung α−1 automatisch ebenfalls ein Lie-Algebren-Homomorphismus. Ist V ein R-Vektorraum, dann erh(cid:228)lt man durch VC := V ⊗R C auf nat(cid:252)rliche Weise einen C- Vektorraum, die sog. Komplexi(cid:28)zierung von V. Handelt es sich nun bei V = g um eine reelle Lie-Algebra, dann kann die Verkn(cid:252)pfung [ , ]:g×g→R bilinear auf gC fortgesetzt werden. Man erh(cid:228)lt so eine C-Lie-Algebra, die man ebenfalls als Komplexi(cid:28)zierung von g bezeichnet. Eine R- Lie-Algebra g wird reelle Form einer C-Lie-Algebra h genannt, wenn gC als komplexe Lie-Algebra isomorph zu h ist. Eine komplexe Lie-Algebra besitzt im allgemeinen mehrere reelle Formen, die als R-Lie-Algebren nicht zueinander isomorph sind. Wir werden daf(cid:252)r im n(cid:228)chsten Abschnitt ein Beispiel angeben. (cid:159) 2 Unteralgebren und Ideale Sei g eine K-Lie-Algebra. Eine (Lie-)Unteralgebra von g ist ein K-Unterraum mit der Eigenschaft [X,Y] ∈ h f(cid:252)r alle X,Y ∈ h. Gilt [X,Y] ∈ h sogar f(cid:252)r alle X ∈ g und Y ∈ h, dann spricht man von einem Ideal. Man schreibt h < g, wenn h eine Unteralgebra und h/g, wenn h ein Ideal in g ist. Wichtige Unteralgebren von gl(n,K) sind zum Beispiel gegeben durch sl(n,K) = {X ∈gl(n,K) | tr(X)=0} o(n,K) = {X ∈gl(n,K) | X =−tX} u(n) = {X ∈gl(n,C) | X =−tX¯} wobei tX die transponierte Matrix bezeichnet und die Schreibweise X¯ bedeutet, da(cid:255) die Matri- xeintr(cid:228)ge durch die komplex konjugierten Eintr(cid:228)ge ersetzt werden. Man beachte, da(cid:255) es sich bei allen drei Teilmengen lediglich um R-Unteralgebren handelt, obwohl die umgebende Lie-Algebra in der dritten Zeile (cid:252)ber C de(cid:28)niert ist. AndieserStellek(cid:246)nnenwirdasversprocheneBeispielf(cid:252)rnicht-isomorphereelleFormeneinergege- benen komplexen Lie-Algebra nachliefern. Die Algebren sl(2,R) und so(3,R):=o(3,R)∩sl(3,R) sind beides reelle Formen von sl(2,C), wie man an Hand geeignet gew(cid:228)hlter Basen nachrechnen kann. Dies ist m(cid:246)glich, da die Lie-Klammer auf einer beliebigen Lie-Algebra durch die Bilder der Basiselementefestgelegtist.Andererseitsistsl(2,R)alsR-Lie-Algebranichtisomorphzuso(3,R), da erstere im Gegensatz zur letzteren keine zweidimensionalen Unteralgebren besitzt. Sei V ein K-Unterraum einer K-Lie-Algebra g. Dann erh(cid:228)lt man durch die Teilmenge N (V)={X ∈g | [X,Y]∈V ∀ Y ∈g} g eine Unteralgebra von g, den sogenannten Normalisator von V. Es handelt sich dabei um die kleinste Unteralgebra von g, die den Raum V enth(cid:228)lt. Wichtiges Beispiel f(cid:252)r ein Ideal in einer Lie-Algebra g ist das Zentrum de(cid:28)niert durch Z(g)={X ∈g | [X,Y]=0 ∀ Y ∈g} Man kann leicht zeigen: Sind g < g, h < h und α : g → h ein Homomorphismus von Lie- 1 1 Algebren, dann folgt α(g ) < h und α−1(h ) < g. Ist dar(cid:252)ber hinaus h ein Ideal in h, dann gilt 1 1 1 sogar α−1(h )/g. Ist n(cid:228)mlich X ∈ α−1(h ), Y ∈ g, dann folgt α(X) ∈ h und α(Y) ∈ h, also 1 1 1 α([X,Y])=[α(X),α(Y)]∈h und somit [X,Y]∈α−1(h ). 1 1 2 Ist allgemein h/g ein Ideal in einer K-Lie-Algebra, dann erh(cid:228)lt man die Struktur einer K-Lie- Algebra auf dem Quotientenraum g/h durch [X +h,Y +h]:=[X,Y]+h f(cid:252)r X,Y ∈g Manrechnetunmittelbarnach,da(cid:255)dieseDe(cid:28)nitionunabh(cid:228)ngigvonderWahlderRepr(cid:228)sentanten X,Y ist.DieselbenHomomorphies(cid:228)tze,dief(cid:252)rabelscheGruppenundRingegelten,kannmanauch in der Kategorie der Lie-Algebren beweisen. Lemma 2.1 (i) Seien g,h Lie-Algebren (cid:252)ber K und α:g→h ein Homomorphismus. (ii) Seien i,j/g Ideale mit i ⊆ j. Dann ist die Unteralgebra j/i von g/i ebenfalls ein Ideal, und es existiert ein nat(cid:252)rlicher Isomorphismus (g/i)/(j/i)∼=g/j. (iii) Sind i,j/g Ideale, dann auch i+j und i∩j, und es gilt i/(i∩j)∼=(i+j)/j. Da sich die Beweise dieser Aussagen von denen in der gruppen- oder ringtheoretischen Situation kaum unterscheiden, verzichten wir auf die Ausf(cid:252)hrung. Einen Homomorphismus der Gestalt ρ : g → gl(V) mit einem K-Vektorraum V bezeichnet man auch als Darstellung von g auf V, in Analogie zum Darstellungsbegri(cid:27) f(cid:252)r Gruppen. Zur Ver- einfachung der Notation bietet es sich h(cid:228)u(cid:28)g an, statt einer Darstellung den Begri(cid:27) des Moduls zu verwenden. Ein g-Modul ist ein K-Vektorraum V ausgestattet mit einer bilinearen Abbildung · :g×V →V, so da(cid:255) [X,Y]·v =X ·(Y ·v)−Y ·(X ·v) f(cid:252)r X,Y ∈g und v ∈V gilt. Ist ρ : g → V eine Darstellung, dann erh(cid:228)lt man durch X · v := ρ(X)v einen g-Modul. Umgekehrt liefert jeder g-Modul (V, · ) durch ρ(X)v := X · v eine Darstellung. F(cid:252)r eine fest gew(cid:228)hlte Lie-Algebra g ist also die Kategorie der Darstellungen von g isomorph zur Kategorie der g-Moduln.JedeLie-AlgebragbesitzteineDarstellungaufsichselbst,aufgefa(cid:255)talsK-Vektorraum. Dazu de(cid:28)niert man ad:g→gl(g) , ad(X)(Y):=[X,Y] f(cid:252)r X,Y ∈g Es handelt sich um die sogenannte adjungierte Darstellung der Lie-Algebra g. Wir werden weiter unten auf die allgemeine Strukturtheorie der Darstellungen von Lie-Algebren ausf(cid:252)hrlicher einge- hen. (cid:159) 3 Derivationen und semidirekte Produkte EineDerivationaufeinerLie-AlgebragisteineK-lineareAbbildungδ :g→gmitderEigenschaft δ([X,Y])=[δ(X),Y]+[X,δ(Y)] f(cid:252)r X,Y ∈g Die Menge der(g) der Derivationen auf g bildet zusammen mit der Komposition eine Unteralgebra der (assoziativen) Algebra End(g) der Endomorphismen auf g als K-Vektorraum. Durch [δ ,δ ]:=δ ◦δ −δ ◦δ f(cid:252)r δ ,δ ∈der(g) 1 2 1 2 2 1 1 2 kann sie somit auch als Lie-Unteralgebra von gl(g) aufgefa(cid:255)t werden. Die Abbildung ad(X) liefert f(cid:252)r alle X ∈ g eine Derivation von g, wie man mit Hilfe der Jacobi- Identit(cid:228)t schnell nachrechnet. Die Derivationen dieser Bauart werden als innere Derivationen von g bezeichnet, und ad de(cid:28)niert einen Lie-Algebren-Homomorphismus g→der(g)

Lie-Gruppen und Lie-Algebren - Ein Crashkurs [Lecture notes]

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