Table Of ContentISSN 1851-1295
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Fascículo Cursos de grado
Roberto Cignoli
Teoría axiomática de
conjuntos: Una introducción
Departamento de Matemática
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Buenos Aires
2016
Cursos de grado
Fascículo 8
Comité Editorial:
Carlos Cabrelli (Director)
Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires
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Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires
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Departamento de Matemática, FCEyN, Universidad de Buenos Aires
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Teoría axiomática de conjuntos: Una
introducción
Roberto Cignoli
ii
Índice general
Prefacio v
1. Teoría axiomática 1
1.1. La Paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El lenguaje de la teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Primeros axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. El axioma del infinito 21
2.1. El conjunto ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Principio de Inducción Transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Mínimo e Inducción para ordinales . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. El axioma de Sustitución 41
3.1. Los sistemas Z y ZF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Ordinales y conjuntos bien ordenados . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3. Definición por Recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4. Suma de ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5. Producto de ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4. El Axioma de Elección 59
4.1. Cardinalidad o número de elementos . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Buena Ordenación y Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . 61
4.3. Formas del Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
iii
iv ÍNDICE GENERAL
4.4. Elección implica Buena Ordenación . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5. Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6. Operaciones con cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.7. La operación ℵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. El Axioma de Regularidad 83
5.1. Conjuntos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2. Axioma de Regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3. La teoría ZF+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4. Negación del Axioma de Regularidad . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6. Modelos internos 99
6.1. Modelos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2. Cardinales fuertemente inaccesibles . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3. El Teorema de la Reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7. Consistencia del Axioma de Elección 121
7.1. Relaciones definibles por fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2. Conjuntos definibles por ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Prefacio
Se ofrece una presentación de la axiomática de Zermelo–Fraenkel, que es
hoy aceptada como un fundamento satisfactorio para la teoría de conjuntos.
El objetivo es didáctico, no hay ningún resultado original. Está fuertemente
influenciado por los textos en los que he aprendido la teoría de conjuntos,
principalmente los libros de Halmos [7], de Shoenfield [14], de Krivine [10], de
Sierpinski [15], de DiPrisco [4] así como los dos primeros capítulos del libro
de Dugundji [6]. Reflejan la experiencia adquirida por el dictado de cursos
básicos de teoría de conjuntos en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
delaUniversidaddeBuenosAires.Deboalosalumnosdeesoscursosmuchas
observaciones que han contribuido para mejorar la presentación. También
debo agradecer las perspicaces observaciones hechas por Daniele Mundici
después de una minuciosa lectura de una versión previa.
Sibieneltratamientoesriguroso,heprocuradoutilizarunestilocoloquial,
motivando los conceptos introducidos para facilitar la comprensión de los
mismos por parte de lectores que no asistan a un curso formal.
Los cuatro primeros capítulos dan los elementos de la teoría de conjuntos
que se utilizan en los cursos de álgebra y de análisis: Enunciados equivalen-
tes del Axioma de Elección, teoría de ordinales y cardinales. Los restantes
son intrínsecos de la teoría de conjuntos: En el Capítulo 5 se consideran las
consecuencias tanto del Axioma de Regularidad como de su negación. En el
Capítulo 6 se utilizan los modelos internos para ejemplificar resultados de
independencia de los axiomas y la insuficiencia de los mismos para probar la
existencia de cardinales fuertemente inaccesibles. Finalmente en el Capítulo
7 se da una demostraci´ón del famoso resultado de Gödel sobre la consistencia
relativa del Axioma de Elección.
Este libro puede considerarse preparatorio para estudios más avanzados
de la teoría de conjuntos, principalmente los métodos de forcing introducidos
por P. Cohen en la década de 1960, que además requieren conocimientos más
v
vi PREFACIO
sofisticados de Lógica Matemática (ver, por ejemplo el libro de Kunen [11]).
Para la historia del desarrollo de la teoría de conjuntos (y de la matemá-
tica en general) recomiendo el libro de Bourbaki [3].
Buenos Aires, Marzo de 2016
Roberto Cignoli
Capítulo 1
Teoría axiomática
1.1. La Paradoja de Russell
El matemático alemán Georg Cantor desarrolló la teoría de conjuntos en
base a la siguiente definición, dada por él en 1895:
Se entiende por conjunto la agrupación en un todo de objetos bien
diferenciados de nuestra percepción o de nuestro pensamiento.
Así, en principio, se podría considerar el conjunto de todos los caballos
blancos, o el conjunto de todos los triángulos equiláteros.
Pero esta noción tan amplia de conjunto lleva a paradojas, como lo de-
mostró el lógico inglés Bertrand Russell a principios del siglo XX. En efecto,
la definición cantoriana permite concebir conjuntos que sean elementos de sí
mismos: por ejemplo, el conjunto de todas las ideas abstractas es una idea
abstracta. Siguiendo a Russell, llamaremos ordinarios a los conjuntos que no
son elementos de si mismos, y extraordinarios a los demás. Esto es, un con-
junto X es ordinario si y sólo si X (cid:54)∈ X y extraordinario si y sólo si X ∈ X.
De acuerdo con la definición de Cantor podemos considerar el conjunto A de
todos los conjuntos ordinarios. Como A es un conjunto, deberá ser ordinario
o extraordinario. Si A fuese ordinario, entonces debería ser A ∈ A, lo que
significa que A sería extraordinario. Luego no puede ser A ordinario. Pero
tampoco puede ser extraordinario, pues si A fuese extraordinario, entonces
A (cid:54)∈ A, y por lo tanto sería ordinario. En otras palabras, hemos derivado la
contradicción A ∈ A si y sólo si A (cid:54)∈ A.
La noción cantoriana de conjunto está ligada a la noción de propiedad:
DadaunapropiedadP,podemosformarelconjunto{x : P(x)}delosobjetos
1
2 CAPÍTULO 1. TEORÍA AXIOMÁTICA
que satisfacen P (y, recíprocamente, dado un conjunto C, le podemos asociar
la propiedad “pertenecer a C”).
En 1908, en su trabajo sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos,
el matemático alemán Ernest Zermelo señala que la paradoja de Russell
muestra que no es admisible asignarle a cualquier propiedad lógicamente bien
definida un conjunto como su extensión. Por lo tanto la definición original de
Cantordeberestringirse,ycomoestadefiniciónnohapodidoserreemplazada
por otra que sea igualmente simple y que no de lugar a paradojas, Zermelo
concluye que:
Bajo estas circunstancias no nos queda en este punto más que
proceder en la dirección opuesta y, partiendo del desarrollo his-
tórico de la teoría de conjuntos, buscar los principios requeridos
para fundamentar esta disciplina matemática. Para resolver este
problema debemos, por un lado, restringir estos principios sufi-
cientemente para excluir contradicciones y, por el otro, elegirlos
suficientemente amplios para retener todo lo de valor que tenga
la teoría.
En otras palabras, para eliminar la paradoja, Zermelo propone considerar
comoconjuntossóloaquellosobjetosquesatisfaganlascondicionesimpuestas
por ciertos axiomas. El propósito de este curso es desarrollar esta idea.
Intuitivamente, podemos pensar que los conjuntos se van formando en
etapas:parapoderformarunconjunto,todossusposibleselementosdebenya
estardefinidos.Habríadostiposdeobjetos:individuos(llamadosurelemente)
y conjuntos. En la etapa inicial sólo habría individuos. Los conjuntos de la
primera etapa estarían formados por individuos. Los de la segunda etapa,
por individuos y conjuntos de la primera etapa. En general, los conjuntos de
una etapa estarían formados por individuos y conjuntos definidos en etapas
anteriores.
Vamos a considerar una teoría pura de conjuntos, esto es, sin individuos.
Entonces en la primera etapa tendremos el conjunto vacío ∅, en la segunda ∅
y el conjunto que tiene por único elemento al vacío {∅}, en la tercera ∅, {∅},
{{∅}}, {∅,{∅}} y así siguiendo. De esta manera podemos concebir una co-
lección de objetos, que llamaremos el universo de la teoría de conjuntos
y denotaremos por U. En U tenemos una relación binaria, que llamaremos
relación de pertenencia y denotaremos por ∈. Si a,b son objetos de U,
a ∈ b se lee como “a pertenece a b” o “a es un elemento de b”. La relación
a ∈ b puede darse sólo si a aparece en una etapa anterior a la aparición de b.
