Table Of ContentISBN 978-3-662-23113-5 ISBN 978-3-662-25083-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-25083-9
Rhythmische und schwach rhythmische
Abbildungen
Von
Walter Bauer, Wien
(Vorgelegt in der Sitzung am 15. Jänner 1970 durch das w. M. E. Hlawka)
1. Einleitung
Die Theorie der Rhythmik ging u. a. von der Arbeit von van der
Corput [4] über rhythmische Systeme und deren Anwendungen auf
diophantische Ungleichungen aus. Dort wurden rhythmische Folgen
und Systeme sowie Translationen behandelt. Diese Begriffe wurden
von Hlawka [10] und Hlawka-Henhapl [11] auf topologische
Gruppen verallgemeinert.
Auslander-Hahn [1] untersuchten verschiedene Klassen reell
wertiger Funktionen auf R (reelle Zahlen), die durch die Eigenschaften
ihrer Bahnhüllen bezüglich der kompakt-offenen Topologie im Raum
der stetigen Funktionen definiert sind. Flor [7], [8] übertrug den Be
griff der Rhythmik auf stetige, totalbeschränkte Funktionen einer
abelschen topologischen Gruppe G in einen uniformen Raum S. Er gab
eine Charakterisierung der gleichmäßig rhythmischen Funktionen ge
wisser Gruppen G in vollständige Räume S mittels der Kompaktheit
und Minimalität ihrer bezüglich der kompakt-offenen Topologie ge
bildeten Bahnhüllen. Für lokalkompakte Gruppen G sind die rhyth
mischen Funktionen Spezialfälle fastperiodischer Elemente gewisser
topologischer Transformationsgruppen, so daß sich dann die Theorie
der topologischen Dynamik [9] anwenden läßt.
32 W. Bauer
Eberlein [5] definierte schwach fastperiodische Funktionen auf
lokalkompakten abelschen Gruppen G. Eine beschränkte, komplex
wertige, stetige Funktion! auf G heißt schwach fastperiodisch (kurz s-fp.),
wenn ihre Bahnhülle in der schwachen Topologie kompakt ist. Aller
dings ist die Klasse der s-fp.-Funktionen sehr umfangreich, da z. B.
alle im Unendlichen verschwindenden und alle positiv-definiten Funk
tionen dazugehören, so daß es sinnvoll erscheint, außer den rhythmischen
und den s-fp.-Funktionen noch eine genügend große, aber leichter über
schaubare Klasse von Funktionen, nämlich die schwach rhythmischen
Funktionen einzuführen. Weiters soll hier hauptsächlich die uniforme
Struktur der kompakten Konvergenz verwendet werden, die gegenüber
der schwachen Topologie einige Vorteile besitzt (z. B. die gleichgradige
Stetigkeit kompakter Bahnhüllen auf gewissen Räumen).
In § 2 werden Funktionen ("partiell rhythmische Funktionen")
betrachtet, welche die bei Flor [7] in Definition 1 b geforderten "Ver
schiebungseigenschaften" nicht betreffend des Systems aller kompakten
Teilmengen von G, sondern nur betreffend gewisser Familien kompakter
Teilmengen aufweisen. Limiten derartiger Funktionen und ihre Be_
ziehungen zu den rhythmischen Funktionen werden untersucht.
In den weiteren Paragraphen werden sehr allgemeine rhythmische
und schwach-rhythmische Funktionen betrachtet. Bereits für eine
schwache topologisch-algebraische Struktur ("fastmultiplikative Sy
steme") sind alle Funktionen der Bahnhülle einer rhythmischen bzw.
schwach rhythmischen Funktion wieder von derselben Art. Die Be
ziehung der fastperiodischen Funktionen nach Ellis [6] zu den schwach
rhythmischen Funktionen und das Verhalten dieser gegenüber stetigen
Transformationen wird untersucht. Weiters werden Systeme schwach
rhythmischer Funktionen betrachtet.
Danach werden Klassen von Räumen angegeben, auf denen jede
stetige Funktion die "Schwingungsbedingung" in der Definition einer
schwach rhythmischen Funktion erfüllt. Solche Räume mit den zuge
hörigen Mengen stetiger Selbstabbildungen werden ,,selektive Systeme"
genannt.
An mehreren Stellen der Arbeit werden enge Beziehungen zwischen
Rhythmik und gleichgradiger Stetigkeit von Bahnen in Funktionen
räumen abgeleitet.
Rhythmische und schwach rhythmische Abbildungen 33
2. Partiell rhythmische Funktionen
:
Bezeichnun~en
S sei ein separierter, uniformer Raum mit dem Nachbarschafts
en,
filter
G eine separierte, abelsche, topologische Gruppe,
'2l ein nichtleeres System nichtleerer kompakter Teilmengen von G,
das mit je endlich vielen Mengen auch deren Vereinigung enthält und
+
für welches gilt: aus K E '2l folgt K gE '2l für beliebiges gE G.
Eine Teilmenge Tc G (T =/: if» heißt relativ dicht, wenn es eine
+
kompakte Menge Me G gibt, so daß T M = G ist.
X sei der Raum der stetigen Funktionen von G in S, versehen mit
der uniformen Struktur der gleichmäßigen Konvergenz auf dem Mengen
system 21. Die zugehörige Topologie wird mit T'1l bezeichnet.
+
t cp (t E G, cp E X) bedeute die Funktion x -+ cp (x t).
Me X heißt invariant, wenn G M = {g cpjg E G, cp E M} c Mist.
Die Menge M heißt minimal, wenn sie keine echte, invariante, abge
schlossene Teilmenge enthält.
Für cp E X wird G cp die Bahn und (G cp)T'1l die Bahnhülle von cp
genannt. (Die Hülle wird bezüglich der Topologie T'1l gebildet. Falls
keine Verwechslungen möglich sind, wird der Index auch weggelassen.)
en,
Die Schreibweise (cp,~) E (K, oc) für oc E K c G bedeute:
[cp(x),~(X)]EClt VXEK.
Auf X bedeute Tep die Topologie der punktweisen Konvergenz und T~
die kompakt-offene Topologie. (T~ ist identisch mit der von der uni
formen Struktur der gleichmäßigen Konvergenz auf allen kompakten
Teilmengen von G induzierten Topologie!)
2.1. Definition. Eine stetige Funktion cp: G -+ S heißt '2l-partiell
rhythmisch (kurz: '2l-rhythmisch), wenn gilt:
1. cp (G) ist totalbeschränkt,
en)
2. (\1 K E '2l) (V Clt E existiert eine relativ dichte Menge Tc S,
+
so daß [cp (x), cp (x t)] E oc V XE K, \1 tE T.
2.2. Lemma: Sei cp '2l-rhythmisch. Dann gilt:
a) V ~ E (G cp)T'll ist ~ (G) totalbeschränkt,
Sitzungsberichte der mathem.-naturw. KI., Abt. 11, 179. Bd., 1.-3. Heft. 3
34 w. Bauer
b) V l/J E (G cp)G ist l/J \.21-rhythmisch. (Dabei bedeutet (G cp)c die
Hülle von G cp bezüglich der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz.)
Beweis:
a) Seien IX E 93 und Z E G beliebig gewählt. ß E 93 sei symmetrisch
mit ß2 C IX. Dann gibt es gß E G, so daß
[l/J (z), gß cp (z)] E ß. (1)
Wegen der Totalbeschränktheit von cp (G) existieren Xl, •.. , Xn E G (nE N),
'/I +
so daß U Vi :::>cp(G) mit Vi = {y![y, cp (xt)] E ß}. ZU z gß gibt es einen
i=l
Index i' (1 ::;;; i' ::;;; n), so daß
[cp (z + gß), cp (xdJ E ß· (2)
Aus (1) und (2) folgt [l/J (z), cp (Xi')] E ß2C IX und daher ist l/J (G) total
beschränkt.
b) Nach a) genügt es zu zeigen, daß l/J E (G cp)c die Bedingung 2
von Definition 2.1 erfüllt. Seien IX E 93, ß E 93 symmetrisch mit ß3C IX,
KE'n.
Wegen l/J E (G cp)c 3 gß E G, so daß
[l/J (x), gß cp (x)] E ß V XE G; (3)
da weiters cp \.21-rhythmisch ist, existiert eine relativ dichte Teilmenge
Tc G derart, daß
[cp (x + gß), cp (x + gß + t)] E ß V XE K, V tE T. (4)
Nach (3) gilt auch: [l/J (x + t), cp (x + gß + t)] E ß V XE K. (5)
Aus (3), (4) und (5) folgt schließlich
[l/J (x), l/J (x + t)] E ß3 C IX V XE K, V tE T.
w. z.z. w.
2.3. Satz: Es seien G lokalkompakt und S vollständig. Sei cp gleich
mäßig stetig und Ql-rhythmisch. Dann ist cp gleichmäßig rhythmisch
im Sinne von Flor [9].
Beweis: Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von cp ist G cp gleich
gradig stetig. Wegen der Vollständigkeit von S ist cp (G) kompakt und
Rhythmische und schwach rhythmische Abbildungen 35
daher auch G <:p (x) kompakt für jedes XE G. Nach dem Satz von Ascoli
Bourbaki (siehe Bourbaki [3]) ist (G <:p)Tse kompakt. Wegen der
gleichgradigen Stetigkeit von G cp fallen auf (G <:p)Tep und daher auch
auf [G cp)T'l1C (G CP)Pep die Topologien Tep und Tse zusammen. Weil
Top c T'V, c Tse ist T'2l = Tse auf (G <:P)Pep'
Da G lokalkompakt ist, ergibt (G, (G cp)T'l1' 7t) eine topologische
Transformationsgruppe. Dabei bedeutet 7t die Abbildung (g, ~) -+ g ~
mit dem früher erklärten g ~. Nach Gottschalk-Hedlund [9] Theo
rem 11.26 ist 7t stetig (nach oben ist T21 = Tse!). Gemäß Definition 2.1
ist cp ein fastperiodisches Element der Transformationsgruppe (G,
(G <:p)T21, 7t) (vgl. Gottschalk-Hedlund [9] Definitionen 3.13 und
3.38). Ein fastperiodisches Element <:p besitzt nach [9] 4.07 eine mini
male Bahnhülle (G <:p)T'l1' Weil G lokalkompakt und daher ein k-Raum
und S vollständig ist, ist nach Kelley [12] auch X vollständig.
(G <:p)Tse ist also kompakt und minimal, und folglich ist cp nach
Flor [7] Satz 9 eine gleichmäßig rhythmische Funktion.
w.z. b.w.
2.4. Lemma: Wenn (G cp)T21 minimal ist, dann gilt:
<:p (G) = ~ (G) (6)
cn,
Beweis: Seien (X E XE G und ~ E (G <:p)T21 beliebig gewählt. Es
+
existiert ein Element ge G, für das gilt: [~(x), cp (x g)] E (X. Daher
ist ~ (G) c <:p (G) und damit auch ~ (G) c <:p (G). Wegen der l\'Iinimalität
von (G <:p)T21 ist cp E G ~. Wie oben folgt daraus cp (G) c ~ (G). Insge-
samt ergibt sich also cp (G) = ~ (G) für beliebiges ~ E (G cp)T'2l'
w.z. Z.w.
3. Gleichgradige Stetigkeit von Transformationsmengen
Es seien S, S' separierte uniforme Räume mit den Nachbarschafts
cn cn'.
filtern bzw. 0 (S, S) und 0 (S, S') seien Räume stetiger Funk
tionen von S in S bzw. von S in S' jeweils versehen mit der uniformen
3*
36 W.Bauer
Struktur der gleichmäßigen Konvergenz auf den kompakten Teil
mengen von S.
Weiters seien Ac G (S, S) (A #- cp) und <p E G (S, S') beliebig.
3.1. Definition: <p A = {<p aJa E A} heißt Bahn von <p (unter A) und
<p A die Bahnhülle von <p [gebildet in der Topologie von G (S, S')].
Dabei bedeutet !p a die Zusammensetzung der Funktionen a und <po
Die Hülle wird ab nun stets in der kompakt-offenen Topologie
des jeweils betrachteten Funktionenraumes gebildet, falls nicht aus
drücklich andere Topologien verwendet werden.
Cßn bezeichne die von der Menge T der Funktionen <p E G (S, S')
mit totalbeschränkter Bahn auf S induzierte uniforme Struktur.
3.2. Satz: Sei S lokalkompakt. Dann ist A eine gleichgradig stetige
Menge von Funktionen von (S, Cß) in (S, CßR).
Beweis: Sei XE S, nE N und U (x) eine kompakte Umgebung
von x. Weiters seien <Pi E T, OCt E Cß' sowie symmetrische ßi E Cß' mit
ßi3 c: OCi für 1 ~ i ~ n gewählt. Die folgende Konstruktion wird für
jedes i (1 ~ i ~ n) getrennt durchgeführt. Sei also i zwischen 1 und n
gewählt.
Zu U (x), ßi existiert eine endliche Menge Bi cA, so daß es zu
beliebigem a E A ein ba E Bi gibt, so daß gilt:
(CPi a, CPi ba) E (U (x), ßi). (1)
Wegen der Stetigkeit von CPi ba im Punkt x und der Lokalkompaktheit
von S gibt es eine kompakte Umgebung Ui, ba (x), so daß gilt:
[!Pt ba (x), CPi ba (y)] E ßi 'V Y E Ui, ba (x). (2)
Sei nun Ui: ba (x) = Ui, ba (x) n U (x). Für YE Ui: ba (x) gilt daher:
wegen (1): [cpi a (x), CPi ba (x)] E ßi
[!Pi a (y), <Pi ba (y)] E ßi
sowie wegen (2): [cpi ba (x), !Pi ba (y)] E ßi.
Daraus folgt:
ßi
[cpi a (x), <Pi a (y)] E 3 C OCi 'V Y E Ui: ba (x)
für alle a, für die dasselbe ba in (1) genommen werden kann.
Rhythmische und schwach rhythmische Abbildungen 37
n
Da Bi endlich ist, ist U/" (x) = Ui,' ba (x) eine kompakte Um
baEBi
gebung von x. Man erhält also für alle i (1 ~ i ~ n) eine kompakte
n
Umgebung U/" (x). Es sei nun V (x) = Ui'" (x). Somit existiert
1 :;;i;;;n
für jedes XE 8 eine Umgebung V (x), so daß gilt:
[epi a (x), epi a (y)] E rt.i 'V Y E V (x), 'V rt.i E t;B' (1 ~ i ~ n), 'Va E A.
Dies ergibt aber die Behauptung des Satzes.
w.z. b.w.
Bemerkung: Satz 3.2 enthält ein von Ellis [6] für kompakte
Räume erzieltes Resultat.
4. Rhythmische
und schwach rhythmische Funktionen
Für den Rest der Arbeit seien S, S', 0 (S, S), 0 (S, S') und A wie
in § 3 definiert.
4.1. Definition: ep E 0 (S, 8') heißt schwach rhythmisch (s-rh.) (be
züglich A), wenn gilt:
1. ep A ist kompakt.
2. t.p (8) = tJ; (8) 'V ~ E ep A ("Schwingungsbedingung").
4.2. Definition: ep E 0 (8, 8') heißt rhythmisch (bezüglich A), wenn gilt:
1. ep A ist kompakt.
2. ep A = tJ; A 'V tJ; E ep A.
Bemerkung: EIlis [6] nannte für kompakte 8 eine Funktion
ep E C (8, 8') fastperiodisch, wenn ep A kompakt ist in der Topologie der
gleichmäßigen Konvergenz auf 8. Es soll nun gezeigt werden, daß für
kompakte S und gewisse Systeme A dieser Begriff mit dem der schwach
rhythmischen Funktionen zusammenfällt.
4.3. Satz: Seien S kompakt, S' = R und jedes a E A sei eine surjektive
Funktion. Dann gilt: Eine Funktion t.p E C (8, S') ist Ellis-fastperi
odisch genau dann, wenn sie schwach rhythmisch ist.
Beweis: a) Auf 0 (S, S') fallen die Topologien der gleichmäßigen
und der kompakten Konvergenz zusammen, und daher ist jede schwach
rhythmische Funktion auch Ellis-fastperiodisch.
38 W.Bauer
b) Sei nun ~ Ellis-fastperiodisch. Nach a) genügt es, zu zeigen,
daß ~ die Bedingung 2 in Definition 4.1 erfüllt. Sei Iji E ~ A, d. h.,
'V'r::>O 3asEA, sodaß IIji{x)-~as(x)I<r:: 'V'XES. (1)
Sei Y E ~ eS). Wegen der Stetigkeit von Iji und der Kompaktheit von S
ist ~ (S) = ~ (S); es gibt Xy E S mit y = Iji (Xy). Nach oben gilt also
I y - ~ a, (Xy) I < r:: und damit Y E ~ A (S) c:: ~ (S)
und
~ eS) c:: ~ (S). (2)
Nun sei ZE Cf> (S); zu r:: > 0 existiert asE A, so daß (1) gilt. Weiters
gibt es ein z' E S, so daß z = ~ (z'); da a, surjektiv ist, existiert ein
z." E S, so daß z' = a. (ze") und daher z = Cf> ae (zs") ist. Aus
IIji (zs") - Z I < e: folgt Z E Iji (S) und ~ (S) c:: ~ (S). (3)
Aus (2) und (3) folgt ~ eS) = ~ (S). q. e. d.
Bemerkung: Es wird später eine umfassendere Klasse von Systemen
(S, A) angegeben werden (die selektiven Systeme), für die jede Funktion
~ E C eS, S') die Bedingung 2 von Definition 4.1 erfüllt.
4.4. Lemma: Es sei ~ E C eS, S') gleichmäßig stetig auf A (S) =
= {a(s)/aEA, SES}. Dann ist Cf> schwach rhythmisch bezüglich A genau
dann, wenn ~ schwach rhythmisch ist bezüglich Ä.
Beweis: Zunächst ist Ä (8) c:: A (S), denn sei a E A; zu ß E c;n, X E S
ß.
existiert ein a' E A, so daß [a (x), a' (x)] E
Damit ist a (x) E A (x) für alle XE 8, a E Ä und daher auch A (S)c
c A (S). Zu oc E c;n', K c:: 8 kompakt, a E Ä existiert ßE c;n, so daß
[~ (y'), ~ (y")] E oc 'V' (y', y") E ß und y', y" E A (S).
Zu K, ß gibt es a' E A, so daß (a, a') E (K, ß). Wegen Ä (S) c:: A (S)
ist (Cf> a, ~ a') E (K, oc), folglich ~ a E ~ A und daher ~ Ä c:: ~ A. Also
ist ~ Ä kompakt. Die Umkehrung ergibt sich trivialerweise aus Cf> A c::
c:: ~ Ä.
