Représentations d\algèbres de dimension finie sur

18 Pages·2006·0.18 MB·French

ReprØsentations d(cid:146)algŁbres de dimension (cid:133)nie sur
C
Marc SAGE
Table des matiŁres
1 Plongement d(cid:146)un groupe G dans l(cid:146)algŁbre C[G] 2
2 ReprØsentations d(cid:146)algŁbres : dØ(cid:133)nitions 3
3 ReprØsentations de groupes (cid:133)nis 4
4 OpØrateurs d(cid:146)entrelacement (cid:150)lemme de Schur 5
5 ReprØsentation d(cid:146)algŁbres de matrices 6
5.1 ThØorŁme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2 ReprØsentations et produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 AlgŁbres (cid:133)nies simples 11
6.1 ThØorŁme de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 ThØorŁme de Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 AlgŁbres (cid:133)nies semi-simples 13
7.1 Description des reprØsentations irrØductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2 Description d(cid:146)une reprØsentation quelconque par le produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8 Commutant et bicommutant 16
1
Soit V un C-espace vectoriel de dimension (cid:133)nie et k N(cid:3).
2
On regarde l(cid:146)action de S dans V k qui permute les positions.
k (cid:10)
On a ainsi une injection de S sur GL V k , mettons (cid:26) :S GL V k .
k (cid:10) k k (cid:0)! (cid:10)
On regarde, dans L V k , les combinaisons linØaires de la forme
(cid:10) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
(cid:0) (cid:1) r
(cid:11) (cid:26) ((cid:27) )
i k i
i=1
X
oø (cid:11)i C et (cid:27)i Sk, ied l(cid:146)algŁbre engendrØe par le plongØ de Sk dans GL V(cid:10)k . Ceci forme une sous-algŁbre
2 2
de L V k .
(cid:10) (cid:0) (cid:1)
(cid:0) (cid:1)
Quel est le commutant de cette algŁbre, ied
u L V k tel que (cid:27) S , u(cid:26) ((cid:27))=(cid:26) ((cid:27))u ?
2 (cid:10) 8 2 k k k
(cid:8) (cid:0) (cid:1) (cid:9)
Toutes les algŁbres considØrØes seront associatives, unitaires, et le corps de base sera C (cid:150)sauf mention
contraire.
Par exemple, L(V), T (V), S(V).
1 Plongement d(cid:146)un groupe G dans l(cid:146)algŁbre [G]
C
Soit G un groupe. On dØ(cid:133)nit C[G] comme le C-espace vectoriel libre engendrØ par G, ied l(cid:146)ensemble des
combinaisons linØaires formelles des Ølements de G.
On notera
G C
(cid:0)!
(cid:14) : 1 si g =g
g0 8 g 0
< 7(cid:0)! 0 si g =g0
(cid:26) 6
le Dirac en g0, de sorte que les (cid:14)g forment u:ne base de C[G] :
u= u(g)(cid:14) .
g
g G
X2
On munit C[G] d(cid:146)une structure d(cid:146)algŁbre associative unitaire en dØ(cid:133)nissant un produit sur les ØlØment de
(cid:3)
base par
(cid:14) (cid:14) =(cid:14) ,
g h gh
(cid:3)
qui donne lieu (cid:224) un produit de convolution :
[u v](g)= u(x)v(y)= u gh 1 v(h)= u(h)v h 1g .
(cid:0) (cid:0)
(cid:3)
xy=g h G h G
X X2 (cid:0) (cid:1) X2 (cid:0) (cid:1)
En e⁄et,
[u v](g) = u(g )(cid:14) v(g )(cid:14) (g)
(cid:3) 2 u gu3(cid:3)2 v gv3
gXu2G gXv2G
4 5 4 5
= u(g )v(g )(cid:14) (cid:14) (g)
2 u v gu (cid:3) gv3
guX;gv2G
4 5
= u(g )v(g )(cid:14) (g)
u v gugv
guX;gv2G
= u(g )v(g ).
u v
guXgv=g
Proposition.
2
Soit V un C-espace vectoriel. Se donner un morphisme de groupes
G (V)
(cid:0)!GL
est Øquivalent (cid:224) se donner un morphisme d(cid:146)algŁbres
C[G] (V).
(cid:0)!L
DØmonstration.
Si on a ’:C[G] (V), on restreint ’ (cid:224) G, et alors les images sont inversibles.
(cid:0)!L
Si on a (cid:26):G (V), on le prolonge (cid:224) C[G] par linØaritØ.
(cid:0)!GL
2 ReprØsentations d(cid:146)algŁbres : dØ(cid:133)nitions
DØ(cid:133)nitions.
Soit A une K-algŁbre.
Une reprØsentation de A est un couple ((cid:26);V) oø V est un K-espace vectoriel et
(cid:26):A (V)
(cid:0)!L
un morphisme de K-algŁbres (on cherche (cid:224) reprØsenter A comme une algŁbre de matrices sur le corps K).
Souvent, (cid:26) sera sous-entendu.
Si une reprØsentation est (cid:133)xØe, on notera par abus
a x : =[(cid:26)(a)](x)
(cid:1)
A x : = a x oø a dØcritA .
(cid:1) f (cid:1) g
Un sous-espace vectoriel W de V est dit stable par (cid:26) si
A W W.
(cid:1) (cid:26)
OnpeutalorsconsidØrerles reprØsentationrestreinte ((cid:26)W;W)et reprØsentationquotient (cid:26)V(cid:30)W;V (cid:30)W dØ(cid:133)nies
respectivement par
(cid:0) (cid:1)
A (W)
(cid:26) : (cid:0)! L et
W a (cid:26)(a)
(cid:26) 7(cid:0)! jW
(cid:26)V(cid:30)W : Aa (cid:0)! [x+WL V(cid:30)aWx+W]
(cid:26) 7(cid:0)! 7(cid:0)(cid:0)! (cid:1)(cid:1)
(la connaissance de ces deux reprØsentations permet parfois de reconsitituer la reprØsentation entiŁre).
Une reprØsentation ((cid:28);W) est appelØe sous-reprØsentation de ((cid:26);V) si W est un sous-espace stable par (cid:26) et
si ((cid:28);W) est la reprØsentation (cid:26) restreinte (cid:224) W. On dira abusivement que W est une sous-reprØsentation de
W
V (noter la correspondance entre la donnØe d(cid:146)un sous-espace stable et d(cid:146)une sous-reprØsentation).
Une reprØsentation V est dite irrØductible si les seuls sous-espaces stables de V sont 0 et V.
f g
Une reprØsentation V est dite complŁtement rØductible (ou semi-simple) si tous sous-espace vectoriel W
stable admet un supplØmentaire W stable : V =W W .
0 0
(cid:8)
On dira qu(cid:146)un ØlØment a d(cid:146)une algŁbre A commute(cid:224)une partie B de A si a commute avec tous les ØlØments
de B.
Donnonstoutd(cid:146)abordunepropriØtØbienpratique,quisert(cid:224)fairecommuterunendomorphisme(cid:224)ungroupe
(cid:133)ni d(cid:146)isomorphismes.
PropriØtØ (commutativation).
Soit V un espace vectoriel, u un endomorphisme de (V) et G un sous-groupe (cid:133)ni de (V). Alors
L GL
l(cid:146)endomorphisme
1
u:= (cid:26)(g)u(cid:26)(g)(cid:0)1
G
j jg G
X2
b
3
commute (cid:224) G.
DØmonstration.
Pour g G, on a
2
1 1
ug = huh 1 g = gg 1huh 1g
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
G G
!
j jh G j jh G
X2 X2
b = 1 g g(cid:0)1h u g(cid:0)1h (cid:0)1 =g 1 iui(cid:0)1 =gu.
G G
j jh G j ji G
X2 (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) X2
b
On utilisera Øgalement trŁs souvent le petit rØsultat suivant, qui gØnØralise la propriØtØ bien connue
uv =vu = Keru stable par v.
)
Petit rØsultat pratique.
Si un endomorphisme u commute (cid:224) (cid:26)(G), alors son noyau Keru est stable par (cid:26).
DØmonstration.
Soit x Keru. On a g G,
2 8 2
u(g x)=[u (cid:26)(g)](x)=[(cid:26)(g) u](x)=g u(x)=g 0=0,
(cid:1) (cid:14) (cid:14) (cid:1) (cid:1)
donc g x Keru.
(cid:1) 2
3 ReprØsentations de groupes (cid:133)nis
ThØorŁme.
Soit G un groupe (cid:133)ni et (cid:26) une reprØsentation de C[G]. Alors (cid:26) est complØtement rØductible
(remarque : C pourrait Œtre remplacØ par tout corps oø l(cid:146)ordre du groupe est inversible)
DØmonstration du thØorŁme.
Soit W un sous-espace vectoriel stable par (cid:26). On cherche un supplØmentaire stable.
Soit S un supplØmentaire quelconque de W :
V =W S.
(cid:8)
On regarde le projecteur p sur W parallŁlement (cid:224) S, de sorte que S =Kerp est un candidat potentiel. En e⁄et,
d(cid:146)aprŁs le petit rØsultat, Kerp sera stable si p commute (cid:224) (cid:26)(G).
On "commutative" donc p en posant
1
p= (cid:26)(g)p(cid:26)(g)(cid:0)1,
G
j jg G
X2
b
et alors
K :=Kerp
est stable par (cid:26).
On va montrer que p est un projecteur d(cid:146)image b
Imp=W,
b
b4
ce qui concluera car alors
V =Imp Kerp=W K
(cid:8) (cid:8)
avec K stable, CQFD.
D(cid:146)une part, pour x W, on vØri(cid:133)e que b b
2
1 1
p(x) = (cid:26)(g)p(cid:26)(g)(cid:0)1 (x)= g p g(cid:0)1 x
2 G 3 G (cid:1)0 0 (cid:1) 11
j jg G j jg G
X2 X2 W car W stable
b 4 5 @ @2 AA
| {z }
1 1
= g g 1 x = x=x,
G (cid:1)0 (cid:0) (cid:1) 1 G
j jg G j jg G
X2 Bcar W=ImpC X2
@ A
d(cid:146)oø | {z }
p =Id
W W
j
et
Wb Imp;
(cid:26)
d(cid:146)autre part, pour x V, on a
2 b
1 1
p(x) = (cid:26)(g)p(cid:26)(g)(cid:0)1 (x)= g p g(cid:0)1 x
2 G 3 G (cid:1) (cid:1)
j jg G j jg G
X2 X2 (cid:0) (cid:1)
b 41 5 1
g W = W =W,
2 G (cid:1) G
j jg G j jg G
X2 =W car W stable par G X2
d(cid:146)oø Imp W et l(cid:146)ØgalitØ |{z}
(cid:26)
Imp=W.
Par ailleburs, pour x V, on a
2 b
p2(x)=p p(x) =p(x),
0 1
W
B 2 C
b b@b A b
ied |{z}
p2 =p,
ou encore p projeteur. Ceci achŁve les vØri(cid:133)cations.
b b
b
4 OpØrateurs d(cid:146)entrelacement (cid:150)lemme de Schur
DØ(cid:133)nitions.
(cid:26) :A (V )
On appelle opØrateur d(cid:146)entrelacement entre deux reprØsentations 1 (cid:0)!L 1 toute application
(cid:26) :A (V )
(cid:26) 2 (cid:0)!L 2
linØaire
T :V V
1 2
(cid:0)!
telle que
a A, T(cid:26) (a)=(cid:26) (a)T,
8 2 1 2
ied
a A
8 2 , T (a x)=a T (x).
x V1 (cid:1) (cid:1)
(cid:26) 8 2
L(cid:146)ensemble des opØrateurs d(cid:146)entrelacement entre (cid:26) et (cid:26) sera notØ
1 2
Hom(V ;V )
1 2
A
(on sous-entendera (cid:26) et (cid:26) ) et est un sous-espace vectoriel de (V ;V ).
1 2 L 1 2
5
On dit que (cid:26) et (cid:26) sont Øquivalentes s(cid:146)il existe un opØrateur d(cid:146)entrelacement bijectif :
1 2
T(cid:26) (a)T 1 =(cid:26) (a),
1 (cid:0) 2
ied
T a T 1(x) =a x.
(cid:0)
(cid:1) (cid:1)
Si (cid:26) et (cid:26) sont de dimension (cid:133)nie, elles(cid:0)sont Øquiva(cid:1)lentes ssi il existe B1 base de V1 telles que pour
1 2 base de V
2 2
(cid:26) B
tout a A on ait
2
Mat(cid:26) (a)=Mat(cid:26) (a)
1 2
B1 B2
(envoyer sur via T).
1 2
B B
On donne ici une CNS vitale pour que deux reprØsentions irrØductibles sur C de dimension (cid:133)nie soient
Øquivalentes.
Lemmes de Schur.
Soit A une algŁbre sur un corps algØbriquement clos, et ((cid:26);V) et ((cid:28);W) deux reprØsentations irrØduc-
tibles de dimension (cid:133)nie de A. Alors :
Deux opØrateurs d(cid:146)entrelacement entre (cid:26) et (cid:28) sont nØcessairement liØs;
(cid:15)
On dispose de la formule
(cid:15)
1 si (cid:26) et (cid:28) sont Øquivalentes
dimHom(V;W)= .
A 0 sinon
(cid:26)
DØmonstration.
Montrons tout d(cid:146)abord que tout opØrateur d(cid:146)entrelacement non nul est inversible.
(cid:15)
Soit T :V W non nul. On Øcrit
(cid:0)!
a A, T(cid:26)(a)=(cid:28)(a)T ;
8 2
ainsi, d(cid:146)une part KerT V est stable par (cid:26), donc est rØduit (cid:224) 0, ied T injective, d(cid:146)autre part ImT = 0 est
6
stable par (cid:28), donc vaut W tout entier et T est surjective.
Prouvons (cid:224) prØsent que deux opØrateurs d(cid:146)entrelacement sont nØcessairement liØs.
(cid:15)
Soient T et S dans Hom (V;W) supposØs non nuls (sinon ils sont clairement liØs). D(cid:146)aprŁs ce qui prØcŁde,
A
ils sont inversibles. Alors S 1T (V) possŁde une valeur propre (cid:21) (par l(cid:146)hypothŁse de cl(cid:244)ture algØbrique),
(cid:0)
2 GL
d(cid:146)oø un sous-espace vectoriel Ker S 1T (cid:21) non rØduit (cid:224) 0 . Par ailleurs, on a
(cid:0)
(cid:0) f g
(cid:0) (cid:26)(a)S 1(cid:1)T =S 1(cid:28)(a)T =S 1T(cid:26)(a),
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
donc(cid:26)(a)communteavecS 1T,afortioriavecS 1T (cid:21)Id etparconsØquentstabiliselenoyauKer S 1T (cid:21) .
(cid:0) (cid:0) V (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
Ceci tenant pour tout a, Ker S 1T (cid:21) = 0 est stable par (cid:26) et vaut donc V tout entier, d(cid:146)oø S 1T (cid:21)=0
(cid:0) (cid:0) 6 f g (cid:0)(cid:0) (cid:0) (cid:1)
et S =(cid:21)T.
(cid:0) (cid:1)
Nous sommes maintenant en mesure de conclure.
(cid:15)
Si dimHom (V;W)=1, alors il existe un opØrateur d(cid:146)entrelacement non nul, ied inversible, d(cid:146)oø (cid:26) (cid:28).
A
(cid:24)
RØciproquement, si (cid:26) (cid:28), il existe un opØrateur d(cid:146)entrelacement T inversible, donc non nul, et alors tous
0
(cid:24)
les autres sont liØs avec T , d(cid:146)oø dimHom (V;W)=1.
0 A
5 ReprØsentation d(cid:146)algŁbres de matrices
5.1 ThØorŁme fondamental
On montre ici que toute reprØsentation de (K) est Øquivalente (cid:224) une somme directe de reprØsentations
n
M
(K) L(Kn)
chacune isomorphe (cid:224) la reprØsentation standard Mn (cid:0)! .
A A
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:2)
6
ThØorŁme.
Soit K un corps quelconque, n un entier 1 et
(cid:21)
(cid:26): (K) (V)
n
M (cid:0)!L
une reprØsentation de dimension (cid:133)nie de (K).
n
M
Alors n dimV et il existe une base de V telle que pour tout A dans (K) on a
n
j B M
A
A
Mat(cid:26)(A)=0 ... 1.
B B C
B A C
B C
@ A
DØmonstration.
Ondisposed(cid:146)unmorphisme,donconregardel(cid:146)imagesdegØnØrateurs.Ons(cid:146)intØressedoncnaturellementaux
(cid:26)(E ).
i;j
P =(cid:26)(E ) n E =Id
Posons i i;i . Puisque i=1 i;i , en passant (cid:224) (cid:26), on obtient d(cid:146)une part n P =Id,
V =ImP E E =(cid:14)jE i=1 i
(cid:26) i i (cid:26) Pi;i j;j i i;i
d(cid:146)oø V =V +:::+V , d(cid:146)autre part P P =(cid:14)jP , d(cid:146)oø P
1 n i j i i
V =V ::: V
1 n
(cid:8) (cid:8)
car
v +:::+v =0 = P (x )+:::+P (x )=0
1 n 1 1 n n
)
= P P (x )+:::+P P (x )=0
k 1 1 k n n
)
= 0+:::+0+P P (x )+0+:::+0=0
k k k
)
= P (x )=0
k k
)
= v =0 pour tout k =1;:::;n.
k
)
On notera de plus que, pour x V , disons x=P (y), on a
i i
2
P (x)=P2(y)=P (y)=x,
i i i
de sorte que
(P ) =Id .
i jVi Vi
Montrons maintenant que les V ont meme dimension, en Øtablissant la bijectivitØ des
i
(cid:26)(E ):V V .
i;j j i
(cid:0)!
On peut Øcrire
Id =(P ) =(cid:26)(E ) =(cid:26)(E )(cid:26)(E ) ,
Vi i jVi i;i jVi i;j j;i jVi
cequidonnel(cid:146)injectivitØde(cid:26)(E ) etl(cid:146)inclusionIm(cid:26)(E ) V .L(cid:146)inclusionrØciproques(cid:146)obtientenØcrivant
j;i jVi i;j (cid:27) i
(cid:26)(E )=(cid:26)(E )(cid:26)(E )(cid:26)(E )=P (cid:26)(E ) P ,
i;j i;i i;j j;j i i;j j
d(cid:146)oø
Im(cid:26)(E )=V
i;j i
et la surjectivitØ de (cid:26)(E ):V V .
i;j j i
(cid:0)!
Fixons maintenant une base e(1);:::;e(1) de V et posons
1 r 1
(cid:16) (cid:17)
e(i) =E e(1) Im(cid:26)(E )=V
k i;1(cid:1) k 2 i;1 i
(noter la cohØrence pour le cas i=1, oø
E e(1) =P e(1) =e(1) car (P ) =Id ),
1;1(cid:1) k 10 k 1 k 1 jV1 Vi
B2V1C
@ A
|{z}
7
de sorte que e(i);:::;e(i) est une base de V :
1 r i
(cid:16) (cid:17)
r r
(cid:21) e(i) =0 = (cid:21) E e(1) =0
k k ) k i;1(cid:1) k
kX=1 kX=1 (cid:16) (cid:17)
r
= E (cid:21) e(1) =0
) i;1(cid:1) k k !
k=1
X
r
= (cid:21) e(1) =0 par injectivitØ de (cid:26)(E )
) k k i;1 jV1
k=1
X
= ((cid:21) )=0 car e(1);:::;e(1) est libre
) k 1 r
(cid:16) (cid:17)
On a ainsi
V = V ::: V
1 n
(cid:8) (cid:8)
= Ke(1) ::: Ke(1) Ke(2) ::: Ke(2) ::: Ke(n) ::: Ke(n)
1 (cid:8) (cid:8) r (cid:8) 1 (cid:8) (cid:8) r (cid:8) (cid:8) 1 (cid:8) (cid:8) r
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
Regardons l(cid:146)action des E sur un e(l) :
i;j k
E e(l) =E E e =(cid:14)lE e =(cid:14)le(i).
i;j (cid:1) k i;j (cid:1) l;1(cid:1) k j i;1(cid:1) k j k
Ainsi, les sous-espaces stables qui apparaissent naturellement sont les
U =Vect e(1);e(2);:::;e(n)
k k k k
(cid:16) (cid:17)
pour k =1;:::;r. Par ailleurs, le calcul ci-dessus montre que
Mat (cid:26)(E )=E ,
i;j i;j
e(1);:::;e(n)
k k
(cid:16) (cid:17)
de sorte que, en posant
= e(1);:::;e(n); e(1);:::;e(n); :::; e(1);:::;e(n)
B 1 1 2 2 r r
(cid:16) (cid:17)
(on met les U bout (cid:224) bout), on a
k
E
i;j
E
i;j
Mat(cid:26)(Ei;j)=0 ... 1,
B B C
B E C
B i;j C
@ A
d(cid:146)oø le thØorŁme par linØaritØ.
Remarque.
Le rØsultat montre que (cid:26) est injective.
Mais on le savait dØj(cid:224) : Ker(cid:26) est un idØal bilatŁre de (K), donc soit 0 , soit (K).
n n
M f g M
Ene⁄et,soitI unidØalbilatŁrenonnulde (K),etsoitA=0dansI,mettonsa =0.Enremarquant
Mn 6 i0;j0 6
que
E AE =a E
i0;i0 j0;j0 i0;j0 i0;j0
et que
E E E =E ,
k;i0 i0;j0 j0;l k;l
et en utilisant l(cid:146)idØalitØ de I, on montre que
1 1
E (E AE )E = E (a E )E =E E E =E
a k;i0 i0;i0 j0;j0 j0;l a k;i0 i0;j0 i0;j0 j0;l k;i0 i0;j0 j0;l k;l
i0;j0 i0;j0
est dans I, donc I engendre tout (K).
n
M
8
Corollaire.
Toute reprØsentation irrØductible (cid:133)nie de (K) est Øquivalente (cid:224) la representation standard.
n
M
DØmonstration.
Soit (cid:26) une reprØsentation irrØductible (cid:133)nie de (K) et = ::: comme dans le thØorŁme. Alors
n 1 r
M B B (cid:8) (cid:8)B
les V :=Vect sont stables par (cid:26) : en e⁄et, pour a matrice de (K) et x V , on a
i i n i
B M 2
Mata x = Mat(cid:26)(a) Matx
(cid:1)
B B B
... ...
0 A 10 0 1
= A Mat x
BB A CCBB 0Bi CC
B CB C
BB ... CCBB ... CC
B CB C
@ ... A@ A
0 0 1
= AMat x
BB Bi 0 CC
B C
BB ... CC
B C
@ A
d(cid:146)oø a x Vi. Par consØquent, r =1 (sinon 0 V1 V, ce qui contredit l(cid:146)irrØductibilitØ), d(cid:146)oø le rØsultat.
(cid:1) 2 f g
5.2 ReprØsentations et produit tensoriel
Soit ((cid:26);V) une reprØsentation d(cid:146)une algŁbre A et U un espace vectoriel quelconque. On dispose d(cid:146)une
reprØsentation de A dans l(cid:146)algŁbre produit tensoriel U V donnØe par
(cid:10)
A (U V)
Id (cid:26): (cid:0)! L (cid:10) .
U (cid:10) a IdU (cid:26)(a)
(cid:26) 7(cid:0)! (cid:10)
Si (e ;:::;e ) est une base de U, alors
1 p
p p
U V Cei V V.
(cid:10) ’ (cid:10) ’
i=1 i=1
M M
On voit alors U V comme somme directe de p copies de V. Pour ce faire, on (cid:133)xe une base =(v ;:::;v ) de
1 n
(cid:10) B
V, on note
w(j) =e v ,
i i(cid:10) j
et on s(cid:146)intØresse (cid:224) la base de U V dØ(cid:133)nie par
(cid:10)
= w(1);:::;w(n); w(1);:::;w(n); :::; w(1);:::;w(n) ,
T 1 1 2 2 p p
(cid:16) (cid:17)
de sorte que
Id (cid:26)(a) w(j) = Id (cid:26)(a) (e v )
U (cid:10) i U (cid:10) i(cid:10) j
h i(cid:16) (cid:17) = he [(cid:26)(a)i(v )]
i j
(cid:10)
n
= e Mat(cid:26)(a) v
i k
(cid:10) k;j
kX=1h B i
n
= Mat(cid:26)(a) (e v )
i k
k;j (cid:10)
kX=1h B i
et donc
Mat (cid:26)(a)
B Mat (cid:26)(a)
Mat IUd(cid:10)(cid:26)(a) =0 B ... 1
T h i B C
B Mat (cid:26)(a) C
B B C
@ A
9
avec p blocs.
ThØorŁme.
Soit ((cid:26);V)unereprØsentationdedimension(cid:133)niede n(C),quel(cid:146)oncherche(cid:224)comparer(cid:224)lareprØsentation
M
canonique ’: n(C) (Cn).
M (cid:0)!L
On regarde donc les opØrateurs d(cid:146)entrelacement entre ces deux reprØsentations :
Hom (Cn;V) (Cn;V).
Mn(C) (cid:26)L
On considŁre maintenant la reprØsentation de n(C) dans Hom (Cn;V) Cn dØ(cid:133)nie par
M (cid:20)Mn(C) (cid:21)(cid:10)
(cid:28) :8 Mn(C) (cid:0)! L(cid:18)(cid:20)MHno(mC)(Cn;V)(cid:21)(cid:10)Cn(cid:19) ,
A T x T Ax
<
7(cid:0)! (cid:10) 7(cid:0)! (cid:10)
et on regarde l(cid:146)opØrateur "contra:ction"
Hom (Cn;V) Cn V
T :8 (cid:20)Mn(C) (cid:21)(cid:10) (cid:0)! .
T x Tx
<
(cid:10) 7(cid:0)!
Alors est un opØrateur d(cid:146)entrelacem:ent bijectif entre (cid:28) et (cid:26).
T
DØmonstration.
On a dØj(cid:224) vu que V =V ::: V oø chaque V est stable et la reprØsentation restreinte (cid:224) V Øquivalente (cid:224)
1 r i i
(cid:8) (cid:8)
la reprØsentation standard. A fortiori, tous les V ont mŒme dimension n.
i
Soit Ti :Cn (cid:0)!Vi un opØrateur d(cid:146)entrelacement bijectif entre ’ et (cid:26)jVi, de sorte que
Ti :Cn V
(cid:0)!
sdoaintsdan(sCHno;mVM).nM(Co)n(tCronn;sVq)u.L(cid:146)ilesseTn1;f:o::r;mTernotnutndeesbiamsea.gesensommedirecte,doncsontlinØairementindØpendants
L
d(cid:146)enStorietlaTcem2enHto?m?M??n(?C)d(eCCnn;Vd)a.nSsiV(cid:25)i,id:onVc(cid:0)li!Ø (cid:224)VTii dpØasrigSncehulra:pr(cid:21)ojiectCionteclaqnuoenique, (cid:25)i (cid:14)T est un opØrateur
9 2
(cid:25) T =(cid:21) T .
i i i
(cid:14)
Or r (cid:25) =Id , donc
i=1 i V
r r r
P (cid:21) T = (cid:25) T = (cid:25) T =Id T =T,
i i i i
(cid:14) !(cid:14) V (cid:14)
i=1 i=1 i=1
X X X
et dOonncrTep1r;e::n:;dTmr gaiØnntŁerneannttHomMn(C)(Cn;V).
T : HomMn(CT)(Cnx;V) (cid:10)Cn (cid:0)! TVx .
(cid:26) (cid:2) (cid:10) (cid:3) 7(cid:0)!
Soit T (cid:10)x2 HomMn(C)(Cn;V) (cid:10)Cn et A2Mn(C). D(cid:146)une part on a
(cid:2) [ (cid:28)(A(cid:3))](T x)= ((cid:28)(A)(T x))= (T Ax)=TAx,
T (cid:14) (cid:10) T (cid:10) T (cid:10)
d(cid:146)autre part on a
[(cid:26)(A) ](T x)=(cid:26)(A)Tx=T’(A)x=TAx,
(cid:14)T (cid:10)
d(cid:146)oø
(cid:28)(A)=(cid:26)(A)
T (cid:14) (cid:14)T
pour tout A, ied opØrateur d(cid:146)entrelacement entre (cid:28) et (cid:26).
T
Quid de la surjectivitØ? Soit x V, que l(cid:146)on dØcompose sur les V en
i
2
r r
x=x +:::+x =T ((cid:24) )+:::+T ((cid:24) )= T (cid:24) ?????
1 r 1 1 r r T i(cid:10) i!
i=1 i=1
X X
10