Table Of ContentDIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
Jo L. DOOB oE OHEINZ °F oHIRZEBRUCH
E.HOPF HoHOPf. WoMAAK SoM ACLANE
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WoMAGNUS·FoK.SCHMIDT°KoSTEIN
GESCHAFTSFUHRENDE HERAUSGEBER
B.ECKMANN UND Bo L.VAN DER WAERDEN
ZURICH
BAND 126
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1965
QUASIKONFORME
ABBILDUNGEN
VON
DR. 0. LEHTO
PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT HELSINKI
UND
DR. K. I. VIRTANEN
DOZENT AN DER UNIVERSITÄT HELSINKI
MIT 15 ABBILDUNGEN
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1965
Geschăftsfiihrende Hcrausgeber:
Prof. Dr. B. Eckmann
Eidgenăssische Technische Hochschule Ziirich
Prof. Dr. B. L. van der Waerden
Mathematisches Institut der Universitat Ziirich
AlIe Rechte,
insbesbndere das der Obersetzung in fremde Sprachen,
vorbehalten
Ohne ausdriickliche Genehmigung des Verlagcs
ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus
auf photomeehauiscbem Wege (Photokopie, lIIikrokopie)
oder aui andere Art zu vervielfăltigen
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1965
Ursprunglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1965
ISBN 978-3-662-42595-4 ISBN 978-3-662-42594-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-42594-7
Library of Congress Catalog Card Number 65-13440
Titel-Nr. i '09
Vorwort
Das vorliegende Buch ist auf der Grundlage von Vorlesungen ent
standen, die in einem von den Verfassern geleiteten Seminar in den
Jahren 1958-1960 an der Universität Helsinki gehalten wurden. Nach
Möglichkeit sind auch die wichtigsten während der letzten Jahre er
zielten Fortschritte berücksichtigt worden.
Ohne die Anregung unseres Lehrers Rolf Nevanlinna wäre dieses
Buch wahrscheinlich nie geschrieben worden. Er hat auch das Fort
schreiten unserer Arbeit mit stetem Interesse verfolgt.
Manche unserer Freunde und Kollegen haben uns während der Ar
beit unterstützt. Ganz besonders danken wir F. W. Gehring, Kurt
Strebe!, Kalevi Suominen und Jussi Väisälä, deren zahlreiche Ver
besserungsvorschläge von größter Bedeutung gewesen sind. Verschie
dene nützliche Bemerkungen verdanken wir auch I. S. Louhivaara.
Edgar Reich und Klaus Vala.
Frau Pirkko Paakkanen hat unser schwer leserliches Manuskript ins
Reine geschrieben, und Frau Raija Salovaara hat bei der Zusammen
stellung des Literaturverzeichnisses geholfen. Sie haben uns dadurch
eine große Arbeit abgenommen.
Dankend erwähnen wir die Unterstützung, die uns von der Emil
Aaltonen Stiftung und der Staatlichen Kommission für die Natur
wissenschaften zuteil geworden ist. Überdies ist die Arbeit des einen
Verfassers durch die Hilfsbereitschaft der Universitäten Aarhus,
Minnesota und Stanford gefördert worden.
Unser Dank gebührt auch Herrn Professor Dr. F. K. Schmidt und
dem Springer-Verlag für alle ihre Bemühungen und ihr großzügiges Ein
gehen auf unsere Wünsche.
Helsinki, im November 1964
Olli Lehto K. I. Virtanen
Inhaltsverzeichnis
Seite
Einleitung . .
Geometrische Definition einer quasikonformen Abbildung
Einleitung zum Kapitel I . . . . . . . . . . 4
§ 1. Topalogische Eigenschaften ebener Mengen 5
1.1. Die Ebene - 1.2. Homöomorphismen - 1.3. Trennungssätze
1.4. Orientierung - 1.5. Orientierungserhaltende Homöomorphismen
1.6. Reguläre Punkte einer Abbildung - 1.7. Zusammenhangszahl eines
Gebietes - 1.8. Randverhalten topalogischer Abbildungen - 1.9. Freie
Randbogen
§ 2. Konforme Abbildung ebener Gebiete 13
2.1. Riemannscher Abbildungssatz - 2.2. Randverhalten konformer Ab
bildungen - 2.3. Viereck und seine Abbildung - 2.4. Konformer Modul
eines Vierecks
§ 3. Definition einer quasikonformen Abbildung 16
3.1. Dilatation eines Vierecks unter einem Homöomorphismus - 3.2. Quasi
konforme Abbildung - 3.3. Reguläre quasikonforme Abbildungen -
3.4. Ungleichung von Grötzsch
§ 4. Konformer Modul und extremale Längen 20
4.1. Vorbereitende Bemerkungen zur neuen Charakterisierung des Moduls
- 4.2. Charakterisierung des Moduls ohne konforme Abbildung - 4.3. Mo
dulabschätzung mittels euklidischer Länge und Flächeninhalt - 4.4. Mo
dulabschätzung mittels zweier euklidischer Längen - 4.5. Degenerierte
Vierecke - 4.6. Superadditivität und Monotonie des Moduls - 4.7. Stetig
keit des Moduls - 4.8. Approximation eines Vierecks von innen - 4.9. Ver
allgemeinerter Stetigkeitssatz
s.
§ Zwei grundlegende Eigenschaften quasikonformer Abbildungen 30
5.1. 1-quasikonforme Abbildungen - 5.2. Grenzabbildung einer Folge von
quasikonformen Abbildungen - 5.3. Weitere Folgerungen aus der Stetig
keit des Moduls
§ 6. Modul eines Ringgebietes 32
6.1. Definition des Moduls eines Ringgebietes - 6.2. Direkte Charakteri
sierung des Moduls - 6.3. Analogon der Rengelsehen Ungleichung -
6.4. Eine Modulabschätzung in der sphärischen Metrik - 6.5. Degenerierende
Ringgebiete - 6.6. Superadditivität des Moduls - 6.7. Stetigkeit des
Moduls - 6.8. Beziehungen zwischen den Moduln von Ringen und Vier
ecken
§ 7. Charakterisierung der Quasikonformität mit Hilfe von Ringgebieten 40
7.1. Quasikonforme Abbildung von Ringgebieten - 7.2. Hinreichende
Modulbedingung für Quasikonformität
Inhaltsverzeichnis VII
Seite
§ 8. Erweiterungssätze für quasikonforme Abbildungen . . . . . . . 43
8.1. Isolierte Randpunkte - 8.2. Erweiterung auf freie Randbogen
8.3. Hebbarkeit eines analytischen Bogens - 8.4. Spiegelungsprinzip
§ 9. Lokale Charakterisierung der Quasikonformität 49
9.1. Maximale Dilatation in einem Punkt - 9.2. Lokale und globale Maxi
maldilatation - 9.3. Halbstetigkeit der lokalen Maximaldilatation -
9.4. Dilatationsquotient in einem regulären Punkt - 9.5. Allgemeine
Dilatationsbedingung - 9.6. Lokale Maximaldilatation in einem regu
lären Punkt
II Verzerrungssätze für quasikonforme Abbildungen
Einleitung zum Kapitel II. . . . . . . 54
§ 1. Ringgebiete mit extremalen Moduln 55
1.1. Modulsatz von Grötzsch - 1.2. Extremalgebiet von Teichmüller
1.3. Modulsatz von Teichmüller - 1.4. Modifikation des Teichmüllersehen
Modulsatzes - 1.5. Modulsatz von Mori
§ 2. Der Modul des Extremalgebietes von Grötzsch 61
2.1. Darstellung mit Hilfe elliptischer Integrale - 2.2. Funktionalglei
chungen - 2.3. Asymptotisches Verhalten - 2.4. Sukzessive Approxi
mationen
§ 3. Verzerrung bei einer beschränkten quasikonformen Abbildung eines
Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1. Veränderung der Nullpunktsentfernung - 3.2. Die Verzerrungs
funktion 'Px - 3.3. Verzerrung hyperbolischer Längen im Kreis- 3.4. Ver
zerrung euklidischer Längen bei normierten Abbildungen
§ 4. Stetigkeitsgrad von quasikonformen Abbildungen 71
4.1. Gleichgradige Stetigkeit quasikonformer Abbildungen - 4.2. Hölder
stetigkeit quasikonformer Abbildungen
§ 5. Konvergenzsätze für quasikonforme Abbildungen 74
5.1. Normale Familien - 5.2. Normalitätskriterien für Familien quasi
konformer Abbildungen - 5.3. Klassifikation der Grenzfunktionen einer
K-quasikonformen Abbildungsfolge - 5.4. Quasikonforme Grenzfunktion
einer K-quasikonformen Abbildungsfolge - 5.5. Kern einer Mengenfolge
5.6. Abbildungen eines Gebietes mit mindestens zwei Randpunkten -
5.7. Abbildungen eines Gebietes mit höchstens einem Randpunkt
§ 6. Randwerte einer quasikonformen Abbildung 82
6.1. Aufstellung der Randwertaufgabe - 6.2. Allgemeine Randbedingung
- 6.3. Notwendige Bedingung für die Halbebene - 6.4. Die Verzerrungs
funktion A - 6.5. Lösung der Randwertaufgabe - 6.6. Randwertaufgabe
ftir eine Randkomponente eines mehrfach zusammenhängenden Gebietes
§ 7. Quasisymmetrische Funktionen 91
7 .1. Definition einer quasisymmetrischen Funktion - 7.2. Erweiterung
einer quasisymmetrischen Funktion - 7.3. Hölderstetigkeit einer quasi
symmetrischen Funktion - 7.4. Approximation einer quasisymmetrischen
Funktion - 7.5. Ein funktionentheoretischer Verheftungssatz
§ 8. Quasikonforme Fortsetzung . 99
8.1. Fortsetzung in das Äußere einer kompakten Menge - 8.2. Quasi
konforme Bogen und Kurven - 8.3. Fortsetzung über einen Randbogen
- 8.4. Quasikonforme Spiegelung 8.5. Charakterisierung einer quasi
konformen Kurve durch Modulbedingungen - 8.6. Charakterisierung
einer quasikonformen Kurve mit Hilfe konformer Abbildungen - 8.7. Me
trische Charakterisierung einer quasikonformen Kurve - 8.8. Schwenkung
in der sphärischen Metrik - 8.9. Lokale Charakterisierung einer quasi
konformen Kurve - 8.10. Beispiele von quasikonformen Bogen
VIII Inhaltsverzeichnis
Seite
§ 9. Kreisdilatation 110
9.1. Definition der Kreisdilatation - 9.2. Abschätzung der Kreisdilatation
nach oben - 9.3. Abschätzung der Kreisdilatation nach unten - 9.4. Su
premum der Kreisdilatation
III Hilfssätze aus der reellen Analysis
Einleitung zum Kapitel III 113
§ 1 . Maß und Integral 114
1.1. Äußeres Maß - 1.2. Meßbare Mengen 1.3. Meßbare Funktionen -
1.4. Integrierbare Funktionen - 1.5. Lebesguesche Integrale - 1.6. Dichte
punkt einer Menge - 1.7. Hausdarfisches Maß - 1.8. Längenmaß
§ 2. Absolute Stetigkeit 122
2.1. Absolut stetige additive Mengenfunktionen - 2.2. Absolut stetige
Homöomorphismen - 2.3. Derivierte einer additiven Mengenfunktion -
2.4. Derivierte der einem Homöomorphismus zugeordneten Mengen·
funktion - 2.5. Variabelntransformation oei Linien-und Flächenintegralen
- 2.6. Rektifizierbare Bogen- 2.7. Funktionen von beschränkter Variation
auf einem Intervall - 2.8. Absolut stetige Funktionen auf einem Intervall
- 2.9. Beispiel einer singulären Funktion - 2.10. Variation und abso
lute Stetigkeit auf einem Jordanbogen - 2.11. Integral über einen orien
tierten Bogen
§ 3. Differenzierbarkeit von Abbildungen ebener Gebiete . . . . . . . 132
3.1. Existenz der partiellen Ableitungen - 3.2. Differenzierbarkeil eines
Homöomorphismus - 3.3. Flächenderivierte und Funktionaldeterminante
eines Homöomorphismus - 3.4. Integration der Funktionaldeterminante
§ 4. Modul einer Familie von Bogen oder Kurven 138
4.1. Verallgemeinerung des Modulbegriffs - 4.2. Eigenschaften des verall
gemeinerten Moduls - 4.3. Familien vom Modul Null - 4.4. Ein koordi
natenfreier Konvergenzsatz
§ 5. Approximation meßbarer Funktionen 142
5.1. Vorbereitende Bemerkungen - 5.2. Punktweise Approximation mit Hilfe
stetiger Funktionen-5.3. Spezielle Approximationsfolgen-5.4. Regularisie
rung integrierbarer Funktionen - 5.5. Ein Hilfsresultat über die Konvergenz
in der LP-Metrik - 5.6. Approximation in der V-Metrik - 5.7. V-Ap-
Co-
proximation durch Funktionen - 5.8. Punktweise Konvergenz einer
LP-Approximation
§ 6. Funktionen mit verallgemeinerten LP-Ableitungen . . . . . . . . 150
6.1. Definition einer Funktion mit LP-Ableitungen - 6.2. Integraltrans
formation für Funktionen mit V-Ableitungen - 6.3. Approximation von
Funktionen mit V-Ableitungen - 6.4. Approximation in der endlichen
Ebene - 6.5. Verallgemeinerte Greensehe Formel - 6.6. Absolute
Stetigkeit von Homöomorphismen mit V-Ableitungen - 6.7. Zusammen·
setzung von Funktionen mit V-Ableitungen - 6.8. Absolute Stetigkeit
auf beliebigen Bogen
§ 7. Hilbert-Transformation 162
7.1. Verallgemeinerung der Cauchyschen Inte~alformel - 7.2. Definition
der Hilbert-Transformation - 7.3. Differentiation der Hilbert-Transfor-
Co -
mierten- 7.4. L'-Norm der Hilbert-Transformierten in der Klasse
7.5. Vollständigkeit der LP-Räume - 7.6. Erweiterung der Hilbert-Trans
formation auf L' - 7.7. Anwendung auf Funktionen mit L'-Ableitungen
IV Analytische Charakterisierung einer quasikonformen Abbildung
Einleitung zum Kapitel IV . 169
§ 1. Analytische Eigenschaften einer quasikonformen Abbildung 170
1.1. Absolute Stetigkeit auf Geraden - 1.2. Differenzierbarkeil und lokale
Dilatationsbedingung - 1.3. Verallgemeinerte L'-Ableitungen einer quasi
konformen Abbildung- 1.4. Absolute Stetigkeit in bezugauf das Flächen
maß - 1.5. Reguläre Punkte einer quasikonformen Abbildung
Inhaltsverzeichnis IX
Seite
§ 2. Analytische Definition der Quasikonformität. . . . . . . . . . . 17 5
2.1. Aufstellung des Umkehrproblems- 2.2. Ein Gegenbeispiel- 2.3. Ana
lytische Definition - 2.4. Frühere Formen der analytischen Definition
§ 3. Varianten der geometrischen Definition 178
3.1. Quasikonformität und Modulbedingungen - 3.2. Absolute Stetigkeit
auf Bogen - 3.3. Allgemeine Modulbedingung - 3.4. Konforme Invarianz
des Moduls - 3.5. Charakterisierung der Quasikonformität mit Hilfe der
Rechtecke - 3.6. Modulbedingung für achsenparallele Rechtecke -
3.7. Weitere spezielle Modulbedingungen
§ 4. Charakterisierung der Quasikonformität mit Hilfe der Kreisdilatation 186
4.1. Notwendige Bedingungen für die Kreisdilatation- 4.2. Hinreichende
Bedingungen für die Kreisdilatation
§ S. Komplexe Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1. Definition der komplexen Dilatation - 5.2. Transformationsformeln
für die komplexe Dilatation - 5.3. Beltramische Differentlaigleichung -
5.4. Gute Approximation einer quasikonformen Abbildung - 5.5. Schwache
Konvergenz der Ableitungen - 5.6. Ein Kriterium für gute Approximation
V Quasikonforme Abbildungen mit vorgeschriebener komplexer Dilatation
Einleitung zum Kapitel V 199
§ 1. Existenzsatz. . . . . 200
1.1. Aufstellung des Existenzproblems - 1.2. Lösung eines Verheftungs
problems - 1.1. Beweis des Existenzsatzes - 1.4. Andere Beweisanord
nungen zum Existenzsatz
§ 2. Lokale Dilatationsmaße 205
2.1. Zusammenhang zwischen D, F und H - 2.2. Existenzsatz für die
lokale Maximaldilatation - 2.3. Beispiel, wo F(z) fast überall größer als
D(z) ist
§ 3. Hebbare Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.1. Drei Hebbarkeitsprobleme - 3.2. Unabhängigkeit der Hebbarkeit von
der Maximaldilatation - 3.3. Hebbarkeit einer Menge in bezug auf die
Klasse 'lfl1 - 3.4. Hebbarkeit einer Menge in bezug auf die Klasse 'lfJ, -
3.5. Hebbarkeit einer Menge in bezug auf die Klasse 'lfl,- 3.6. Ein funk
tionentheoretisches Hebbarkeitsproblem- 3.7. Beispiele von hebbaren und
nicht-hebbaren Mengen
§ 4. Approximation einer quasikonformen Abbildung . . . . . . . . . 217
4.1. Approximation durch Abbildungen mit vorgegebener komplexer
Dilatation - 4.2. Abbildungen, deren komplexe Dilatation ein Polynom
ist - 4.3. Quasikonforme Abbildung als Limes von regulären Abbildungen
§ 5. Anwendung der Hilbert-Transformation auf quasikonforme Abbil-
dungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.1. Zurückführung der Beltramischen Gleichung auf eine Integralglei
chung - 5.2. Lösung der Integralgleichung - 5.3. LP-lntegrierbarkeit
der Lösung der Integralgleichung - 5.4. Integrierbarkeit der Ableitungen
einer quasikonformen Abbildung - 5.5. Flächenmaß der Punktmengen
unter quasikonformen Abbildungen - 5.6. LP-Konvergenz der Ableitungen
5.7. Darstellung einer Abbildung mit vorgeschriebener komplexer Dila
tation
§ 6. Konformität im Punkt 230
6.1. Aufstellung des Problems- 6.2. Beispiele- 6.3. Modulabschätzungen
mit Hilfe der .\Vlittelwerte von D - 6.4. Konvergenz des absoluten Be
trages - 6.5. Ubergang zu der logarithmischen Ebene - 6.6. Konvergenz
des Arguments - 6.7. Zusammenfassung der Resultate
X Inhaltsverzeichnis
Seite
§ 7. Regularität einer Abbildung mit vorgegebener komplexer Dilatation 244
7.1. Komplexe Dilatation und reguläre Punkte - 7.2. Stetige Differen·
zierbarkeit - 7.3. Genauigkeit der Bedingungen
VI Quasikonforme Funktionen
Einleitung zum Kapitel VI 250
§ 1. Geometrische Charakterisierung einer quasikonformen Funktion 251
1.1. Quasikonformität und Modulbedingungen - 1.2. Innere Abbildungen
- 1.3. Ein Hilfssatz über offene Abbildungen - 1.4. Ein Hilfssatz über
leichte Abbildungen - 1.5. Ein Hilfssatz über innere .. Abbildungen -
1.6. Lokales Verhalten von inneren Abbildungen - 1.7. Aquivalente Fas
sungen der geometrischen Charakterisierung
§ 2. Analytische Charakterisierung einer quasikonformen Funktion . . 257
2.1. V-Lösungen der Cauchy-Riemannschen Gleichung- 2.2. LP-Lösungen
Beltramischer Gleichungen - 2.3. Äquivalente Fassungen der analytischen
Charakterisierung
Literaturverzeichnis . . . . 261
Namen- und Sachverzeichnis 264
