Table Of ContentOPERÁCIÓKUTATÁS PÉLDATÁR
Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához
sorozat
Algoritmuselmélet
Algoritmusok bonyolultsága
Analitikus módszerek a pénzügyekben
Bevezetés az analízisbe
Differential Geometry
Diszkrét optimalizálás
Diszkrét matematikai feladatok
Geometria
Igazságos elosztások
Interaktív analízis feladatgyűjtemény matematika BSc hallgatók számára
Introductory Course in Analysis
Matematikai pénzügy
Mathematical Analysis-Exercises 1-2
Mértékelmélet és dinamikus programozás
Numerikus funkcionálanalízis
Operációkutatás
Operációkutatási példatár
Optimális irányítások
Parciális differenciálegyenletek
Példatár az analízishez
Szimmetrikus kombinatorikai struktúrák
Többváltozós adatelemzés
MTA-ELTE
Egerváry Kutatócsoport
OPERÁCIÓKUTATÁS
PÉLDATÁR
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Typotex
2013
(cid:13)c 2013–2018, MTA-ELTE Egerváry Kutatócsoport,
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar
Szerkesztő: Bérczi Kristóf, Frank András, Kaszanitzky Viktória,
Király Csaba, Király Tamás, Kovács Erika Renáta, Pap Gyula, Pap Júlia
Lektorálta: Tóth Ágnes
Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)
A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon
másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.
ISBN 978 963 279 233 0
Készült a Typotex Kiadó (http://www.typotex.hu) gondozásában
Felelős vezető: Votisky Zsuzsa
Műszaki szerkesztő: Könyv Művek Bt.
Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 számú,
„Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához” című projekt
keretében.
KULCSSZAVAK:Operációkutatás,lineárisprogramozás,algoritmus,folyam,
áram, párosítás, legrövidebb utak, potenciál, Farkas-lemma, dualitás tétel,
TU mátrix, konvex optimalizálás.
ÖSSZEFOGLALÁS:AzOperációkutatásipéldatárazOperációkutatásjegy-
zet témáihoz kapcsolódó feladatok rendszerezett gyűjteménye. A feladatok
legtöbbjéhez segítség vagy megoldás is tartozik, a feladatok közti kapcsola-
tok megértését pedig tárgymutató és hiperhivatkozások segítik. A példatár
célja kettős: egyrészt elősegíti a diákok számára a tananyag elsajátítását,
másrészt kitér olyan, a tananyagon túlmutató kérdésekre is, amik a legjobb
diákok érdeklődését hivatottak felkelteni. A példatár a következő témakö-
rökből tartalmaz feladatokat: Bevezető kombinatorikai feladatok, Optimális
utak, Párosítások, Áramok és folyamok, Lineáris algebra és poliéderek, Line-
áris programozás és alkalmazásai, Teljesen unimoduláris mátrixok és alkal-
mazásaik, Egészértékű programozás, Konvex programozás.
Tartalomjegyzék
Bevezető . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I. Feladatok 5
1. Bevezető feladatok 7
1.1. Skatulya-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Alapozó feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Fák, fenyők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Vágások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Séták, Utak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Euler-gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7. Párosítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8. Irányított gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9. Mohó algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10.Áramok, tenziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Optimális utak 25
2.1. Nemnegatív költségek,
Dijkstra algoritmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Legrövidebb utak konzervatív súlyozásra
nézve, potenciálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Megengedett potenciál létezése,
konzervatív súlyozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2. A Bellman-Ford algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3. Pontos élek és alkalmazásaik, Duffin-tétel . . . . . . . 31
2.3. Leghosszabb utak,
részben rendezett halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Párosítások 35
3.1. Súlyozatlan gráfok párosításai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
3.1.1. Páros gráfok párosításai . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Súlyozott párosítások. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Áramok, folyamok 45
4.1. Alapozó feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2. Maximális folyam algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3. Minimális költségű áramok, folyamok . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4. Alkalmazások és rokon feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.1. Rokon feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.2. Gráfelméleti alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.3. Modellezési feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5. Szintező algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5. Lineáris algebra és poliéderek 57
5.1. Lineáris algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2. Konvexitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3. Poliéderek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4. Bázismegoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5. Fourier-Motzkin elimináció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6. Oldalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. Lineáris programozás 89
6.1. A Farkas-lemma alakjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2. Lineáris programok, szimplex módszer . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.1. Bázistranszformációk, bázistáblák . . . . . . . . . . . 91
6.2.2. Végesség, elméleti kérdések . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3. Dualitás-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4. Szigorú egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5. Algoritmikus visszavezetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6. Duál szimplex módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7. Teljesen unimoduláris mátrixok 105
8. Lineáris programozás és TU-ság alkalmazásai 111
8.1. Geometriai feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2. Modellezés LP feladattal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3. Gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4. Áramok, folyamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.5. Egyéb kombinatorikai alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . 119
8.6. Hálózati szimplex módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9. Egészértékű programozás 123
9.1. IP felírás és vágások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
ii
9.2. Dinamikus programozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3. Közelítő algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4. Lagrange-relaxáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.Konvex programozás 131
10.1.Konvex halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.2.Konvex függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.3.Feltételes optimalizálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
II. Megoldások 139
1. Bevezető feladatok 141
1.1. Skatulya-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1.2. Alapozó feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.3. Fák, fenyők . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.4. Vágások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.5. Séták, Utak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.6. Euler-gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.7. Párosítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1.8. Irányított gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.9. Mohó algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.10.Áramok, tenziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2. Optimális utak 151
2.1. Nemnegatív költségek,
Dijkstra algoritmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.2. Legrövidebb utak konzervatív súlyozásra
nézve, potenciálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.2.1. Megengedett potenciál létezése,
konzervatív súlyozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.2.2. A Bellman-Ford algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.2.3. Pontos élek és alkalmazásaik, Duffin-tétel . . . . . . . 155
2.3. Leghosszabb utak,
részben rendezett halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3. Párosítások 157
3.1. Súlyozatlan gráfok párosításai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.1.1. Páros gráfok párosításai . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2. Súlyozott párosítások. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4. Áramok, folyamok 167
4.1. Alapozó feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
iii
4.2. Maximális folyam algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.3. Minimális költségű áramok, folyamok . . . . . . . . . . . . . . 171
4.4. Alkalmazások és rokon feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4.1. Rokon feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4.2. Gráfelméleti alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.4.3. Modellezési feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.5. Szintező algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5. Lineáris algebra és poliéderek 175
5.1. Lineáris algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2. Konvexitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3. Poliéderek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.4. Bázismegoldások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5. Fourier-Motzkin elimináció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.6. Oldalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6. Lineáris programozás 191
6.1. A Farkas-lemma alakjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.2. Lineáris programok, szimplex módszer . . . . . . . . . . . . . 193
6.2.1. Bázistranszformációk, bázistáblák . . . . . . . . . . . 193
6.2.2. Végesség, elméleti kérdések . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.3. Dualitás-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.4. Szigorú egyenlőtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.5. Algoritmikus visszavezetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.6. Duál szimplex módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7. Teljesen unimoduláris mátrixok 197
8. Lineáris programozás és TU-ság alkalmazásai 201
8.1. Geometriai feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2. Modellezés LP feladattal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.3. Gráfok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4. Áramok, folyamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.5. Egyéb kombinatorikai alkalmazások . . . . . . . . . . . . . . 205
8.6. Hálózati szimplex módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9. Egészértékű programozás 207
9.1. IP felírás és vágások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2. Dinamikus programozás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.3. Közelítő algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.4. Lagrange-relaxáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.Konvex programozás 213
iv
10.1.Konvex halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.2.Konvex függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.3.Feltételes optimalizálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Tárgymutató 217
v
Description:áram, párosítás, legrövidebb utak, potenciál, Farkas-lemma, dualitás tétel, b) D megkapható a D-ből kiindulva aktuális egyirányú körök egymás.
