Mohamed Amin Ben Sassi

155 Pages·2017·2.49 MB·French

Analyse et contrôle des systèmes dynamiques
polynomiaux
Mohamed Amin Ben Sassi
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Mohamed Amin Ben Sassi. Analyse et contrôle des systèmes dynamiques polynomiaux. Optimisation
et contrôle [math.OC]. Université de Grenoble, 2013. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00954419v1￿
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THÈSE
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE
Spécialité : Mathématiques Appliquées
Arrétéministérial:
Présentéepar
Mohamed Amin Ben Sassi
Thèse dirigée par Guillaume James
et codirigée par Antoine Girard
préparée au sein du Laboratoire Jean Kuntzmann
et de l’Ecole Doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de
l’Information, Informatique
Analyse et contrôle des systèmes
dynamiques polynomiaux
Thèse soutenue publiquement le 15 Avril 2013 ,
devant le jury composé de :
M, Jean-Luc Gouze
DRINRIA,SophiaAntipolis,Rapporteur
M, Didier Henrion
DRCNRS,UniversitédeToulouse,Rapporteur
M, Anatoli Iouditski
PR,UniversitédeGrenoble,Examinateur
M, Nacim Ramdani
PR,Universitéd’Orléans,Examinateur
M, Jean-Pierre Raymond
PR,UniversitédeToulouse,Examinateur
M, Guillaume James
PR,UniversitédeGrenoble,Directeurdethèse
M, Antoine Girard
MdC,UniversitédeGrenoble,Co-Directeurdethèse
Table des mati`eres
1 Introduction 8
1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Etat de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Plan et contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Probl`eme d’optimisation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Analyse et controˆle des syst`emes dynamiques polynomiaux . . 16
1.3.4 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.5 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I Pr´eliminaires 23
2 G´en´eralit´es sur les polynˆomes 24
2.1 Polynoˆmes multi-vari´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Repr´esentation des polynˆomes positifs . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Cas particulier important : les fonctions multi-affines . . . . . 27
2.2 Le principe de floraison ou forme polaire d’un polynoˆme . . . . . . . 28
3 Polynoˆmes de Bernstein 31
3.1 Polynoˆmes de Bernstein : d´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Quelques applications des polynoˆmes de Bernstein . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Image d’une boˆıte par un polynoˆme . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Convergence en degr´e sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Relation entre les polynoˆmes de Bernstein et le principe de floraison . 39
3.3.1 Relation d’´equivalence associ´ee a` une forme polaire . . . . . . 40
3.3.2 Relation entre forme de Bernstein et forme polaire . . . . . . . 40
II Optimisation polynomiale 43
4 Probl`eme d’optimisation polynomial 44
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 M´ethodes de r´esolution alg´ebriques du POP . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 R´eduction en une r´esolution d’un syst`eme d’´equations poly-
nomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 M´ethodes de r´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1
`
TABLE DES MATIERES 2
4.3 M´ethodes de relaxation du POP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Relaxation LP : technique de reformulation et lin´earisation . . 49
4.3.2 Relaxation SDP : m´ethode de Lasserre . . . . . . . . . . . . . 55
5 Relaxations lin´eaires 59
5.1 Relaxation d’un POP en utilisant la forme polaire . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 Cas ou` l’ensemble des contraintes K est un polytope . . . . . . 60
5.1.2 Cas ou` l’ensemble K est semi-alg´ebrique . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Relaxation d’un POP en utilisant la forme de Bernstein . . . . . . . . 65
5.2.1 Cas g´en´eral : K est semi-alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.2 Cas particulier : K est un polytope . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Exemples et comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Am´elioration de la pr´ecision de nos relaxations . . . . . . . . . . . . . 72
5.4.1 Algorithmes de“branch-and-bound”utilisant Bernstein . . . . 72
5.4.2 El´evation du degr´e et r´esultat de convergence . . . . . . . . . 74
5.5 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.1 Preuve de la Proposition 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.2 Preuve du Th´eor`eme 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.3 Preuve du Th´eor`eme 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
III Applications dans le cadre des syst`emes dynamiques
polynomiaux 82
6 Analyse d’atteignabilit´e 83
6.1 Algorithmed’atteignabilit´epourdessyst`emesdynamiquespolynomiaux 84
6.1.1 Mod`eles poly´edraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.2 Formulation bas´ee sur l’optimisation polynomiale . . . . . . . 85
6.1.3 Algorithme d’atteignabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Quelques compl´ements utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1 Choix des mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.2 Calcul des coefficients de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.3 Complexit´e et comparaison avec d’autres m´ethodes . . . . . . 90
6.3 Experimentation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.1 Mod`ele neuronal de FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 Mod`ele de croissance du Phytoplancton . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.3 Mod`ele proie-pr´edateur de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . 94
7 V´erification et calcul d’invariants 97
7.1 Invariance et analyse de sensibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1.1 Probl`emes d’invariance et formulation en POP . . . . . . . . . 98
7.1.2 Relaxation lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1.3 Analyse de sensibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 V´erification et calcul d’invariant pour les syst`emes dynamiques poly-
nomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2.1 V´erification d’invariants poly´edraux . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2.2 Calcul d’invariants poly´edraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
`
TABLE DES MATIERES 3
7.2.3 Autres approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3.1 Mod`ele de Moore-Greitzer d’un moteur `a r´eaction . . . . . . . 104
7.3.2 Mod`ele neuronal de FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . 105
7.3.3 Mod`ele de croissance du phytoplancton . . . . . . . . . . . . . 106
8 Synth`ese de contrˆoleur pour l’invariance 108
8.1 Formulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Synth`ese d’un contrˆoleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Synth`ese conjointe du controˆleur et de l’invariant . . . . . . . . . . . 113
8.3.1 Analyse de sensibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3.2 Approche it´erative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.3.3 Complexit´e de l’approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4.1 Mod`ele de Moore-Greitzer d’un moteur `a r´eaction . . . . . . . 116
8.4.2 Le mod`ele uni-cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4.3 Mouvement de corps rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9 Analyse et contrˆole dans des rectangles 119
9.1 Abstractions multi-affines pour des syst`emes polynomiaux . . . . . . 119
9.2 Analyse des syst`emes polynomiaux dans des rectangles . . . . . . . . 122
9.2.1 Formulation des probl`emes et r´esultats pr´eliminaires . . . . . 122
9.2.2 Cas d’un champ de vecteurs multi-affine . . . . . . . . . . . . 123
9.2.3 Cas d’un champ de vecteurs polynomial . . . . . . . . . . . . 127
9.2.4 R´eduction de la complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Synth`ese d’un contrˆoleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3.1 Probl`eme 2 : Invariance du rectangle . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3.2 Probl`eme 3 : Sortie `a travers une face donn´ee du rectangle . . 136
9.4 Application : Planification des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . 137
`
TABLE DES MATIERES 4
R´esum´e :
Cette th`ese pr´esente une ´etude des syst`emes dynamiques polynomiaux motiv´ee a`
la fois par le grand spectre d’applications de cette classe (mod`eles de r´eactions
chimiques, mod`eles de circuits ´electriques ainsi que les mod`eles biologiques) et par
la difficult´e (voire incapacit´e) de la r´esolution th´eorique de tels syst`emes.
Dans une premi`ere partie pr´eliminaire, nous pr´esentons les polynoˆmes multi-
vari´es et nous introduisons les notions de forme polaire d’un polynoˆme (floraison) et
de polynˆomes de Bernstein qui seront d’un grand int´erˆet par la suite.
Dans une deuxi`eme partie, nous consid´erons le probl`eme d’optimisation polyno-
mial dit POP. Nous d´ecrivons dans un premier temps les principales m´ethodes exis-
tantes permettant de r´esoudre ou d’approcher la solution d’un tel probl`eme. Puis,
nous pr´esentons deux relaxations lin´eaires se basant respectivement sur le principe
de floraison ainsi que les polynoˆmes de Bernstein permettant d’approcher la valeur
optimale du POP.
La derni`ere partie de la th`ese sera consacr´e aux applications de nos deux m´e-
thodes de relaxation dans le cadre des syst`emes dynamiques polynomiaux. Une pre-
mi`ere application s’inscrit dans le cadre de l’analyse d’atteignabilit´e : en effet, on
utilisera notre relaxation de Bernstein pour pouvoir construire un algorithme per-
mettant d’approximer les ensembles atteignables d’un syst`eme dynamique polyno-
mial discr´etis´e. Une deuxi`eme application sera la v´erification et le calcul d’invariants
pour un syst`eme dynamique polynomial. Une troisi`eme application consiste `a cal-
culer un contrˆoleur et un invariant pour un syst`eme dynamique polynomial soumis
a` des perturbations. Dans le contexte de l’invariance, on utilisera la relaxation se
basant sur le principe de floraison. Enfin, une derni`ere application sera d’exploiter
les principales propri´et´es de la forme polaire pour pouvoir ´etudier des syst`emes dy-
namiques polynomiaux dans des rectangles.
Abstract :
This thesis presents a study of polynomial dynamical systems motivated by both the
wide spectrum of applications of this class (chemical reaction models, electrical mo-
dels and biological models) and the difficulty (or inability) of theoretical resolution
of such systems.
In a first preliminary part, we present multivariate polynomials and we introduce
the notion of polar form of a polynomial (blossoming) and Bernstein polynomials
which will be of great interest thereafter.
In a second part, we consider the polynomial optimization problem said POP.
We first describe existing methods allowing us to solve or approximate the solution
5
`
TABLE DES MATIERES 6
of such problems. Then, we present two linear relaxations based respectively on the
blossoming principle and the Bernstein polynomials allowing us to approximate the
optimal value of the POP.
The last part of the thesis is devoted to applications of the two relaxation me-
thods in the context of polynomial dynamical systems. A first application is in the
context of reachability analysis. In fact, we use our Bernstein relaxation in order to
build an algorithm allowing us to approximate the reachable sets of a discretized
polynomial dynamical system. A second application deals with the verification and
the computation of invariants for polynomial dynamical systems. A third applica-
tion consists in calculating a controller and an invariant for a polynomial dynamical
system subject to disturbances. For the invariance problem, we use the relaxation
based on the blossoming principle. Finally, the last application consists in exploi-
ting the main properties of the polar form in order to study polynomial dynamical
systems in rectangles.
`
TABLE DES MATIERES 7
Chapitre 1
Introduction
1.1 Motivations
Dans cette th`ese, nous allons nous int´eresser a` l’´etude de syst`emes dynamiques
polynomiaux, c’est `a dire des ´equations diff´erentielles dont le champ de vecteurs est
donn´e par des polynˆomes. Les motivations de cette ´etude sont diverses.
D’abord, ce type de syst`emes intervient dans de nombreuses applications comme
une vari´et´e de mod`eles de r´eactions chimiques [76, 117], des mod`eles de circuits
´electriques non lin´eaires [67, 190], les mod`eles proies-pr´edateurs [112, 185] ainsi que
plusieurs mod`eles provenant de la biologie [58].
Ensuite,contrairementauxsyst`emeslin´eaires,lessyst`emespolynomiauxpeuvent
produire une repr´esentation significative de dynamiques compliqu´ees comme les
mouvements chaotiques.
Enfin, la plus grande motivation de cette ´etude est le fait que la r´esolution ana-
lytique des syst`emes dynamiques polynomiaux est dans la plupart des cas trop com-
pliqu´ee voire impossible. En effet, pour comprendre les dynamiques de ces syst`emes,
on utilise souvent des simulations num´eriques qui nous permettent juste d’approcher
les trajectoires. Comme chaque simulation correspond `a une trajectoire (pour une
condition initiale fix´ee) il nous faut `a priori un grand nombre de simulations voire
une infinit´e pour bien pouvoir ´etudier ces syst`emes.
Cependant, on peut ´eviter de simuler toutes les trajectoires du syst`eme en l’´etu-
diant d’une mani`ere qualitative pour en d´egager les principales propri´et´es (stabilit´e,
p´eriodicit´e,..). On peut aussi s’int´eresser `a l’´etude des propri´et´es d’atteignabilit´e
et d’invariance qui repr´esentent des outils importants surtout dans le domaine de
v´erification des syst`emes dynamiques. En effet, dans ce cadre on n’a pas besoin
d’´etudier le comportement asymptotique d’un mod`ele (un syst`eme dynamique) mais
plutˆot de v´erifier que ce mod`ele est bien appropri´e pour certaines propri´et´es. Par
exemple, une des propri´et´es int´eressantes `a v´erifier est la propri´et´e de suˆret´e. Cette
propri´et´e consiste a` v´erifier que toutes les trajectoires du syst`eme n’entreront jamais
dans un ensemble donn´e dit ensemble d’´etats interdits. Pour v´erifier une telle pro-
pri´et´e, connaˆıtre l’ensemble atteignable du syst`eme (ensemble que les trajectoires
du syst`eme peuvent atteindre `a partir d’un ensemble d’´etats initiaux donn´e) ou une
sur-approximation de cet ensemble sera utile : c’est le contexte de l’analyse d’attei-
gnabilit´e. D’autre part, connaˆıtre une r´egion invariante (r´egion dans laquelle si une
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