Mesure de Mahler d'hypersurfaces K3

0.21 MB·

by  Marie José Bertin

MESURE DE MAHLER D’HYPERSURFACES K3
5
0 MARIEJOSE´ BERTIN
0
2

n R´esum´eNousexprimons,`al’aidedes´eriesd’Eisenstein-Kronecker,lamesurede
a
Mahlerde deux familles de polynˆomesd´efinissantdes hypersurfacesK3de nombre
J
de Picard g´en´erique 19. Pour certaines de ces surfaces K3 singuli`eres (i.e. de
1
1 nombre de Picard 20), nous donnons cette mesure en termes de s´erie L de Hecke
de poids 3 pour certains Gro¨ssencharacter.

]
T
N 1. Introduction
h. La mesure de Mahler logarithmique m(P) d’un polynˆome de Laurent P
∈
at C[X1±,...,X1±]est d´efinie par
m
1 dx dx
1 n
[ m(P)= (2πi)n log|P(x±1,...,x±n)| x ... x
ZTn 1 n
1
ou` Tn d´esigne le tore (x ,...,x ) Cn/x = ... = x = 1 . Sa mesure de
v 1 n 1 n
{ ∈ | | | | }
3 Mahler M(P) vaut alors M(P) = exp(m(P)). Si P est un polynˆome unitaire de
5 Z[X], on obtient grˆace `a la formule de Jensen
1
1 M(P)= max(α,1),
0 | |
P(α)=0
5 Y
0 quantit´eli´ee au probl`emede Lehmer (1933)sur l’existence d’un polynˆome unitaire
/
h de Z[X], non cyclotomique, de mesure de Mahler inf´erieure `a 1,1762...
t Cependant, grˆace `a un r´esultat de Boyd [3][4], la connaissance de nombreuses
a
m valeurs M(P) pour P Z[X1,...,Xn] pourrait´eclairer le probl`eme pr´ec´edent.
∈
Depuis quelques ann´ees, on s’int´eresse en outre `a l’obtention de formules ex-
:
v plicites pour m(P) [6][9][10]. Ces formules sont li´ees `a la nature g´eom´etrique de
i la vari´et´e alg´ebrique d´efinie par P. Par exemple, si P repr´esente un mod`ele affine
X
d’une courbe elliptique E dont les polynˆomes attach´es aux faces du polygone de
r
a Newton n’ont pour racines que des racines de l’unit´e et si P(x,y) = 0 pour tout
6
(x,y) T2, alors π2m(P) est conjectur´e ˆetre un multiple rationnel de la s´erie
∈
L(E,2) associ´ee `a la courbe elliptique E. Cette conjecture, d´ecoulant des conjec-
tures de Beilinson [1], a´et´eprouv´eepar Rodriguez-Villegasdans certains cas ou` E
poss`ededelamultiplicationcomplexe[9][10]. Ellea´et´ev´erifi´eenum´eriquementpar
Boyd [5] pour de nombreuses familles de courbes elliptiques. En outre Rodriguez-
Villegas a exprim´e, pour certaines familles modulaires de courbes elliptiques, la
mesure de Mahler logarithmique des polynˆomes associ´es comme la partie r´eelle de
certaines s´eries d’Eisenstein-Kronecker[9][10].
Date:February1,2008.
Keywords andphrases. MesuredeMahlermodulaire,S´eriesd’Eisenstein-Kronecker,Surfaces
K3.
1
2 MARIEJOSE´ BERTIN
Nous nous proposons ici de g´en´eraliser ce r´esultat au cas de certaines familles
de surfaces K3 ayant un nombre de Picard g´en´erique ´egal `a 19 . Nous ´etudierons
essentiellement deux familles, la premi`ere associ´ee aux polynˆomes
1 1 1
P =X+ +Y + +Z+ k
k
X Y Z −
et la seconde li´ee aux polynˆomes
Q =X + 1 +Y + 1 +Z+ 1
k X Y Z
1 1 1
+XY + +ZY + +XYZ + k.
XY ZY XYZ −
Nous montrerons les r´esultats suivants.
Th´eor`eme 1.1. 1) Posons k =t+ 1 et d´efinissons
t
η(τ)η(6τ)
t=( )6 =q1/2 6q3/2+15q5/2 20q7/2+...
η(2τ)η(3τ) − −
ou` η d´esigne la fonction de Dedekind
η(τ)=eπ1i2τ (1 e2πinτ).
−
n 1
Y≥
Alors
4qn 16q2n 36q3n 144q6n
m(P )= πiτ + ( d3)( + ) .
k
ℜ{− n − 2n 3n − 6n }
nX≥1 Xd|n
2) Posons k = (t+ 1) 2 et d´efinissons
− t −
η(3τ)4η(12τ)8η(2τ)12
t= .
η(τ)4η(4τ)8η(6τ)12
Alors
2qn 32q2n 18q3n 288q6n
m(Q )= 2πiτ + ( d3)(− + + ) .
k
ℜ{− n 2n 3n − 6n }
nX≥1 Xd|n
Th´eor`eme 1.2. Avec les notations du th´eor`eme 1.1, on a l’expression suivante de
la mesure
1)
τ ′ 1 1
m(P )=ℑ ( 4(2 + )
k 8π3{ − ℜ(mτ +κ)3(mτ¯+κ) (mτ +κ)2(mτ¯+κ)2
m,κ
X
1 1
+16(2 + )
ℜ(2mτ +κ)3(2mτ¯+κ) (2mτ +κ)2(2mτ¯+κ)2
1 1
36(2 + )
− ℜ(3mτ +κ)3(3mτ¯+κ) (3mτ +κ)2(3mτ¯+κ)2
1 1
+144(2 + ))
ℜ(6mτ +κ)3(6mτ¯+κ) (6mτ +κ)2(6mτ¯+κ)2 }
2)
MESURE DE MAHLER D’HYPERSURFACES K3 3
τ ′ 1 1
m(Q )=ℑ (2(2 + )
k 8π3{ ℜ(mτ +κ)3(mτ¯+κ) (mτ +κ)2(mτ¯+κ)2
m,κ
X
1 1
32(2 + )
− ℜ(2mτ +κ)3(2mτ¯+κ) (2mτ +κ)2(2mτ¯+κ)2
1 1
18(2 + )
− ℜ(3mτ +κ)3(3mτ¯+κ) (3mτ +κ)2(3mτ¯+κ)2
1 1
+288(2 + ))
ℜ(6mτ +κ)3(6mτ¯+κ) (6mτ +κ)2(6mτ¯+κ)2 }
Nous terminerons par quelques applications arithm´etiques.
En particulier, pour certains polynˆomes de ces familles d´efinissant des surfaces
K3 singuli`eres (i.e. de nombre de Picard 20), nous exprimerons leur mesure de
Mahler comme des s´eries L de Hecke pour un Gro¨ssencharacter de poids 3.
2. Quelques rappels sur les surfaces K3
Nous allons donner quelques r´esultats permettant de comprendre les m´ethodes
utilis´ees. Le lecteur int´eress´epar plus de d´etails pourra par exemple consulter [14]
[15].
Une surface K3 d´efinie sur C est une surface X P3 v´erifiant
⊂
H1(X, )=0
X
O
et
K =0
X
(i. e. dont le faisceau canonique est trivial).
Une surface K3 est dite alg´ebrique si elle admet un fibr´e en droites ample,
d´efinissant un plongement projectif de X dans un espace projectif. Le caract`ere
alg´ebriqueest caract´eris´epar le fait que le degr´e de transcendance de son corps de
fonctions C(X) vaut 2. Par exemple, un revˆetement double ramifi´e le long d’une
sextique plane est une surface K3. C’est ainsi le cas de la surface dont un mod`ele
affine est donn´e par le polynˆome P , pour k = 2, 6, car il s’´ecrit
k
6 ± ±
1 1 1 1
(2Z+X + +Y + k)2 =(X + +Y + k)2 4.
X Y − X Y − −
Si X est une surface K3, il existe une unique 2-forme holomorphe ω sur X,
unique `a un facteur scalaire pr`es.
Par exemple si F(X ,X ,X ,X ) est un polynˆome homog`ene de degr´e 4 dans
0 1 2 3
P3,sansracinesmultiplesetsiX d´esignelelieud’annulationdeF,alorsX estune
surface K3 et la 2-forme holomorphe est le r´esidu de
dx dx dx
1 2 3
∧ ∧
F(x ,x ,x )
1 2 3
ou` x := Xi.
i X0
LegroupeH (X,Z)estlibrederang22etl’accouplementd’intersectionoucup-
2
produit munit H (X,Z) d’une forme bilin´eaire sym´etrique unimodulaire, paire, de
2
rang 22, de signature (3,19) telle que
H (X,Z) U3 ( E )2 :=
2 ≃ 2⊥ − 8 L
4 MARIEJOSE´ BERTIN
ou` U est le r´eseau hyperbolique de rang 2 et E le r´eseau unimodulaire d´efini
2 8
positif de rang 8. Le r´eseau est appel´e le r´eseauK3.
L
Le groupe de Picard de X, not´e PicX, form´e des diviseurs de X modulo
l’´equivalence lin´eaire,v´erifie
PicX H2(X,Z) Hom(H (X,Z),Z)
2
⊂ ≃
et PicX est param´etr´e par les cycles alg´ebriques. C’est un groupe ab´elien libre
de type fini, sans torsion, d’ou`
PicX Zρ(X).
≃
L’entier ρ(X), appel´e nombre de Picard de X, v´erifie
1 ρ(X) 20.
≤ ≤
Le groupe T(X):=(PicX) des cycles transcendantsa une structure de r´eseau
⊥
de dimension 22 ρ(X). Il est appel´e le r´eseautranscendant.
−
Si X d´esigne une surface K3, son r´eseau K3 et α l’isomorphisme
L
α:H (X,Z) ,
2
→L
le couple (X,α) est appel´e surface K3 ”marqu´ee”.
Si γ ,...,γ d´esigne une Z-base de H (X,Z) et ω une 2-forme holomorphe
1 22 2
{ }
sur X, l’int´egrale ω est appel´ee une p´eriode de X et v´erifie ω = 0 pour tout
γi γ
γ PicX.
∈ R R
Si est un sous-r´eseau primitif de ( i. e. / libre) de rang 1+t, de
M L L M
signature (1,t), le couple (X ,φ ) ou` X est une surface K3 alg´ebriqueet φ =
α α
α−1 : PicX est uMne isom´etrieMde r´eseaux, est appel´e surface K3,
-p|MolarisM´ee. → M M
On peut montrer l’existence de l’espace des modules des surfaces K3, -
M
polaris´ees et pseudo-amples (i. e. dont le plongement φ contient une classe de
α
diviseurs pseudo-amples). Cet espace de modules est ind´ependant du marquage;il
est not´e M .
K3,
M
Supposons d´esormais avec de rang 19.
M⊂L M
Si U ( E )2 2 >, par un th´eor`eme de Dolgachev,
2 8
M≃ ⊥ − ⊥h− i
on a l’isomorphisme
MK3, /Γ0(N)∗
M ≃H
ou` d´esigne le demi-plan de Poincar´e,
H
a b
Γ (N)= Sl (Z)/c 0(N)
0 { c d ∈ 2 ≡ }
(cid:18) (cid:19)
et
Γ0(N)∗ =Γ0(N)+wN
ou` w d´esigne l’involution de Fricke
N
0 1
w = −√N
N √N 0 !
Le groupe Γ (N) est en outre de genre 0.
0 ∗
Le groupe Γ (N) (ou ses sous-groupes d’indice fini) peut s’identifier au groupe
0 ∗
demonodromiedel’´equationdiff´erentielledePicard-Fuchsd’unpinceaudesurfaces
K3, -polaris´ees ( pour la d´efinition de l’´equation diff´erentielle de Picard-Fuchs,
M
voir ci-dessous).
MESURE DE MAHLER D’HYPERSURFACES K3 5
Rappelons que /Γ (N) est l’espace des modules des couples (E,C ) des
0 ∗ N
H
courbes elliptiques isog`enes, `a groupe d’isog´enie cyclique C , modulo l’involution
N
de Fricke w ((E,C )) = (E/C ,EN).Or le th´eor`eme de Dolgachev prouve que
N N N
/Γ (N) est´egalementl’espace des modules des surfaces K3, -polaris´ees. On
0 ∗
H M
comprenddoncqu’ilpuisseexisterunerelationentrelessurfacesK3, -polaris´ees
M
de nombre de Picard 19 et les courbes elliptiques. C’est pr´ecis´ement ce que met
en´evidence un th´eor`emede Morrisonqui montre qu’une surface K3, -polaris´ee,
M
de nombre de Picard 19 poss`ede une structure de Shioda-Inose, i. e. il existe une
surface ab´elienne A:= E E/C , une surface de Kummer Y = Kum(A/ 1) et
N
× ±
une involution canonique ι sur X telle que X/ ι soit birationnellement isomorphe
h i
`a Y.
Consid´eronsmaintenantunefamille`a1param`etreX desurfacesK3param´etr´ee
z
parB :=P1 z/X singuli`ere etsoitω l’unique2-formediff´erentielleholomorphe
z z
\{ }
sur X (unique `a un scalaire pr`es). Soit z B et π(B,z ) le groupe fondamental.
z 0 0
∈
L’image de la repr´esentationde monodromie
π(B,z ) Aut(P(H (X ,Z))
0 2 z
→
est le groupe de monodromie G de la famille X . On d´efinit ´egalement
z z B
{ } ∈
l’application de p´eriode
B P21/G
→
z ω :...: ω
z z
7→
(cid:20)Zγ1z Zγ22z (cid:21)
OnmontrealorsquesiX estunefamille`aunparam`etredesurfacesK3,denombre
z
de Picard g´en´eriquer, alors les p´eriodes de X satisfont une ´equationdiff´erentielle
z
de Picard-Fuchs d’ordre k=22 r.
−
Dans nos exemples, nous aurons k=3.
3. Preuve des th´eor`emes
3.1. Preuve du th´eor`eme 1.1. 1) Rappelons d’abord les r´esultats de Peters et
Stienstra [8] sur la famille X de surfaces K3 dont une ´equation affine est
k
1 1 1
x+ +y+ +z+ k =0.
x y z −
Une telle famille X , k P1 , 2, 6 a un nombre de Picardg´en´erique19,
k k
{ } ∈ \{∞ ± ± }
est -polaris´ee avec
k
M
U ( E )2 12 .
k 2 8
M ≃ ⊥ − ⊥h− i
Sonr´eseautranscendantv´erifieT U 12 etl’´equationdiff´erentielledePicard-
k 2
≃ ⊥h i
Fuchs associ´ee `a la famille est
(k2 4)(k2 36)y +6k(k2 20)y +(7k2 48)y +ky =0.
′′′ ′′ ′
− − − −
Si l’on pose
η(τ)η(6τ) 6 ∞
t(τ)= =eπiτ (1 e2πiτn)6
η(2τ)η(3τ) −
(cid:18) (cid:19) n=1Y(n,6)=1
ou` τ , on peut montrer que
∈H
aτ +b a b
t( )=t(τ) Γ (6,2) Γ (12) +12
cτ +d ∀ c d ∈ 1 ∗ ⊂ 0 ∗
(cid:18) (cid:19)
6 MARIEJOSE´ BERTIN
ou`
a b
Γ (6)= Sl (Z) / a d 1 (6) c 0 (6)
1 { c d ∈ 2 ≡ ≡ ≡ }
(cid:18) (cid:19)
a b
Γ (6,2)= Γ (6) c 6b (12)
1 { c d ∈ 1 ≡ }
(cid:18) (cid:19)
et Γ (6,2) est le groupe engendr´e par Γ (6,2) et l’involution de Fricke w .
1 ∗ 1 6
En outre, t est un Hauptmodul pour Γ (6,2) , i. e. induit un isomorphisme
1 ∗
entre = Q i /Γ (6,2) et P .
∗ 1 ∗ 1
H H∪ ∪{ ∞}
On peut montrer que pour τ = i , on a t = 0, pour τ = 1/2, on a t = ,
∞ ± ∞
pour τ =i/√6, on a t=3 2√2 et pour τ = 2/5+i/5√6, on a t=3+2√2.
− ±
Deplus,sik =t+1,l’´equationdePicard-Fuchsenlavariabletposs`edeunebase
t
de solutions de la forme G(τ),τG(τ),τ2G(τ) avec G(τ)=η(τ)η(2τ)η(3τ)η(6τ).
On a´egalement
G(t)= v t2n+1 t <3 2√2
n
| | −
n 0
X≥
avec
n 2 2
n n+k
v = .
n k k
k=0(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
X
Nous allons maintenant prouver la premi`ere assertion du th´eor`eme 1.
Par d´efinition,
1 1 1 1 dxdydz
m(P )= log k (x+ +y+ +z+ ) .
k (2πi)3 ZT3 | − x y z | x y z
Et pour k >6,
dm(P ) 1 1 1 dxdydz
k
=
dk (2πi)3k ZT3 1− k1(x+ x1 +y+ y1 +z+ z1) x y z
1
= a
mk2m+1
m 0
X≥
avec
(2m)!
a = .
m (p!q!r!)2
p+q+r=m
X
Or dm(Pk) est une p´eriode et donc v´erifie l’´equation diff´erentielle de Picard-Fuchs.
dk
En faisant alors le changement de variable k =t+ 1, on obtient
t
dm(P )
k = v t2n+1 =G(τ)
n
dk
n 0
X≥
soit
dt1 t2
dm(P )= G(τ) − .
k
− t t
Comme G(τ)qdt1 t2 est une forme modulaire de poids 4 pour Γ (6,2) ,
− t −t 1 ∗
dt1 t2 1
G(τ)q − = +4q+20q2+148q3+148q4+504q5
− t t −2
+740q6+1376q7+1172q8+0(q8),
MESURE DE MAHLER D’HYPERSURFACES K3 7
on va chercher `a l’´ecrire sous la forme
αE (τ)+βE (2τ)+γE (3τ)+δE (6τ)
4 4 4 4
ou`
E (τ)=1+240 ( d3)qn
4
nX≥1 Xd|n
=1+240(q+9q2+28q3+73q4+126q5+252q6+344q7
+585q8+757q9+1134q10+...)
En calculant alors suffisamment de termes dans leur q-d´eveloppement, on voit que
ces deux formes co¨ıncident pour
4 16 36 144
α= β = γ = δ = .
240 −240 240 −240
On a donc
4 16 36 144 dq
dm(P )=( E (q) E (q2)+ E (q3) E (q6))
k 4 4 4 4
240 − 240 240 − 240 q
1
=( +4q+20q2+...)dq
−2q
En int´egrantentre k et l’infini, on trouve alors
qn q2n q3n q6n
m(P )= ( πiτ + ( d3)(4 8 +12 24 )).
k
ℜ − n − n n − n
nX≥1 Xd|n
2) Rappelons maintenant les r´esultats de Verrill [13] sur la famille Y de surfaces
k
dont une ´equation affine est
(1+x+xy+xyz)(1+z+zy+zyx) (k+4)xyz =0.
−
Une telle famille Y , k P1 , 4,12,0 a un nombre de Picard g´en´erique
k k
{ } ∈ \{∞ − }
19, est -polaris´ee avec
k
M
U ( E )2 < 6>.
k 2 8
M ≃ ⊥ − ⊥ −
Son r´eseau transcendant v´erifie T U < 6 > et l’´equation diff´erentielle de
k 2
≃ ⊥
Picard-Fuchs associ´ee `a la famille est [14]
7k2 12k 96 k
k(k+4)(k 12)y′′′+6(k2 7k 12)y′′+ − − y′+ y =0.
− − − k+4 k+4
Si l’on pose
η(3τ)4η(12τ)8η(2τ)12
t(τ)=
η(τ)4η(4τ)8η(6τ)12
ou` τ , on peut montrer que
∈H
aτ +b a b
t( )=t(τ) Γ (12)+12
cτ +d ∀ c d ∈ 0
(cid:18) (cid:19)
ou` Γ (12)+12 est le groupe engendr´e par Γ (12) et l’involution de Fricke w .
0 0 12
En outre, t est un Hauptmodul pour ce groupe.
On peut montrer que pour τ =i , on a t=0 et pour τ =i0, on a t= 1.
∞ −
De plus, si k = (t+ 1 +2), l’´equationde Picard-Fuchs en la variablet poss`ede
− t
une base de solutions de la forme G(τ),τG(τ),τ2G(τ) avec G(τ)= η(2τ)4η(6τ)4.
η(τ)2η(3τ)2
8 MARIEJOSE´ BERTIN
On a´egalement
G(t)= v tn
n
n 1
X≥
avec
n 1 2
− n+m m!
v = ( 1)m .
n − 2m+1 p!q!r!s!
m=0p+q+r+s=m (cid:18) (cid:19)(cid:18) (cid:19)
X X
Nous allons maintenant prouver la deuxi`eme assertion du th´eor`eme 1.1.
Comme pr´ec´edemmenton trouve
dt1 t2
dm(k)= G(τ) −
− t t
et
dt1 t2 2 32 18 288
G(τ)q − = E (τ)+ E (2τ)+ E (3τ) E (6τ)
4 4 4 4
− t t −240 240 240 − 240
car G(τ)dt1 t2 est une forme modulaire de poids 4 pour Γ (12)+12.
− t −t 0
En int´egrantentre k et l’infini, on trouve alors le r´esultat annonc´e.
3.2. Preuve du th´eor`eme 1.2. Les´etapesde lad´emonstrationsontsemblables`a
celles d´evelopp´eesdans [2].
1) Partant de la relation
4qn 8q2n 12q3n 24q6n
m(P )= πiτ + ( d3)( + ) ,
k
ℜ{− n − n n − n }
nX≥1 Xd|n
on pose n=dn, puis grˆace `a la relation
′
d
D2(Li (qjd))=j2d2Li (qjd) j =1,2,3,6 D =q ,
3 1
dq
on obtient
1 1 1
m(k)= πiτ +4D2( Li (qd) Li (q2d)+ Li (q3d) Li (q6d) .
3 3 3 3
ℜ{− − 2 3 − 6 }
d 1
X≥
Notons alors
L (x)= Li (qjdx)
j 3
d 1
X≥
et
1
H (x)=L (x)+L ( ).
j j j
x
Onpeutmontrerqu’ilexistedesconstantescomplexesnonnullesA, B,C,D telles
que
1 1 1
K(x)=H (x) H (x)+ H (x) H (x)+Alog(x)4+Blog(x)3
1 2 3 6
− 2 3 − 6
+Clog(x)2+Dlog(x)
soit invariant par la transformation
x q6x.
7→
En effet
1 1 1
H(x)=H (x) H (x)+ H (x) H (x)
1 2 3 6
− 2 3 − 6
MESURE DE MAHLER D’HYPERSURFACES K3 9
se transforme en
1 1 1
H(x) (Li (qx) Li ( )) (Li (q2x) Li ( ))
− 3 − 3 qx − 2 3 − 3 q2x
4 1 1 1
(Li (q3x) Li ( )) (Li (q4x) Li ( ))
− 3 3 − 3 q3x − 2 3 − 3 q4x
1 2 2 1
(Li (q5x) Li ( )) Li (q6x)+ Li ( )
− 3 − 3 q5x − 3 3 3 3 x
et l’on a la formule
1 (2iπ)3 logz
Li (z) Li ( )= B ( )
3 3 3
− z − 6 2iπ
ou` B d´esigne le polynˆome de Bernouilli
3
3 1
B (X)=X3 X2+ X.
3
− 2 2
Par suite H(x) se transforme en
H(x)+A log(x)3+B log(x)2+C log(x)+D
′ ′ ′ ′
et K(x) en
K(x)+(4λA+A)log(x)3+(6λ2A+3λB+B )log(x)2
′ ′
+(4Aλ3+3Bλ2+2Cλ+C )log(x)+Aλ4+Bλ3+Cλ2+Dλ+D ,
′ ′
avec λ=6logq.
Il suffit alors de d´eterminer A, B, C, D en fonction de A, B , C , D .
′ ′ ′ ′
Comme
m(k)= ( πiτ +2D2(K(1)))
ℜ −
et comme K(e2πiξτ) est invariant par le changement ξ ξ + 6 d’apr`es ce qui
7→
pr´ec`ede,onvad´evelopperK(e2πiξτ)ens´eriedeFourier. Led´eveloppementens´erie
de K(1) sera obtenu pour ξ =0.
Expliquons le calcul du d´eveloppement sur L (x). On va ´ecrire
1
e2πiτm(d+ξ)
L (e2πiξτ)=
1 m3
d 1m 1
X≥ X≥
1
= ( e2πiτm(d+ξ)+...+ e2πiτm(d+ξ))
m3
mX≥1 d≡X1(6) d≡X6(6)
Ensuite on calcule
In,h = 1 6−he2πimτ(6k+h+ξ)e−2πinξ6dξ
6
Xk≥0 Z−h
Posantalors ξ =6k+h+ξ, il vient
′
In,h = 1e2πi6nh +∞e2πiξ′(mτ−n6)dξ′.
6
Z0
soit
1 2πinh 1
In,h = −6 e 6 2πi(mτ n).
− 6
10 MARIEJOSE´ BERTIN
On en d´eduit alors
16 p´eriodeL1(e2πiτξ)e−2πin6ξdξ =−21πi m13(mτ1 κ) si n=6κ
Z n 1 −
X≥
et 0 sinon.
D’ou`
1 1 1 1
K(1)= ( ( + )
−2πi m3 mτ κ mτ +κ
κ m 1 −
X X≥
1 1 1 1
( + )
− 2 m3 2mτ κ 2mτ +κ
m 1 −
X≥
1 1 1 1
( + )
3 m3 3mτ κ 3mτ +κ
m 1 −
X≥
1 1 1 1
( + ))
− 6 m3 6mτ κ 6mτ +κ
m 1 −
X≥
Finalement
4i 1 1 1 1
m(k)= ( πiτ ( 2 +3
ℜ − − 8π3 m (mτ +κ)3 − (2mτ +κ)3 (3mτ +κ)3
κ,m=0
X6
1
6 ))
− (6mτ +κ)3
D’ou` le r´esultat annonc´e, puisque
1 1 1
= m τ(2 ( )+ )
ℑ(mτ +κ)3 − ℑ ℜ (mτ +κ)3(mτ¯+κ) (mτ +κ)2(mτ¯+κ)2
et
τ 1
ℑ 6 120 =π τ.
8π3 × k4 ℑ
k 1
X≥
4. Quelques applications
4.1. Valeur approch´ee de la mesure. La formule de Jensen permet d’exprimer
la mesure de Mahler d’un polynˆome de trois variables `a l’aide d’une int´egrale dou-
ble. Cependant les m´ethodes d’int´egrationnum´erique demanderaient beaucoup de
temps pour obtenir une pr´ecision de 10 18 par exemple. Les formules pr´ec´edentes
−
expriment la mesure de Mahler `a l’aide de s´eries rapidement convergentes.
Boyd et Mossinghoff ont ainsi trouv´e la valeur approch´ee de P
1
1 1 1
M(x+y+z+1+ + + )=1,4483035845491699038...
x y z
J’ai de mˆeme calcul´e une valeur approch´ee de la mesure du polynˆome Q
1
M(Q )=1,435170000343077634...
1
Cesdeuxmesuressontparmilespluspetitesmesuresconnuespourlespolynˆomes
de 3 variables dont la mesure ne se r´eduit pas `a celle d’un polynˆome de deux