Mengen & Abbildungen

16 Pages·2016·0.61 MB·German

Mengenlehre
Abbildungen
Holger Wuschke
I. Mengenlehre
Seien und . Welche der folgenden Aussagen
sind falsch (mit Begründung)?
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) ≔ (cid:883);(cid:884) (cid:1839) ≔ (cid:883); (cid:885); (cid:887)

(1)
Bevor Sie sich die
(2)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) ⊆ (cid:1839) nächste Folie
(3)
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) ⊆ (cid:1839) \M
anschauen erst
(4)
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) ⊆ (cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) \(cid:4666)(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) (cid:4667)
selbstständig lösen!
(5)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1488) (cid:1839)
(6)
(cid:2869)
(cid:883) ⊆ (cid:1839)
(7)
(cid:2870)
{(cid:883); (cid:885); (cid:887) } ⊆ (cid:1839)
(8) M und M sind disjunkt
(cid:2870)1 (cid:2869)2 (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1488) ℙ(cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) (cid:4667)
(9) und sind disjunkt
(10)
(cid:2870) (cid:2869) (cid:2869)
ℙ(cid:4666)(cid:1839) \M (cid:4667) ℙ(cid:4666)(cid:1839) (cid:4667)

(cid:2869) (cid:2869) (cid:2870)
ℙ (cid:1839) ⊆ ℙ(cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) (cid:4667)

2 Mengen und Abbildungen
I. Mengenlehre
Seien und . Welche der folgenden Aussagen
sind falsch (mit Begründung)?
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) ≔ (cid:883);(cid:884) (cid:1839) ≔ (cid:883); (cid:885); (cid:887)

(1) Falsch, weil

(2) Falsch, weil
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) ⊆ (cid:1839) (cid:2870)
(3) Falsch, weil (cid:884) (cid:1489) (cid:1839)
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) ⊆ (cid:1839) \M
Falsch, weil (cid:883) ⊈ {(cid:884)}
(4)
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870) (cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) ⊆ (cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) \(cid:4666)(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) (cid:4667)
Falsch, weil 1{(cid:883) e;i(cid:884)n; E(cid:885)l;e(cid:887)m}e⊈nt {i(cid:884)st; (cid:885); (cid:887)}
(5)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1488) (cid:1839) Falsch, weil {(cid:883); (cid:884)} (cid:1489) {(cid:883); (cid:885); (cid:887)}
(6)
(cid:2869)
(cid:883) ⊆ (cid:1839)
Wahr
(7)
{(cid:883); (cid:885); (cid:887) } ⊆ (cid:1839)(cid:2870) Falsch, weil (cid:885); (cid:887) (cid:1489) {(cid:883); (cid:885); (cid:887)}
(8) M und M sind disjunkt
(cid:2870)1 (cid:2869)2 (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1488) ℙ(cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) (cid:4667)
(9) und sind disjunkt Falsch, weil
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) = {(cid:883)} ≠ (cid:1486)
(hier ist die leere Menge ein Element und der Schnitt ist somit nicht leer)
(10) Wahr
ℙ(cid:4666)(cid:1839)(cid:2870)\M(cid:2869)(cid:4667) ℙ(cid:4666)(cid:1839)(cid:2869)(cid:4667) ℙ (cid:1839)(cid:2870)\M(cid:2869) (cid:1514) ℙ (cid:1839)(cid:2869) = {(cid:1486)}

(cid:2869) (cid:2869) (cid:2870)
ℙ (cid:1839) ⊆ ℙ(cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) (cid:4667)

3 Mengen und Abbildungen
I. Mengenlehre
Seien und .
Bestimmen Sie folgende Meng(cid:2870)en
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872) (cid:2873)
(cid:1839) ≔ ℝ , (cid:1839) ≔ ℤ, (cid:1839) ≔ (cid:1876) :(cid:1876) (cid:1488) ℝ , (cid:1839) ≔ −(cid:883),(cid:883) (cid:1839) ≔ {(cid:882);(cid:883)}

(1)
Bevor Sie sich die
(2)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) nächste Folie
(3)
(cid:2870) (cid:2871)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839)
anschauen erst
(4)
(cid:2871) (cid:2872)
(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839)
selbstständig lösen!
(5)
(cid:2872) (cid:2873) (cid:2870)
(cid:4666)(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) (cid:4667) (cid:1515) (cid:1839)
(6)
(cid:2871) (cid:2872) (cid:2873)
(cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) (cid:4667) (cid:1514) (cid:1839)
(7)
(cid:2870) (cid:2871)
M \M
(8)
(cid:2873) (cid:2872) (cid:2871)
(cid:1839) \(cid:4666)(cid:1839) \(cid:1839) (cid:4667)
(9)
(cid:2870) (cid:2869) (cid:2871)
(cid:1839) \(cid:4666)M (cid:1514) (cid:1839) (cid:4667)

(cid:2873)
ℙ (cid:1839)

4 Mengen und Abbildungen
I. Mengenlehre
Seien .
Bestimmen Sie folgende Meng(cid:2870)en
(cid:2869) (cid:2870) (cid:2871) (cid:2872) (cid:2873)
(cid:1839) ≔ ℝ , (cid:1839) ≔ ℤ, (cid:1839) ≔ : ∈ ℝ , (cid:1839) ≔ −(cid:883),(cid:883) (cid:1856) (cid:1839) ≔ {(cid:882);(cid:883)}
(1)
(2)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839)
(3)
(cid:2870) (cid:2871)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839)
(4)
(cid:2871) (cid:2872)
(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839)
(5)
(cid:2872) (cid:2873) (cid:2870)
(cid:4666)(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) (cid:4667) (cid:1515) (cid:1839)
(6)
(cid:2871) (cid:2872) (cid:2873)
(cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839) (cid:4667) (cid:1514) (cid:1839)
(7)
(cid:2870) (cid:2871)
M \M
(8)
(cid:2873) (cid:2872) (cid:2871)
(cid:1839) \(cid:4666)(cid:1839) \(cid:1839) (cid:4667)
(9)
(cid:2870) (cid:2869) (cid:2871)
(cid:1839) \(cid:4666)M (cid:1514) (cid:1839) (cid:4667)
(cid:2873)
ℙ (cid:1839)
5 Mengen und Abbildungen
I. Mengenlehre
Seien und
. Bestimmen Sie folgende Mengen:
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) ≔ (cid:1876) (cid:1488) ℝ: (cid:1876) − (cid:883) ≤ (cid:883) , (cid:1839) ≔ (cid:1876) (cid:1488) ℝ:|(cid:1876) + (cid:883)| ≤ |(cid:1876)|

(cid:1839)(cid:2871) ≔ { =(cid:2869) : (cid:1488) ℕ(}1)

(2)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839)
(3)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) (cid:1515) (cid:1839)
(4)
(cid:2869) (cid:2870)
(cid:1839) \(cid:1839)
(5)
(cid:2870) (cid:2869)
(cid:1839) \M
(6)
(cid:2869) (cid:2871) (cid:2870)
(cid:4666)(cid:1839) (cid:1514) (cid:1839) (cid:4667)\(cid:1839)

(cid:2871) (cid:2869) (cid:2870)
(cid:4666)M \M (cid:4667) (cid:1514) (cid:1839)

6 Mengen und Abbildungen
I. Mengenlehre
Bestimmen Sie für und die Mengen

(cid:1839) ≔ (cid:883); (cid:884); (cid:885) , (cid:1840) ≔ (cid:883);(cid:884) ≔ (cid:883); (cid:886)
(1)
(2)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1840) ×
(3)
N (cid:1514) (cid:1515) (cid:1840) × (cid:1839)\N (cid:1515) (cid:1840)\M × [(cid:4666)\N(cid:4667) (cid:1514) (cid:1839)]

ℙ(cid:4666)(cid:1840) × (cid:4667)

Bestimmen Sie für die

Mengen (cid:2870)

P ≔ [(cid:882),(cid:883)], (cid:1839) ≔ (cid:1876) (cid:1488) ℝ: (cid:1876) + (cid:883) ≤ (cid:884)(cid:1876) (cid:1856) (cid:1840) ≔ P\M
Bevor Sie sich die

(1)
nächste Folie
(2)
(cid:1839) ×
anschauen erst
(3)
× (cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1840)(cid:4667)
(4) selbstständig lösen!
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1840) ×

ℙ(cid:4666)(cid:1839) × (cid:1839)(cid:4667)

7 Mengen und Abbildungen
I. Mengenlehre
Bestimmen Sie für die Mengen
(cid:1839) ≔ (cid:883); (cid:884); (cid:885) , (cid:1840) ≔ (cid:883);(cid:884) (cid:1856) ≔ (cid:883); (cid:886)
(1)
(2)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1840) ×
(3)
N (cid:1514) (cid:1515) (cid:1840) × (cid:1839)\N (cid:1515) (cid:1840)\M × [(cid:4666)\N(cid:4667) (cid:1514) (cid:1839)]
ℙ(cid:4666)(cid:1840) × (cid:4667)
Bestimmen Sie für die
Mengen (cid:2870)
P ≔ [(cid:882),(cid:883)], (cid:1839) ≔ ∈ ℝ: + (cid:883) (cid:3409) (cid:884) (cid:1856) (cid:1840) ≔ P\M
(1)
(2)
(cid:1839) ×
(3)
× (cid:4666)(cid:1839) (cid:1515) (cid:1840)(cid:4667)
(4)
(cid:1839) (cid:1514) (cid:1840) ×
ℙ(cid:4666)(cid:1839) × (cid:1839)(cid:4667)
8 Mengen und Abbildungen
II. Abbildungen
Seien X, Y, Z Mengen unter den gegebenen Bedingungen.
Seien . Geben sie an, ob φ, ψ und ψ φ
injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv ist.
: (cid:1850) → (cid:1851) (cid:1856) ψ: (cid:1851) → (cid:1852) ∘
9 Mengen und Abbildungen
II. Abbildungen
ist surjektiv,
aber nicht injektiv, weil
: (cid:1850) → (cid:1851)
z.B.
, aber

7 = (cid:1853) = (cid:883)(cid:883) ∶ 7 ≠ (cid:883)(cid:883)
ist bijektiv

ψ: (cid:1851) → (cid:1852)
ist surjektiv,
aber nicht injektiv, weil
, aber
ψ ∘ : (cid:1850) → (cid:1852)
z.B.
ψ ∘ (cid:883) = = ψ ∘ (cid:885) ∶ (cid:883) ≠ (cid:885)
10 Mengen und Abbildungen