Table Of Contentm a t e n i Hi
Attita Szabo
Niclas Larson
Gunilla Viklund
Daniel Dufå
Mikael Markl
T i ll L ä s a r en
MATEMATIK ORICO 2B är skriven för dig som ska läsa • Efter varje delkapitel kommer Resonemang och
matematik kurs 2b på Samhällsvetenskapsprogram begrepp. Där kan du tillsammans med dina kamra
met, Ekonomiprogrammet, Humanistiska program ter och din lärare utveckla förmågan att förstå och
met eller Estetiska programmet. Boken är helt anpas använda matematiska begrepp, att föra matematis
sad för Gy 2011 och följer ämnesplanens centrala ka resonemang och att kommunicera matematik.
innehåll och syfte. För oss som har skrivit den här
• Till varje kapitel finns en större uppgift av tematisk
boken är matematik så mycket mer än att bara räkna.
karaktär, som vi har valt att kalla n-uppgift. Här
Därför har vi valt att i Matematik Origo lyfta fram
finns möjlighet för dig att utveckla de matematiska
problemlösning, förståelse och det matematiska
förmågor och kunskaper som behövs för ett högre
samtalet. Vår förhoppning är att Matematik Origo
betyg.
ska förmedla samma nyfikenhet och glädje som vi
• I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia
känner inför matematikämnet.
som beskriver matematikens utveckling ur ett idé
• Matematik Origo 2b är indelad i fem kapitel. Varje
historiskt och kulturellt perspektiv.
kapitel inleds med att ange de Förkunskaper som
• I Problem och undersökningar får du tillfälle att
du behöver, det Centrala innehåll som kapitlet tar
träna problemlösning och ett undersökande
upp och vad du ska kunna när du har arbetat fär
arbetssätt. Här finner du lite mer omfattande och
digt med kapitlet. Det gör det lättare för dig att
utmanande uppgifter.
själv ta ansvar för dina studier. I början av varje
kapitel finner du också ett eller flera matematiska • Tankekartan visar hur de olika matematiska
problem. begreppen hänger ihop. Tankekartan kan ses som
en sammanfattning av kapitlet och är en bra
• Teorigenomgång följs av lösta Exempel som belyser
utgångspunkt för ett muntligt test.
teorin och förklarar viktiga matematiska färdighe
ter. I samband med exemplen finns kortfattade • I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer.
instruktioner till hur du kan använda din grafri Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper
tande räknare. från hela kapitlet.
• Till varje avsnitt finns uppgifter på tre olika nivåer • Sist i varje kapitel finns ett Test. Där har du möjlig
och av olika karaktär. På varje nivå finns uppgifter het att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är
som tränar din förmåga till problemlösning. uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan räk
Öppna uppgifter, markerade med ö , är uppgifter nare och en del där du får använda räknare.
som inte har ett givet svar och som många gånger
kräver en matematisk diskussion. Lycka till med dina matematikstudier!
Författarna
I n n e h å ll
1 Algebra e 3 Ekvationer och
ekvationssystem 72
1.1 ALgebraiska uttryck 8
Att förenkla algebraiska uttryck 8
3.1 Räta linjens ekvation 74
Multiplikation av uttryck inom parenteser 11
Från graf till ekvation 74 Riktningskoefficienten för
1.2 Kvadrerings- och konjugatreglerna 14 en rät linje 78 Räta linjens ekvation i k-form 80
Kvadreringsreglerna 14 Konjugatregeln 16 Parallella och vinkelräta linjer 83
Att faktorisera uttryck 18
3.2 Ekvationssystem 87
1.3 Andragradsfunktioner 20 Grafisk lösning av ett ekvationssystem 87
Rita grafen till en andragradsfunktion 20 Substitutionsmetoden 91 Additionsmetoden 94
Grafisk lösning av en andragradsfunktion 23
3.3 Analytisk geometri 97
n-uppgift: Profit i solsken 28 Avståndsformeln 97 Problemlösning med hjälp
av analytisk geometri 99
Problem och undersökningar 29
Historia: Räknehjälpmedel 30 O-uppgift: Att tillverka och sälja mobiler 102
Tankekarta 32 Historia: Att lösa ekvationssystem 103
Blandade uppgifter 33 Problem och undersökningar 104
Kapiteltest 36 Tankekarta 105
Blandade uppgifter 106
2 Andragradsekvationer »
Kapiteltest 110
3
2.1 Enkla andragradsekvationer 40
Ekvationer av typen x3 - a 40
Andragradsekvationer och komplexa tal 42
Faktorisering som lösningsmetod 44
Andragradsekvationer och kvadreringsreglerna 46
Kvadratkomplettering 48
2.2 Fullständiga andragradsekvationer 51
pq-formeln 51 Antal lösningar till en andragrads
ekvation 55 Andragradsfunktionen och grafen 57
n-uppgift: Tvärnit 63
Historia: Ekvationer av högre grad 64
Problem och undersökningar 65
Tankekarta 66
Blandade uppgifter 67
Kapiteltest 70
4 Potenser, logaritmer Statistik 194
och budgetering 112
6.1 Läges- och spridningsmått 196
Lägesmått 196 Spridning kring medianen 200
4.1 Ränteberäkningar och budgetering 114
Spridning kring medelvärdet 205
Ränteberäkningar 114 Budget för privatekonomi 117 Normalfördelning 208
Företagsekonomi och budgetering 120
6.2 Statistiska samband 213
4.2 Potenser och potensekvationer 124
Korrelation och kausalitet 213
Potenser med heltalsexponenter 124 Potenser med Regressionsanalys 219
rationella exponenter 126 Potensekvationer 128
n-uppgift: Orkidéer och samband 221
4.3 ExponentiaLekvationer och logaritmer 132
Historia: Normalfördelning som modell 222
Grafisk lösning av exponentialekvationer 132
Problem och undersökningar 223
Tiologaritmer 136 Exponentialekvationer och
tiologaritmer 139 Räkneregler för logaritmer 143 Tankekarta 224
Tillämpningar 146
Blandade uppgifter 225
n-uppgift: Konserten 150 Kapiteltest 228
Problem och undersökningar 151
Historia: Från logaritmtabell till räknesticka 152 Facit
Tankekarta 154 v
Blandade uppgifter 155 Register
Kapiteltest 158
5 Geometri
v
5.1 Satser om vinklar i cirklar 162
Olika slags vinklar 162 Randvinkelsatsen 165
5.2 Likformighet och kongruens 170
Likformiga månghörningar 170
Likformiga trianglar 172 Topptriangelsatsen,
transversalsatsen och bisektrissatsen 176
Kongruens 180
n-uppgift: Pappersformat i A-serien 185
Historia: Geometri och mätmetoder 186
Problem och undersökningar 187
Tankekarta 188
Blandade uppgifter 189
Kapiteltest 192
1 A l g e b ra
||DELKAPITEL
1.1 Algebraiska uttryck
1.2 Kvadrerings- och konjugat-
reglerna
1.3 Andragradsfunktioner
FORKUNSKAPE
• Algebraiska förenklingar
• Potenser
• Förstagradsekvationer
• Koordinatsystem, funktioner och
grafer
CENTRALT INNEHALL
Hantering av kvadrerings- och
konjugatregeln i samband med
ekvationslösning.
Egenskaper hos
andragradsfunktioner.
Konstruktion av grafer till
funktioner samt bestämning av
funktionsvärde och nollställe,
med och utan digitala verktyg.
Funktionen och grafen
Igebra är ett av matematikens mest
Här har vi ritat grafen till andragradsfunktionen
centrala områden. Tillsammans med
y = x2 - 4
aritmetiken (räknelära) utgör den en bas
för i stort sett all matematik. Att utveckla
och förenkla algebraiska uttryck är därför
en viktig och grundläggande kunskap för
att förstå andra delar av matematiken. Vi
använder algebra till exempel när vi skapar
matematiska modeller av verkligheten med
hjälp av ekvationer och funktioner. Det gör
algebra till ett viktigt inslag i många • Lös andragradsekvationen x2 - 4 = 0. Hur
samhällsvetenskapliga och ekonomiska många lösningar har ekvationen? Hur kan du
bestämma lösningarna med hjälp av grafen?
sammanhang, där man behöver modeller för
till exempel hur antalet invånare i ett land • De punkter där funktionsvärdet är noll kallas
utvecklas eller hur värdet av en pensions funktionens nollställen. Skissa grafen till en
fond förändras. andragradsfunktion som saknar nollställen.
• Skissa grafen till en andragradsfunktion som
När du är klar med kapitlet ska du kunna
har precis ett nollställe.
• multiplicera algebraiska uttryck
• förenkla uttryck med kvadrerings- och Samband mellan produkter
konjugatreglema
• Du vet att 8 • 8 = 64. Beräkna produkterna
• faktorisera algebraiska uttryck 9-7 10-6 11-5 12-4
• rita grafen till en andragradsfunktion och jämför dem med produkten 8 • 8. Vilken
slutsats kan du dra?
• lösa andragradsekvationer grafiskt
• Stämmer din slutsats även för
13-3 14-2 15-1 16-0
• Testa med att utgå från en annan produkt
n • n och se om sambandet gäller även här.
• Vilken slutsats kan dras?
1.1 A l g e b r a i s ka u t t r y ck
Att förenkla algebraiska uttryck
I kurs 1 förenklade vi algebraiska uttryck genom att ta bort parentesen och
lägga ihop likadana termer.
I2x - [8x + 5) = I2x - 8x - 5 = Ax - 5 Vi ändrar tecken i parentesen och räknar
x-termer för sig och konstanttermer för sig.
i \
Eftersom det är subtraktionstecken
framför parentesen, byter vi tecken
Multiplicera Vi utförde också multiplikationer av typen
2x(3 - 6x) = 2x • 3 - 2x • 6x = 6x - 12*2
Det kallade vi att multiplicera in 2x i uttrycket inom parentes.
Vi lärde oss dessutom att bryta ut en faktor ur ett uttryck, t.ex.
x2 -7x = x(x— 7)
Faktorisera Då har vi faktoriserat uttrycket x2 - Ix genom att bryta ut den gemensamma
faktorn x.
Hur man vill att ett utryck ska skrivas varierar beroende på sammanhang.
Därför är det viktigt att kunna multiplicera in i och bryta ut ur parenteser.
Exempel: Förenkla uttrycket så långt som möjligt
5a + (3b-2a)-(3a + 7b)
Lösning: 5a+ (3b-2a)-{3a + 7b) Ta bort parenteserna
= 5a + 3b -2a- 3a — 7b = Lägg ihop termer av samma slag
-Ab Ändra tecken i parentesen när det är
subtraktionstecken framför parentesen
Exempel: Multiplicera ihop
a) 3(5a-7b)
b) 5a(3a2 + 6b-9)
lösning: a) 3{5a - 7b) - 3 • 5a - 3 • 7b - 15a - 21b
b) 5a{3a2 + 6b-9) = 15a3 + 30ab-A5a Gör på samma sätt som när det
är två termer i parentesen
ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK
Exempel: a) Bryt ut faktorn 3x ur uttrycket öx3 + 9x
b) Faktorisera uttrycket Ix2 + 8x genom att bryta ut största möjliga faktor.
lösning: a) öx3 + 9x - 3x(2x2 + 3) Du kan kontrollera att du har gjort ratt genom att
multiplicera in 3x i parentesen
b) 2x2 + 8x = 2x(x + 4) 2x är den största gemensamma faktorn i 2x2 och 8x
I
NI VA 1 1107 Multiplicera ihop
a) 5a(5b-5a)
1101 Förenkla uttrycken
b) llx(2x-7)
a) 2a + la
c) 0,5y(9x + 20y)
b) 5b-4b
c) 10a + 8b + 6a 1108 Lös ekvationerna
a) 4(x-4) =42
1102 Förenkla uttrycken
b) 6(2x- 1) = lOx
a) 7x + 4-3x+ 12
b) x + 7y- 16x+ 3y 1109 Multiplicera ihop
c) 3xy + 7x - 5 a) 8(6b + 5a -4)
b) 2x(7x+3+y)
1103 Emeric och Lovisa pluggar algebra. Lovisa
c) 0,l(140m-47«-6)
undrar hur det kommer sig att 3a + 2a = 5a.
Hjälp Emeric att förklara så utförligt som
1110 Fyll i de tomma rutorna, så att likheterna
möjligt för Lovisa.
stämmer.
1104 Förenkla uttrycken a) 4(D+3)=4a+12
a) 7x-(4x+8) b) 5(2-•) = 10- 15b
b) (8y+3) + (5-7y) c) 7a(0 + •) = 14a + 7a3
c) Av-(3x+ 2vl + (5v + x
1111 Faktorisera uttrycken genom att bryta ut
största möjliga faktor.
1105 Multiplicera ihop
a) 3a+ 6 b) 4y2-12y
a) 6{8b-2a)
c) Ua-2lab d) 28xy-5Axy2
b) 7(3x + 6)
c) 8(2x-5y)
1112 Skriv ett uttryck för rektanglarnas areor.
1106 a) Förenkla uttrycket 6(12-4x). b)
b) Beräkna värdet av uttrycket för x - 3. 2x + 3 3x + 8
4x
ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK 9
1113 Ställ upp utryck för figurernas areor. 1122 Faktorisera täljarna och förkorta så långt som
möjligt.
a) Triangel med basen 9 och höjden 2x + y
4a - a 3X2 + 6x
b) Rätvinklig triangel med kateterna x + 7 a) b)
x + 2
och 10
1123 Ett uttryck för en viss rektangels area är
1114 Lös ekvationerna
(2a2 - 18a) cm2. Ange längden av den andra
a) 7(x + 3) = 3(x-l) sidan, om den ena sidan är
b) 2(4 + 3x) = 5(8-2x)
a) a cm b) 2a cm
1115 Ställ upp ett uttryck för figurens area och för
NIVÅ 3
enkla det så långt som möjligt.
1124 Fyll i de tomma rutorna så att likheten stäm
mer.
2x a) •(2x+3)-4(x-9)=D + 45
b) 3(Dx-9y)-4(2x + Dy) = 5,5x-13y
1125 I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm
längre än den andra. Längden av var och en av
NIVA 2
kateterna är givna i hela centimeter. Triangelns
1116 a) Förenkla uttrycket 10(2a + 7) - 3(4a + 8). area är 30 cm2. Hur långa är kateterna?
b) Beräkna värdet av uttrycket för a = 7.
1117 Ställ upp ett uttryck
för figurens area
och förenkla det så x + 3 x + 4
långt som möjligt.
1118 Lös ekvationerna
a) 3(2x + 4)-4(3-4x) = 2(x+7)
b) 2,5(3x-9)-3(0,5x + 4,5) = 0
1119 Förenkla
a) 7(2b + 5a) + 5(4a + b)
b) 9(5-3x)-6(8x-4)
c) 2a(3-8a-7b)-7b(4-2a)
1120 Marta och Lotta ska förenkla 2a(5a + 3) genom
att multiplicera in 2a i parentesen. Lotta vet att
svaret är 10a2 + 6a, men förstår inte riktigt var
för. Hjälp Marta att förklara detta för Lotta.
1121 a) Förenkla uttrycket 9y(3y-5z)-( 14/ -z).
b) Beräkna värdet av uttrycket då y — -1
och z = -2.
lO ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK
Multiplikation av uttryck inom parenteser
Nu ska vi gå vidare med att multiplicera ihop
två uttryck med varandra. Vi utför multiplika
tionen (2 + x)(3x + 4) och jämför med figuren
här intill för att hitta en metod.
Rektangelns area A kan skrivas som en produkt 3x + 4
av basen och höjden
A = (2 + x)(3x + 4)
6x 3x2 3x
Arean kan också skrivas som en summa av de
fyra mindre rektanglarnas area
A = 6x + 3x2 + 8 + Ax
2 +x
Alltså är (2 + x)(3x + 4) = 6x + 3x2 + 8 + 4x
Vi får samma resultat om vi först multiplicerar varje term för sig i den andra
parentesen med uttrycket i den första parentesen och sedan fortsätter för
enklingen
/ "A ^ 7>
(2 + x)(3x + 4) = (2 + x) • 3x + (2 + x) • 4 = 6x + 3x2 + 8 + 4x
Det motiverar följande metod att utföra multiplikation av två uttryck inom
parentes:
Varje term i första
(2 + x){3x + 4) = 2-3x+2-4 + x-3x + x- 4 parentesen multipli
ceras med varje term
i andra parentesen
= 6x + 8 + 3x2 + 4x = 3x2 + lOx + 8
Exempel: Multiplicera och förenkla uttrycken så långt som möjligt
a) (x + 3)(5 + x)
b) (4fl-3)(5-3a)
c) (3x-y)(2y + 2x) - (6x2 + 4xy)
lösning: a) (x + 3)(5 +x)=x-5 + x- x+ 3- 5 + 3- x:
5x + x2 + 15 + 3x^ Lägg ihop termer av samma slag
= X2 + 8x+ 15 (-3) • (-30) = 3 • 3o
b) (4a - 3)(5 - 3a) = 4a • 5 - 4a • 3a - 3 • 5 + 3 • 3a =
= 20a - 12a2 - 15 + 9a = 29a - 12a2 - 15
c) (3x-y)(2y + 2x) - (öx2 + 4xy) = Multiplicera ihop parenteserna
= 6xy + öx2 - ly2 - 2xy - 6x2 - 4xy = Lägg ihop termer av samma slag
= -2f
ALGEBRA O 1.1 ALGEBRAISKA UTTRYCK 11
