Matemática - Ciência e Aplicações - Manual do Professor

444 Pages·2016·52.24 MB·portuguese

by  Gelson Iezzi. . . [et. al.]

1
MANUAL DO
Matemática
PROFESSOR
ciência e aplicações
GELSON IEZZI
OSVALDO DOLCE
DAVID DEGENSZAJN
ROBERTO PÉRIGO
NILZE DE ALMEIDA
ENSINO MÉDIO
Componente
CurriCular
matemática
1o ano
ensino médio
MATEMATICA MCA_V1_PNLD2018_capa professor caracterizado.indd 1 5/6/16 6:53 PM
MATEMÁTICA
CIÊNCIA E APLICAÇÕES
Gelson Iezzi
Engenheiro metalúrgico pela Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Licenciado em Matemática pelo Instituto de
e Estatística da Universidade de São Paulo
Professor da rede particular de ensino em São Paulo
Osvaldo Dolce
Engenheiro civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Professor da rede pública estadual de São Paulo
David Degenszajn
Licenciado em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística
da Universidade de São Paulo
Professor da rede particular de ensino em São Paulo
Roberto Périgo
Licenciado e bacharel em Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo
Professor da rede particular de ensino e de cursos pré-vestibulares em São Paulo
Nilze de Almeida
Mestra em Ensino de Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo
Licenciada em Matemática pelo Instituto de Matemática e
Estatística da Universidade de São Paulo
Professora da rede pública estadual de São Paulo
COMPONENTE
CURRICULAR
MATEMçTICA
MANUAL DO Volume 1
1o ANO
PROFESSOR
ENSINO MÉDIO
Ensino Médio
9ª edição
São Paulo, 2016
001-006-MCA1-Iniciais-PNLD-2018.indd 1 8/1/16 3:03 PM
2
Matemática: ciência e aplicações – 1o ano (Ensino Médio)
© Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida, 2016
Direitos desta edição:
Saraiva Educação Ltda., São Paulo, 2016
Todos os direitos reservados
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Matemática : ciência e aplicações : ensino médio,
volume 1 / Gelson Iezzi. . . [et. al.] . – 9. ed. –
São Paulo : Saraiva, 2016.
Outros autores: Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze de Almeida
Suplementado pelo manual do professor.
Bibliografi a.
ISBN 978-85-472-0535-5 (aluno)
ISBN 978-85-472-0536-2 (professor)
1. Matemática (Ensino médio) I. Iezzi, Gelson.
II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David.
IV. Périgo, Roberto. V. Almeida, Nilze de.
16-02746 CDD – 510.7
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
Diretora editorial Lidiane Vivaldini Olo
Gerente editorial Luiz Tonolli
Editor responsável Viviane Carpegiani
Editores Juliana Grassmann dos Santos, Pedro Almeida do Amaral Cortez,
Érica Lamas
Gerente de produção editorial Ricardo de Gan Braga
Gerente de revisão Hélia de Jesus Gonsaga
Coordenador de revisão Camila Christi Gazzani
Revisores Diego Carbone, Larissa Vazquez, Maura Loria,
Raquel Alves Taveira
Produtor editorial Roseli Said
Supervisor de iconografi a Sílvio Kligin
Coordenador de iconografi a Cristina Akisino
Pesquisa iconográfi ca Fernando Cambetas
Coordenador de artes José Maria Oliveira
Design e Capa Sergio Cândido com imagens de Shutterstock,
Martin Bond/SPL/Latinstock, Shutterstock, Shutterstock
Edição de artes Marcos Zolezi
Diagramação Setup
Assistente Bárbara de Souza
Ilustrações Ari Nicolosi, Casa Paulistana de Comunicação, CJT/Zapt,
Ilustra Cartoon, Luigi Rocco, Milton Rodrigues, Setup,
[SIC] Comunicação, Wilson Jorge Filho/Zapt
Tratamento de imagens Emerson de Lima
Protótipos Magali Prado
732.741.009.001 Impressão e acabamento
O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra está sendo utilizado apenas para fi ns didáticos,
não representando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.
Avenida das Nações Unidas, 7221 – 1o Andar – Setor C – Pinheiros – CEP 05425-902
001-006-MCA1-Iniciais-PNLD-2018.indd 2 18/05/16 08:55
3
Apresentação
Caros alunos
É sempre um grande desafio para um autor definir o conteúdo a ser ministrado
no Ensino Médio, distribuindo-o pelos três anos. Por isso, depois de consultar as
sugestões da Secretaria de Educação Básica (entidade pertencente ao Ministério
da Educação) e de ouvir a opinião de inúmeros professores, optamos pelo seguinte
programa:
Volume 1: noções de conjuntos, conjuntos numéricos, noções gerais sobre fun-
ções, função afim, função quadrática, função modular, função exponencial, função
logarítmica, progressões, semelhança e triângulos retângulos, áreas das principais
figuras planas, trigonometria no triângulo retângulo e estatística descritiva.
Volume 2: trigonometria na circunferência, funções circulares, trigonometria em
um triângulo qualquer, geometria espacial de posição, áreas e volumes dos prin-
cipais sólidos, matrizes, sistemas lineares, determinantes, análise combinatória
e probabilidades.
Volume 3: geometria analítica plana, estatística descritiva, matemática financeira,
números complexos, polinômios e equações algébricas.
Ao tratar de alguns assuntos, procuramos apresentar um breve relato histórico
sobre o desenvolvimento das descobertas associadas ao tópico em estudo. Já em
capítulos como os que tratam de funções, matemática financeira e estatística des-
critiva, entre outros, recorremos a infográficos e matérias de jornais e revistas, como
forma de mostrar a aplicação da Matemática em outras áreas do conhecimento e
no cotidiano. São textos de fácil leitura, que despertam a curiosidade do leitor e
que podem dialogar sobre temas transversais, como cidadania e meio ambiente.
No desenvolvimento teórico, procuramos, sempre que possível, apresentar os
assuntos de forma contextualizada, empregando uma linguagem mais simples. En-
tretanto, ao formalizarmos os conceitos em estudo (os quais são abundantemente
exemplificados), optamos por termos com maior rigor matemático.
Tivemos também a preocupação de mostrar as justificativas lógicas das pro-
priedades apresentadas, omitindo apenas demonstrações exageradamente longas,
incompatíveis com as abordagens feitas atualmente no Ensino Médio. Cada nova
propriedade é seguida de exemplos e exercícios resolvidos, por meio dos quais é
explicitada sua utilidade.
Quanto às atividades, tanto os exercícios como os problemas estão organizados
em ordem crescente de dificuldade.
Cada capítulo do livro é encerrado com um desafio. Geralmente é um problema
mais complexo, que exige maior raciocínio, articulação e criatividade do leitor na
busca da solução. É mais uma oportunidade para vivenciar a resolução de problemas.
Os autores
001-006-MCA1-Iniciais-PNLD-2018.indd 3 5/13/16 3:18 PM
4
Conheça este livro
Aplicações
Incluem textos que ilustram o emprego de Troque ideias
conhecimentos matemáticos a outros campos, A seção propõe atividades que devem ser
Início do capítulo estabelecendo, por exemplo, um elo entre a realizadas em grupo. Tais atividades buscam
O início do capítulo recebe destaque especial Matemática e a Física ou entre a Matemática e despertar a curiosidade e levar o leitor a
e, sempre que possível, é introduzido com a Economia. Os textos aprofundam alguns construir novos conceitos, ou aprofundar
situações do cotidiano. conceitos e auxiliam a construção de outros. conteúdos já apresentados, além de favorecer
a autonomia e instigar a busca pelo
conhecimento.
194 260
111CAP000ÍTULO Semelhança e Aplicaç›es
triângulos retângulos Matemática, informática e trabalho Função afim 91
TTRROOQQUUEE IDEIAS
Construindo tabelas de frequência usando planilhas eletrônicas
Consideremos a situação seguinte: Funções custo, receita e lucro
bc oOPraanccC••Vsecí iafi aaleSnMBAcedmiooit,orae oeoao dsumssbm i. minsmre0edeadrpleo aivdro ac aalriumM hostdma a4nBfoi1nnais6ag sr atktâ rmauâuenq snnssreua.gi•clFleesoui:a m n aaala toeep efl:p in ggrnAqreuttutilurrsamoaesmea sg Aneld eqaoidturguasaaraá,eC fscmuierfcB ariomcrgi eetaepiidsusmbd cBHíeilaoarieteosal aadla rcour oi.ze aiA6mos Bsald na eeaqtcdosleé. o u bmdRdmiaoriafo idRse se iqs or dJFeefa udaoinuTngAeerer Oótsi ttsurrJaplcoe eâa Llierc:necnens goaaISCzgBot,ea naadaius Geicurle porn Evofnor idC,ematiRe agE2daad elsp0qo ucsarp1miuirce2.fróoea.ua radpnn i.pooA dc9ra0o e.e crnZAPT roatee nscstpo OPeoadrcncerínaafiedBnc dosoofrpei0 Magonoasun tnnaieruldoa s:e n ma8Bna3l2et gkee fmodiu gudeaumti rpBsararCtaraa luBHBâgse,reíoslil nritsouaiiz boBeoccmaennbtliaéeamttapR aeisnoirr datcTe rAóeFOpaaa Lm itocJfeSlocaâClr pgiadietgnaneeglsaa oRpCvnetiElnaiieaduetptiqcurorasdacizucoaolóaiano rfrdneiirooaassr ZAPT aVncfCAfs“uóíAea som3aoCrlditme) m c1uNBVOUF••••JVm lacapáúao0 aaaeou mai .fcmv daunoc rlsamj pusl dôamaaPrarotinina,pruamtcumai,l amso ig daeea ero ms,gnzdrasie biaigdnoicnai at:r,tan nnoeeg u aooaoste sm 1ihdidisedbenmeenlv lrssrapú:1ia,aoogarseem,tic d cç ioitoo5 dq,rnm arudpefii ãit spalrc,3auduátiaar ao o troioolna:avu aaon,n mecs rf: vsse nabsl8 mi . cuadl p asma3 lie aéasai4, pnoncúroes tnar5 m liao anoch rceshlán fta sué to einapsaufevooaeéáo r usismne ,s rinsrt. greníe ca3tonpl ivtisic savuértonp áretedcodacui i alrirssordimtcuion usesuçioeeg;eaoonasl lsãtçirsamn rbheírledseáieãeavou r máee;sjursDee so anvrrio letdpl moar , ei3 uf assoc deeouví rs, dpv,usoams si a;dsm istádoepo;s nct auatreaatci:aaboahbidg ealsnio ahbtsaeqel oilcCedtsaittooclelzuaséiai maa ovuez,la fdmlesa msoiuura l rd:oop e r b vdledonopeaa1sg ro tuaesscoao d p5oiuc di qlm hgefol“i f dêmazaorluo áfrnie eafaonrnapsaibí aeáq çs fimhlrclpnli óqiqõrauahtccoailaroudueaotaéaêamsn issêsoe.lsnnspc u t (un r daNddcierndé qlllca aiheseae( auocauiontq. ssa aoss ms apesso u O e cmdícap lea m•••ieauarésb albea e vrenamslmsbcpnx arusas t.pieaefooodlãiprlrpuahlaram ôirlaolaroávouionsrarenotse vian p t scepdpC direa dlcdisq eprao4role ”ra:..aeeeeul: l ne at5r sged21áiaten c ure7rmf naaeôaiul o atjmun f,cana1sru siéricre c5odcn alinaeeuoo) actls tlimnioidcearv ovdeoá re irn 1dHge errn?oáei6a a.6”odulrud n.a siusc aoteiCç;oozzrp sãaa ailf;aaruoísdr smrn, u aioàe cama pc afpcs eul: aosra (náe6d dnmpctg5ejeiieuecuso sfAanntinuqan tt dácnueotaeera cit idsd édoiaaqoie a ftP.iunu in. dvF)eánd.iaod srdiPditrcaoiãaaooddsromsuILUSTRAÇÕES: COLABORADORES DO LIBREOFFICEo.ae:. bmvVcdeffgppabcu)au)))rrra))) enieo mD smgnOdrA(EqUnIAERQCUNptsASptçdnRaeoeeoe sãteuoeoorEass ummo uadrdence) cqjso psdgamrsçm agçvsasr,iS eeiadee a ula rqao amaãe e qrltniphoedgémiio xraetradAvunronmétuvis d ioáro,ir navamavameo á aiee Caeap aisdmosFep fo?d,umv n dizn a. u. bo n(scieod r ee5l qnmtIRtoe dce(êEnetédxedEi lozeliOuorier eb )iespemm çnrlpeaa e, (e.m rCeta dio qnzCrãrn ts ptogvon i ednFqasoaseo udgêeVas rdmecr oes st1e r)ue?ué sáeegam usfes,im d Rst.d,uoe tdfrpdarcó s a opdqieieee OCatnadac moioecçedon eeocusfod dVçpexiiãrrbemeteds reoa ae. fã eleo(e.roaarsqitofcdoC a etoir re i b d drqoduamfnsddnçaotçs) n u ree q nueuaeeoesoeooeuim(hinpcu snjr use R r , atansLiiadtçnbe cca aadeao)e unrs ãúouune errd mtuei a dem orifpuoe m sgsodfgemeíi v acut tdcom len óe apeamopodef euRanno q núicnd rioráf exs d$p çt eefiou(unmdtetat qnonoioaõ essxooxi naior1atcdu,?omre queeo .o n çqo o, eoeen lrsuuiE p 4 ãíitonuosds(dl t tqsnieberC0o dr epad da eseepend puird. meeF ortnaesji idca)raeulgeáne ifppd abptoed ei d çr íatiandedneezoisdbEdie ooetdorsxeeon o,oncraarur d a e sr ioRe)odçod t dgzeev(o),ieco(acpr$nu e seieoç aR aoodaf r e b oãoc é duiirild)2sv oddsxnauo ut rrml ce ebea ueie s(ae 7qt sgoceixdnu e os c çrti0uoreadnma)bcaooirdnrãca o0emuv udochsers oeainc a, id o,tt se eudg( 0o (oéruolmtLsbamdcixuomuoaro0 setm,)idron)oadsma dts eu e u?daou ese u tlon ere f tpb ao )se mcrggal (iasn udco er rrCitmadtdrga aoooictamea( oág)laloelesrosmdl----,eifr áasez sçnieur(o cfdameooaCistizao d cerb r l)pid eiau.oido,lcta re o,eidcsPoosa,d évs dr naom d asdaoinerepgsãtsaraa ae.mos?o onédse sr qsaS dacacm dpfsoRrui r uoiíapo frív b$aançotcelese iia oatniçrslc3ltaaam r õ naiop,idvrv ma2det re aaoqeaoe s0irel,sf?fu ousc ei.enacspna a rrjsuedtNeeadilee rr sedcs pneamá tv p tensorçç dievmrotosãai neoaepv(dso Ca de pe eexum nnuio)cslb dz attaoomroer aircmsendu em.ila)r ôouto veeR daemnce ncnf enrneaeoipiotsxtc iidvCoossoot aaaa?éer.,.., G. EVANGELISTA/OPÇÃO BRASIL IMAGENS
Na GPEfiongemrtnu reeeerxsa romea Bm liRaz, ip aoamln odded,ied osa it,Jodâ ap annma.cerieiaard o eqi rseu sa eaS dsas iledsvptauâadanrosac r if,aei gt seesumnarstaor seds, ,uBt eaeemmslo c o AaHsp,:o iddtrai2iz i55os né 23t edd0 ''1e i m . 5Fmo 2r te3a, l meezmma .nBa, dfi'2g u5r a1 A5 ,m ombt.emos d1 5 46 mm. sqgeo,uu mdiedPe aaaf idrD,ca oa4d ssr iga áeo i Dsto"ag v1brua,0t laen,o rrior dneo ascs ed tadormoiatm"asp nloco, aés é l duo cpeélsa r lfevsuó acdlrailsome o DrDue 1ss4lea 2 clsae.o, c Drir5o1en0s spa, oroo mbna tdacee én(nlDduto4elas- ;s.De D1 o21 v 0ea),lo .e rSm 2e 8rsã0eo-, hén4 áo fh ev(nooiEter onacr eeespm,ss oesq-irrdMu vsaaaeEtdnióCsed r) roi daoU el,oom c lsirao,me meispn ed edrcuzvúaaarspat tdaó r6icoraii od hrt eaeoesdmrseaetr si uvv dqameetru ó 5arcrenh0iosde0e,io rotmv o.oa 3dOt ,róa escr suiároegjaor dluvo aeaest s áópcugrortieuioalciam zie sacsaedotn ásomte socr h c ndeaeosapico anoá.c ogaEidvdusoataaa d. r deOiene sp dveeaeúrsvrrcsáaato tr9asóiaem0r ri0c oero nemndatseo3l.tiv z rdQeuaradiuãr oaááon g uesdummeoar
idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9
Um pouco de história
Exemplos e exercícios resolvidos Desafio
O trabalho com a História da Matemática coloca
Todos os capítulos deste livro apresentam Ao final de cada capítulo é apresentado um
os alunos em contato com o processo de
séries de exercícios intercaladas em meio ao desafio com o objetivo de, mais uma vez,
construção do conhecimento e a criatividade na
texto. Muitas dessas séries são precedidas de permitir que o leitor vivencie a resolução de
resolução de problemas enfrentados pela
exemplos ou exercícios resolvidos, que problemas, estimulando sua criatividade e
humanidade no decorrer do tempo, situando
auxiliam o leitor a ampliar o repertório de seu raciocínio.
também os acontecimentos na linha do tempo.
exemplos apresentados no texto.
Áreas de figuras planas 241
Função exponencial 143 Um pouco mais sobre
UM POUCO DE HISTÓRIA Equação exponencial
d0npCis,oaoo3ó rU0M Bmsum rcmamiote ti e sd dlaohmeoen b ssátMa i ttlqmatiuecuu saarrpáe ia rsuéaa i po m rauoá tne,mrir st ree5ic gmro damooc elsdêL od os eude dnco mecdhuco raupm emmrmasep. pa tetridErnriâmmooitnâ o e Hdngs1nee g8ut cno5ouolr,o8rym liq ,o?gR ueehremsei snga edtie su gptearía,plo mppcsii oreAaDosLnrEA,oXS EtÃAiSfcbONeCso DÓPos rEACeRiRoIemA ASn.. c, RSMOE cooPAéMcRoC OmOK eDSAnce UYGr.poZ stRAcIARLrtrn TEaEauOXaSAh ST-A dNdÀd sDeF SOooEeeO-RATC O T HIUEGEDANRALARMDFYI EEAR N DHDTEIONE A D ARN,RE T1MTI8RQA7AUZ4TÁEO ©NR DIA OSEDOS AA CD LINAEEDAX EAA SSDNCEEÓDD EECD RIEDA HA APE NESNLOTRAICQY PI UEREDÁHRARMINIDOIDSES-., esquuSUaaUsãmç ompã ooema tx àêéep ntqopocunoidaaetoêsçn. ãncuociasi aaeis dx,dp opeo opmnrae eernasxcm eirameal s pébol aloavs,eqe aru asee leq(acqu oquamuaçõçe õ0 eae s,p ser 4exaspx ee5on na t8ea 8n, ac i119ian)i scex ó5,c god n8nai1íst,ai sea t npe9o lxie c 2emaxr p 3aroxe ped5nruo tz7epi2 rrd .ieaedm pabedoleos: mose nmoesm ubmroa sd dea Aonuolg afuipnnraso lc fduoenn dtdeaeúdtdeoorsms a ip npoaaddreotmisr dcsaaep rl íectuiotlumorspa. l edme etenxttaodso s
cAnisiúóhdmsmoEAcn eheectrlmsoero,esm e e 5aosmo1 sp d,P haeqparosurptcomieirrbr eocedlveon ademna eásgea riRssseest hameed i d ne ema edmoG é u o eetsmouosecd,m orrmoeiebb ttestâareunni arqgog auesuq erleufoi rxnoe.ep d qcrloáeou speqssneiãuo oteuee nd,mt ocapeo doánnorrtt e vertaaor, milcdâtoaen, m gdhuueámol o1 Put 6amriisp5âó,i0n rso goca u e.ddClloeee. s pHpMoiendantceurkyr a asRy ,ehd 1iren8 dAd7.l4 ieDv.xeaidtnadildheero Sd .ae m QuEanXdEo RissCo ÍéC pIoOssíSve lR, aE eSqOuaLçãVoI eDxpOonSeanx1c i5al apxo2 dVe sxe1 r5 fa xc2ilmente resolvida. 92
douotiAs••r o st0VAs,ri iMmcâA onAB,BA mg tMCeeu p m iCl5sooMóors s s Bb2uc:re ehm;sMlbBtãeâ osrn e egttr âuihânl nog5gsuC uclmolooe,ns d cgrioedrmutaâe nodng atmu ealsool,ts suut crrmAaaDo mn rdeg olarba2usst e iqvfnhiaugMtB eauasior;sa lpsa odadobe aCA isxCeo r:V d eMslo éc apdoon tpoDAa mraé, djb2uion dtoeBMh cAoCm V o 4 cbSabcRa))eo)))) sl0((0VVou,,1313lç55v 22ãxxa2 5 ))xx o255xx55ax : 55s2 1 12588 s10 e2 66114? g 44 5 V4VuV V 3ixn 12 S(1tS 3 (e 51 2–5s 515 )12 ex { ) { q2x518 2u–52x1 a234} ç 24}1õ 6Ve Vs 3e –m2xx 5 H 5 :3 46 V V 5 SVmC3V3Reoxxao o+ sm?ll3(Vp2Voso u12 x2roc l3f çv–2xo 5aas 1 ã+82ap)2 nz –u,ox8 13er2 d2x six ?:er1x+e1 o7a :–m2 d2 3r 312365 a3 5ax xx Hd? 3 + s ?5 e3 e x 2,13(2p m3 –s32 5 a3 r 3112Vxdo )xe 5–25s3a2p v3xe –s 3r x i g+Vx di4 34 ep3– u5ê5x1 5d3o in 2V n aV5tV3cêdt i e na eVx3 23( c3,s 2ex (5i 2xt a q3dx Se5) ?s+ uaxm 2: 51 sa–534 ) o ç 1+p 565;ã{s o(5.:6o3é xtV }+ê ep4 n2x )r5Sc pe5 i ao5cV isn2s .oe 32Pxn o–u c 3d65is aVae l-r: nmqtvOa1UMealaeugs)ceMzc e AueOEOenãre e mmmtods b IoespsP is Sau nf ártueveOtsolorã rtama ridvoSdaroenzeUauda a mOiqsgpnos toeeCuuao d.s Baex arel o PasOpan(s.lRv a tr ãetsosaieErrd ioEreaszrme miao êã empdisunuo sniaeclsc o acdprdasoishçea:odea,tõse, r l a siaerfaGpnd ã os ddrsíevo:nceioer2a m titv sofza eáeea? uã )ngn ail n6olot?udaaoa 0 r ae(çd dsetft ã - 5aiesausvmoe,mb em á f,ée 4ozr dpm iln tnaapoaa?aoes t o)n3aee d ssséqxoe0 isiq rpnmu ío ivl5uoetean euaerm d ltiinl 6nêevoaanetn imç.bsco?oecõ mia,tp2ai earasloo0as--r.s 5a m...S 5iem n0u456213,lt5aeç ?ã 2op40rop(VLa/0o1m6412z,05ãrinoc) ionaT(iem122sm316240020i00np)o
L•o AgoM: BADA MéB Du 5m rb2et â? nIvpdhnoreg sec 5puusêism lrP ãroaeboE n rs cN edod2?utol Saâvhj- Eenasár ge sriN5ae unda Iloao S iAd m ?TpsFeAooOr eBonuluC:ntbmeçslA ãed õtomeMre apaaspe p 5s5ésqrz2eãu is,ioosb2 ead :ni: os Bt eó aOP sdYaBcEapeMR l,ipe rCos aa5 rrédla Be o.oh HbR pitshitrd—ionraibad ald,e a emp Mmaaar t tqe5imru1 ‡de,t i accaa o á. em3rxae -oead . São Paulo: Edgard Blucher, 2010. 2267 EbcefRRdbcaa)X))ee)))))) ss27 12438Eoo50xxxxx7ll12vv xR55 5553xaa+ x5,, x C2 5 82ee731 5 5mm15269 Í1 6 C 10HH31202,,I 5 aa0Oss0 ss0Seegguuiinn tteess eeghidfjkeqq))))))) )uu aa024309çç,5xxx,1512õõ 14+55xee xx 51ssxx 55 5 255ee 12 6xx 300 pp223,oo6053nn121ee5nncciiaaiiss:: 2289 gAncavaeCabt5r(ínpnío)o))nptv tao7)mseai0QQmr o)r,slel 5 6t, ie duua2esga( emtetaa? nmxa ssa 2ll5+4át et sudeooi5 gé–c m1 m0no, a0 0 ud, v25at, ua a,t oa0 oa.r emm e1 l p0vs Qossmea,nta0 e1r u ial2qe rrm roe2adetnvs,u?rarl5 desaa oci.eémez(st.u-a 1.ó ss aaz)oodeeem,r çpa c0i n o ãtoq ióovuàe5mt o,ua sonm ni)od,m etló. t,aioiap ca etvo orqaísodmeep ehvbunn lo(ina n voii)níts lrv ea d)rip eaáe,eac so taa lreg e14 d eri pmidsojastmatasaee,? eát x r d adosdárdt5riei eog eoeardsn usa d,ndepus úai18so íaseamveem , (FCerjn depaaaA lAed tma pmea‚nrrqeDtletoaA( a uauEumtgr u )eRatnNdd alma5e leNioO??ee---iO 2ctcReooaem)nn DOtACptspeiosto dmorrv (pmbduxoea pr,r(u il osonarooySra nebo)pre eus sdss l ocn 1emaxeeroo eroçt rro-e ncvgãaqesg biesoyueduoçtr,s l ua aásneaaãnàãndzfrr a oievio vtrcdàeiaseaa so d axt nzg.tqe opdueãtd ubreeeraoca‡eç,rtssa iia p dfdêsxglv iio oanops?arc ,t aic azys fapaniqo rãad5aatdoun esare a eta;ksde zen ru(a,aoomet kcase od p g isréq mufi rrt gouuczoáearorienmdfn,a i n cçcusdnpvaãsoetdoatoroo raa-eme e sncszrsdleeoetaatt eoepá sscarr) ri ei,oevz dansaauseTzam enzdã(mmm2 tougà4a pi adn0 ràom)asea m gncmeratdeaaoptenddaazdedocae;ie dqsz,t a auroiidsnep e stvlpieã cedamoarro nsadp ad tioctamoaa nd-dsesqo aienunb petarvaea e(vr; 1r pad.s2.zrea.0ão mv opLa )eodl.onrarct efiesoo nntaei,s o.
só assumem valores positivos).
Pense nisto AVe cjau rcvoam oob tipdoad ée mchoasm daedtae rhmipinéarrb oo ltee.mpo t
necessário para encher o tanque se a vazão da
Ctaelhgxatuomm ca oddnaevstai dclhuaernt dadoso sotãe olxe tiiotno,t rea rplcgaaurlama darae pfsl ereotmipr r simeodebairoed ea o EGnexrasetnardc esíec vçioaãrosie qduaed ete dme peoxer rocbícjieotsiv éo pcroonpsooslitdaa r os x1fi(nvoi4mavn ezPUDstaãreeaadmso graíéaa uam1 ?m d nem3teeeden n a?nmoc1 tnthtse3pe e.e 5 opirLr9 ) /ra o1m,o é2é 2p i3t cn0uoao . srnmVncaqisriou tnatnae, n 5da osites ãeuf:1o i 1 neo2 s3 i n0eçipgãej aruAcoo,ae d dls99 usea ,át 2 mgor13ir o2ia.n s0nu .datoepzsra oes- 1263210000200,512 4 6 10 (LV/amziãno)
ou alguma solução para um problema. conteúdos e conceitos abordados.
001-006-MCA1-Iniciais-PNLD-2018.indd 4 5/13/16 3:18 PM
5
Sumário
Sumário
Capítulo 1 — Noções de conjuntos Capítulo 4 — Função afim
ISIgnutubPrarocoloddpnuarijdçeuãedno atd d.o..e.e.s. .s. c. .–.do. ..arn...e .jr..ule.a..nl..aç..t.çã.o.ã.o..so. . ..d ....d....e..e.... .. ..i..i..nn......cc......ll..u..u......ss....ã..ã....o..o........ ..................................................................................................................7799 FFInuutnnGroççrããádfoouic çlcoiãon ..o.ne.. ..sa......t..r..a.. .........n.........t.........e......... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................77770124
Interseção e reunião ......................................1..1 Grandezas diretamente proporcionais ............................77
Propriedades da rela..ç..ã...o... ..e... ..d...a... .r..e...u...n....i.ã...o.....................................14 Raiz de uma equação do 1o grau ...........................................79
Diferença ..................................15 Taxa média de variação da função afim ........................81
...........................................................................................................
Aplicações – Movimento uniforme
Capítulo 2 — Conjuntos numéricos e movimento uniformemente variado 83
...............................
Introdução 18 Função afim crescente e decrescente 84
....................................................................................................... ...............................
O conjunto F 18 O coeficiente angular 84
................................................................................................ .........................................................................
O conjunto J 19 O coeficiente linear 86
................................................................................................. ..............................................................................
Números inteiros opostos 20 Sinal 86
............................................................... .......................................................................................................................
Módulo de um número inteiro 20 Inequações 88
.................................................. ......................................................................................................
Interpretação geométrica ...............................................................20 Troque ideias – Funções custo, receita e lucro .......91
Troque ideias – Investigação e argumentação Um pouco mais sobre: Grandezas
em Matemática ..........................................................................................22 inversamente proporcionais .......................................................92
O conjunto G 23
................................................................................................ Capítulo 5 — Função quadrática
Representação decimal das frações 23
Representação fracionária das dízim ...a...s... .p....e..r..i..ó...d...i..c..a...s.......25 Introdução .......................................................................................................94
.... Gráfico 95
Representação geométrica do conjunto .................................................................................................................
dos números racionais 25 Raízes de uma equação do 2o grau .....................................97
...................................................................... Quantidade de raízes 98
Oposto, módulo e inverso de ..........................................................................
um número racional 26 Soma e produto das raízes .........................................................100
O conjunto K ............................................................................27 Forma fatorada .....................................................................................101
O conjunto H ... .d....o....s.. ..n....ú...m......e...r..o....s... .r...e...a...i..s..............................................28 Coordenadas do vértice da parábola .............................102
............................................ O conjunto imagem 104
Representação geométrica do conjunto ...........................................................................
dos números reais 29 Troque ideias – A receita máxima .......................................105
Intervalos reais .................................................................................31 Esboço da parábola ...........................................................................106
Um pouco de Hi s...t..ó....r..i..a... ..–... ..O.... ..n...ú....m......e...r..o.... .d....e... ..o....u...r...o..................33 Sinal ....................................................................................................................109
Razão, proporção e porcentagem ...............34 D . 0 ............................................................................................................109
Razão ........................................34 D 5 0 ............................................................................................................110
Propor .ç...ã...o........................................................................................................34 D , 0 ............................................................................................................110
Porcentage ..m...................................................................................................35 Inequações ...................................................................................................111
.............................................................................................. Um pouco mais sobre: Eixo
Troque ideias – Matemática e
Geografia: Escalas 38 de simetria da parábola ................................................................114
...................................................................................
Capítulo 6 — Função definida por
Capítulo 3 — Funções
várias sentenças
A noção intuitiva de função 39
A noção de função como relaç ...ã....o.... ..e....n.....t..r...e.... ..c...o.....n....j..u.....n....t...o....s..........42 Função definida por mais de uma sentença ..........115
Notação .......43 Gráfico ..............................................................................................................118
Funções de ..f...i.n....i..d...a....s.. ..p....o...r.. ..f...ó...r..m......u...l..a...s.................................................44 Módulo de um número real ......................................................120
Domínio e contradomínio ............................................................47 Interpretação geométrica ............................................................120
Determinação do domínio.................................................................................47 Propriedades ...........................................................................................121
Conjunto imagem .............................................................48 Função modular .....................................................................................122
.................................................................................. Gráfico 122
Um pouco de História – O desenvolvimento .........................................................................................................
do conceito de função 49 Outros gráficos .....................................................................................123
Leitura informal de grá ..f...i..c....o.....s............................................................................50 Equações modulares .........................................................................124
O plano cartesiano .........................................................................53 Inequações modulares ....................................................................126
.........................................................................................................
Representação de pontos em uma reta ..............................53 Capítulo 7 — Função exponencial
Representação de pontos em um plano 54
Construção de gráficos ............................55 Introdução ....................................................................................................127
Análise de gráficos ..........................................................................................59 Potência de expoente natural ................................................128
Conceitos .........................................................................................................60 Propriedades ...........................................................................................129
O sinal d...a.... ..f...u....n....ç...ã....o..................................................................................................................................................................................................60 Potência de expoente inteiro negativo ........................129
Crescimento/decrescimento ..........................................................61 Propriedades ...........................................................................................130
Máximos/mínimos .................................................................................61 Troque ideias – Notação científica ....................................131
Simetrias ........................................................................................................61 Raiz n-ésima (enésima) aritmética ....................................132
Taxa média de variação de uma função .................................64 Propriedades ...........................................................................................132
Aplicações – A velocidade escalar média e Potência de expoente racional ..............................................133
a aceleração escalar média 69 Propriedades 134
............................................................................. ...........................................................................................
001-006-MCA1-Iniciais-PNLD-2018.indd 5 5/13/16 3:18 PM
6
Sum‡rio
Potência de expoente irracional 135 Critérios de semelhança 201
.......................................... ................................................................
Potência de expoente real ..........................................................136 AA (ângulo – ângulo) ......................................................................201
Função exponencial ...........................................................................136 LAL (lado – ângulo – lado) ..........................................................202
Gráfico .........................................................................................................136 LLL (lado – lado – lado) .................................................................203
O número e .............................................................................................137 Consequências da semelhança de triângulos .......206
PGrroápfircieods acdoems ..t..r..a...n...s...l.a...ç..ã...o.... ..............................................................................................................................113480 PSTereirgmcueenirirdaa a c cocoonnnsseseqeqquuuêênênnccicaiaia .. ....................................................................................................................................222000677
Aplicações – Mundo do trabalho e as .....................................................................
curvas de aprendizagem 142 O triângulo retângulo .....................................................................208
Equação exponencial ..............................................................143 Semelhanças no triângulo retângulo .................................208
........................................................................ Relações métricas 209
Troque ideias – Os medicamentos ................................................................................
Aplicações notáveis do teorema de Pitágoras 210
e a Matemática 145 ............
....................................................................................... Um pouco de História – Pitágoras de Samos 211
Aplicações – Meia-vida e radioatividade 146 ........
....................
Capítulo 11 — Trigonometria no triângulo
Capítulo 8 — Função logarítmica
retângulo
Introdução 148
.................................................................................................... Um pouco de História – A trigonometria 214
Logaritmos 149 ...................
................................................................................................... Razões trigonométricas 215
Convenção importante ...................................................................150 Acessibilidade e inclinaç ..ã..o.... .d....e... .u...m.....a... ..r..a...m.....p...a......................215
Consequências.......................................................................................150 Tangente de um ângulo agudo ...................216
...............................................
Um pouco de História – A invenção Tabela de razões trigonométricas 217
dSiosste lmogaasr idtem loosg..a....r..i..t..m.....o....s... ..................................................................................................................................115523 ÂnSgeunloo se ncoostsáevneoi sd ..e... .u....m..... .â...n...g....u...l.o.... .a...g... u........d......o...... .............................................................................................221284
Propriedades operatórias ............................................................154 Troque ideias – Relações entre as
Logaritmo do produto ....................................................................154 razões trigonométricas ..................................................................227
Logaritmo do quociente 154
............................................................... Capítulo 12 — Áreas de figuras planas
Logaritmo da potência 155
Mudança de base ...................................................................158 Introdução ....................................................................................................228
Propriedade .................................................................................158 Área do retângulo................................................................................229
Aplicação im ..p...o...r..t..a...n...t..e.........................................................................159 Área do quadrado ................................................................................230
Função logarítmica ......................................................................160 Área do paralelogramo ..................................................................232
............................................................................. Área do triângulo 234
Gráfico da função logarítmica 160 .................................................................................
................................................. Casos particulares 235
Função exponencial e função logarítmica .....................161 Área do losango ...............................................................................237
Propriedades do gráfico da função logarítmica........163 Área do trapézio .....................................................................................240
Aplicações – Os terremotos e os logaritmos 165 ....................................................................................
.......... Um pouco de História – Como obter a área de
Equações exponenciais ..................................................................167 um triângulo isósceles a partir de um retângulo? 241
...
Aplicações – Os sons, a audição Área de um polígono regular 242
..................................................
humana e a escala logarítmica .............................................169 Área do círculo e suas partes ..................................................244
Capítulo 9 — Progressões Área do círculo ......................................................................................244
Área do setor circular 246
Sequências numéricas 171 ......................................................................
................................................................... Área da coroa circular 247
Formação dos elementos de uma sequência ..............172 Área do segmento circ ..u...l..a..r............................................................248
Progressões aritméticas 174 ..........................................................
...............................................................
Troque ideias – Observação de regularidades 174 Capítulo 13 — Estatística básica
......
Classificação ............................................................................................175 Entenda o papel da Estatística ..............................................250
Termo geral da P.A. ...........................................................................175 Pesquisas estatísticas .......................................................................252
Soma dos n primeiros termos de uma P.A. ..................178 Etapas da pesquisa estatística ...............................................253
Progressão aritmética e função afim ..................................181 Amostragem ...........................................................................................253
Progressões geométricas ...........................................................182 Variável ............................................................................................................254
Troque ideias – A propagação de uma notícia ....182 Tabelas de frequência ......................................................................255
Classificação 183 Aplicações – Matemática,
............................................................................................
Termo geral da P.G. ...........................................................................183 informática e trabalho....................................................................260
Soma dos n primeiros termos de uma P.G. ..................186 Representações gráficas ...............................................................262
Soma dos termos de uma P.G. infinita .............................188 Gráfico de barras ................................................................................262
Progressão geométrica e função exponencial ............191 Histograma ...............................................................................................263
Um pouco de História – A sequência de Fibonacci ..192 Gráfico de setores ..............................................................................264
Gráfico de linhas 265
.................................................................................
Capítulo 10 — Semelhança e triângulos Pictograma 265
...............................................................................................
retângulos Aplicações – Os censos demográficos 271
...........................
Semelhança .................................................................................................194 Tabela trigonométrica .....................................................................272
Semelhança de triângulos ..........................................................197 Respostas .......................................................................................................273
Razão de semelhança ......................................................................198 Índice remissivo ......................................................................................287
Teorema de Tales .................................................................................199 Sugestões para os estudantes ...............................................288
Teorema fundamental da semelhança ..............................200 Referências bibliográficas ...........................................................288
Manual do Professor –
Orientações Didáticas .......................289
001-006-MCA1-Iniciais-PNLD-2018.indd 6 5/13/16 3:18 PM
7
CAP1ÍTULO
Noções de conjuntos
Introdução
De uso corrente em Matemática, a noção básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita in-
tuitivamente e, por isso, chamada noção primitiva. Ela foi utilizada primeiramente por Georg Cantor
(1845-1918), matemático nascido em São Petersburgo, Rússia, mas que passou a maior parte da vida
na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos e
discerníveis, chamados elementos do conjunto.
Pretendemos aqui introduzir alguns conceitos que também consideramos primitivos:
• conjunto: designado, em geral, por uma letra latina maiúscula (A, B, C, ..., X, Y, Z);
• elemento: designado, em geral, por uma letra latina minúscula (a, b, c, ..., x, y, z);
• pertinência: a relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo O, que se lê “pertence a”.
Assim, por exemplo, se A é o conjunto das cores da bandeira do Brasil, designadas por v (verde),
a (amarelo), z (azul) e b (branco), podemos falar que v, a, z, b são elementos de A, o qual pode ser re-
presentado colocando-se os elementos entre chaves, como segue:
A 5 {v, a, z, b}
Dizemos, então, que v O A, a O A, z O A e b O A.
OBSERVAÇÕES
• Os símbolos Ó e 8 são usados para expressar as negações de O e 5, respectivamente.
No exemplo acima, temos v 8 a, v 8 z, v 8 b, a 8 z, a 8 b, b 8 z e, se designarmos a cor preta por p, temos que
p Ó A.
• Além de poder ser descrito enumerando-se um a um seus elementos, como mostrado no exemplo anterior, um con-
junto pode ser designado por uma propriedade característica de seus elementos. Nesse caso, podemos representá-lo
da seguinte forma:
A 5 {x | x é cor da bandeira do Brasil}
R
(lê-se: tal que)
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais se todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento
de B pertence a A.
Assim, por exemplo:
• se A 5 {a, b, c} e B 5 {b, c, a}, temos que A 5 B;
• se A 5 {x | x 2 2 5 5} e B 5 {7}, temos que A 5 B;
• se A é o conjunto das letras da palavra “garra“ e B é conjunto das letras da palavra “agarrar“, temos
A 5 B. Note que, dentro de um mesmo conjunto, não precisamos repetir elementos. Apesar de a palavra
“garra” ter cinco letras e a palavra “agarrar” ter sete, temos {g, a, r, r, a} 5 {a, g, a, r, r, a, r} 5 {a, g, r}.
007-017-MCA1-Cap01-PNLD-2018.indd 7 5/13/16 3:19 PM
8
CAPÍTULO 1
OBSERVAÇÕES
• Há conjuntos que possuem um único elemento, chamados conjuntos unitários, e
há um conjunto que não possui elementos, chamado conjunto vazio e indicado por
{ } ou [. Por exemplo:
a) São conjuntos unitários:
A 5 {5}
B 5 {x | x é capital da França} 5 {Paris}
b) São conjuntos vazios:
C 5 conjunto das cidades de Goiás banhadas pelo oceano Atlântico 5 [ Não, pois apesar de ambos serem
unitários, temos:
D 5 {x | x 8 x} 5 [ a O {a} e a Ó {{a}}; {a} O {{a}} e
{a} Ó {a}.
• Há conjuntos cujos elementos são conjuntos, como, por exemplo:
F 5 {[, {a}, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} PENSE NISTO:
Assim, temos: [ O F; {a} O F; {c} O F; {a, b} O F; {a, c} O F e {a, b, c} O F.
Observe que a Ó F e c Ó F, pois a e c não são elementos do conjunto F. Os conjuntos {a} e
Logo, a 8 {a} e c 8 {c}. {{a}} são iguais?
EXERCÍCIOS FAÇA NO
CADERNO
1 Indique se cada um dos elementos 24; 1; 3 e 0,25 4 Dado H 5 {21, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos
3
conjuntos seguintes enumerando seus elementos.
pertence ou não a cada um destes conjuntos:
A 5 {x | x O H e x , 1}
A 5 {x | x é um número inteiro} | 2x 2 1
B 5 x x O H e 5 1
B 5 {x | x , 1} 3
C 5 {x | 15x 2 5 5 0} C 5 {x | x O H e x é um quadrado perfeito}
D 5 {x | x O H e x , 0}
| 1
D 5 x 22 < x <
4 E 5 {x | x O H e 3x 1 1 5 10}
2 Considerando que F 5 {x | x é estado do Sudeste 5 Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma
brasileiro} e G 5 {x | x é capital de um país sul- das sentenças seguintes:
-americano}, quais das sentenças seguintes são a) 0 O [
verdadeiras?
b) {a, b} O {a, b, c, d}
a) Rio de Janeiro O F
c) {x | 2x 1 9 5 13} 5 {2}
b) México O G
d) a O {a, {a}}
c) Lima Ó G
e) {x | x , 0 e x > 0} 5 [
d) Montevidéu O G
f) [ O {[, {a}}
e) Espírito Santo Ó F
f) São Paulo O F 6 Em cada caso, identifique os conjuntos unitários
e os vazios.
3 Em cada caso, reescreva o conjunto dado enume- A 5 {x | x 5 1 e x 5 3}
rando seus elementos:
B 5 {x | x é um número primo positivo e par}
A 5 {x | x é letra da palavra “beterraba”}
B 5 {x | x é nome de um estado brasileiro cuja C 5 x | 0 , x , 5 e 3x 1 5 5 4
2
letra inicial é p} D 5 {x | x é capital da Bahia}
| a
C 5 x x 5 , em que a e b são números inteiros, E 5 {x | x é um mês cuja letra inicial do nome é p}
b
a 8 b, 1 , a , 4 e 1 , b , 4 F 5 x | 2 5 0
x
007-017-MCA1-Cap01-PNLD-2018.indd 8 5/13/16 3:19 PM
9
Noções de conjuntos
OBSERVAÇÃO
John Venn (1834-1923), matemático e lógico inglês, usou uma região plana limitada por uma 0
linha fechada e não entrelaçada para representar, em seu interior, os elementos de um conjun- 2
8
to. Essa representação é conhecida como diagrama de Venn.
A
Assim, por exemplo, temos a figura ao lado, que mostra uma representação do conjunto
6 4
A 5 {0, 2, 4, 6, 8} por meio de um diagrama de Venn.
Subconjuntos – relação de inclusão
Consideremos os conjuntos A 5 {x | x é letra da palavra “ralar”} e
B 5 {x | x é letra da palavra “algazarra”}; ou seja:
A 5 {r, a, l} e B 5 {a, l, g, z, r}
Note que todo elemento de A é também elemento de B. Nesse caso, dizemos
que A é um subconjunto ou uma parte de B, o que é indicado por:
A S B (lê-se: A está contido em B, ou A é um
subconjunto de B, ou A é uma parte de B),
ou, ainda:
B T A (lê-se: B contém A)
De modo geral, temos:
A S B se todo elemento de A também é elemento de B.
OBSERVAÇÕES
• O símbolo S é chamado sinal de inclusão e estabelece uma relação entre dois conjuntos.
A relação de inclusão entre dois conjuntos, A e B, pode ser ilustrada por meio de um diagrama B
de Venn, como na figura ao lado.
• Os símbolos ÷ e À são as negações de S e T, respectivamente. A
Assim sendo, temos:
A ÷ B se pelo menos um elemento de A não pertence a B. A S B
Propriedades da rela•‹o de inclus‹o
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, temos:
• [ S A
• Reflexiva: A S A.
• Transitiva: Se A S B e B S C, então A S C.
• Antissimétrica: Se A S B e B S A, então A 5 B.
Veja os exemplos a seguir.
EXEMPLO 1
Dados os conjuntos A 5 {0, 1, 2, 3}, B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5} e C 5 {0, 2, 5}, temos:
a) • A S B, pois todo elemento de A pertence a B;
• C ÷ A, pois 5 O C e 5 Ó A;
• B T C, pois todo elemento de C pertence a B; 4
3 2
• B ÷ A, pois 4 O B e 4 Ó A, e também 5 O B e 5 Ó A. A 1 0 C
5
b) Os conjuntos A, B e C podem ser representados pelo diagrama de
B
Venn ao lado.
007-017-MCA1-Cap01-PNLD-2018.indd 9 5/13/16 3:19 PM