Table Of ContentAbhangigkeitsgraph
---. , 1r --- 13
,...... ~
Vorbereitungsband Grundlagen Lineare Algebra
!
3 , 2 14
Differential-
r- ~ und Lineare
Unendliche Reihen Integralrechnung Optimierung
..
~
Gewohnliche 71 14- Differential- 4 15
Differential- I-- rechnung mit ---+ Nichtlineare ~
gleichungen mehreren Variablen Optimierung
~ ~ ~
72 5", 6
Gewohnliche I ntegralrechnung ~
~ Differential- .-1- mit ~ Optimale Prozesl
gleichungen mehreren Variablen und Systeme
~ ~
17
----
Partielle 814 6~ Wahrscheinlich-
Differential- ~ Differential- ~ keitsrechnung,
gleichungen geometrie math. Statistik
i I J
~
9 10 2t
~
Komplexe
1--,....
Funktionen Operatorenrechnung Spieltheorie ""'"
~ ~
212
12 11
~
Spezielle Tensoralgebra ft ~~
Funktione•n und -analysis G raphentheorie
18 20
..... ~ Stochastische 191~
Numerische Prozesse
Methoden Simulation ~ und Modelle
•
~
I
22 23
192~
~ It Statistische
Funktionalanalysis Symmetriegruppen Versuchsplanung
...
MATHEMATIK FOR INGENIEURE, NATURWISSENSCHAFTLER,
OKONOMEN UND LANDWIRTE . BAND 9
Herausgeber: Prof. Dr. O. Beyer, Magdeburg' Prof. Dr. H. Erfurth, Merseburs
Prof. Dr. O. Greuel t . Prof. Dr. C. OroBmann, Dresden
Prof. Dr. H. Kadner, Dresden' Prof. Dr. K. Manteuft'el, Magdeburs
Prof. Dr. M. Schneider, Karl-Marx-Stadt • Doz. Dr. G. Zeidler, Berlin
PROF. DR. O. GREUELt
PROF. DR. H. KADNER
Komplexe Funktionen und
konforme Abbildungen
3. AUFLAGE
a;
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1990
LEIPZIC
Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird seither herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth, Prof. Dr. Otto Greuel t, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Doz. Dr. Günter Zeidler
Außerdem gehören dem Herausgeberkollektiv an:
Prof. Dr. Manfred Schneider (seit 1989), Prof. Dr. Christian Großmann (seit 1989)
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Dr. rer. nat. habil. Horst Erfurth, ordentlicher Professor an der Technischen Hochschule „Carl
Schorlemmer", Merseburg
Autoren:
Prof. Dr. Otto Greuel t
Dr. rer. nat. habil. Horst Kadner, ordentlicher Professor für Mathematische Kybernetik und
Rechentechnik an der Technischen Universität Dresden
Am 9. Oktober 1977 wurde der Mitherausgeber dieser Lehrbuchreihe und Autor des Bandes 9,
Prof. Dr. Otto Greuel, durch einen tragischen Unglücksfall mitten aus seinem schaffensreichen
Leben gerissen. Prof. Dr. Greuel hat mit hohem Einsatz an der Entwicklung der Lehrbuchreihe
„Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte" mitgewirkt. Wir
werden ihm stets ein ehrendes. Andenken bewahren und das Lehrwerk in seinem Sinn weiter
führen. Herausgeber und Verlag
Als Lehrbuch für die Ausbildung an Universitäten und Hochschulen der DDR anerkannt.
Berlin, Mai 1989 Minister für Hoch- und Fachschulwesen
Greuel, Otto:
Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen /
O. Greuel; H. Kadner. - 3. Aufl. - Leipzig :
BSB Teubner, 1990.
(Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler,
Ökonomen und Landwirte ; 9)
NE: Kadner, Horst: ; GT
ISBN 978-3-322-00722-3 ISBN 978-3-663-12195-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-12195-4
Math. Ing. Nat.wiss. ökon. Landwirte, Bd. 9
ISBN 978-3-322-00722-3
© Springer Fachmedien Wiesbaden, 1978
Ursprünglich erschienen bei BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig in 1978
3. Auflage
VLN 294-375/42/90 • LSV 1034
Lektor: Dorothea Ziegler
Gesamtherstellung: IV/2/14 VEB Druckerei „Gottfried Wilhelm Leibniz", 4450 Gräfenhainichcn
Bestell-Nr. 665 783 3
00960
Vorwort zur zweiten Auflage
Die zweite Auflage dieses Lehrbuches wurde yom verantwortIichen Herausgeber
der ersten Auflage iiberarbeitet. An dieser Stelle sei insbesondere Herrn Prof. Dr.
H. Poppe fiir seine wertvollen Anderungsvorschlage zur ersten Auflage gedankt.
Dresden, Marz 1980 H. Kadner
Inhalt
1. Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Komplexe Zahlen ......................................................... 6
2.1. Grundbegriffe ............................................................ 6
2.2. Betriige. Ungleichungen .................................................... 8
2.3. Die Riemannsche Zahlenkugel .............................................. 10
2.4. Punktmengen ... ... .. . .. . . ..... . . .. ..... . . . . . ... ...... .. . . . ...... . ....... . 12
2.5. Kurven, Bereiche, Gebiete in der komplexen Zahlenebene ...................... 17
2.5.1. Kurven .................................................................. 17
2.5.2. Bereiche und Gebiete ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Funktionen einer komplexen Veriinderlichen ...... . . . . . . . . . . . .. . . . . . ......... . 24
3.1. Definition und geometrische Veranschaulichung ........... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . 24
3.2. Grenzwert, Stetigkeit ...................................................... 28
3.3. Differentiation im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
3.3.1. Definition der Ableitung. Rolomorphe Funktionen ............................ 30
3.3.2. Allgemeine Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
3.3.3. Die Cauchy·Riemannschen Differentialgleichungen. Die Laplacesche Differential-
gIeichung .......................................•........................ 33
4 InhaJt
3.4. Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5. Elementare Funktionen komplexer Veriinderlicher ............................. 42
3.5.1. Die Potenzfunktion w = z" ....••... .. . . . . . ... . ... . .. . . ... . . .... . . .... . . .... 42
3.5.2. Ganze rationale Funktionen ................................................ 44
3.5.3. Rationale Funktionen ..................................................... 45
3.5.4. Die Exponentialfunktion ................................................... 46
3.5.5. Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.6. Die trigonometrischen Funktionen .....•.................................... 51
3.5.7. Die hyperbolischen Funktionen .................................•........... 55
4. Integration im Komplexen ................................................. 58
4.1. Bestimmtes Integral. .. . . . .... . .... ...... . . ..... ... .. . . . . ........ . . ... . .. . .. 58
4.2. Cauchyscher Integralsatz und Foigerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3. Berechnung von Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen .................... 66
4.4. Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5. Reihenentwicklungen. Singuliire StelIen.......... ............................. 73
5.1. Reihen mit komplexen Gliedem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
5.2. Funktionenreihen. Potenzreihen ..............••••••••....................... 74
5.3. Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4. Entwicklung holomorpher Funktionen in Laurentreihen ..••••. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5. Isolierte singuliire Stellen und Residuum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5.1. Isolierte singuliire Stellen und Verhalten im Unendlichen ....................... 85
5.5.2. Residuum ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6. Berechnung reeller IntegraJe mit Hilfe der Integration im Komplexen ............ 94
ZJit
5.6.1. Integrale der Form R(cos t, sin t) dt ...................................... 94
o
J(J()
5.6.2. Uneigentiiche Integrale der Form I(x) dx ................................. 95
-00
5.7. Einteilung der Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6. Beispiele zu konformen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1. Abbildungen durch gebrochen Iineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
6.1.1. Abbildung durch ganze !ineare Funktionen ................................... 98
1
6.1.2. Abbildung durch die Funktion w = - ...................................... 101
z
az. + b
6.1.3. Abbildung durch die allgemeine gebrochen lineare Funktion w = -c-z -+d ........ 106
6.1.4. Hinweise auf weitere praktisch wichtige Abbildungen .......................... 108
6.2. Schwarzsches Spiegelungsprinzip ............................................ 109
6.3. Abbildung einfach zusammenhangender Gebiete auf das Innere eines Kreises ... 111
Losungen der Aufgaben .............................................................. 114
Literatur ........................................................................... 126
Namen-uI1d Sachregister ............................................................. 126
1. Einfiihrung
Der vorliegende Band enthalt die fUr den Ingenieur und Naturwissensehaftler
wiehtigsten Gebiete der komplexen Funktionen und konformen Abbildungen.
Die Theorie der komplexen Funktionen (Funktionentheorie) steht als Teilgebiet
der Mathematik in wechselseitigen Beziehungen zu fast allen Gebieten der Mathe
matik und besitzt fur viele theoretische sowie praktisehe Untersuchungen groBe
Bedeutung. Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen treten in vielen
praktischen Anwendungen der Mathematik auf und stell en fUr Ingenieure und
Naturwissensehaftler unentbehrliche Hilfsmittel dar. Untersuchungen in der Stro
mungslehre, der Elektrotechnik, der Regelungstechnik, der Elastizitatstheorie und
in anderen Gebieten sind heute ohne Anwendung der Funktionentheorie kaum mehr
denkbar.
Bedeutende Mathematiker der Vergangenheit, wie z. B. L. Euler (1707 -1785),
J.-L. Lagrange (1736 -1813), C. F. GauB (1777 -1855), A.-L. Cauchy (1789 -1857),
K. WeierstraB (1815-1897), B. Riemann (1826-1866) u. a. haben entseheidend zur
Entwieklung dieses Teilgebietes der Mathematik beigetragen.
1m Band 1 der vorliegenden Reihe wurden die komplexen Zahlen eingefUhrt, so
daB in diesem Band dazu nur eine kurze Erganzung enthalten ist. Da vor aHem Inge
nieure und Naturwissensehaftler angesprochen werden sollen, wurde bei der Erarbei
tung besonderer Wert auf Anschauliehkeit und praktische Beispiele gelegt. Es findet
sieher beim genannten Leserkreis Verstandnis, wenn auch durch die notwendige
Beschrankung des Umfangs auf viele theoretische Untersuchungen verzichtet werden
muBte. Hierzu sei auf die im Anhang genannte Literatur verwiesen. Ziel des vorl ie
genden Bandes ist es, diejenigen Verfahren und Methoden der Funktionentheorie zu
vermitteln, die insbesondere fUr den angesproehenen Leserkreis von Bedeutung sind.
VoHstandigkeit konnte dabei naturlich nicht angestrebt werden.
Der Leser wird feststellen, daB sich viele Formeln und Siitze, die bei der Betraeh
tung reeller Funktionen erhalten wurden, auf das Komplexe ausdehnen lassen und
daB Ergebnisse gewonnen werden, die uns weitere Zusammenhiinge zwischen den
Funktionen vermitteln. Es ist sehr zu wunsehen, daB neben den Muhen, die das
Studium der Funktionentheorie sieher erfordert, aueh die Eleganz und Schonheit
funktionentheoretiseher Methoden vom Leser erkannt und empfunden werden und
daB ihm die Funktionentheorie ein unentbehrliehes Hilfsmittel in seiner Arbeit
wird.
2. Komplexe Zahlen
2.1. GrundbegrUfe
1m Band 1 des Lehrwerkes wurden die wichtigsten Grundbegriffe iiber das Rech
nen mit komplexen Zahlen gebracht. Diese Grundbegriffe werden im folgenden
vorausgesetzt.
Unter Beriicksichtigung der imaginiiren Einheit j 1) mit der Definitionsgleichung
j2 = -1 (2.1)
besitzt eine komplexe Zahl z die Form
z = a + j b = r (cos q; + j sin q;) = r ejq>, (2.2)
/ /
arithmeti- trigonometri- Exponential-
sche Form sche Form form
wobei a = Re (z) und b = 1m (z) reelle Zahlen sind und fUr den Winkel q; = arg z
das Intervall -7t < q; ~ 7tgelten soli. Fiir den Betrag der komplexen Zahl gilt
r Ja Jri,
Izl = = 2 + b2 = (2.3)
wobei z = a - j b die konjugiel't komplexe Zabl zu z = a rt- j b ist.
Da jede komplexe Zahl durch ein Paar reeller Zahlen (a, b) bestimmt wird, kann sie
in einer komplexen Zahlenebene, der sog. Gau8scben Zahlenebene, als Punkt oder als
gerichtete Strecke (vgl. Bild 2.1) dargestellt werden. Derartige gerichtete Strecken
in der komplexen Zahlenebene nennt man Zeiger. Hiiufig ist es auch 'ublich, den
komplexen Zahlen zweidimensionale Vektoren zuzuordnen und diese in der Zahlen
ebene darzustellen.
imoginiire Ac hse
jb
j
a reelle Bild 2.1. Zeigerdarstellung in der komplexen Ebene
Achse
Zur Umrechnung der komplexen Zahlen von der arithmetischen in die trigono
metrische Form und umgekehrt geniigt bei Beriicksichtigung der Vo rzeichen von a
und b ein Quadrant. Aus einem Nomogramm, das man durch Obereinanderlegen eines
1) Anstelle von i (vgl. Bd. 1) wird j als imaginare Einheit eingefiihrt. Diese Bezeichnung ist in der
Elektrotechnik iiblich, um Verwechslungen mit der Stromstarke i (Momentanwert) zu vermeiden.
2.1. Grundbegriffe 7
kartesischen und eines Polarkoordinatennetzes mit passenden MaBstiiben (vgJ.
Bild 2.2) erhiiIt, werden der zu einem Punkt mit IRe (z)1 = lal, 11m (z)1 = Ihl gehOrige
Radius r und der Winkel rp abgelesen. Den WinKel ({J = arg z berechnet man tiber
_ Iah i - Ia I'
tan rp = => rp = arctan b
mit foIgender Obersicht:
I. Quadrant 2. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant
-¥t
k
" ~
z~ /
.~if ; 0 / o ..- fi l (2.4)
0
a> 0, b > 0 a < 0, b > 0 a < 0, b < 0 a>O,b<O
arg z = if; arg z = 1t - rp arg z arg z = - if;
== -it + if;
Ihl
Bild 2.2. Nomograrnm zur Umrechnung kom
plexer Zahlen
Wie in der Einleitung schon erwiihnt wurde, spielen die komplexen Zahlen u. a.
in der Elektrotechnik eine besondere Rolle. Sowohl in der Nachrichtentechnik als
auch in der Starkstromtechnik und in anderen Disziplinen der Elektrotechnik lassen
sich viele Probleme in anschaulicher Weise mit Hilfe des Zeigerbildes losen. Die
Anwendung der komplexen Zahlen fUr die Berechnung von Widerstiinden solI an
einem einfachen Beispiel gezeigt werden.
8 2. Komplexe Zahlen
Beispiel 2.1: Der komplexe Widerstand der in Bild 2.3 dargestellten Schaltung berechnet sich
.
8
(analog den Gesetzen der Gleichstromlehre) nach 8 = 81 + 8828 Fur 81 = (SO + j. 200)0,
2+
:3
82 = (20 + j . 100) 0 und 83 = (80 - j . 100) 0 ist der komplexe Gesamtwiderstand in der arith
metischen und in der Exponentialform anzugeben.
Bild 2.3. SchaItung komplexer Widerstiinde
Losung:
8283
8 = Jh + --::---'-~
82 + 83
.8 /uA = 50 + J• . 200 + -(2:20-0 : ++- -j j..., 1 .10-00-0 -+)(: 8-80:0 - ----j j, . -.1 -100-00-) = 50 + j . 200 + 116 + j •6 0,
8/0 = 166 + j. 260.
Wirkwiderstand 1660, Blindwiderstand 260 0 (induktiv).
Die Umrechnung in die Exponentialform kann mit Hilfe des ,Rechenstabes erfolgen. Diese Um
rechnung beruht darauf, daB lal, Ibl, r und f/J GroBen im rechtwinkligen Dreieck (vgl. Bild 2.4)
sind.
r
fbI
Bild 2.4
101
Im vorliegenden Beispiel sind lal = 166 und Ibl = 260.
Wir erhalten r = 309 und, da qI = iP = 57,50 ist, a1s Gesamtwiderstand in der Exponentialform:
8/0 = 309 ei·S7,S· (Scheinwiderstand 3090).
Da 0 < qI < 1t gilt, hat der Gesamtwiderstand induktiven Charakter.
Fiir den Bereich 0 ;;;; qI < 5,70 ist beim Ablesen auf dem Rechenstab zu beachten, daB sowohl fiir
sinql als auch fUr tanql die ST-Teilung zu wahlen ist. Fiir diesen Bereich gilt tanql < _1_., d. h.,
10
a ~ b, und damit folgt r ~ a. Analog gilt fUr 84,30 < qI ;;;; 900 tan qI > 10, d.h. a ~ b und r ~ b.
2.2. Betriige. Ungleicbungen
Der Betrag einer komplexen Zahl war in (2.3) erklart worden. Beachten wir, daB
leJ9'1 = Jcosz cp + sinz cp = I gilt, dann folgt mit'l = IZII und,z = IZzl:
IZlzzl = 1'1 ei9'Qz ei~zl = 'l'zlei(9'l+9'z)1 = 'I'Z,
IZlllzzl = 1'1 eJ9'lll,z eJ9'zl = 'I'Z·
Somit erhalt man
IZIZ21 = IZlllzzl. (2.5)
