Kohomologie von Spechtmoduln [thesis]

93 Pages·2007·0.555 MB·German

by  Christian Weber

Kohomologie von Spechtmoduln
von
Christian Weber
Diplomarbeit
in Mathematik
vorgelegt der
Fakult¨at fu¨r Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der
Rheinisch-Westf¨alischen Technischen Hochschule Aachen
Dezember 2006
Angefertigt am
Lehrstuhl D fu¨r Mathematik
bei
Professor Dr. G. Hiß
2
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 5
1 Grundlagen 7
1.1 Darstellungen von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Spechtmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Endlich pr¨asentierte Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Kohomologie von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Das Zassenhaus-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Die Bestimmung von H2(S ,Sλ) 47
n Z
2.1 Zassenhaus-Matrizen zu Sλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Z
2.2 Invariantenteiler von Zassenhaus-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Primteiler von |H2(S ,Sλ)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
n Z
A GAP-Routinen 63
A.1 Zur Berechnung von A (G ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
λ n
A.2 Zur Berechnung von A (H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
λ n
A.3 Zur Berechnung der Invariantenteiler von A (P) . . . . . . . . . . . . 66
λ
B GAP-Ergebnisse 69
B.1 Isomorphietypen von H2(S ,Sλ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
n Z
B.2 Graphen der Form D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
p
C Der Beweis von Lemma 2.2.4 79
3
4 INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort
Wer das Unm¨ogliche m¨oglich macht,
sollte dennoch das Wahrscheinliche
nicht ganz aus dem Auge verlieren.
Ulrich Roski
Die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen ist eine der sch¨onsten, beliebtesten
und wichtigsten Bereiche der Algebra, mit vielen tiefen Beziehungen zu anderen Gebieten
der Mathematik wie Kombinatorik, Lie-Theorie und algebraischer Geometrie. In der vor-
liegendenArbeitwirdeinBogenzurKohomologiegeschlagen.Genauergesagtuntersuchen
wir die Isomorphietypen der zweiten Kohomologiegruppen von symmetrischen Gruppen
mit Werten in Spechtmoduln u¨ber den ganzen Zahlen.
Zur Motivation dieser Fragestellung betrachten wir zun¨achst eine Vermutung von
Szczepan´ski, die lautet: Fu¨r jede endliche Gruppe G existiert eine Bieberbachgruppe mit
Holonomiegruppe G und einer Q-vielfachheitsfreien Holonomiedarstellung (siehe [Sz03]).
Im Vokabular der Erweiterungstheorie bedeutet das: Fu¨r jede endliche Gruppe G existiert
ein k ∈ N und eine torsionsfreie Erweiterung Γ von Zk mit G, so dass die durch Γ bewirkte
Darstellung von G auf Zk vielfachheitsfrei u¨ber Q ist.
Solange dieses Problem nicht in dieser Allgemeinheit gel¨ost ist, kann man sich fragen, ob
die Vermutung fu¨r bestimmte Gruppen zutrifft, beispielsweise fu¨r symmetrische Gruppen.
UmkeinefalschenErwartungenzuwecken:DievorliegendeArbeitbeantwortetdieseFrage
nicht. Aber ihr Thema erw¨achst aus diesem Kontext.
Wenn wir n¨amlich die zu einer Erweiterung geh¨orige Operation von S auf Zk zu einer
n
Operation auf Qk fortsetzen, dann wird Qk mit dem Satz von Maschke zu einem halbein-
fachen QS -Modul und ist damit eine direkte Summe aus Spechtmoduln. Spechtmoduln
n
u¨ber Q erh¨alt man durch Konstantenerweiterung von Spechtmoduln u¨ber Z mit Q. Da-
her bewirkt eine direkte Summe aus Spechtmoduln Sλ mit λ (cid:96) n u¨ber Z, in der jeder
Spechtmodul nur einmal auftaucht, eine Q-vielfachheitsfreie Darstellung von S auf dieser
n
direkten Summe.
AufBasisdieserU¨berlegungenliegtesnahe,ErweiterungenvonSpechtmodulnu¨berZmit
den zugeh¨origen symmetrischen Gruppen zu untersuchen. Deren A¨quivalenzklassen wer-
den gem¨aß dem Hauptsatz der Erweiterungstheorie klassifiziert durch die Elemente der
zweiten Kohomologiegruppen von S mit Werten im jeweiligen Spechtmodul. Und eben
n
mit deren Bestimmung befasst sich die vorliegende Arbeit.
5
6 VORWORT
Das erste Kapitel beleuchtet den ben¨otigten mathematischen Hintergrund. Wir beginnen
mit einem Abschnitt u¨ber verschiedene Grundbegriffe und grundlegende Aussagen aus
der Darstellungstheorie von Gruppen, um dann im zweiten Abschnitt speziell die Darstel-
lungstheorie von symmetrischen Gruppen ins Auge zu fassen. Hier werden Konstruktion
und Eigenschaften von Spechtmoduln erl¨autert. Zentraler Punkt hierbei ist eine Version
der Branching Rules fu¨r Spechtmoduln u¨ber beliebigen Integrit¨atsbereichen.
Es folgt in Vorbereitung auf den Begriff der Fox-Derivationen und das Zassenhaus-Verfah-
ren ein kurzer Abschnitt u¨ber endlich pr¨asentierte Gruppen. Der vierte Abschnitt liefert
Grundlagen aus der homologischen Algebra und erkl¨art die Interpretation von ersten und
zweiten Kohomologiegruppen als Faktorgruppen von Derivationen beziehungsweise Fak-
torensystemen. Und schließlich stellt der letzte Abschnitt des ersten Kapitels das eben
erw¨ahnte Verfahren nach Zassenhaus vor, das die Berechnung von Kohomologiegruppen
der Form H1(G,Qk/Zk) erm¨oglicht.
Daszweite Kapitelerl¨autertzun¨achstdieGAP-ImplementierungderBestimmungdes Iso-
morphietypsvonH2(S ,Sλ)unterVerwendungdesZassenhaus-Verfahrens.Hierbeikonnte
n Z
ichaufbauenaufdieDiplomarbeitvonDr.ReinhardWaldmu¨ller(siehe[Wa02]).Erhatdas
Zassenhaus-Verfahrenfu¨rbeliebigeGruppenmitbeliebigenPr¨asentationenprogrammiert.
IndervorliegendenSituationl¨asstsichdieBerechnungallerdingswesentlichbeschleunigen
durch den Umstand, dass wir hier auschließlich symmetrische Gruppen betrachten und so
zus¨atzliche Informationen mit verarbeiten k¨onnen.
Auf der Basis der so erhaltenen Ergebnisse werden dann einige theoretische Aussagen
u¨ber die gesuchten Kohomologiegruppen hergeleitet. Daru¨ber hinaus gibt eine Beobach-
tung der berechneten Daten Anlass zu diversen Vermutungen, deren Beweis mir bis dato
leider nicht gelungen ist. Auf eine Vorstellung dieser Vermutungen m¨ochte ich dennoch
nicht verzichten.
Mein Dank gilt in erster Linie Herrn Professor Hiß, der mir dieses reizvolle Thema zur Be-
arbeitunganbotunddessenwertvolleHinweisemeineU¨berlegungenimmerwiederaufden
rechtenPfadzuru¨cklenkten.Insbesonderedankeichihmfu¨rdieentscheidendenRatschl¨age
fu¨r den Beweis von Lemma (2.3.1).
Ich danke weiterhin allen Mitarbeitern des Lehrstuhls D, die mit hilfreichen Anregun-
gen zum Gelingen dieser Diplomarbeit beitrugen. Besonders wichtig war fu¨r mich der
Literaturhinweis von Dr. Matthias Ku¨nzer auf Kapitel 17 von [Ja78] fu¨r den Beweis der
verallgemeinerten Branching Rule (1.2.31 (b)). Und nicht zuletzt m¨ochte ich Dr. Frank
Lu¨beck nennen, der jederzeit ein offenes Ohr fu¨r meine Fragen und Probleme hatte und
dessen Kenntnisse in GAP mir von unsch¨atzbarem Wert waren.
Kapitel 1
Grundlagen
Wir verwenden folgende notationelle Konventionen:
• Die Menge der positiven ganzen Zahlen wird mit N bezeichnet, und es ist N :=
0
N∪{0}.
• DiesymmetrischeGruppeaufeinerendlichenMengeX wirdmitS bezeichnet.Fu¨r
X
Y ⊆ X identifizieren wir S mit dem Stabilisator von Y in X.
Y
Die symmetrische Gruppe auf n Punkten wird mit S := S fu¨r n ∈ N und X :=
n X
{1,...,n} bezeichnet. Dementsprechend fassen wir S als Untergruppe von S auf.
n n+1
• Abbildungen und Gruppenoperationen werden von links geschrieben, sofern nichts
anderes gefordert wird. Moduln sind damit bis auf wenige gekennzeichnete Ausnah-
men immer Links-Moduln.
1.1 Darstellungen von Gruppen
Im Folgenden sei immer G eine Gruppe (multiplikativ geschrieben), R ein Integrit¨atsbe-
reich und V ein endlich erzeugter freier R-Modul vom Rang n.
1.1.1 Definition und Bemerkung
Eine Darstellung von G auf V ist ein Homomorphismus ϕ : G −→ Aut (V). In diesem
R
Fall operiert G auf V via gv := (ϕ(g))(v) fu¨r alle g ∈ G,v ∈ V.
Nach Wahl einer Basis {v ,...,v } von V erhalten wir als Matrixdarstellung von G
1 n
vom Grad n u¨ber R den Homomorphismus ϕ˜ : G −→ GL (R),g (cid:55)→ M . Hierbei
n ϕ(g)
bezeichnet M die Abbildungsmatrix vom Automorphismus ϕ(g) zur gew¨ahlten Basis.
ϕ(g)
In diesem Fall operiert G auf Rn via gv := (ϕ˜(g))·v fu¨r alle g ∈ G,v ∈ Rn.
1.1.2 Definition
Es sei ϕ : G −→ Aut (V) eine Darstellung von G auf V.
R
(a) Ein R-Untermodul W ≤ V heißt G-invariant, wenn gW ≤ W fu¨r alle g ∈ G.
(b) Es sei R ein K¨orper. Dann heißt ϕ reduzibel, wenn V gleich {0} ist oder einen
echten, nichttrivialen, G-invarianten Unterraum besitzt, ansonsten irreduzibel.
7
8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.1.3 Definition
(a) Die Gruppenalgebra von G u¨ber R (Bezeichnung: RG) ist der freie Modul u¨ber
R mit Basis G und Multiplikation:
( a g)( b g) = c g mit c := a b fu¨r alle a ,b ∈ R,g ∈ G.
(cid:88) g (cid:88) g (cid:88) g g (cid:88) h k g g
g∈G g∈G g∈G h,k∈G,
hk=g
(b) Ein RG-Modul, der als R-Modul endlich erzeugt und frei ist, heißt RG-Gitter.
1.1.4 Bemerkung
Jede Darstellung ϕ : G −→ Aut (V) l¨asst sich linear zu einer Darstellung ϕ(cid:48) : RG −→
R
End (V) fortsetzen:
R
(cid:48)
ϕ( a g) := a ϕ(g).
(cid:88) g (cid:88) g
g∈G g∈G
Damit wird V via ϕ(cid:48) zu einem RG-Gitter: av := (ϕ(cid:48)(a))(v) fu¨r alle a ∈ RG,v ∈ V.
Analog kann man eine zu ϕ geh¨orige Matrixdarstellung fortsetzen zu einer Matrixdar-
stellung ϕ˜(cid:48) : RG −→ Rn×n,a (cid:55)→ Mϕ(cid:48)(a) fu¨r alle a ∈ RG. Hierbei bezeichnet Mϕ(cid:48)(a) die
Abbildungsmatrix vom Endomorphismus ϕ(cid:48)(a) zur gew¨ahlten Basis. Damit wird Rn via
(cid:48)
ϕ˜ zu einem RG-Gitter.
1.1.5 Bemerkung
Es sei V ein RG-Gitter und W ≤ V ein G-invarianter R-Untermodul. Dann induziert die
Operation von G auf V eine Operation von G auf V/W via g(v+W) := (gv)+W fu¨r alle
g ∈ G,v ∈ V. Dadurch wird V/W zum RG-Modul.
∼
Insbesondere induziert eine Operation von G auf Zn eine Operation auf Fn = Zn/pZn fu¨r
p
jede Primzahl p.
Des Weiteren induziert eine Operation von G auf Zn eine Operation auf Qn via gv :=
(ϕ˜(cid:48)(g))v fu¨r alle g ∈ G,v ∈ Qn. Mit obiger Aussage erhalten wir außerdem eine Operation
auf Qn/Zn.
1.1.6 Definition und Bemerkung
(a) Ein Modul heißt einfach, wenn er ungleich {0} ist und keinen echten, nichttrivia-
len Untermodul besitzt. Er heißt halbeinfach, wenn er eine direkte Summe aus
einfachen Untermoduln ist.
(b) Es sei W ≤ V ein R-Untermodul des RG-Moduls V. Dann sind ¨aquivalent:
• W ist G-invariant.
• W ist RG-invariant.
• W ist ein RG-Untermodul von V.
Wenn also R ein K¨orper, dann ist die zu V geh¨orige Darstellung ϕ : G −→ Aut (V)
R
genau dann irreduzibel, wenn V ein einfacher RG-Modul ist.
1.1. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN 9
1.1.7 Lemma und Definition
Es sei W ein R-Untermodul von V. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent:
(a) Der Faktormodul V/W ist torsionsfrei.
(b) Falls av ∈ W ist fu¨r ein 0 (cid:54)= a ∈ R und ein v ∈ V, so ist v ∈ W.
In diesem Fall heißt W rein. Ein reiner RG-Untermodul ist ein G-invarianter reiner R-
Untermodul.
Falls eine R-Basis von W existiert, die sich zu einer R-Basis von V erg¨anzen l¨asst, so ist
W rein.
Beweis:
Der Faktormodul V/W ist genau dann torsionsfrei, wenn gilt: a(v+W) (cid:54)= 0+W fu¨r alle
0 (cid:54)= a ∈ R,v ∈ V\W. Dies ist ¨aquivalent zu: av ∈/ W fu¨r alle 0 (cid:54)= a ∈ R,v ∈ V\W.
Nun sei {v ,...,v } eine R-Basis von V, so dass {v ,...,v } fu¨r ein m ≤ n eine R-Basis
1 n 1 m
von W ist. Fu¨r 0 (cid:54)= a ∈ R und v := n b v ist av genau dann in W, wenn alle b = 0
i=1 i i i
sind fu¨r m+1 ≤ i ≤ n. (cid:80) (cid:3)
Im Folgenden sei immer H ≤ G eine Untergruppe von G.
1.1.8 Definition
Es sei V ein RG-Modul und W ein RH-Modul.
(a) V wird durch die eingeschr¨ankte Operation zum RH-Modul. In diesem Fall bezeich-
net man V =: V ↓G als den auf H eingeschr¨ankten Modul.
H
(b) RG kann man auf natu¨rliche Weise als RG-RH-Bimodul auffassen. Dann hat
W ↑G:= RG W eine eindeutige Struktur als RG-Modul via a(g⊗w) := (ag)⊗w
H
(cid:78)
RH
fu¨r alle a,g ∈ RG,w ∈ W. Man bezeichnet W ↑G als den zu G induzierten
H
Modul.
1.1.9 Lemma
Es sei G endlich und {g ,...,g } ein Repr¨asentantensystem der Nebenklassen von H in
1 m
G. Weiter sei W ein RH-Gitter mit R-Basis {w ,...,w }. Dann ist {g ⊗w |1 ≤ j ≤ m,
1 n j i
1 ≤ i ≤ n} eine R-Basis von W ↑G.
H
Beweis:
∼ m
Es ist RG = g RH als RH-Rechts-Modul. Also ist RG ein freier RH-Rechts-Modul
j
(cid:76)
j=1
mit RH-Basis {g ,...,g }. Mit der Distributivit¨at des Tensorproduktes gilt:
1 m
W ↑G = RG W ∼= m (g RH W) = m g (1 W).
H j j
(cid:78) (cid:76) (cid:78) (cid:76) (cid:78)
RH j=1 RH j=1 RH
Damit ist W ↑G ein freier R-Modul mit Basis wie behauptet (siehe auch [CR81],
H
S. 228/229). (cid:3)
10 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.1.10 Lemma
Es sei R(cid:48) ein Integrit¨atsbereich mit R ≤ R(cid:48), G sei endlich und W ein RH-Gitter. Dann
sind R(cid:48) (W ↑G) ∼= (R(cid:48) W) ↑G als R(cid:48)G-Moduln.
H H
(cid:78) (cid:78)
R R
Beweis:
Essei{g ,...,g }einRepr¨asentantensystemderNebenklassenvonH inGund{w ,...,w }
1 m 1 n
eine R-Basis von W. Dann gilt:
R(cid:48) (W ↑G) = (cid:104)r(cid:48)⊗(g ⊗w )|r(cid:48) ∈ R(cid:48),1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105)
H j i Z
(cid:78)
R
= (cid:104)1⊗(gj ⊗wi)|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105)R(cid:48)
(R(cid:48) W) ↑G = (cid:104)g ⊗(r(cid:48)⊗w )|r(cid:48) ∈ R(cid:48),1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105)
H j i Z
(cid:78)
R
= (cid:104)gj ⊗(1⊗wi)|1 ≤ j ≤ m,1 ≤ i ≤ n(cid:105)R(cid:48)
(cid:48) (cid:48)
Bei den angegebenen R-Erzeugermengen handelt es sich um R-Basen. Der so erhaltene
R(cid:48)-Modul-Isomorphismus 1⊗(g ⊗w ) (cid:55)→ g ⊗(1⊗w ) respektiert die Operation von G.
j i j i
Damit folgt die Behauptung. (cid:3)
Die folgenden Aussagen ben¨otigen wir sp¨ater fu¨r den Beweis der Branching Rule fu¨r
Spechtmoduln u¨ber einem K¨orper der Charakteristik 0. Im Folgenden sei R ein K¨orper;
zur Verdeutlichung schreiben wir daher K := R.
1.1.11 Satz von Maschke
Es sei G endlich mit char(K) (cid:45) |G|. Dann ist jeder KG-Modul halbeinfach. (Insbesondere
ist KG selbst halbeinfach.)
Beweis:
Siehe [CR81], (3.14). (cid:3)
1.1.12 Definition und Bemerkung
Es seien V und W zwei KG-Moduln. Dann ist Hom (V,W) ein K-Vektorraum, und
KG
i(V,W) := dim (Hom (V,W)) ist die sogenannte intertwining number von V und
K KG
W. Sie besitzt folgende Eigenschaften:
(a) Falls V = V ⊕V , dann ist i(V,W) = i(V ,W)+i(V ,W).
1 2 1 2
(b) Falls KG halbeinfach ist, dann ist i(V,W) = i(W,V).
Beweis:
Siehe [CR62], (43.11). (cid:3)
1.1.13 Satz (Lemma von Schur)
Es sei K algebraisch abgeschlossen, und V und W seien zwei einfache KG-Moduln. Dann
ist Hom (V,W) = 0, falls V und W nicht isomorph sind, und es ist Hom (V,V) =
KG KG
(cid:104)id (cid:105) .
V K
Beweis:
Siehe [CR62], (27.3). (cid:3)