Introducción A La Mecánica Estadística De Boltzmann-Gibbs

230 Pages·2011·2.195 MB·Spanish

by  Constantino Tsallis and Guiomar Ruiz

Introduccio´n a la
´ ´
MECANICA ESTADISTICA
DE BOLTZMANN-GIBBS
Constantino Tsallis
Guiomar Ruiz
18 de noviembre de 2011
Constantino Tsallis
Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas
Rua Xavier Sigaud 150, 22290-180Rio de Janeiro-RJ,Brazil
E-mail: [email protected]
y
Santa Fe Institute
1399 Hyde Park Road, Santa Fe, New Mexico 87501,USA.
E-mail: [email protected]
Guiomar Ruiz
Escuela de Ingenier´ıa Aeron´autica y del Espacio
Universidad Polit´ecnica de Madrid
Plaza de Cardenal Cisneros 4, 28040 Madrid, Espan˜a
E-mail: [email protected]
´
Indice general
Prefacio VII
1. Introduccio´n 1
1.1. La Mec´anica Estad´ıstica en su contexto . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Nacimiento y naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Formalismo y caracter´ısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Concepto de Informacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. El problema ergo´dico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Descripci´on probabil´ıstica de un sistema 13
2.1. Sistemas cu´anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1. Estados mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2. Operador densidad de von Neumann . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Sistemas cl´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. Espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2. Densidad de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Densidad de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2. Ejemplo I (Maxwell-Boltzmann) . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.3. Ejemplo II (Maxwell-Boltzman). . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.4. Ejemplo III (Bose-Einstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.5. Ejemplo IV (Fermi-Dirac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.6. Ejemplo V.- Osciladores arm´onicos . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.7. Ejemplo VI.- Gas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.8. Ejemplo VII.- Cuasipart´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. Entrop´ıa estad´ıstica 73
3.1. Entrop´ıa y Teor´ıa de la Informacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1. Positividad de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.2. S m´axima Ignorancia total . . . . . . . . . . . . . . . 74
⇔
3.2.3. S m´ınima (S =0) Certeza . . . . . . . . . . . . . . . 75
⇔
3.2.4. Simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.5. Aditividad de la informaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 75
iv ´INDICE GENERAL
3.2.6. Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.7. Subaditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3. Entrop´ıa y mec´anica cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.1. Entrop´ıa m´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2. Entrop´ıa m´axima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3. Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.4. Subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.5. Evolucio´n temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.6. Proceso de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.7. N indeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.8. Estados cl´asicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4. Colectividades y distribucio´n de Boltzmann-Gibbs 87
4.1. Extensividad e intensividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.2. Caracterizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2. Conocimiento de un sistema f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.2. Sistemas en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3. Postulado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4. Colectividad Microcan´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5. Distribuciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6. Colectividad Can´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.7. Colectividad Macrocan´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8. Distribuciones de equilibrio cl´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5. Termodin´amica Cl´asica: un caso particular 117
5.1. Principio cero de la termodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2. Primer principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3. Segundo principio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4. Tercer principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5. Potenciales termodin´amicos y relaci´on de Gibbs-Duhem . . . . . 127
6. Estad´ıstica de Maxwell-Boltzmann: Aplicaciones 129
6.1. Oscilador arm´onico cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2. Rotor r´ıgido cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3. Teorema de equiparticio´n cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4. Paramagnetismo de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5. Paramagnetismo de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.6. Centrifugaci´on isoterma de un gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.7. Gas ideal cl´asico monoat´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.8. Atmo´sfera isoterma e inhomog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.9. Plasma neutro cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.10.Paradoja de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.11.Calor espec´ıfico isoco´rico de gases ideales . . . . . . . . . . . . . 155
6.11.1. Temperaturas caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . 155
´INDICE GENERAL v
6.11.2. Hamiltoniano y calor espec´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.11.3. Gases monoat´omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.11.4. Gases diat´omicos heteronucleares . . . . . . . . . . . . . 159
6.11.5. Gases poliato´micos colineares . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.11.6. Gases poliato´micos no colineares . . . . . . . . . . . . . . 160
6.11.7. Gases diat´omicos homonucleares . . . . . . . . . . . . . . 161
6.12.Reaccio´n qu´ımica isoterma e isobara . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7. Estudio comparativo de las tres estad´ısticas en un gas ideal 169
7.1. Introducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2. Descripci´on de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.3. Segunda cuantizaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.4. Colectividad macrocan´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.5. Maxwell–Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.6. Fermi–Dirac y Bose–Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8. Estad´ıstica de Fermi–Dirac: Aplicaciones 191
8.1. Calor espec´ıfico de un conductor met´alico . . . . . . . . . . . . . 191
8.2. Susceptibilidad magn´etica de un conductor met´alico . . . . . . . 193
8.2.1. Nivel de Fermi µ ǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
F
≡
8.2.2. Paramagnetismode Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.2.3. Paramagnetismode Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3. Calor espec´ıfico de semiconductores intr´ınsecos . . . . . . . . . . 202
9. Estad´ıstica de Bose–Einstein: Aplicaciones 209
9.1. Condensacio´n de Einstein (d=3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.2. Gas ideal de cuasipart´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.2.1. Calor espec´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.3. Fonones acu´sticos (modelo de Debye) . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.4. Cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Ap´endice 219
vi ´INDICE GENERAL
PREFACIO
On prouve tout ce qu’on veut, et la vraie difficult´e
est de savoir ce qu’on veut prouver.
Alain
Ce qui est clair sans le dire,
est encore plus clair en le disant.
Sagesse des Nations
Lasrazonesdelpresenteintentodeexposici´ondelaMec´anicaEstad´ısticason
ba´sicamente dos,´ıntimamente interrelacionadas. La primera, es la de tratar de
desarrollarenellector(¡ytambi´enenlosautores!)unaformadeserenidadinte-
lectual ligada a un cierto “sentido de la orientaci´on” dentro de la problema´tica
propia de la Termodin´amica. La segunda, es la de tratar de convencer al lector
—puesto que los autores esta´n ya convencidos— de la capital importancia que
tienealcanzarunnivelrazonablede“agilidadoperacional”sinlacuallaprimera
parte quedar´ıa gravemente comprometida.
En lo que se refiere al orden de la presentaci´onde los diversos conceptos, la
Mec´anicaEstad´ısticanodifieredelasotrascienciasaxiom´aticas,loquesignifica
que es posible presentarla a trav´es de diversos conjuntos de postulados. La
´optica adoptada en este libro se acerca a la moderna Teor´ıa de la Informacio´n,
aproximaci´on que consideramos, en el momento actual, una de las maneras
m´as fruct´ıferas de afrontar la “ciencia del conocimiento incompleto” que es la
Mec´anica Estad´ıstica. Es en este sentido que fueron escritos los cap´ıtulos 1-5.
Por razones de econom´ıa de tiempo y de espacio, reconducimos esta publi-
caci´on a un estilo algo telegr´afico, abandonando el rigor l´ogico-deductivo cada
vez que ´este no sea did´acticamente relevante.
Enlaelecci´onde loscontenidos,forzosamenteincompletos,se tratade equi-
librar los aspectos prioritariamente conceptuales (cap´ıtulos 1-5) con los prio-
ritariamente operacionales (cap´ıtulos 6-9). Todas las aplicaciones que se pre-
sentan han sido introducidas con pre-comentarios —cuyo contenido es el de
prefigurar cr´ıticamente las respuestas finales “aceptables”— y se cierran con
post-comentarios —que muestran la consolidadci´on de la intuicio´n as´ı como la
profundizacio´n del fen´omeno que se estudia—; cada una de ellas deber´ıa ser
afrontada como una “pequen˜a aventura intelectual”.
Me gustar´ıa tambi´en resaltar mi convicci´on de que una verdadera asimila-
viii Prefacio
ci´on de la Mec´anica Estad´ıstica (y de cualquier otra rama cient´ıfica) no sabr´ıa
prescindir de una cr´ıtica e intensa ejercitacio´n. En este sentido es una l´asti-
ma el no haber disponido del tiempo necesario para proponer, al final de cada
cap´ıtulo, algunos ejercicios. Algunas publicaciones propuestas en la seccio´n de
Bibliograf´ıa pueden completar esta laguna. Es oportuno mencionar que, siendo
que el conocimiento cient´ıfico humano ha evolucionado a lo largo de la historia
casisistema´ticamentedesdelo“particular”hacialo“general”,nomepareceob-
vio que el m´etodo pedago´gico tradicional —que consiste primero en completar
lasbaseste´oricasparadespuespasaraunaetapadeejercitaci´on—sealomejor.
Incluso dir´ıa que en una ciencia que pretende ser “exacta”,todo entendimiento
que se situ´e a novel operacional me parece ing´enuo, si no a menudo ilusorio.
Finalmente,enrelaci´onalm´etododid´acticoempleado,hededecirqueinten-
tamosseguiralpiedelaletraunavisi´ondelacienciaqueconsisteenconsiderarla
“nada m´as que el arte de decir trivialidades oportunas”.
Cap´ıtulo 1
Introducci´on
1.1. La Mec´anica Estad´ıstica en su contexto
Sin pretensiones epistemolo´gicas particulares, podemos hacer una clasifica-
ci´onde las Ciencias F´ısicasen dos grandescategor´ıas,conel objeto de situar la
Mec´anica Estad´ıstica en su contexto general:
I) Ciencias Axiom´aticas, entre las que se incluyen aquellas ramas de la
F´ısica que pueden construirse a partir de un conjunto de postulados, que
son generalmente pocos.
Enestacategor´ıaseincluyen,entreotrasdisciplinas,laMec´anicaCl´asica,
la mec´anica cu´antica, la Relatividad Especial, la Relatividad General, el
Electromagnetismo,laTeor´ıadeCampos,laTermodin´amicaylaMec´anica
Estad´ıstica.
II) Ciencias Aplicadas, cuyo objeto de estudio espec´ıfico es algu´n aspecto
particular del mundo f´ısico.
Son Ciencias Aplicadas, entre otras, la Teor´ıa de Part´ıculas Elementales,
la F´ısica Nuclear, la F´ısica Ato´mica, la F´ısica Molecular, la F´ısica de la
Materia Condensada, la F´ısica del Plasma, la O´ptica Cua´ntica Aplicada
y la Cosmolog´ıa.
En la pr´actica, las que hemos denominado Ciencias Axiom´aticas y Ciencias
Aplicadas, se entrelazan constructivamente enriqueci´endose mutuamente.
1.2. Nacimiento y naturaleza
El nacimiento de la Mec´anica Estad´ıstica tuvo lugar a finales del siglo XIX,
de la mano de importantes cient´ıficos como J. C. Maxwell (1831–1879), J. W.
Gibbs (1839–1903) y L. E. Boltzmann (1844–1906). Esta teor´ıa represento´ un
intento de explicacio´n del mundo y de los fen´omenos macrosc´opicos en t´ermi-
nos del microcosmos, bajo la convicci´on de que todo fen´omeno macrosc´opico
2 Introduccio´n
—como por ejemplo la ca´ıda de los cuerpos o el movimiento de las olas en
el mar— deber´ıa ser explicable en t´erminos microsc´opicos, esto es, de fuerzas
electromagn´eticas,gravitacionales,interacciones nucleares, etc.
Fueas´ıcomosurgio´laMec´anicaEstad´ıstica,dadalaimposibilidad —oinclu-
solainutilidad—deconocerlaconfiguraci´onmicrosc´opicaexactadeunsistema
macrosc´opico. Por ejemplo, sabemos que un mol de gas contiene del orden de
1023 mol´eculas y que, en una descripci´on cl´asica, cada mol´ecula implica el co-
nocimiento de al menos seis nu´meros, como por ejemplo las coordenadas del
vectorposici´on~r ydelvectormomento~p.Siconsideramosque estainformaci´on
podr´ıa caber en un cent´ımetro de papel, la descripci´on completa del sistema
en un u´nico instante de tiempo exigir´ıanada menos que unos 1023 cent´ımetros,
esto es, ¡cien mil an˜os luz de informaci´on escrita!
Ante esta imposibilidad ¿en qu´e consiste entonces la Mec´anica Estad´ıstica?
Podr´ıamos decir que, en esencia, la Mec´anica Estad´ıstica representa el intento
de resolver aquellos problemas de los que u´nicamente se conoce una parte del
enunciado completo. O tambi´en, desde otro punto de vista, la Mec´anica Es-
tad´ısticarepresentaunaalternativamediantelacualsertratadesacarelmayor
provechoposibledelaignorancia.As´ıescomoenlaMec´anicaEstad´ısticaemer-
ge, de forma natural, la necesidad de hacer uso de la teor´ıa de probabilidades
(de ah´ı la palabra estad´ıstica que la define). ¡De modo que podr´ıa hacerse una
analog´ıaentrelaMec´anicaEstad´ısticayeljuegodepocker!Porque,enrealidad,
lo u´nico que precisaremos conocer para estudiar la Mec´anica Estad´ıstica de un
sistema, ser´an nuestras propias cartas, algunas leyes de conservacio´n,las reglas
del juego, una parte de la historia pasada y poco m´as.
Enconsecuencia,el objetode estudio de laMec´anica Estad´ısticasonlos sis-
temas —generalmente macrosc´opicos— de los cuales u´nicamente poseemos in-
formaci´on parcial y que u´nicamente podemos controlar parcialmente. Obs´ervese
que elcara´cterparcialde dicha informaci´ony control,puede referirsea uno o a
varios de los siguientes aspectos:
a) La definici´on del propio sistema. Por ejemplo, porque el nu´mero exacto
de electrones o de fotones no se conoce.
b)Lasinteraccionesentrelaspart´ıculas.Porejemplo,porqueexistenfuerzas
que se tratan como aleatorias.
c) Las condiciones iniciales. Porque,por ejemplo, en una descripci´oncl´asica
podemostalvezconocer,dentrodeunmargendeerror,laposici´onyelmomento
del baricentro del sistema mientras que ignoramos el resto.
d) Las condiciones de contorno.Por ejemplo, en el caso de estar interesados
en estudiar los electrones de una pieza met´alica que tiene forma irregular, o el
gas contenido en un globo el´astico.
1.3. Formalismo y caracter´ısticas
La Mec´anica Estad´ıstica hace uso de un formalismo probabil´ıstico aplicado
a la Mec´anica —Cla´sica, Cua´ntica o Relativista—, la cual viene generalmente
—pero no necesariamente— representada en su formulacio´n Hamiltoniana. La