Introdução à Lógica - Respostas aos Exercícios - Cezar A. Mortari

104 Pages·2012·1.18 MB·Portuguese

Cezar A. Mortari. Introdução à lógica. 2a ed.
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São Paulo: Editora Unesp, 2017.
Respostas dos exercícios do capítulo 2
Exercício2.1Analiseosargumentosabaixoedigase,deacordocomanoçãoinformaldevalidade
apresentadaatéagora,elessãoválidosounão.Vocêclassificariaalgumdelescomodedutivo?Como
indutivo?Nenhumadasduascoisas?
Nota: Dizer se um argumento inválido é indutivo, dedutivo, ou nem uma coisa nem outra, nem
sempre é fácil e depende de que convicções tenhamos sobre o que é ‘dedução’. Para muitos auto-
res, dedutivo e válido são a mesma coisa. Para outros, não. Um argumento poderia ser denominado
‘dedutivo’ se lembra algum argumento válido, se aparentemente pretende-se que a conclusão seja
consequêncialógicadaspremissas.Poroutrolado,seumargumentoforinválidoenãodedutivo,em
qualquersentido,nemsemprepodemosdizerqueéumargumentoindutivo—aspremissaspodem
não dar nenhuma indicação de quão provável, por exemplo, seja a conclusão. Assim, as respostas a
algunsdosexercíciosabaixopodemserbastantediscutíveis.Pensearespeito.
(a) R: Válido. Note que, se é verdade que nenhum dinossauro é um gato, é também verdade que
nenhumgatoéumdinossauro.ComoMiaueFifisãogatos,segue-sequenãosãodinossauros.
Ecomooargumentoéválido,éautomaticamentededutivo.
(b) R: Inválido. ‘Praticamente todos’, claro, não é a mesma coisa que ‘todos’. Mas parece ser um
bomargumentoindutivo.
(c) R: Válido. Evidentemente, estamos entendendo que ‘ter asas’ e ‘alado’ são sinônimos. Daí, se
alguns peixes têm asas, e todas as coisas que têm asas tem pelo menos quatro asas, segue-se
queháalgunspeixesquetêmquatroasas.
(d) R: Válido/dedutivo. Uma das premissas diz que comer pizza de quatro queijos é bom. (OK,
gosto é discutível, mas suponhamos que seja verdade.) Pela primeira premissa, comer pizza
de quatro queijos é imoral, ilegal, ou engorda. Como isso não é nem imoral nem ilegal, o que
resta?Quecomerpizzadequatroqueijos,infelizmente,engorda.
(e) R: Inválido. Ainda que os remédios X e Y sejam muito parecidos, não são idênticos, o que
não garante que curem exatamente as mesmas doenças. Mas é um argumento indutivo (por
analogia). Já que os remédios são bem parecidos, parece haver uma boa probabilidade da
conclusãoserverdadeira.
(f) R: Inválido. ‘Frequentemente’ não é a mesma coisa que ‘sempre’. Podemos dizer que é um
argumento indutivo. ‘Frequentemente’ indica que há uma probabilidade razoável de que a
conclusãoserverdadeira—semdargarantias,evidentemente.
(g) R:Válido/dedutivo.ComoalgunsmarcianospassamasfériasemSaturno,etodososmarcianos
são cor-de-rosa, esses marcianos são indivíduos que passam as férias em Saturno e são cor-
de-rosa. (Observação: quando falamos de ‘indivíduos’, não estamos falando apenas de seres
humanos,esimdequalquerentidadequepossaserindividualizada,distinguidadeoutras.)
1
(h) R:Inválido.Imaginequehajadoismilhõesdepapagaiosapenas,quemetadedelessejaverde
e tenha uma asa só, e que a outra metade sejam papagaios vermelhos com duas asas. Assim,
há um milhão de papagaios verdes (e são então muitos) e um milhão de papagaios com duas
asas (que também são muitos). Mas não haveria nenhum papagaio verde com duas asas ...
Assim,aspremissaspodemserverdadeiraseaconclusãofalsa.Argumentoinválido,portanto.
Comparecomoexemploaseguir.Masédifícilclassificá-locomoindutivotambém.
(i) R: Válido/dedutivo. ‘A maioria’ significa ‘mais do que a metade’. Como a maioria (dos papa-
gaios) é verde, segundo as premissas, e a maioria tem duas asas, tem que haver pelo menos
umpapagaioverdecomduasasas.
(j) R: Válido/dedutivo. Pitangueiras são plantas, e nenhuma planta (o que inclui então pitan-
gueiras)sobrevivesemluzsolar.Daíaconclusãodequepintangueirasnãosobrevivemsemluz
solar.
(k) R:Inválido.Talveznãotãoobviamente,masnotequedofatodaconclusãoserverdadeiranão
podemosconcluirqueoargumentoéválido.Substitua,noargumento,apalavra‘humanos’por
‘laranjeiras’evocêteráumargumento,obviamenteinválido,comamesmaforma.Tambémnão
éumargumentoindutivo.
(l) R: Depende... A questão está em como interpretar a primeira premissa, ‘as aves voam’. Se
queremos dizer com isso que ‘todas as aves voam’, então o argumento é válido. Se a premissa
apenas significa, contudo, que ‘as aves em geral voam’, ou ‘aves típicas voam’, então isso não
querdizer‘todas’,dandoespaçoàpossibilidadedequeTweetysejaumaavequenãovoa.Mas
seagrandemaioriadasavesvoa,temosumbomargumentoindutivo.
(m) R: Depende... Estamos falando de todos os tubarões e sardinhas? Se estamos, nesse caso,
o argumento é válido. Caso contrário, se estamos dizendo apenas que há alguns tubarões e
sardinhasquevivemnafloresta,nãoéválido.Nemmesmoindutivo.
(n) R: Inválido.Aindaquevivamnaflorestasomentetubarõesesardinhas,enadamais,issonão
quer dizer que todos os tubarões e sardinhas vivam na floresta. Por exemplo, se afirmamos
que ‘somente astronautas norte-americanos pisaram na Lua’, isso não quer dizer que todos os
astronautas norte-americanos tenham pisado na Lua (a maioria nem foi lá). Também não é
indutivo.
(o) R: Inválido. Do fato que muita gente, ou até mesmo todos, acreditem na existência de algo,
nãoseseguequetalcoisaexista.
(p) R:Válido/dedutivo.Umapremissadizque,seMarianãofoiaSalvador,entãofoiaJoãoPessoa
ouNatal. Maselanão foia JoãoPessoa.Assim, setambémnão foiaNatal, entãodeveter ido
aSalvador,certo?Éoquedizaconclusãodoargumento.
(q) R:Inválido.Obviamente.Aindaquefosseverdadequetodososgaúchosgostemdechurrasco,
isso não exclui a existência de mais pessoas, além de gaúchos, que também gostem de chur-
rasco,eJoãobempodeserumadelas.
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Respostas dos exercícios do capítulo 3
Exercício 3.1
(a) ‘Onomedarosa’éotítulodeumaobradeUmbertoEco.
R:Verdadeira.
(b) Stanfordtemoitoletras.
R:Falsa.Stanfordéumacidade,nãoumapalavra.Masapalavra‘Stanford’,essasim,temoito
letras.
(c) ‘3+1’éiguala‘4’.
R:Falsa.Asexpressões‘3+1’e‘4’nãosãoasmesmas!Umatemtrêssímbolos,aoutraapenas
um.Oqueéverdadeéque3+1=4,masissojáéoutracoisa.
(d) ‘PedroÁlvaresCabral’descobriuoBrasil.
R:Falsa.SealguémdescobriuoBrasil,certamentenãoterásidoonomedeCabral...
(e) ‘Logik’nãoéumapalavradoportuguês.
R:Verdadeira.‘Logik’éumapalavraalemã,etemomesmosignificadoque‘lógica’emportu-
guês.
(f) “Logik”nãopodeserusadacomosujeitodeumasentençadoportuguês.
R:Verdadeira.Éjustamenteoqueacontecenasentençaacima!Notequenãoestamosfalando
da palavra alemã ‘Logik’ (que começa com ‘L’), mas da expressão “Logik”, que começa com
aspassimples.
(g) “Pedro”nãoéonomedeSócrates,maséonomede‘Pedro’.
R:Verdadeira.
(h) HáumlivrodeJamesJoycecujonomeéUlisses.
R:Falsa.UlisseséumapersonagemdeHomero,nãootítulodeumlivro.
Exercício 3.2
(a) ‘Rosa’éumexemplodeumapalavradissílaba.
(b) NapoleãofoiimperadordaFrança.
(c) ‘Sócrates’éonomedeumfilósofogrego.
(d) Apalavra‘water’temomesmosignificadoqueapalavraportuguesa‘água’.
(e) Aexpressão“Rosa”éonomedapalavra‘Rosa’,que,porsuavez,éonomedeRosa.
(f) Asentença‘nenhumgatoépreto’éfalsa.
(g) Onumeral‘8’designaasomade4mais4.
(h) 2+2éiguala3+1,mas‘3+1’édiferentede‘4’.
(i) ‘Todavia’ e ‘contudo’, mas não ‘também’, têm o mesmo significado que ‘mas’, contudo, ‘não’,
não.
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Respostas dos exercícios do capítulo 4
Exercício 4.1
(a) b∈A
(b) k∈/ B
(c) {a,b,c}
(d) b∈{a,b,c}
(e) {b}∈{a,c,{b}}
(f) {x | x éumfilósofobrasileiro}
(g) {x | x éumnúmeropare x >6e x <20},ouentão
{x | x éumnúmeropartalque6< x <20}
(h) Platão∈/ {x | x éumfilósofoemoranoCantodaLagoa}
Exercício 4.2
Claro. Enquanto (cid:59) é o conjunto vazio (portanto, sem elemento algum), {(cid:59)} é um conjunto unitário,
cujo único elemento é (cid:59). Do mesmo modo, {0,1} é um conjunto que tem dois elementos, 0 e 1, ao
passoque{{0,1}}éumconjuntounitário—seuúnicoelementoéoconjunto{0,1}.
Exercício 4.3
(b) A⊆A
UmavezquetodoelementodeAéumelementodeA,segue-seimediatamentedadefiniçãoda
relação⊆queA⊆A.
(d) seA⊆B e B⊆AentãoA=B
Suponhamos que A⊆ B e B ⊆A. Por definição, temos que todo elemento de Aé um elemento
de B e, por outro lado, que todo elemento de B é um elemento de A. Em outras palavras, não
existeumelementodeAquenãoestejaemB,eumdeBquenãoestejaemA.Assim,AeBtêm
osmesmoselementose,pordefinição,A=B.
(e) seA⊂B entãoA(cid:54)=B
SuponhamosqueA⊂B.Peladefinição,temosqueA⊆B eA(cid:54)=B.Portanto,A(cid:54)=B.
Exercício 4.4
(a) A⊆B
(b) A⊂B
(c) D∪S
(d) c∈A∩B
(e) a∈B
(f) a∈/ M ∪N
1
Exercício 4.5
(a) VERDADEIRA. c éumdoselementosdoconjunto{a,c,e}.
(b) VERDADEIRA. e nãoestéentreoselementosdoconjunto{a,b,c}.
(c) FALSA.Arelaçãodeinclusão⊂éarelaçãodeinclusãoprópria.{0,1,2}éumsubconjuntodesi
mesmo,comotodoconjunto,masnãoumsubconjuntopróprio.Comparecomoitemaseguir.
(d) VERDADEIRA. Nesse caso temos a relação usual de inclusão ⊆, e todo conjunto é subconjunto
desimesmo.
(e) VERDADEIRA.Todososelementosde{a,b}estãoentreoselementosde{a,b,c}.
(f) FALSA.Oselementosdoconjunto{b,{a}}sãodois: beoconjunto{a}.Eanãoénenhumdeles.
(g) VERDADEIRA.{a}éumdosdoiselementosdoconjunto{b,{a}}.
(h) FALSA. Os elementos do conjunto {c,{b},a} são três: c, o conjunto {b}, e a. E o conjunto {a}
nãoénenhumdeles.
(i) VERDADEIRA.Auniãode{a,b}e{d,c,e}éoconjunto{a,b,d,c,e},doqual c éumelemento.
(j) VERDADEIRA.Oconjuntovazio(cid:59)ésubconjuntodequalquerconjunto.
(k) FALSA.Noteque0e1,elementosde{0,1,2},nãopertencemaoconjunto{3,2,5,4,6}.
(l) VERDADEIRA. A intersecção de {1,b,c} e {4,d,1,f,b} é justamento o conjunto {1,b}, que é
subconjuntodesimesmo.
Exercício 4.6
(a) A×B = {x,y,z}×{2,4}
= {〈x,2〉,〈x,4〉,〈y,2〉,〈y,4〉,〈z,2〉,〈z,4〉}
(b) B×C = {2,4}×{π}
= {〈2,π〉,〈4,π〉}
(c) B×A = {2,4}×{x,y,z}
= {〈2,x〉,〈2,y〉,〈2,z〉,〈4,x〉,〈4,y〉,〈4,z〉}
(d) D×F ×B = {a,b}×{4}×{2,4}
= {〈a,4,2〉,〈a,4,4〉,〈b,4,2〉,〈b,4,4〉}
(e) C×F ×A = {π}×{4}×{x,y,z}
= {〈π,4,x〉,〈π,4,y〉,〈π,4,z〉}
(f) E−B = {1,4,8}−{2,4}
= {1,8}
(g) D×(B−E) = {a,b}×({2,4}−{1,4,8})
= {a,b}×{2}
= {〈a,2〉,〈b,2〉}
(h) (B∩E)×F = ({2,4}∩{1,4,8})×{4}
= {4}×{4}
= {〈4,4〉}
(i) (E∪F)×D = ({1,4,8}∪{4})×{a,b}
= {1,4,8}×{a,b}
= {〈1,a〉,〈1,b〉,〈4,a〉,〈4,b〉,〈8,a〉,〈8,b〉}
2
(j) (C∪F)×(A−{x}) = ({π}∪{4})×({x,y,z}−{x})
= {π,4}×{y,z}
= {〈π,y〉,〈π,z〉,〈4,y〉,〈4,z〉}
(k) (cid:80)(A) = (cid:80)({x,y,z})
= (cid:8)(cid:59),{x},{y},{z},{x,y},{y,z},{x,z},{x,y,z}(cid:9)
(l) (cid:80)(B) = (cid:80)({2,4})
= (cid:8)(cid:59),{2},{4},{2,4}(cid:9)
Exercício 4.7Assoluçõesabaixosãoapenasumexemplo;outrastambémsãopossíveis
(a) domínio:{x | x écatarinense}
imagem:{x | x éummunicípiodeSantaCatarina}
(b) domínio:{x | x éumhomemcasado}
imagem:{x | x éumamulhercasada}
(c) domínio:{x | x éumamulhercasada}
imagem:{x | x éumhomemcasado}
(d) domínio:{x | x éumserhumanonascidonoséculoXX}
imagem:{x | x éumnúmeronaturalmaiorque1900emenorque2001}
(e) domínio:{x | x éumserhumano}
imagem:{x | x éumhomemqueteveaomenosumfilhooufilha}
(f) domínio:{x | x éumserhumano}
imagem:{x | x éumnúmeronaturaltalque,aomenosparaalgumserhumano y, x éaidade
de y}
(g) domínio:{x | x éumcírculo}
imagem:{x | x éumnúmerorealpositivo}
(h) domínio:{x | x éumestadobrasileiro}
imagem:{x | x éumacapitaldealgumestadobrasileiro}
(i) domínio:{x | x éumserhumanoqueteveaomenosumfilhooufilha}
imagem:{x | x éumserhumanodosexomasculinoqueéprimogênito}
(j) domínio:{4,9,16}
imagem:{2,3,4}
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Respostas dos exercícios do capítulo 5
Exercício5.1
(a) C
(b) ¬C
(c) C ∨ F
(d) C ∧ S
(e) S ∧ ¬C
(f) ¬C ∧ ¬F
(g) ¬C → F
(h) ¬S → F
(i) C → ¬F
(j) C ↔ ¬F
(k) ¬M
(l) C
(m) M ∨T
(n) ¬¬M
(o) M ∧ ¬C
(p) C ↔ ¬M
(q) ¬C → M
(r) ¬T ∧ ¬C
Exercício5.2
(a) S ∧ ¬C
(b) S ↔ ¬F
(c) ¬C ∧ ¬F
(d) ¬(C ∧ F)
(e) ¬(C ∨ F)
(f) ¬C ∨ ¬F
(g) (F ∧ S) → F
(h) ¬C → ¬(F ∧ S)
(i) C ∨ (F ∧ ¬S)
(j) (C ∧ S) ∨ (F ∧ S)
(k) (¬F ∧ ¬C) ∧ S
1
Exercício5.3
(a) M ∧ ¬¬C
(b) C ↔ ¬M
(c) ¬C → ¬M
(d) ¬T ∧ ¬C
(e) M → (C ∨T)
(f) ¬M → ¬(C ∧T)
(g) ¬(C ∨ ¬C)
(h) M → (T ∨ ¬T)
(i) (M ∧C) ∨ (¬M ∧ ¬C)
(j) C → ¬¬T
(k) (M ∧C) → (C ∧ M)
(l) ¬(M ∧C) → (¬M ∨ ¬C)
(m) T ∨ (¬T ∧C)
(n) (¬T ∧ ¬C) ↔ ¬(M ∧ ¬M)
Exercício5.4
(a) Aristótelesnãoéumfilósofo
(b) AristótelesePlatãosãofilósofos.
(c) Aristóteleséumfilósofo,masSócratesnãoé.
(d) SócrateséumfilósofoegostadePlatão.
(e) PlatãonãogostadeSócratesedetestaAristóteles.
(f) OuSócratesnãogostadePlatão,ouPlatãonãogostadeSócrates.
(g) SeAristótelesnãoéumfilósofo,entãoPlatãonãoodetesta.
(h) PlatãogostadeSócratesseesomentesedetestaAristóteles.
(i) SePlatãodetestaAristóteles,entãoouAristótelesouPlatãoéumfilósofo.
(j) SeSócratesePlatãosãofilósofos,entãoSócratesgostadePlatãoePlatãogostadeSócrates.
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Respostas dos exercícios do capítulo 6
Exercício 6.1Nãoconsigoimaginarumasituaçãoemqueaspremissassejamverdadeiraseacon-
clusãofalsa.
Oargumentoéoseguinte:
P1 OuNetunonãoéumplanetajoviano,outemanéis.
P2 Netunoéumplanetajoviano.
C Netunotemanéis.
Tentemos imaginar uma situação em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.
Nessa situação, é falso que Netuno tem anéis. Agora, se a premisa 2 é verdadeira (que Netuno é
um planeta joviano — um gigante gasoso como Júpiter), será falso nessa situação que Netuno não
é um planeta joviano. Contudo, a primeira premissa diz que ou Netuno não é um planeta joviano
ouNetunotemanéis.Comotanto‘Netunonãoéumplanetajoviano’quanto‘Netunotemanéis’são
falsas,essapremissaseriafalsa—contrariandonossahipótesedequeelaeraverdadeira.Assim,não
há como ter uma situação em que as premissas desse argumento sejam verdadeiras e a conclusão
falsa.Éoquechamamosdeumargumentoválido.
Exercício 6.2
α β α(cid:207)β
V V F
F V V
V F V
F F F
Exercício 6.3‘Nemαnemβ’éverdadeiraseesomenteseαeβ foremambasfalsas.Atabelapara
↓é:
α β α↓β
V V F
F V F
V F F
F F V
Exercício 6.4(a)F (b)V (c)F (d)V (e)V (f)V (g)F (h)V
1
Exercício 6.5
(a) ¬A→B
Essafórmulaéfalsaemumavaloração v talque:
v(A)=F, v(B)=F.
Emqualqueroutravaloraçãoafórmulaéverdadeira;porexemplo:
v(A)=V, v(B)=F.
(b) A∧¬¬C
Essafórmulasóéverdadeiraemumavaloração v talque:
v(A)=V, v(C)=V.
Emqualqueroutravaloraçãoafórmulaéverdadeira;porexemplo:
v(A)=F, v(C)=F.
(c) (C →B)↔¬A
Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=F, v(B)=V, v(C)=V.
Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=V, v(B)=V, v(C)=F.
(d) ¬B→(¬A∨C)
Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=F, v(B)=V, v(C)=F.
Essafórmulasóéfalsaemumavaloração v talque:
v(A)=V, v(B)=F, v(C)=F.
(e) ¬B∧¬(C ∨A)
Essafórmulasóéverdadeiraemumavaloração v talque:
v(A)=F, v(B)=F, v(C)=F.
Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=V, v(B)=V, v(C)=F.
(f) (B→A)→¬(C ↔B)
Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=F, v(B)=V, v(C)=F.
Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=V, v(B)=V, v(C)=V.
(g) ¬A→¬(B↔C)
Essafórmulaéverdadeira,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=V, v(B)=V, v(C)=F.
Essafórmulaéfalsa,porexemplo,emumavaloração v talque:
v(A)=F, v(B)=V, v(C)=V.
(h) (A∧B)∨(¬A∧¬B)
Essa fórmula só é verdadeira em uma valoração v na qual Ae B tenham o mesmo valor, por
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